1

Pole normalne

Pole normalne

si

si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

Janusz Walo

Janusz Walo

Janusz Walo

ver

ver

ver

. 1.0 (05.2008)

. 1.0 (05.2008)

. 1.0 (05.2008)

Janusz Walo

Janusz Walo

2

2

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(1)

(1)

(Harmoniczne elipsoidalne

(Harmoniczne elipsoidalne

…

…

I

I

)

)

Do modelowania potencja

Do modelowania potencja

ł

ł

u si

u si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

Ziemi wykorzystuje si

Ziemi wykorzystuje si

ę

ę

wsp

wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dne

dne

elipsoidalne

elipsoidalne

u,

u,

ϑ

ϑ

,

,

λ

λ

. Zwi

. Zwi

ą

ą

zek tych

zek tych

wsp

wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych ze wsp

dnych ze wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnymi

dnymi

prostok

prostok

ą

ą

tnymi

tnymi

x,y,x

x,y,x

jest nast

jest nast

ę

ę

puj

puj

ą

ą

cy:

cy:

przy czym związek dużej półosi a z małą
półosią u i mimośrodem E jest następujący:

ϑ

λ

ϑ

λ

ϑ

cos

sin

sin

cos

sin

2

2

2

2

⋅

=

⋅

+

=

⋅

+

=

u

z

E

u

y

E

u

x

2

2

E

u

a

+

=

2

Janusz Walo

Janusz Walo

3

3

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(2)

(2)

(Harmoniczne elipsoidalne

(Harmoniczne elipsoidalne

…

…

II

II

)

)

Z definicji wsp

Z definicji wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych elipsoidalnych mamy:

dnych elipsoidalnych mamy:

1

2

2

2

2

2

2

=

+

+

+

u

z

E

u

y

x

1

cos

sin

2

2

2

2

2

2

2

=

+

+

ϑ

ϑ

E

z

E

y

x

λ

tan

⋅

= x

y

dla

dla

u=const

u=const

-

-

elipsoida

elipsoida

dla

dla

ϑ

ϑ

=

=

const

const

-

-

hiperboloida

hiperboloida

dla

dla

λ

λ

=const

=const

–

–

p

p

ł

ł

aszczyzna po

aszczyzna po

ł

ł

udnika

udnika

Janusz Walo

Janusz Walo

4

4

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(3)

(3)

(Harmoniczne elipsoidalne

(Harmoniczne elipsoidalne

…

…

III

III

)

)

Transformacja r

Transformacja r

ó

ó

wnania

wnania

Laplace

Laplace

’

’

a

a

ze wsp

ze wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych sferycznych:

dnych sferycznych:

do wsp

do wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych elipsoidalnych prowadzi do r

dnych elipsoidalnych prowadzi do r

ó

ó

wnania postaci:

wnania postaci:

(

)

(

)

0

sin

cos

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

∂

∂

+

+

+

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

+

λ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

V

E

u

E

u

V

ctg

V

u

V

u

u

V

E

u

0

sin

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

λ

θ

θ

θ

θ

V

V

ctg

V

r

V

r

r

V

r

Analogicznie jak w przypadku harmonicznych sferycznych rozdziela

Analogicznie jak w przypadku harmonicznych sferycznych rozdziela

my

my

zmienne podstawiaj

zmienne podstawiaj

ą

ą

c:

c:

(

)

( ) ( ) ( )

λ

ϑ

λ

ϑ

h

g

u

f

u

V

⋅

⋅

=

,

,

3

Janusz Walo

Janusz Walo

5

5

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(4)

(4)

(Harmoniczne elipsoidalne

(Harmoniczne elipsoidalne

…

…

IV

IV

)

)

Por

Por

ó

ó

wnuj

wnuj

ą

ą

c otrzymane po przekszta

c otrzymane po przekszta

ł

ł

ceniach trzy r

ceniach trzy r

ó

ó

wnania r

wnania r

ó

ó

ż

ż

niczkowe

niczkowe

(podobne do tych, kt

(podobne do tych, kt

ó

ó

re mieli

re mieli

ś

ś

my we wsp

my we wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych sferycznych)

dnych sferycznych)

kolejno do

kolejno do

m

m

i

i

n(n+1)

n(n+1)

oraz stosuj

oraz stosuj

ą

ą

c podstawienia:

c podstawienia:

( )

( )

τ

nm

P

u

f

=

ϑ

τ

cos

,

1

,

=

−

=

=

x

i

E

u

i

otrzymujemy dla zmiennej

otrzymujemy dla zmiennej

u

u

rozwi

rozwi

ą

ą

zania szczeg

zania szczeg

ó

ó

lne postaci:

lne postaci:

( )

( )

τ

nm

Q

u

f

=

do

do

łą

łą

czone funkcje

czone funkcje

Legendre

Legendre

’

’

a

a

do

do

łą

łą

czone funkcje

czone funkcje

Legendre

Legendre

’

’

a

a

drugiego rodzaju

drugiego rodzaju

gdzie:

gdzie:

( )

(

)

( )

m

m

m

nm

d

d

Q

τ

τ

τ

τ

2

2

1

−

=

Janusz Walo

Janusz Walo

6

6

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(5)

(5)

(Harmoniczne elipsoidalne

(Harmoniczne elipsoidalne

…

…

V

V

)

)

Dla

Dla

m=0

m=0

(odpowiedniki funkcji strefowych)

(odpowiedniki funkcji strefowych)

funkcje

funkcje

Legendre

Legendre

’

’

a

a

drugiego rodzaju

drugiego rodzaju

s

s

ą

ą

zdefiniowane nast

zdefiniowane nast

ę

ę

puj

puj

ą

ą

co:

co:

( )

(

)

ϑ

ϑ

cos

nm

P

g

=

Dla zmiennych

Dla zmiennych

ϑ

ϑ

i

i

λ

λ

dostaniemy natomiast odpowiednio

dostaniemy natomiast odpowiednio

rozwi

rozwi

ą

ą

zania

zania

szczeg

szczeg

ó

ó

lne postaci:

lne postaci:

( )

( )

λ

λ

λ

λ

m

h

lub

m

h

sin

cos

=

=

( )

( )

( )

( )

( )

∑

=

−

−

⋅

−

−

+

⋅

=

=

n

k

k

n

k

n

n

no

P

P

k

P

Q

Q

1

1

1

1

1

ln

2

1

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

4

Janusz Walo

Janusz Walo

7

7

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(6)

(6)

(Harmoniczne elipsoidalne

(Harmoniczne elipsoidalne

…

…

VI

VI

)

)

Wobec tego iloczyny o postaci:

Wobec tego iloczyny o postaci:

n

r

przedstawiaj

przedstawiaj

ą

ą

powierzchniowe harmoniczne elipsoidalne

powierzchniowe harmoniczne elipsoidalne

, przy czym

, przy czym

ϑ

ϑ

to

to

dope

dope

ł

ł

nienie szeroko

nienie szeroko

ś

ś

ci zredukowanej

ci zredukowanej

(w harmonikach sferycznych

(w harmonikach sferycznych

θ

θ

oznacza

oznacza

ł

ł

o

o

dope

dope

ł

ł

nienie szeroko

nienie szeroko

ś

ś

ci geograficznej).

ci geograficznej).

1

1

+

n

r

(

)

(

)

λ

ϑ

λ

ϑ

m

P

i

m

P

nm

nm

sin

cos

cos

cos

Doda

Doda

ć

ć

trzeba,

trzeba,

ż

ż

e pomi

e pomi

ę

ę

dzy rozwi

dzy rozwi

ą

ą

zaniem sferycznym i elipsoidalnym

zaniem sferycznym i elipsoidalnym

istnieje jeszcze analogia rozwi

istnieje jeszcze analogia rozwi

ą

ą

za

za

ń

ń

szczeg

szczeg

ó

ó

lnych wzgl

lnych wzgl

ę

ę

dem zmiennych

dem zmiennych

r

r

i

i

u

u

,

,

a mianowicie:

a mianowicie:













E

u

i

P

nm













E

u

i

Q

nm

wewn

wewn

ą

ą

trz

trz

na zewn

na zewn

ą

ą

trz

trz

e

lip

so

id

a

e

lip

so

id

a

sf

e

ra

sf

e

ra

Janusz Walo

Janusz Walo

8

8

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(7)

(7)

(Funkcje

(Funkcje

Legendre

Legendre

’

’

a

a

drugiego rodzaju

drugiego rodzaju

…

…

)

)

5

Janusz Walo

Janusz Walo

9

9

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(8)

(8)

(Elipsoida ekwipotencjalna

(Elipsoida ekwipotencjalna

…

…

I

I

)

)

Ś

Ś

cis

cis

ł

ł

e opisanie pola grawitacyjnego Ziemi, z uwagi na jego z

e opisanie pola grawitacyjnego Ziemi, z uwagi na jego z

ł

ł

o

o

ż

ż

ono

ono

ść

ść

, nie

, nie

jest praktycznie mo

jest praktycznie mo

ż

ż

liwe. St

liwe. St

ą

ą

d te

d te

ż

ż

stosuje si

stosuje si

ę

ę

modele pola si

modele pola si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

opisuj

opisuj

ą

ą

ce w pewnym przybli

ce w pewnym przybli

ż

ż

eniu rozk

eniu rozk

ł

ł

ad w przestrzeni potencja

ad w przestrzeni potencja

ł

ł

u pola si

u pola si

ł

ł

y

y

ci

ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci. Szczeg

ci. Szczeg

ó

ó

lne znaczenie w geodezji fizycznej ma model potencja

lne znaczenie w geodezji fizycznej ma model potencja

ł

ł

u w

u w

postaci wyra

postaci wyra

ż

ż

enia opisuj

enia opisuj

ą

ą

cego

cego

potencja

potencja

ł

ł

elipsoidy obrotowej

elipsoidy obrotowej

przy

przy

zachowaniu pewnych warunk

zachowaniu pewnych warunk

ó

ó

w:

w:

1.

1.

Rozmiary elipsoidy

Rozmiary elipsoidy

(

(

a,f

a,f

)

)

dobrane tak, aby powierzchnia elipsoidy

dobrane tak, aby powierzchnia elipsoidy

mo

mo

ż

ż

liwie najlepiej aproksymowa

liwie najlepiej aproksymowa

ł

ł

a geoid

a geoid

ę

ę

globaln

globaln

ą

ą

2.

2.

Masa elipsoidy

Masa elipsoidy

M

M

r

r

ó

ó

wna masie Ziemi

wna masie Ziemi

3.

3.

Pr

Pr

ę

ę

dko

dko

ść

ść

wirowania elipsoidy

wirowania elipsoidy

ω

ω

r

r

ó

ó

wna pr

wna pr

ę

ę

dko

dko

ś

ś

ci k

ci k

ą

ą

towej Ziemi

towej Ziemi

4.

4.

Powierzchnia elipsoidy jest powierzchni

Powierzchnia elipsoidy jest powierzchni

ą

ą

ekwipotencjaln

ekwipotencjaln

ą

ą

potencja

potencja

ł

ł

u

u

si

si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci (z definicji):

ci (z definicji):

U

U

0

0

=W

=W

0

0

=const

=const

Janusz Walo

Janusz Walo

10

10

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(9)

(9)

(Elipsoida ekwipotencjalna

(Elipsoida ekwipotencjalna

…

…

II

II

)

)

Tak zdefiniowan

Tak zdefiniowan

ą

ą

elipsoid

elipsoid

ę

ę

nazywamy

nazywamy

elipsoid

elipsoid

ą

ą

ekwipotencjaln

ekwipotencjaln

ą

ą

lub

lub

elipsoid

elipsoid

ą

ą

poziomow

poziomow

ą

ą

, pole si

, pole si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci reprezentowane przez t

ci reprezentowane przez t

ę

ę

elipsoid

elipsoid

ę

ę

normalnym polem si

normalnym polem si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

.

.

Mo

Mo

ż

ż

na okre

na okre

ś

ś

li

li

ć

ć

jednoznacznie potencja

jednoznacznie potencja

ł

ł

normalny

normalny

U

U

w przestrzeni

w przestrzeni

zewn

zewn

ę

ę

trznej elipsoidy b

trznej elipsoidy b

ę

ę

d

d

ą

ą

cej powierzchni

cej powierzchni

ą

ą

ekwipotencjaln

ekwipotencjaln

ą

ą

U

U

0

0

=const

=const

.

.

Rozk

Rozk

ł

ł

ad masy wewn

ad masy wewn

ą

ą

trz elipsoidy nie musi by

trz elipsoidy nie musi by

ć

ć

znany byleby by

znany byleby by

ł

ł

a ta masa

a ta masa

obj

obj

ę

ę

ta jedn

ta jedn

ą

ą

znan

znan

ą

ą

powierzchni

powierzchni

ą

ą

ekwipotencjaln

ekwipotencjaln

ą

ą

(

(

tw

tw

.

.

Stokesa

Stokesa

).

).

Elipsoida ekwipotencjalna zosta

Elipsoida ekwipotencjalna zosta

ł

ł

a zaproponowana przez

a zaproponowana przez

Somiglian

Somiglian

ę

ę

w 1930

w 1930

roku

roku

ta sama powierzchnia odniesienia dla pomiar

ta sama powierzchnia odniesienia dla pomiar

ó

ó

w geodezyjnych i

w geodezyjnych i

grawimetrycznych

grawimetrycznych

; przedtem a czasami i dzisiaj u

; przedtem a czasami i dzisiaj u

ż

ż

ywana by

ywana by

ł

ł

a

a

sferoida

sferoida

normalna

normalna

.

.

6

Janusz Walo

Janusz Walo

11

11

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(10)

(10)

(Elipsoida ekwipotencjalna

(Elipsoida ekwipotencjalna

…

…

III

III

)

)

Potencja

Potencja

ł

ł

od

od

ś

ś

rodkowy (niezale

rodkowy (niezale

ż

ż

ny od d

ny od d

ł

ł

ugo

ugo

ś

ś

ci) we wsp

ci) we wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych

dnych

elipsoidalnych mo

elipsoidalnych mo

ż

ż

na zapisa

na zapisa

ć

ć

:

:

widz

widz

ą

ą

c ponadto,

c ponadto,

ż

ż

e na powierzchni elipsoidy:

e na powierzchni elipsoidy:

2

2

2

a

E

b

b

u

=

+

⇒

=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ω

ϑ

cos

1

3

2

sin

2

1

cos

2

3

cos

sin

2

1

,

'

'

2

2

2

2

2

2

2

2

P

P

E

u

u

V

V

−

=

⇒

−

=

⋅

+

=

=

Ostatecznie dla potencja

Ostatecznie dla potencja

ł

ł

u od

u od

ś

ś

rodkowego dostaniemy zale

rodkowego dostaniemy zale

ż

ż

no

no

ść

ść

:

:

(

)

(

)

(

)

ϑ

ω

ϑ

cos

1

3

1

,

'

2

2

2

P

a

b

V

−

=

Janusz Walo

Janusz Walo

12

12

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(11)

(11)

(Elipsoida ekwipotencjalna

(Elipsoida ekwipotencjalna

…

…

IV

IV

)

)

Potencja

Potencja

ł

ł

grawitacyjny (niezale

grawitacyjny (niezale

ż

ż

ny od d

ny od d

ł

ł

ugo

ugo

ś

ś

ci) we wsp

ci) we wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych

dnych

elipsoidalnych mo

elipsoidalnych mo

ż

ż

na zapisa

na zapisa

ć

ć

:

:

na powierzchni elipsoidy wyrazy zale

na powierzchni elipsoidy wyrazy zale

ż

ż

ne od odleg

ne od odleg

ł

ł

o

o

ś

ś

ci radialnej

ci radialnej

u

u

wynosz

wynosz

ą

ą

:

:

(

)

(

)

1

,

,

,

,

=

⇒

=

























=

b

E

b

q

b

u

dla

E

b

i

Q

E

u

i

Q

b

E

u

q

n

nm

nm

n

(

)

(

)

(

)

∑

∞

=

⋅

=

0

cos

,

,

,

n

n

n

n

P

A

b

E

u

q

u

V

ϑ

ϑ

Ostatecznie dla potencja

Ostatecznie dla potencja

ł

ł

u grawitacyjnego dostaniemy:

u grawitacyjnego dostaniemy:

(

(





)

)

(

)

(

)

∑

∞

=

=

0

cos

,

n

n

n

P

A

b

V

ϑ

ϑ

7

Janusz Walo

Janusz Walo

13

13

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(12)

(12)

(Elipsoida ekwipotencjalna

(Elipsoida ekwipotencjalna

…

…

V

V

)

)

Potencja

Potencja

ł

ł

si

si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci na powierzchni elipsoidy wynosi zatem:

ci na powierzchni elipsoidy wynosi zatem:

Podstawiaj

Podstawiaj

ą

ą

c za

c za

V

V

i

i

V

V

’

’

wprowadzone wcze

wprowadzone wcze

ś

ś

niej wyra

niej wyra

ż

ż

enia dostaniemy:

enia dostaniemy:

(

)

(

)

ϑ

ω

ω

ϑ

cos

3

1

3

1

cos

2

2

2

2

2

0

0

P

a

a

U

P

A

n

n

n

+

−

=

∑

∞

=

(

)

(

)

(

)

ϑ

ϑ

ϑ

,

'

,

,

0

0

b

V

b

V

U

W

b

W

+

=

=

=

R

R

ó

ó

wnanie powy

wnanie powy

ż

ż

sze b

sze b

ę

ę

dzie spe

dzie spe

ł

ł

nione, gdy po obu stronach wsp

nione, gdy po obu stronach wsp

ó

ó

ł

ł

czynniki

czynniki

przy odpowiednich

przy odpowiednich

P

P

n

n

b

b

ę

ę

d

d

ą

ą

sobie r

sobie r

ó

ó

wne tzn.:

wne tzn.:

0

,

3

,

0

,

3

3

2

2

2

1

2

2

0

0

=

=

=

−

=

A

a

A

A

a

U

A

ω

ω

Janusz Walo

Janusz Walo

14

14

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(13)

(13)

(Elipsoida ekwipotencjalna

(Elipsoida ekwipotencjalna

…

…

VI

VI

)

)

Po wstawieniu wyznaczonych wsp

Po wstawieniu wyznaczonych wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik

czynnik

ó

ó

w do wzoru

w do wzoru

(

(





)

)

dostaniemy:

dostaniemy:

Wz

Wz

ó

ó

r ten stanowi rozwi

r ten stanowi rozwi

ą

ą

zanie

zanie

problemu

problemu

Dirichleta

Dirichleta

dla elipsoidy

dla elipsoidy

ekwipotencjalnej

ekwipotencjalnej

(pierwsze zagadnienie brzegowe teorii potencja

(pierwsze zagadnienie brzegowe teorii potencja

ł

ł

u)

u)

. Bior

. Bior

ą

ą

c teraz:

c teraz:















−













+

=













−

=













E

u

u

E

E

u

i

E

u

i

Q

u

E

i

E

u

i

Q

3

arctan

3

1

2

arctan

2

2

2

0

(

)

(

)

(

)

(

)

ϑ

ω

ω

ϑ

cos

3

,

,

3

,

,

,

2

2

2

2

2

2

0

0

P

a

b

E

u

q

a

U

b

E

u

q

u

V

⋅

+













−

⋅

=

oraz r

oraz r

ó

ó

wnanie biegunowe elipsoidy:

wnanie biegunowe elipsoidy:

ϑ

2

2

2

2

sin

E

u

r

+

=

8

Janusz Walo

Janusz Walo

15

15

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(14)

(14)

(Elipsoida ekwipotencjalna

(Elipsoida ekwipotencjalna

…

…

VII

VII

)

)

Potencja

Potencja

ł

ł

grawitacyjny mo

grawitacyjny mo

ż

ż

na przekszta

na przekszta

ł

ł

ci

ci

ć

ć

do postaci:

do postaci:

ponadto pami

ponadto pami

ę

ę

taj

taj

ą

ą

c,

c,

ż

ż

e mamy te

e mamy te

ż

ż

:

:

( )

3

0

−

+

=

r

r

M

G

V

(

)

( )

3

0

arctan

3

,

1

2

2

0

−

+













−

=

−

r

b

E

r

E

a

U

u

V

ω

ϑ

Z dw

Z dw

ó

ó

ch ostatnich r

ch ostatnich r

ó

ó

wna

wna

ń

ń

mo

mo

ż

ż

na wyznaczy

na wyznaczy

ć

ć

potencja

potencja

ł

ł

normalny

normalny

U

U

0

0

, a

, a

mianowicie:

mianowicie:

3

arctan

2

2

0

a

b

E

E

M

G

U

ω

+

=

Janusz Walo

Janusz Walo

16

16

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(15)

(15)

(Elipsoida ekwipotencjalna

(Elipsoida ekwipotencjalna

…

…

VIII

VIII

)

)

Bior

Bior

ą

ą

c szeroko

c szeroko

ść

ść

zredukowan

zredukowan

ą

ą

:

:

i uwzgl

i uwzgl

ę

ę

dniaj

dniaj

ą

ą

c zale

c zale

ż

ż

no

no

ś

ś

ci na

ci na

V

V

,

,

V

V

’

’

i

i

U

U

0

0

dostaniemy ostateczny (dok

dostaniemy ostateczny (dok

ł

ł

adny)

adny)

wz

wz

ó

ó

r na

r na

potencja

potencja

ł

ł

normalny si

normalny si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

:

:

(

)

(

)

β

ω

β

ω

β

2

2

2

2

2

2

2

cos

2

1

3

1

sin

2

1

arctan

,

⋅

+

+













−

+

=

E

u

p

p

a

u

E

r

M

G

u

U

b

u

(

)

(

)

2

1

sin

2

3

cos

cos

,

90

2

2

2

−

=

=

−

=

β

β

ϑ

ϑ

β

P

P

o

przy czym:

przy czym:















−













+

=















−













+

=

E

b

b

E

E

b

p

E

u

u

E

E

u

p

b

u

3

arctan

3

1

2

1

3

arctan

3

1

2

1

2

2

2

2

(

(





)

)

9

Janusz Walo

Janusz Walo

17

17

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(16)

(16)

(Potencja

(Potencja

ł

ł

normalny w postaci szeregu harmonicznych

normalny w postaci szeregu harmonicznych

…

…

I

I

)

)

Potencja

Potencja

ł

ł

normalny

normalny

rzadko jest opisywany wzorem

rzadko jest opisywany wzorem

(

(





)

)

, cz

, cz

ęś

ęś

ciej w postaci

ciej w postaci

szeregu harmonicznych sferycznych, kt

szeregu harmonicznych sferycznych, kt

ó

ó

ry opisuje mas

ry opisuje mas

ę

ę

o symetrii wzgl

o symetrii wzgl

ę

ę

dem

dem

r

r

ó

ó

wnika i osi obrotu

wnika i osi obrotu

(w odniesieniu do potencja

(w odniesieniu do potencja

ł

ł

u grawitacyjnego; por. wyk

u grawitacyjnego; por. wyk

ł

ł

ad

ad

wcze

wcze

ś

ś

niejszy)

niejszy)

,

,

tzn

tzn

:

:

Ograniczaj

Ograniczaj

ą

ą

c wz

c wz

ó

ó

r

r

(

(





)

)

odnosz

odnosz

ą

ą

cy si

cy si

ę

ę

do potencja

do potencja

ł

ł

u elipsoidy do cz

u elipsoidy do cz

ęś

ęś

ci

ci

odnosz

odnosz

ą

ą

cej si

cej si

ę

ę

do potencja

do potencja

ł

ł

u grawitacyjnego dostaniemy:

u grawitacyjnego dostaniemy:

(

)

(

)

(

)

(

)

1

sin

3

2

1

sin

,

sin

3

1

arctan

,

2

2

2

2

2

−

=

+

=

β

β

β

ω

β

P

bo

P

p

p

a

u

E

r

M

G

u

U

b

u

(

)















⋅













−

=

∑

∞

=1

2

2

2

cos

1

n

n

n

n

P

J

r

a

r

M

G

V

θ

(

(





)

)

(

(





)

)

Janusz Walo

Janusz Walo

18

18

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(17)

(17)

(Potencja

(Potencja

ł

ł

normalny w postaci szeregu harmonicznych

normalny w postaci szeregu harmonicznych

…

…

II

II

)

)

Ze wzgl

Ze wzgl

ę

ę

du na skomplikowan

du na skomplikowan

ą

ą

zamian

zamian

ę

ę

we wzorze

we wzorze

(

(





)

)

wsp

wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych

dnych

elipsoidalnych na sferyczne, korzystamy z rozwini

elipsoidalnych na sferyczne, korzystamy z rozwini

ę

ę

cia w szeregi wed

cia w szeregi wed

ł

ł

ug

ug

pot

pot

ę

ę

g

g

arctan

arctan

(E

(E

/u)

/u)

i

i

p

p

u

u

, a nast

, a nast

ę

ę

pnie por

pnie por

ó

ó

wnuj

wnuj

ą

ą

c przekszta

c przekszta

ł

ł

cony wz

cony wz

ó

ó

r

r

(

(





)

)

z

z

(

(





)

)

wyznaczamy

wyznaczamy

J

J

2n

2n

przy

przy

u=r

u=r

(dla

(dla

β

β

=0

=0

̊

̊

,

,

θ

θ

=90

=90

̊

̊

, na osi obrotu elipsoidy)

, na osi obrotu elipsoidy)

:

:

przy czym:

przy czym:

2

2

Ma

A

C

J

oraz

a

E

e

−

=

=

( )

(

)(

)













+

−

+

+

−

=

+

2

2

2

1

2

5

1

3

2

1

2

3

1

e

J

n

n

n

n

e

J

n

n

n

J

J

2

2

nazywany jest

nazywany jest

dynamicznym wsp

dynamicznym wsp

ó

ó

ł

ł

czynnikiem kszta

czynnikiem kszta

ł

ł

tu

tu

, bowiem

, bowiem

C

C

-

-

A

A

to

to

r

r

ó

ó

ż

ż

nica moment

nica moment

ó

ó

w bezw

w bezw

ł

ł

adno

adno

ś

ś

ci odpowiednio wzgl

ci odpowiednio wzgl

ę

ę

dem osi b i a elipsoidy

dem osi b i a elipsoidy

zawieraj

zawieraj

ą

ą

cej mas

cej mas

ę

ę

M

M

.

.

10

Janusz Walo

Janusz Walo

19

19

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(18)

(18)

(Potencja

(Potencja

ł

ł

normalny w postaci szeregu harmonicznych

normalny w postaci szeregu harmonicznych

…

…

III

III

)

)

Ostatecznie wz

Ostatecznie wz

ó

ó

r na

r na

potencja

potencja

ł

ł

normalny si

normalny si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

(grawitacyjny +

(grawitacyjny +

od

od

ś

ś

rodkowy)

rodkowy)

rozumiany jako potencja

rozumiany jako potencja

ł

ł

wytwarzany przez obracaj

wytwarzany przez obracaj

ą

ą

c

c

ą

ą

si

si

ę

ę

z

z

pr

pr

ę

ę

dko

dko

ś

ś

ci

ci

ą

ą

ω

ω

elipsoid

elipsoid

ę

ę

ekwipotencjaln

ekwipotencjaln

ą

ą

o masie

o masie

M

M

, wielko

, wielko

ś

ś

ci

ci

a

a

i kszta

i kszta

ł

ł

cie

cie

e

e

wyra

wyra

ż

ż

ony poprzez szereg harmonicznych sferycznych (strefowych,

ony poprzez szereg harmonicznych sferycznych (strefowych,

parzystych) przyjmie posta

parzystych) przyjmie posta

ć

ć

:

:

(

)

(

)

(

)

β

ω

β

β

2

2

2

2

1

2

2

2

cos

2

1

sin

1

,

⋅

+

+















⋅













−

=

∑

∞

=

E

u

P

J

r

a

r

M

G

u

U

n

n

n

n

( )

(

)(

)













+

−

+

+

−

=

+

2

2

2

1

2

5

1

3

2

1

2

3

1

e

J

n

n

n

n

e

J

n

n

n

gdzie:

gdzie:

Janusz Walo

Janusz Walo

20

20

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(19)

(19)

(Przyspieszenie normalne si

(Przyspieszenie normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

…

…

I

I

)

)

