Wartość pieniądza w czasie

Wartość pieniądza w czasie

dr Jolanta Gadawska

Wartość przyszła a wartość obecna

Wartość przyszła a wartość obecna

inwestycji

inwestycji

W działalności gospodarczej

i przy podejmowaniu optymalnych

decyzji należy uwzględnić,

zmiany wartości pieniądza w

czasie oraz ryzyko działalności

i inflację.

Wartość przyszła

Wartość przyszła

Wartość przyszła przy jednorazowej wpłacie

uwzględnia stopę procentową i czas, na

który kapitał został złożony.

FV =PV x (1+r)

Operacja mnożenia przez współczynnik

(1+r) nazywa się kapitalizacją.

W przypadku n liczby lat kapitalizacji i

procencie składanym

FV = PV x (1+r) ⁿ

lub

FV = PV x (1+rn) przy procencie prostym

Wartość przyszła

Wartość przyszła

Wartość przyszła sumy zainwestowanych

pieniędzy zależy od :



wartości początkowej kapitału,



wysokości stopy procentowej,



długości okresu inwestowania,



a także od częstości kapitalizacji odsetek.

FV = PV (1+r/m)ⁿ*
Wzrost m powoduje wzrost wartości

przyszłej sumy zainwestowanych

pieniędzy.

m

Efektywna stopa procentowa

Efektywna stopa procentowa

Aby porównać oferty zakładające różną

częstotliwość kapitalizacji odsetek można
skorzystać z efektywnego oprocentowania
rocznego (przy m kapitalizacji w ciągu
roku).

r

ef=

(1 + r/m)

m

- 1

Wartość bieżąca

Wartość bieżąca

Jest to zaktualizowana wartość środków

pieniężnych spodziewanych w przyszłości .

Jest to proces powracania w czasie i nazywa

się dyskontowaniem.

1

/

1+r to czynnik dyskontujący

PV = FV x 1/(1+r)ⁿ

Przy kapitalizacji śródrocznej m razy

PV = FV x 1/(1+r/m)

nxm

Wzrost m (częstotliwości naliczania odsetek)

spowoduje zmniejszenie wartości obecnej.

Renty

Renty

Kapitał pomnaża swoja wartość w wyniku

kapitalizacji odsetek oraz w wyniku
systematycznego dokonywania wpłat.

Renty – są to strumienie płatności

dokładane do kapitału, są to
regularne wpłaty wnoszone na koniec
roku, kwartału lub miesiąca czyli z dołu
(bez wyprzedzenia) albo wnoszone na
początku okresów czyli z góry
(z wyprzedzeniem).

Przyszła wartość sumy wpłat

Przyszła wartość sumy wpłat

Wpłaty regularne (W) dokonywane z

dołu (d) lud z góry (g)

FV

n/d

= W x 1-gⁿ/1-g

FV

n/g

= W x g x 1-gⁿ/1-g

g= 1+r

Dla tych samych wkładów zachodzi zależność:
FV n/g = g x FV

n/d

FV n/d = FV

n/g

/ g

Obecna wartość sumy wpłat

Obecna wartość sumy wpłat

PV

n/d

= W x g x 1-gⁿ/1-g

PV

n/g =

W x 1-gⁿ/1-g

W – wpłaty dokonywane z góry
przy czym g = 1/1+r

PV

n/g =

PV

n/d

x (1+r)

PV

n/d =

PV

n/g

/1+r

Realna wartość kapitału

Realna wartość kapitału

Na zmiany wartości kapitału w czasie ma

wpływ również inflacja. Powoduje ona

obniżenie tempa wzrostu kapitału

wynikającego z oprocentowania.

W okresach nasilonej inflacji realna wartość

kapitału może się nawet zmniejszać jeśli

wzrost stóp procentowych jest za mały.

