Definicja wartości symbolicznej

(zespolonej) wielkości sinusoidalnej

Wartością symboliczną (

zespoloną

) wielkości

sinusoidalnie zmiennej:





x

m

t

sin

X

)

t

(

x









nazywamy wyrażenie postaci:

x

j

e

X

X





gdzie

2

X

X

m



jest wartością skuteczną
funkcji sinusoidalnej x(t)

x



jest fazą początkową
funkcji sinusoidalnej x(t)

Jak przejść od praw obwodowych
zapisanych dla wartości chwilowych
do zależności dla wartości zespolonych?

Chcemy zbudować zależności
dla prądów i napięć dla elementów idealnych:
opornika, cewki i kondensatora

Ri

u 

dt

di

L

u 

dt

du

C

i 

oraz prawa Kirchhoffa i prawo Ohma.









sin

2

)

(

sin

2

)

(

i

u

t

I

t

i

t

U

t

u

















Wartości chwilowe prądów i napięć maja postać:

a ich wartości zespolone:

u

j

e

U

U





i

j

e

I

I





Prawo Ohma

0

1







m

k

k

I

PPK:

0

1







n

k

k

U

NPK:

Ri

u 

RI

U 

i

u

j

j

e

I

R

e

U







I

R

U



i

u







0







i

u







I

U

R

i

u

R

Orawo Ohma dla opornika

Dla wartości chwilowych:

Dla wartości
zespolonych:

U

I

i

u







I

U

R

i

j

e

I

R

U

I

R

U







dt

di

L

u 

LI

j

U















 



2









i

u

j

j

e

I

L

e

U

I

L

U





2











i

u

2















i

u

L

i

u

L

I

U

Prawo Ohma dla cewki

Dla wartości chwilowych:

Dla wartości zespolonych:

U

I

u



i



2















i

u

L

I

U

)

2

(















i

j

e

I

L

U

I

L

j

U

dt

du

C

i 

CU

j

I





















2







u

i

j

j

e

U

C

e

I

U

C

I





2











u

i

2

















i

u

C

i

u

C

I

U

Prawo Ohma dla kondensatora

Dla wartości chwilowych:

Dla wartości zespolonych:

U

I

u



i



2

















i

u

C

I

U

)

2

(

1

1

















i

j

e

I

C

U

I

C

j

U

RI

U 

LI

j

U





CU

j

I





I

C

j

I

C

j

U





1

1







Definicja:

Impedancją nazywamy iloraz wartości
symbolicznych napięcia i prądu

I

U

Z 





i

u

i

u

j

j

j

e

I

U

e

I

e

U

I

U

Z

















RI

U 

LI

j

U





CU

j

I





R

I

U

Z





Impedancja elementów idealnych:

L

j

I

U

Z







C

j

I

U

Z



1









j

e

Z

Z 

I

U

Z 

i

u

Z

arg













Impedancja

jX

R

Z





R –rezystancja
X - reaktancja

 

 









1

1

1

1

X

R

Ze wzoru Eulera wynika:















sin

Z

j

cos

Z

jsin

cos

Z

e

Z

Z

j

























sin

Z

j

cos

Z

jsin

cos

Z

e

Z

Z

j















sin

Z

X

cos

Z

R





Trójkąt impedancji:

R

0



X

Z

R

0



X

Z



0







0





Definicja:

Admitancją nazywamy iloraz wartości
symbolicznych prądu i napięcia

U

I

Y 





u

i

u

i

j

j

j

e

U

I

e

U

e

I

U

I

Y

















RI

U 

LI

j

U





CU

j

I





G

R

U

I

Y

R







1

Admitancjancja elementów idealnych:

L

j

U

I

Y

L



1







C

j

U

I

Y

C









j

e

Z

Z

Y







1

1

u

i

Y

arg















U

I

Y 

G – konduktancja
B - susceptancja

jB

G

Y





Ze wzoru Eulera wynika:















sin

Y

j

cos

Y

jsin

cos

Y

e

Y

Y

j













 

 

S

B

S

G

1

1

1

1



















sin

Y

j

cos

Y

jsin

cos

Y

e

Y

Y

j

















sin

Y

B

cos

Y

G







Trójkąt admitancji:

G

0



L

B

Y





G

0



C

B

Y





0









L

X

L

j

R

Z

L





Połączenie szeregowe RL

R

L

U

L

U

R

I

U





L

R

U

U

L

jI

IR

L

j

R

I

IZ

U





















I

U

R

U

L

U



R

L







tg

0









L

X

L

j

R

Z

L





Połączenie szeregowe RL można zastąpić
równoważnym połączeniem równoległym:

R

L

U

L

U

R

I

U

R

X

L

X

U

I

C

j

B

X

R

X

B

X

R

X

j

X

R

R

jX

R

jB

G

Y

L

L

X

X



1

0

1

2

2

2

2

2

2





























Połączenie szeregowe RC

R

C

U

C

U

R

I

U

U

R

I

U

C

U

0

1

1











C

X

C

j

R

Z

C







C

R

U

U

C

jI

IR

C

j

R

I

IZ

U

































1

1

CR





1

tg





R

C

U

C

U

R

I

U

C

R

U

U

C

jI

IR

C

j

R

I

IZ

U

































1

1

CR





1

tg





Połączenie szeregowe RC można zastąpić równoważnym
połączeniem równoległym:

X

C

C

X

X

C

j

B

X

R

X

B

X

R

X

j

X

R

R

jX

R

jB

G

Y





























0

1

2

2

2

2

2

2

R

C

U

I

Zależności między R i G oraz X i B

2

2

B

G

G

R





2

2

B

G

B

X















2

2

2

2

1

B

G

B

j

B

G

G

jB

G

jB

G

jB

G

jB

G

jX

R

Z

























R

L

U

I

R

C

U

I

L

j

R

jB

G

Y



1

1









C

j

R

jB

G

Y











1

G

0



C

B

Y





G

0



L

B

Y





R

C

U

I

R

L

U

I

U

I

R

I

L

I

U

I

R

I

C

I