Og

Og

ó

ó

lnie przyspieszenie normalne okre

lnie przyspieszenie normalne okre

ś

ś

la wektor:

la wektor:

gdzie

gdzie

w

w

wynika z zapisu elementu liniowego

wynika z zapisu elementu liniowego

ds

ds

we wsp

we wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych

dnych

elipsoidalnych:

elipsoidalnych:

2

2

2

2

2

2

sin

E

u

E

u

w

+

+

=

β

T

u

U

w

U

w

u

U

w

U

grad













∂

∂

∂

∂

∂

∂

=





















=

=

=

λ

β

γ

γ

γ

γ

λ

β

1

,

1

,

1

r

γ

11

Janusz Walo

Janusz Walo

21

21

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(20)

(20)

(Przyspieszenie normalne si

(Przyspieszenie normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

…

…

II

II

)

)

Z uwagi na symetri

Z uwagi na symetri

ę

ę

potencja

potencja

ł

ł

u normalnego

u normalnego

U

U

wzgl

wzgl

ę

ę

dem osi obrotu:

dem osi obrotu:

ponadto na powierzchni elipsoidy (

ponadto na powierzchni elipsoidy (

U=const

U=const

,

,

u=b

u=b

):

):

0

0

=

=

β

γ

0

=

λ

γ

Przyjmuj

Przyjmuj

ą

ą

c ponadto oznaczenia:

c ponadto oznaczenia:

1

arctan

1

1

3

2

2

2

2

−













−













+

=

+

−

=

′

E

u

E

u

E

u

du

dp

E

E

u

p

u

b

b

E

e

GM

b

a

q

=

′

=

,

2

2

ω

Janusz Walo

Janusz Walo

22

22

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(21)

(21)

(Przyspieszenie normalne si

(Przyspieszenie normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

…

…

III

III

)

)

R

R

ó

ó

ż

ż

niczkuj

niczkuj

ą

ą

c wyra

c wyra

ż

ż

enie

enie

(

(





)

)

wzgl

wzgl

ę

ę

dem zmiennej

dem zmiennej

u

u

dostaniemy na

dostaniemy na

powierzchni ekwipotencjalnej:

powierzchni ekwipotencjalnej:

przy czym na powierzchni elipsoidy

przy czym na powierzchni elipsoidy

w

w

0

0

wynosi:

wynosi:

β

β

β

2

2

2

2

2

2

2

0

co

sin

1

sin

1

s

b

a

a

E

b

a

w

+

=

+

=



























′

′

−

−

+













′

′

+

=

β

β

γ

2

2

0

2

cos

6

1

sin

3

1

b

b

b

b

p

p

e

q

q

p

p

e

q

w

a

GM

(

(





)

)

Na r

Na r

ó

ó

wniku (

wniku (

β

β

=0

=0

̊

̊

, w

, w

0,0

0,0

̊

̊

=b/a

=b/a

):

):













′

′

−

−

=

b

b

a

p

p

e

q

q

ab

GM

6

1

γ













′

′

+

=

b

b

b

p

p

e

q

a

GM

3

1

2

γ

na biegunie (

na biegunie (

β

β

=90

=90

̊

̊

, w

, w

0,90

0,90

̊

̊

=1

=1

):

):

12

Janusz Walo

Janusz Walo

23

23

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(22)

(22)

(Przyspieszenie normalne si

(Przyspieszenie normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

…

…

IV

IV

)

)

Podstawiaj

Podstawiaj

ą

ą

c do

c do

(

(





)

)

otrzymane warto

otrzymane warto

ś

ś

ci

ci

γ

γ

dla r

dla r

ó

ó

wnika i bieguna

wnika i bieguna

dostaniemy:

dostaniemy:

(

(





)

)

β

β

β

γ

β

γ

γ

2

2

2

2

2

2

cos

sin

cos

sin

b

a

b

a

a

b

+

+

=

B

b

B

a

B

b

B

a

b

a

2

2

2

2

2

2

sin

cos

sin

cos

+

+

=

γ

γ

γ

w funkcji szeroko

w funkcji szeroko

ś

ś

ci zredukowanej

ci zredukowanej

β

β

w funkcji szeroko

w funkcji szeroko

ś

ś

ci geodezyjnej

ci geodezyjnej

B

B

B

a

b

tan

tan

=

β

Wz

Wz

ó

ó

r w tej postaci (

r w tej postaci (

ś

ś

cis

cis

ł

ł

y!)

y!)

wyra

wyra

ż

ż

a

a

przyspieszenie normalne na elipsoidzie

przyspieszenie normalne na elipsoidzie

ekwipotencjalnej

ekwipotencjalnej

i zosta

i zosta

ł

ł

podany przez

podany przez

Somiglian

Somiglian

ę

ę

w 1926 roku.

w 1926 roku.

Powszechnie stosuje si

Powszechnie stosuje si

ę

ę

jednak nieco przekszta

jednak nieco przekszta

ł

ł

con

con

ą

ą

form

form

ę

ę

tego wzoru

tego wzoru

…

…

Janusz Walo

Janusz Walo

24

24

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(23)

(23)

(Przyspieszenie normalne si

(Przyspieszenie normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

…

…

V

V

)

)

Przyjmuj

Przyjmuj

ą

ą

c oznaczenie:

c oznaczenie:

dostaniemy:

dostaniemy:

B

e

B

b

B

a

2

2

2

2

2

2

sin

1

sin

cos

−

=

+

1

−

=

a

b

a

b

k

γ

γ

Sp

Sp

ł

ł

aszczeniem grawimetrycznym

aszczeniem grawimetrycznym

b

b

ę

ę

dziemy nazywa

dziemy nazywa

ć

ć

wyra

wyra

ż

ż

enie

enie

(poprzez

(poprzez

analogi

analogi

ę

ę

do sp

do sp

ł

ł

aszczenia geometrycznego)

aszczenia geometrycznego)

:

:

B

e

B

k

a

2

2

2

sin

1

sin

1

−

+

=

γ

γ













−

=

−

=

a

b

a

f

f

a

a

b

,

*

γ

γ

γ

oraz zwi

oraz zwi

ą

ą

zek

zek

(por. geometrii elipsoidy)

(por. geometrii elipsoidy)

:

:

(

(





)

)

13

Janusz Walo

Janusz Walo

25

25

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(24)

(24)

(Przyspieszenie normalne si

(Przyspieszenie normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

…

…

VI

VI

)

)

Przyjmuj

Przyjmuj

ą

ą

c teraz,

c teraz,

ż

ż

e w wyra

e w wyra

ż

ż

eniach na

eniach na

p

p

’

’

b

b

i

i

p

p

b

b

:

:

po prostych przekszta

po prostych przekszta

ł

ł

ceniach prowadzi do

ceniach prowadzi do

ś

ś

cis

cis

ł

ł

ej postaci

ej postaci

twierdzenia

twierdzenia

Calirauta

Calirauta

(podane w formie przybli

(podane w formie przybli

ż

ż

onej w 1738 roku!)

onej w 1738 roku!)

:

:













′

′

+

=

+

b

b

b

p

p

e

b

f

f

2

1

2

*

γ

ω

Przyspieszenie normalne na biegunie

Przyspieszenie normalne na biegunie

γ

γ

b

b

podzielone przez przyspieszenie

podzielone przez przyspieszenie

normalne na r

normalne na r

ó

ó

wniku

wniku

γ

γ

a

a

:

:













′

′

−

−

=

b

b

a

p

p

e

q

q

ab

GM

6

1

γ













′

′

+

=

b

b

b

p

p

e

q

a

GM

3

1

2

γ













′

+

′

−

=

′

+

′

−

′

=

′

=

′

4

2

5

3

8

3

2

1

1

5

1

3

1

arctan

,

e

e

a

b

e

e

e

e

b

E

e

Janusz Walo

Janusz Walo

26

26

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(25)

(25)

(Przyspieszenie normalne si

(Przyspieszenie normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

…

…

VII

VII

)

)

Twierdzenie

Twierdzenie

Clairauta

Clairauta

z dok

z dok

ł

ł

adno

adno

ś

ś

ci

ci

ą

ą

wyraz

wyraz

ó

ó

w

w

[e

[e

’

’

4

4

]

]

mamy:

mamy:

za

za

ś

ś

w oryginalnej formie

w oryginalnej formie

(uproszczonej)

(uproszczonej)

podanej przez

podanej przez

Clairauta

Clairauta

:

:

Przez

Przez

q

q

’

’

Clairaut

Clairaut

rozumia

rozumia

ł

ł

stosunek

stosunek

si

si

ł

ł

y od

y od

ś

ś

rodkowej na r

rodkowej na r

ó

ó

wniku

wniku

do

do

si

si

ł

ł

y

y

przyci

przyci

ą

ą

gania na r

gania na r

ó

ó

wniku

wniku

. W rzeczywisto

. W rzeczywisto

ś

ś

ci stosunek tych si

ci stosunek tych si

ł

ł

jest r

jest r

ó

ó

wny:

wny:

GM

b

a

q

gdzie

q

q

a

a

2

2

2

2

,

2

3

ω

γ

ω

=

+

=

a

a

GM

a

q

γ

ω

ω

2

3

2

=

=

′













′

+

=

+

2

2

*

35

9

1

2

5

e

b

f

f

a

γ

ω

q

f

f

′

=

+

2

5

*













′

+

′

−

=

4

2

8

3

2

1

1

e

e

a

b

Twierdzenie

Twierdzenie

Clairauta

Clairauta

pokazuje,

pokazuje,

ż

ż

e mo

e mo

ż

ż

liwe jest wyznaczenie sp

liwe jest wyznaczenie sp

ł

ł

aszczenia

aszczenia

geometrycznego

geometrycznego

f

f

na podstawie wielko

na podstawie wielko

ś

ś

ci czysto dynamicznych

ci czysto dynamicznych

(

(

γ

γ

a

a

,

,

γ

γ

b

b

)

)

oraz masy

oraz masy

(

(

GM

GM

)

)

,

,

rozmiaru

rozmiaru

(a)

(a)

i pr

i pr

ę

ę

dko

dko

ś

ś

ci wirowania Ziemi

ci wirowania Ziemi

(

(

ω

ω

)

)

! Mo

! Mo

ż

ż

na te

na te

ż

ż

wyznaczy

wyznaczy

ć

ć

mas

mas

ę

ę

Ziemi

Ziemi

…

…

14

Janusz Walo

Janusz Walo

27

27

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(26)

(26)

(Robocza posta

(Robocza posta

ć

ć

wzoru na przyspieszenie normalne

wzoru na przyspieszenie normalne

…

…

I

I

)

)

W praktyce stosuje si

W praktyce stosuje si

ę

ę

przybli

przybli

ż

ż

on

on

ą

ą

posta

posta

ć

ć

wzoru

wzoru

(

(





)

)

po podstawieniu:

po podstawieniu:

otrzymamy:

otrzymamy:

W dalszych przekszta

W dalszych przekszta

ł

ł

ceniach zauwa

ceniach zauwa

ż

ż

my,

my,

ż

ż

e mianownik rozwija si

e mianownik rozwija si

ę

ę

w

w

szereg dwumianu, tzn.:

szereg dwumianu, tzn.:

...

