GW Systemy wysokosci (sem IV) Nieznany

Systemy wysoko

Janusz Walo

ver

. 1.0 (03.2009)

Janusz Walo

Co to jest

wysoko

ść

lin

pio

zenit

W =

= W

dW = grad W ds

dW = g ds = g ds cos(g,ds)

cos(g, ds) = cos(g, dh) = -1

dla

ds = dg = dh

dW = - g dh

Stąd odległość sąsiednich powierzchni ekwipotencjalnych wyrażoną
przez różniczkę potencjału i przyspieszenie siły ciężkości:

−

Zmianę dW pola skalarnego W wyraża
różniczka:

mamy

Pami

taj

e przyspieszenie na biegunie jest wi

ksze ni

na r

wniku, ze wzoru wynika,

e powierzchnie ekwipotencjalne

nie s

wnoleg

e!! R

nica si

ga 0.5m dla wysoko

ci 100m

…

Janusz Walo

Liczba (cecha)

geopotencjalna









−

∫

Liczba geopotencjalna wyraża pracę w polu potencjalnym, jaką trzeba wykonać

w celu przemieszczenia się z powierzchni W

do W

Całkując równanie dW = - g dh mamy:

∫

−

(praca w polu potencjalnym jest niezależna od drogi)

Janusz Walo

Liczba

geopotencjalna

Z uwagi na podobieństwo do wysokości przyjęto dla liczby
geopotencjalnej specjalną jednostkę zwaną jednostką
geopotencjalną i oznacza się g.p.u.

(geopotential unit).

1 g.p.u. = cm

-2

-5

= 1 kGal · 1 m

Dzieląc wartość liczby geopotencjalnej C wyrażoną w g.p.u. przez
1kGal dostajemy wartość w metrach bliską wysokości

(o blisko 2%

mniejszą od wysokości dla przybliżonej, średniej wartości przyspieszenia).

≈ gH ≈

0.98 H

Dlatego liczbę geopotencjalna wyrażoną w g.p.u nazywano dawniej cechą
geopotencjalną, a współcześnie częściej wysokością geopotencjalną

(służą

dziś do katalogowania wysokości reperów, wyrównania, wymiany danych)

Janusz Walo

Wysoko

Najkrótszą drogę, na jakiej wykonano pracę określoną przez liczbę
geopotencjalną wyznacza kierunek grad

W = g

Praca = Droga x Siła

Ta najkrótsza droga to wysokość

Wysokość =

Liczba geopotencjalna

przyśpieszenie siły ciężkości na drodze P

- P

Janusz Walo

Wysoko

ci dynamiczne

(1)

(Definicja wysoko

ci)

Jeżeli przyjmiemy dla całej Ziemi jedną wartość przyspieszenia siły
ciężkości obliczoną ze wzoru na przyspieszenie normalne dla
szerokości 45˚

(równą 9.806199203 ms

-2

dla elipsoidy GRS80)

to otrzymamy

wysokość dynamiczną punktu P w postaci wyrażenia:

∫

−

gdh

Janusz Walo

Wysoko

ci dynamiczne

(2)

(Poprawka dynamiczna)

(

)

∫

−

∆

gdh

∑

∆

−

Zapisując różnicę wysokości dla dwóch punktów A i B dostaniemy
wzór na różnicę wysokości dynamicznych:

zastępując całkę sumą dostaniemy:

∑

∆

gdzie PH

to poprawka dynamiczna postaci:

Janusz Walo

Wysoko

ci dynamiczne

(3)

(Uwagi ko

cowe)

Wysokości i poprawki dynamiczne wyznaczane są ściśle jedynie na
podstawie pomierzonych różnic wysokości i przyspieszenia siły
ciężkości. Dlatego też poprawki dynamiczne wykorzystywane są do
wyrażania poprawek w innych systemach wysokości.

We wzorze na poprawkę dynamiczną przyspieszenie g to średnie
przyspieszenie na punktach A i B.

Punkty leżące na tej samej powierzchni ekwipotencjalnej mają taką
samą wysokość dynamiczną

(nadają się dobrze do projektów związanych z

budownictwem wodnym).

Wysokości dynamiczne nie mają żadnej interpretacji geometrycznej.

