Przykład 1
Jednorodna belka o długości 2l

i ciężarze G

jest oparta dolnym końcemA

o chropowatą poziomą

płaszczyznę, a w punkcie C

o gładki występ. W położeniu równowagi belka tworzy z

płaszczyzną poziomą kąt



, a odcinek AC

= 1,5l. Znaleźć współczynnik tarcia ślizgowego

statycznego



w punkcie

A.

R o z w i ą z a n i e
W położeniu równowagi belki jej koniec A ma tendencję do przesuwania się w lewo.
Siła tarcia

T

1

jest skierowana przeciwnie do możliwego ruchu, a więc w prawo. Po

przyjęciu prostokątnego układu współrzędnych otrzymuje się następujące równania
równowagi belki

W przypadku poszukiwania współczynnika tarcia ślizgowego



statycznego w

położeniu granicznym równowagi belki (tarcie całkowicie rozwinięte) otrzymuje się

Po rozwiązaniu powyższego układu równań współczynnik



tarcia



wynosi

Przykład 2
Jednorodny pręt AB o ciężarze G opiera się końcem A o poziomą podłogę i
końcem B o pionową ścianę. Dane są współczynniki tarcia o podłogę i ścianę, równe
odpowiednio







i





. Znaleźć reakcje w punktach A i B oraz graniczną wartość

kąta



nachylenia pręta.

R o z w i ą z a n i e
Po przyjęciu prostokątnego układu współrzędnych Axy otrzymamy następujące
równania równowagi

W przypadku poszukiwania granicznej wartości kąta



nachylenia pręta, siły

tarcia

T

1

i T

2

osiągają swe graniczne wartości (są całkowicie rozwinięte), a wiec są

równe

Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań otrzymany poszukiwane wartości
reakcji

R

A

i R

B

oraz kąta











Przykład 3
Na dwóch równiach pochyłych, tworzących z poziomem kąty



i



, ustawiono dwa

ciała A i B o ciężarach G i Q połączone nieważkim cięgnem wiotkim przerzuconym
przez krążek C. Współczynniki tarcia obu ciał o równie są równe







i



2

. Określić, w

jakich granicach może się zmieniać wartość ciężaru Q ciała B ( przy założeniu, że
ciężar G ciałaA jest stały), aby układ ciał A i B pozostawał w równowadze.

R o z w i ą z a n i e
Zacznijmy od

przypadku, gdy ciężar Q ciała B ma wartość maksymalną, przy której

możliwa jest jeszcze równowaga. Po przekroczeniu tej wartości ciało B zacznie
zjeżdżać z równi pochyłej o kącie



, a ciało Azacznie się poruszać do góry po równi

pochyłej o kącie



. W rozw

ażanym granicznym przypadku (rys. b) siły

tarcia

T

1

i T

2

osiągną maksymalne wartości i skierowane są przeciwnie do możliwego

ruchu. Przyjmując prostokątne układy współrzędnych Oxy, związane z obydwoma
ciałami, w których oś Oy jest prostopadła do równi, a oś Oxrównoległa do równi,
otrzymujemy następujące równania równowagi dla:



ciała A



ciała B

Ponadto na podstawie praw tarcia możemy napisać

Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań znajdujemy maksymalną wartość
ciężaru ciała B

Postępując podobnie jak poprzednio, przy założeniu, że wartość ciężaruQ będzie
minimalna, tzn. układ będzie miał tendencję ruchu w przeciwną
stronę



ciało A będzie miało tendencję do zjeżdżania z równi kącie



, a

ciało B zacznie poruszać się do góry po równi pochyłej o kącie



. W tym granicznym

przypadku (rys. c), siły tarcia

T

1



i T

2



są skierowane przeciwnie do możliwego ruchu.

Pisząc odpowiednie równania równowagi i zależności między siłami tarcia a siłami
normalnymi (korzystając z praw tarcia), otrzymamy również układ równań. Po
rozwiązaniu równań otrzymamy minimalną wartość ciężaru ciała B

Na podstawie otrzymanych wyników możemy stwierdzić, że wartość ciężaru
ciała B powinna pozostawać w następujących granicach

Przykład 4
Ciało A o ciężarze G położono na płycie B o ciężarze Q i połączono je nieważkim
cięgnem wiotkim przerzuconym przez krążek C. Obliczyć maksymalną wartość
poziomej siły P przyłożonej do ciała A, przy której ciało A będzie pozostawać w
spoczynku, jeżeli współczynnik tarcia ślizgowego (statycznego) ciała A o
płytę B wynosi





, a płyty B o podłoże



2

.Tarcie cięgna o krążek C należy pominąć.

Ponadto wyznaczyć napięcia cięgna

S

1

i S

2

, reakcje normalne

N

1

i N

2

oraz siły

tarcia

T

1

i T

2

.

R o z w i ą z a n i e.
Przedmiotem rozważań jest układ złożony z dwóch ciał A, B i krążka C. Na
ciało A działa ciężar własny G, siła P, napięcie sznura

S

1

oraz siły

T

1

iN

1

oddziaływania

płyty B. Na płytę B działa jej ciężar Q, napięcie sznuraS

2

, reakcja normalna

podłoża N

2

i nacisk

N

1

ciała A oraz siły tarcia

T

1

iT

2

. Na krążek C działają napięcia

sznura

S

1

i S

2

.

