Kolokwium I

rok 2009/2010

Zadanie 4:

Dla krzywej o równaniu: L : r(t) = [t + 3 sin t, 2 cos t, 3t − sin t] wyznaczyć równanie prostej

binormalnej i płaszczyzny normalnej w punkcie P(0, 2, 0).

Rozwiązanie:

Wyznaczam parameter t

0

odpowiadający punktowi P(0,2,0)

t + 3sint = 0
2cost = 2 → cost = 1 → t

0

= 0

3-sint = 0

r(t

0

) = [0,2,0]

r’(t) = [1 + 3cost, -2sint, 3 – cost] → r’(t

0

) = [4,0,2]

r’’(t) = [-3sint, -2cost, sint] → r’’(t

0

) = [0,-2,0]

T(t

0

) = r’ (t

0

) = [4,0,2]

Wyznaczam wektor binormalny i normalny:

B(t

0

) = = [4,0,-8]

N(t

0

) =

= [0,-40,0]

Prosta binormalna:
l

B

: [0,2,0] + s[4,0,-8]

x = 0 + 4s

x = 4s

y = 2 + 0s

→

y = 2

gdzie sϵR

z = 0 - 8s

z = -8s

Płaszczyzna normalna dana parametrycznie
∏: [0,2,0] + s[4,0,-8] + t[0,-40,0]

x = 0 + 4s

x = 4s

∏:

y = 2 – 40t

→

y = 2 – 40t gdzie s,t ϵR

z = 0 -8s

z = -8s

Odpowiedź:

Prosta binormalna l

B

: x = 4s, y = 2, z = -8s, s ϵR.

Płaszczyzna normalna ∏: x = 4s, y = 2 – 40t, z = -8s, s,t ϵR.

Autor: Kacper Cerek grupa 2

30.10.2013

i

j

k

4

0

2

0 -2

0

i

j

k

4

0

-8

4

0

2