Wysokości dynamiczne nie nadają się do rozwiązywania zagadnień
związanych z wyznaczaniem figury Ziemi wg koncepcji Stokesa.

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(1)

(Definicja wysoko

ci)

Wysokości ortometryczne to odległości punktów fizycznej

powierzchni Ziemi od geoidy mierzone wzdłuż linii pionu.

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(2)

(Definicja wysoko

ci)

∫

−

gdH

⋅

∫

Niezależność wartości liczby potencjalnej (pracy) od drogi, na której
liczbę wyznaczono pozwala zapisać

(całkowanie wzdłuż linii pionu)

Po przekształceniu dostaniemy:

a w konsekwencji wyrażenie definiującą wysokość ortometryczną:

−

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(3)

(Podej

cie

Niethammera

)

(

)

∫

−

gdh

Problem wyznaczenia wartości przeciętnej przyspieszenia pewne
rozwiązanie podał Niethammer…
Rozpatrując różnicę wysokości pomiędzy punktem B na f.p.Z. i
punktem na geoidzie można zapisać:

Ostatni składnik oznacza poprawkę ortometryczną, przy czym
wartość całki tylko nieznacznie zależy od drogi całkowania:

∫

−

≈

−

(*)

(**)

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(4)

(Podej

cie

Niethammera

)

gdH

∫

−

Krzywa zmiany przyspieszenia dzieli obszar na dwie części, których
pola wiąże zależność:

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(5)

(Podej

cie

Niethammera

)

∫

−

Hdg

Uwzględniając wniosek z rysunku we wzorach (*) i (**) otrzymamy
zależność opisującą wysokość ortometryczną punktu B:

Ostatni składnik oznacza poprawkę ortometryczną, przy czym
wartość całki tylko nieznacznie zależy od drogi całkowania:

∫

−

≈

−

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(6)

(Podej

cie

Niethammera

)

∫

−

∆

Hdg

Analogicznie możemy zapisać wysokość dla punktu A, skąd łatwo
przejść do zależności opisującej różnicę wysokości pomiędzy
punktami A i B postaci:

Uwaga:

W mianowniku wyrazów 2-3

(są to małe wielkości)

przeciętne

wartości przyspieszeń w punktach A i B można zastąpić wartością
przybliżoną przyspieszenia

(np. wartością średnią w punktach A i B

na powierzchni Ziemi; potrzebne są zaledwie 2-3 cyfry znaczące)

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(7)

(Podej

cie

Niethammera

)

′

−

⋅

−

Do obliczenia wartości przeciętnych przyspieszenia Niethammer
zaproponował wykorzystanie redukcji Poincarego-Preya obliczoną
dla połowy wysokości:

Sumę redukcji Faye’a i Bouguera można zastąpić wyrażeniami
zależnymi od gęstości skorupy ziemskiej. Przybliżona postać wzoru
na redukcję Faye’a i wzór na redukcję Bouguera mają postać:

Poprawka terenowa
wyznaczona względem
punktu w połowie wysokości

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(8)

(Podej

cie

Niethammera

)

⇒

⋅

⇒

Zastępując we wzorze na redukcję Bouguera stałą grawitacji G
przez wyrażenie postaci

(dla Ziemi o promieniu R i średniej gęstości

ostatecznie dostaniemy:

−

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(9)

(Podej

cie

Niethammera

)

⋅













−

⋅

−

Sumę poprawek Faye’a i Bouguera można zapisać:

skąd wniosek, że:

gdzie

−

′

′′

−

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(10)

(Podej

cie

Niethammera

)

∑

∫

∆

⇒

−

∆

Hdg

∑

∆

−

′′

−

′′

−

Jeśli różnicę wysokości zapiszemy w postaci:

to poprawkę ortometryczną można zapisać w postaci:

(

)

;

−

∆

−

Poprawka tej postaci nazywana bywa prawdziwą poprawką
ortometryczną (Niethammera). Niestety rzadko stosowana ze
względu na konieczność znajomości rozkładu gęstości i topografii
terenu…

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(11)

(Podej

cie przybli

one Helmerta)

∑

∆

−

W terenach płaskich Helmert zaproponował rezygnację z poprawek
terenowych, co upraszcza wzór na poprawkę ortometryczna do
postaci:

Przyjmując ponadto, że na niewielkim obszarze gęstość skorupy jest
taka sama a więc κ =

= κ

dostaniemy:

Poprawka tej postaci nazywana bywa przybliżoną poprawką
ortometryczną (Helmerta), wysokości przybliżonymi wysokościami
ortometrycznymi Helmerta.

(

)

∑

∆

−

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(12)

(Podej

cie przybli

one)

−

3086

−

≈

Jeszcze inne podejście do wyznaczenia wysokości ortometrycznych
można rozpocząć od wzoru Brunsa:

Zastępując 1 i 3 wyraz odpowiednimi wyrażeniami dla modelu pola
normalnego siły ciężkości dostaniemy w przybliżeniu:

Przyjmując z kolei standardową gęstość skorupy ziemskiej
σ

=2.67 gcm

-3

oraz stałą grawitacji G=6.673x10

-11

-1

-2

mamy:

[

]

0848

2238

3086

−

⋅

−

≈

mgl

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(13)

(Podej

cie przybli

one)

Redukcję przyspieszenia wyrażoną ostatnim wzorem możemy
interpretować jako trzy etapy:

-0.1119 H

usunięcie płyty Bouguera o gęstości σ

+0.3086 H

redukcja wolnopowietrzna na głębokość H

-0.1119 H

przywrócenie płyty Bouguera o gęstości

---------------------------------------------------------------------------------------------------

+0.0848 H

suma etapów

3 oznacza red.

dla

Przeciętną wartość przyspieszenia można wyrazić teraz nastęująco:

(

)

⋅

∫

0424

0848

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(14)

(Podej

cie przybli

one)

Mnożąc ostatnią zależność przez stosunek σ/σ

czyli wracając do

rzeczywistej gęstości skorupy ziemskiej dostaniemy wzór
równorzędny podejściu Helmerta. Wysokość ortometryczna
wyznaczona z ostatniej zależności jest równa:

0424

−

Tak wyznaczoną wysokość nazywa się również wysokością
ortometryczną Helmerta.

W obliczeniach należy różnicę potencjałów wziąć w g.p.u, przyspieszenie siły
ciężkości w Gal i wysokość w km.

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(15)

(Dok

adno

ść

wyznaczenia wysoko

ci)

−

⇒

]

[

]

[

]

[

mGal

≈

Pomijając błędy pomiarowe

(wspólne dla wszystkich systemów wysokości)

na dokładność wyznaczenia wysokości ortometrycznych ma wpływ
głównie błąd wyznaczenie gęstości powierzchniowych warstw
skorupy ziemskiej. Różniczkując wzór opisujący wysokość
ortometryczną mamy:

Zaniedbując znak oraz przyjmując g≈1000 Gal możemy zapisać:

Co oznacza, że dla H=1km błąd wyznaczenia wysokości w [mm]
wynosi tyle ile błąd wyznaczenia wartości przeciętnej przyspieszenia
w [mGal].

]

[

]

[

mGal

≈

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(16)

(Dok

adno

ść

wyznaczenia wysoko

ci)

⋅













−

δγ

]

[

]

[

−

⋅

≈

⇒

⋅

mGal

dla

δσ

Redukcję P-P można zapisać

(pomijając poprawki topograficzne)

postaci:

Różniczkując względem gęstości dostaniemy:

Z ostatniej zależności wynika:

mGal

Dla

mGal

Dla

max

⇒

δσ

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(17)

(Uwagi ko

cowe)

Wysokości ortometryczne mają jasną interpretację geometryczną.
Wyrażają one odległości punktu na fizycznej powierzchni Ziemi od
geoidy mierzoną wzdłuż linii pionu.

Punkty leżące na tej samej powierzchni ekwipotencjalnej mają zatem
różne wysokości ortometryczne.

Wysokości i poprawki ortometryczne wyznaczane są z dokładnością
zależną od dokładności wyznaczenia przeciętnej wartości
przyspieszenia siły ciężkości, która to dokładność zależy głównie od
precyzji określenia gęstości wierzchnich warstw skorupy ziemskiej i
topografii terenu.

Wysokości ortometryczne dobrze nadają się do rozwiązywania
zagadnień związanych z niwelacją satelitarną (wyznaczaniem geoidy).