W rozpatrywanym układzie występuje zatem siedem niewiadomych:
P,

S

1

, S

2

, N

1

, N

2

,

T

1

i T

2

musi

my więc ułożyć siedem równań.

Równania równowagi ciała A

Równania równowagi płyty B

Równanie równowagi krążka C

Dalsze dwa związki wynikają z faktu, że maksymalna wartość siły P, przy której
ciało A będzie jeszcze pozostawać w spoczynku, odpowiada siłom tarcia całkowicie
rozwiniętego.

Po rozwiązaniu powyższych równań otrzymujemy

Przykład 5
Ciało A zostało zawieszone na linie CF, która została przerzucona przez nieruchomy,
chropowaty krążek. Na drugim końcu liny w punkcie Fprzywiązano ciało B o
ciężarze G, leżące na poziomej płaszczyźnie. Współczynnik tarcia ślizgowego
(statycznego) ciała B o poziomą płaszczyznę wynosi





i liny o powierzchnię

krążka



2

. Wyznaczyć maksymalną wartość ciężaru ciała A w położeniu równowagi

układu.

R o z w i ą z a n i e.
W rozpatrywanym przypadku, gdy ciężar ciała A ma wartość maksymalną, przy której
możliwa jest jeszcze równowaga, siła S

2

w linieCD jest większa od siły

S

1

w linie EF.

Między tymi siłami istnieje zależność, zgodnie z którą

Po przyjęciu układu współrzędnych Oxy, otrzymuje się równania równowagi:



dla ciała A



dla ciała B

Korzystając z praw tarcia, można napisać

Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań, znajduje się maksymalną wartość
ciężaru ciała A.

Przykład 6
Nieważki pręt AB o długości l opiera się w punkcie A na stałej podporze przegubowej.
Na końcu pręta w punkcie B przymocowano cięgno, które przerzucono przez
chropowaty krążek i na jego końcu E przywiązano ciało F o ciężarze G, leżące na
równi pochyłej tworzącej z poziomem kąt





= 30º

. Współczynnik tarcia ślizgowego

ciała F o równię wynosi





, a cięgna o powierzchnię krążka



2

. Wyznaczyć, w jakich

granicach musi się mieścić wartość pionowej siły P, przyłożonej w środku pręta AB,
aby zachodziła równowaga?

R o z w i ą z a n i e.
Rozpatrzmy przypadek, gdy siła P ma wartość maksymalną, przy której jest jeszcze
możliwa równowaga układu. Po przekroczeniu tej wartości ciało F zacznie poruszać
się w górę równi pochyłej. W rozpatrywanym granicznym przypadku siła S

2

w

linie BC jest większa od siły

S

1

w linie DEi istnieje między nimi zależność

Po przyjęciu odpowiednich układów współrzędnych otrzymujemy równania
równowagi dla:



ciała F



pręta AB

Na podstawie praw tarcia

Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań znajdujemy maksymalną wartość siły P

Rozpatrzmy drugi przypadek, gdy siła P osiąga wartość minimalną, przy której
możliwa jest jeszcze równowaga układu. Ciało F ma wtedy tendencję do zsuwania
się po równi pochyłej. Między siłami w cięgnie zachodzi teraz następująca zależność

Po uwzględnieniu przeciwnego zwrotu siły tarcia otrzymujemy równania równowagi
dla:



ciała F



pręta AB

Ponadto z praw tarcia mamy

R

ozwiązując ten układ równań, znajdujemy minimalną wartość siły P

Wartość siły P powinna więc zawierać się w następujących granicach

Przykład 7
Walec o promieniu r i ciężarze G spoczywa na równi pochyłej nachylonej do poziomu
pod kątem



. Znaleźć maksymalną wartość kąta



, przy której równowaga walca jest

jeszcze możliwa. Współczynnik tarcia tocznego jest równy f.

R o z w i ą z a n i e.
Układamy równania równowagi walca. Równania równowagi rzutów sił na
osie x i y są następujące

Stąd

Jeżeli walec ma być w równowadze, to moment siły G względem punktuA musi być
mniejszy lub równy momentowi tarcia tocznego

Po podstawieniu pop

rzednio uzyskanej wartości siły normalnej Notrzymujemy

czyli

Kąt



, spełniający tę zależność, powinien wynosić

Natomiast maksymalny kąt



Przykład 8
Walec o ciężarze Q spoczywa na płycie o ciężarze G i opiera się o pionową ścianę.
Obliczyć maksymalną wartość siły P, jaką można przyłożyć do cięgna przywiązanego
do płyty i przerzuconego przez chropowaty krążek, aby układ pozostawał w
równowadze, jeżeli wiadomo, że walec będzie się toczył bez poślizgu po płycie, a
ślizgał względem pionowej ściany. Współczynnik tarcia tocznego walca po płycie
wynosi f. Współczynnik tarcia ślizgowego cięgna o krążek wynosi





, płyty o podłoże

jest równy





, a walca o pionową ścianę





.

R o z w

i ą z a n i e.

Związek między napięciami cięgna wyraża się wzorem

Równania równowagi walca

Równania równowagi płyty

Na podstawie praw tarcia otrzymujemy dodatkowe dwa równania

Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymujemy