Kolokwium II

rok 2009/2010

Zadanie 3:

Korzystając z własności szeregu potęgowego oblicz sumę szeregu liczbowego.

 









2

5

1

n

n

n

n

Rozwiązanie:

1)

Badamy zbieżność szeregu liczbowego

 









2

5

1

n

n

n

n

korzystając z „kryterium ilorazowego –

d’Alamberta” : Jeżeli

1

lim

1











g

a

a

n

n

n

, to szereg







1

n

n

a

jest zbieżny.

2)

Podstawiając:

 

n

n

n

n

a

5

1





;

 

1

1

1

5

1

1













n

n

n

n

a

otrzymamy:





 

n

n

n

n

n

































5

1

1

5

1

lim

1

=





n

n

n

1

5

1

lim



















=





















n

n

n

n

5

1

5

lim

=

5

1



=

5

1

1



,

więc szereg

 









2

5

1

n

n

n

n

jest zbieżny.

3)

Przyjmując:

n

n

x





)

1

(

, możemy obliczyć sumę szeregu potęgowego







2

5

n

n

n

n

x

4)

Korzystając z twierdzenia „o różniczkowaniu szeregu potęgowego” :



















1

1

0

)'

(

)

(

'

n

n

n

n

n

n

x

na

x

a

x

S

otrzymamy:







2

5

n

n

n

n

x

=









2

1

5

n

n

n

x

n

x

=







2

5

)'

(

n

n

n

x

x

=





















2

5

n

n

n

x

x

=



































2

5

n

n

x

x

=

=



















1

,

5

25

2

1

q

x

q

x

a

=





























5

1

25

2

x

x

x

=

2

2

)

5

1

(

25

5

1

5

1

25

2

x

x

x

x

x



























 

=

2

3

2

5

5

125

25

2











 



x

x

x

=

)

(x

S

5)

Podstawiamy wartość wcześniej przyjętą za x, obliczamy wartość sumy szeregu liczbowego.

180

11

5

6

125

1

25

2

)

1

(

2





















S

Odpowiedź:

Suma szeregu liczbowego

 









2

5

1

n

n

n

n

wynosi

180

11

Autor: Dagmara Klos grupa 2

03.12.2013