Janusz Walo

Wysoko

ci normalne

(1)

(Poj

cia wst

pne)

Mołodeński w 1960r. opublikował nowe
podejście do wyznaczenia figury Ziemi,
wolne od założeń co do rozkładu gęstości…

Telluroida

(pojęcie wprowadzone przez

Hirvonena)

to pewien obraz

(przybliżenie)

fizycznej powierzchni Ziemi, gdzie dla
dwóch punktów na linii pionu pola
normalnego

(lub normalnej)

potencjał

normalny w punkcie Q jest taki sam
jak potencjał rzeczywisty w punkcie P
na f.p.Z. ( U

Wartość potencjału na telluroidzie
zmienia się podobnie jak warotść
potencjału rzeczywistego na f.p.Z.

Janusz Walo

Wysoko

ci normalne

(2)

(Poj

cia wst

pne c.d.)

∫

−

∫

Liczbę geopotencjalną można zapisać w
postaci:

Powyższą zależność można traktować
jako formalną definicję wysokości
normalnej, bowiem można zapisać:

gdzie:

⇒

∫

Janusz Walo

Wysoko

ci normalne

(3)

(Podstawowe zale

ci)

(

)

























−

sin

Wartość przeciętną przyspieszenia normalnego wzdłuż wysokości
normalnej można zapisać:

Wysokość normalna wyrazić teraz można:

a po wstawieniu w mianowniku wartości przyspieszenia
normalnego i rozwinięciu według potęg C/γγγγ

dostaniemy

(

)

























−

sin

Dokładnie wysokość
normalną można
wyznaczyć iteracyjnie
przyjmując w pierwszym
kroku, że

≈ Σ∆h

Janusz Walo

Wysoko

ci normalne

(4)

(Podstawowe zale

ci c.d.)

(

)

∫

−

∆

∑

∆

W większości przypadków można stosować uproszczone podejście
do wyznaczenia wysokości normalnych, w którym różnicę
wysokości zapisać można:

Zapisując różnicę jako sumę pomierzonych różnic wysokości
i poprawki normalnej dostaniemy:

przy czym:

(

)

(

)

∑

∆

−

Janusz Walo

Wysoko

ci normalne

(5)

(Podstawowe zale

ci c.d.)

1543

−

(

)

Wartość przyspieszenia γ

można obliczyć biorąc przeciętną

wartość gradientu przyspieszenia normalnego (0.3086 mGal/m) z
zależności:

przy czym:

oraz dla obliczenia przyspieszenia normalnego bierzemy
szerokość średnią:

(

)

Janusz Walo

Wysoko

ci normalne

(6)

(Uwagi ko

cowe)

Wysokości normalne nie mają jasnej interpretacji geometrycznej.
Wyrażają one co prawda odległości pomiędzy geoidą i telluroidą lub
quasigeoidą i punktem na fizycznej powierzchni Ziemi, ale zarówno
qusigeoida jak i telluroida to powierzchnie ‘wtórne’ w stosunku do
wysokości normalnych

(nie można ich zdefiniować bez znajomości wysokości

normalnych!!!)

Quasigeoida nie jest powierzchnią ekwipotencjalną potencjału
normalnego, a więc nie można jej traktować jako powierzchni
odniesienia wysokości normalnych w takim samym sensie jak traktuje
się geoidę dla wysokości ortometrycznych! Ponadto quasigeoida jest
powierzchnią nieciągłą

(teoretycznie może leżeć na „dwóch poziomach” dla

tych samych współrzędnych np. w przypadku urwiska; taka sytuacja w
przypadku geoidy nigdy nie może mieć miejsca!!!).

Wysokości i poprawki normalne wyznacza się bez jakichkolwiek założeń
co do rozkładu gęstości warstw przypowierzchniowych skorupy
ziemskiej.

Janusz Walo

Wysoko

ci normalne

(7)

(Uwagi ko

cowe c.d.)

Punkty leżące na tej samej powierzchni ekwipotencjalnej mają różne
wysokości normalne.

Wysokości normalne nadają się do rozwiązywania zagadnień
związanych z wyznaczaniem figury Ziemi wg koncepcji Mołodeńskiego.

Na terenach nizinnych i płaskich różnice wysokości normalnych i
ortometrycznych są niewielkie

(w Polsce wahają się od 0cm na północy do

kilku centymetrów w Tatrach).