Przy bardzo małej inflacji realną stopę

wzrostu można obliczyć jako:

r’ = r – f

r - nominalna stopa procentowa; f – stopa inflacji

Realna stopa procentowa

Realna stopa procentowa

Rzeczywista stopa procentowa

uwzględniająca inflację

r’ = r-f/1+f

Jeżeli f>r to r’<0 wówczas realna wartość

kapitału, w miarę upływu czasu, zmniejsza

się.

Jeśli np. stopa inflacji wynosiła 3% a

nominalne oprocentowanie 4% to realna

stopa procentowa

r’= 0,04-0,03/1+0,03 = 0,97%

1.Polisa emerytalna oferuje 20-letnie wypłaty renty w

wysokości 15 000 PLN na końcu każdego roku. Jak

wysoka powinna być zebrana suma pieniędzy na

początku, aby przy rocznym oprocentowaniu 8%

generować wypłaty tej renty?

Mamy obliczyć wartość obecną przy rentach z dołu.
PV n/d = W x g x 1-gⁿ/1-g

PV 20/d= 150 000 x 1/1+0,08 x 1-(1/1,08)ⁿ/1-1/1,08
PV 20/d ≈ 1.473.466

2.Pewien gracz wygrał na loterii 1 000 000USD wolnych od

podatku. Złożył tę kwotę do banku, który zapewnia mu

stopę 10% z kapitalizacją kwartalną. Gracz ten chce,

aby ta wygrana generowała równe wypłaty renty

wypłacane na koniec każdego kwartału przez

następnych 25 lat. Jakiej wysokości będą te wypłaty?

1mln=Wx1/1+0,1/4x 1-(1/1+0,1/4)*/1-1/1+0,1/4)
W = 27.311,-

Przykłady dotyczące rent

Przykłady dotyczące rent

3.Pewna firma produkcyjna będzie potrzebowała za 5 lat

150 000 PLN, aby wymienić maszyny produkcyjne.
Kierownictwo firmy postanowiło w tym celu utworzyć
fundusz amortyzacyjny i wpłacać do banku z dołu co
pół roku pewne wpłaty o równej wielkości. Bank
zapewnia stopę procentową roczną 8% i kapitalizacje
pół roczną. Jakiej wysokości wpłaty musi dokonywać
firma co pół roku, aby utworzyć potrzebny fundusz
amortyzacyjny?

Wzór na wartość przyszłą przy rentach z doły.

150.000 = Wx1–(1+0,08/2)*

/

1-(1+0,8/2)

W = 12493,-

4. W firmie badawczo-rozwojowej pracuje się nad

nowym urządzeniem wykrywającym uszkodzenia
w samolocie. Wczesne wykrycie usterki redukuje
coroczne koszty naprawy aż o 200 000 Euro. Jaka
jest przyszła wartość oszczędności jeśli roczna
stopa odsetkowa równa się 10%, a rozpatrywany
przedział czasu wynosi 5 lat?

Wzór na wartość przyszłą przy rentach z góry.
FV = W x g x 1-gⁿ/1-g
FV = 200.000 x (1+0,1) x 1-(1+0,1)/1-(1+0,1) =
=1.343.122
Przyszła wartość oszczędności
1.343.122 – 1.000.000 = 343.122

Przykłady dotyczące rent

Przykłady dotyczące rent

5. Młody inżynier z USA wynalazł nowe urządzenie

monitorujące. Założył też firmę, której celem ma
być masowa produkcja urządzenia. Urządzenie
wymaga jednak dopracowania. Inżynier
oszacował, że prace badawcze pochłoną corocznie
100 tyś. USD, a na reklamę trzeba będzie wydać
corocznie 150 tyś. USD. Oblicz równoważną
ekonomicznie przyszłą wartość firmy opartą na
podanych wydatkach jeśli przedział czasu wynosi
3 lata, a roczna stopa odsetkowa równa się 12%.

Wartość przyszła przy rentach z góry.
FV n/g= W x g x 1-gⁿ/1-g
FV =250.000x(1+0,12)x1-(1+0,12)/1-(1+0,12)=
= 956.666

Przykłady dotyczące rent

Przykłady dotyczące rent