System wysokości normalnych jest obowiązującym systemem
wysokości w Polsce!

Janusz Walo

Wysoko

–

wzajemne relacje

(Zamiana wysoko

ci pomi

dzy systemami)

−

⇒

Wysokości dynamiczne, ortometryczne i normalne wyrażają
zależności:

Pisząc różnicę pomiędzy dowolnymi dwoma wysokościami
dostaniemy:

−

etc.

Wartość bliska anomalii
grawimetrycznej (tu w połowie
wysokości). Dla anomalii
100mGal daje około 1cm
różnicy H

-H

na każde 100m

wysokości !!

Janusz Walo

Poprawka ortometryczna

(1)

(

…

obliczona za pomoc

poprawki dynamicznej)

∆

Ciekawe podejście do wyznaczenia poprawek ortometrycznych za pomocą
poprawek dynamicznych podał w 1955r. Ledestreger. Zakładając, że
możliwe by było wykonanie niwelacji wzdłuż linii pionu pomiędzy punktami
AA (podobnie BB), dostaniemy zależności opisujące wysokości dynamiczne
postaci:

Janusz Walo

Poprawka ortometryczna

(2)

(

…

obliczona za pomoc

poprawki dynamicznej)

−

(

) (

)

−

∆

−

∆

−

∆

Hipotetyczne wyniki pomiaru różnic wysokości ∆h i ∆h wzdłuż linii
pionu, to po prostu wysokości ortometryczne H

i H

punktów A i B,

a więc można zapisać:

Przekształcając wzór na różnicę wysokości ortometrycznych
pomiędzy punktami A i B

(dodając i odejmując do prawej strony różnicę

wysokości dynamicznych)

dostaniemy:

Wiedząc zaś że:

∆

Janusz Walo

Poprawka ortometryczna

(3)

(

…

obliczona za pomoc

poprawki dynamicznej)

−

∫

−

∫

Otrzymamy związek poprawki ortometrycznej i dynamicznej podany
przez Ledestregera:

Z definicji wysokości poprawek dynamicznych można wyrazy po
prawej stronie zapisać w postaci:

∑

∫

∆

−

Janusz Walo

Poprawka ortometryczna

(4)

(

…

obliczona za pomoc

poprawki dynamicznej)

−

∆

−

∑

Po podstawieniu ostatnich zależności otrzymamy:

Łatwo zauważyć, że wzór można stosować również dla innej
wartości niż γ

i np. dla przeciętnej wartości przyspieszenia

normalnego dostaniemy:

−

∆

−

∑

W obu przypadkach potrzebna nam jest jednak przeciętna wartość
przyspieszenia w punktach A i B!

Janusz Walo

Poprawka normalna

(

…

obliczona za pomoc

poprawki dynamicznej)

Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla wysokości i
poprawek normalnych, które prowadzi ostatecznie do zależności
poprawki normalnej od poprawki dynamicznej postaci (???):

−

∆

−

∑

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
GW Redukcje graw (sem IV) id 1 Nieznany
GW Zjawiska plywowe (sem IV) id Nieznany
GW Pole normalne scZ (sem IV) i Nieznany
GW Figura Zeimi (sem IV) id 197 Nieznany
3 GW Przeniesienie wsp (sem II Nieznany (2)
GW EUVS (sem IV) id 197896 Nieznany
Jaka norma jest podstawą certyfikacji systemu zarządzania jakością, ZiIP, sem IV, ZJiB
2 GW Geometria elipsoidy (sem Nieznany
5 GW Transformacje (sem III) i Nieznany
Prawo finansowe Systematyka prawa finansoweo wyklad 28.02.0, administracja, II ROK, III Semestr, ro
część II systemy i struktury społeczne sem IV, systemy i struktury
Mała chirurgia II Sem IV MOD
1 Budownictwo ogólne sem IV
Systemy wysokości w niwelacji precyzyjnej
MN energetyka zadania od wykładowcy 09-05-14, STARE, Metody Numeryczne, Część wykładowa Sem IV
MSI sciaga z konspekow, Studia, Studia sem IV, Uczelnia Sem IV, MSI
Ekonomika ochrony srodowiska wyklad 18.04.05, administracja, II ROK, III Semestr, rok II, sem IV, Ek

więcej podobnych podstron