8

3

2

1

1

1

1

2

+

+

−

=

−

x

x

x

2

2

*

2

,

1

,

1

f

f

e

f

f

a

b

a

b

−

=

+

=

−

=

γ

γ

(

)

(

)

B

f

f

B

f

f

f

f

a

2

2

2

*

*

sin

2

1

sin

1

−

−

⋅

−

−

+

=

γ

γ

B

B

B

2

sin

4

1

sin

sin

2

2

4

−

=

oraz

oraz

Janusz Walo

Janusz Walo

28

28

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(27)

(27)

(Robocza posta

(Robocza posta

ć

ć

wzoru na przyspieszenie normalne

wzoru na przyspieszenie normalne

…

…

I

I

)

)

Zachowuj

Zachowuj

ą

ą

c wyrazy zawieraj

c wyrazy zawieraj

ą

ą

ce

ce

[f

[f

2

2

]

]

i

i

[f f*]

[f f*]

otrzymamy wz

otrzymamy wz

ó

ó

r przybli

r przybli

ż

ż

ony:

ony:

przy czym:

przy czym:

Dok

Dok

ł

ł

adno

adno

ść

ść

wzoru

wzoru

(

(

)

)

szacuje si

szacuje si

ę

ę

na

na

1

1

µ

µ

ms

ms

-

-

2

2

=0.1mGal

=0.1mGal

.

.













−

+

=

B

f

B

f

a

2

sin

4

1

sin

1

2

4

2

*

γ

γ

f

fq

f

albo

f

f

f

f

2

1

2

5

,

2

1

4

*

4

−

=













+

=

(

(

)

)

15

Janusz Walo

Janusz Walo

29

29

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(28)

(28)

(Robocza posta

(Robocza posta

ć

ć

wzoru na przyspieszenie normalne

wzoru na przyspieszenie normalne

…

…

II

II

)

)

Wzory

Wzory

(

(





)

)

lub

lub

(

(





)

)

mo

mo

ż

ż

na przedstawi

na przedstawi

ć

ć

w postaci rozwini

w postaci rozwini

ę

ę

cia w szereg

cia w szereg

wed

wed

ł

ł

ug pot

ug pot

ę

ę

g

g

e

e

:

:

przy czym

przy czym

(warto

(warto

ś

ś

ci dla elipsoidy GRS

ci dla elipsoidy GRS

’

’

80)

80)

:

:

Dok

Dok

ł

ł

adno

adno

ść

ść

wzoru szacuje si

wzoru szacuje si

ę

ę

na

na

10

10

-

-

3

3

µ

µ

ms

ms

-

-

2= 10

2= 10

-

-

4

4

mGal

mGal

(b

(b

łą

łą

d wzgl

d wzgl

ę

ę

dny na

dny na

poziomie

poziomie

10

10

-

-

10

10

)

)

…

…













+

=

∑

∞

=1

2

2

sin

1

i

i

i

a

B

a

γ

γ

.

7715

326

780

.

9

,

02290

380

694

006

.

0

,

6378137

,

353

851

931

001

.

0

,

0007

000

000

.

0

16

5

128

35

,

1262

000

000

.

0

8

3

16

5

,

2718

023

000

.

0

2

1

8

3

,

0414

279

005

.

0

2

1

2

2

6

8

8

4

6

6

2

4

4

2

2

−

=

=

=

=

=

+

=

=

+

=

=

+

=

=

+

=

ms

e

m

a

k

k

e

e

a

k

e

e

a

k

e

e

a

k

e

a

a

γ

Janusz Walo

Janusz Walo

30

30

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi

ci Ziemi

(29)

(29)

(Robocza posta

(Robocza posta

ć

ć

wzoru na przyspieszenie normalne

wzoru na przyspieszenie normalne

…

…

III

III

)

)

Dynamiczny wsp

Dynamiczny wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik kszta

czynnik kszta

ł

ł

tu

tu

J

J

2

2

mo

mo

ż

ż

na wyrazi

na wyrazi

ć

ć

:

:

a wsp

a wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik

czynnik

J

J

4

4

w postaci:

w postaci:

Po przekszta

Po przekszta

ł

ł

ceniu mo

ceniu mo

ż

ż

na z pierwszego r

na z pierwszego r

ó

ó

wnania wyznaczy

wnania wyznaczy

ć

ć

geometryczne

geometryczne

sp

sp

ł

ł

aszczenie Ziemi

aszczenie Ziemi

f

f

na podstawie znajomo

na podstawie znajomo

ś

ś

ci wsp

ci wsp

ó

ó

ł

ł

czynnika

czynnika

J

J

2

2

i parametru

i parametru

grawitacyjnego

grawitacyjnego

GM

GM

( z obserwacji perturbacji orbit SSZ) oraz zadanej

( z obserwacji perturbacji orbit SSZ) oraz zadanej

warto

warto

ś

ś

ci

ci

ω

ω

i du

i du

ż

ż

ej p

ej p

ó

ó

ł

ł

osi

osi

a

a

.

.













+

−

−

=













′

+

′

−

−

′

=

fq

f

q

f

q

e

e

q

e

J

27

1

2

3

1

27

1

3

1

2

2

2

2

fq

f

q

e

e

J

7

4

5

4

7

2

5

1

2

2

4

4

+

−

=

′

+

′

−

=

2

2

2

2

2

56

3

28

15

8

9

2

1

2

3

q

q

J

J

q

J

f

+

+

+

+

=

16

Janusz Walo

Janusz Walo

31

31

Gradient pionowy si

Gradient pionowy si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

(1)

(1)

(Krzywizna powierzchni ekwipotencjalnej

(Krzywizna powierzchni ekwipotencjalnej

…

…

I

I

)

)

Lokalny astronomiczny uk

Lokalny astronomiczny uk

ł

ł

ad wsp

ad wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych

dnych

to lewoskr

to lewoskr

ę

ę

tny uk

tny uk

ł

ł

ad zaczepiony

ad zaczepiony

w punkcie

w punkcie

P

P

, z osi

, z osi

ą

ą

z

z

pokrywaj

pokrywaj

ą

ą

c

c

ą

ą

si

si

ę

ę

z lini

z lini

ą

ą

pinu i osiami

pinu i osiami

x

x

i

i

y

y

w

w

p

p

ł

ł

aszczy

aszczy

ź

ź

nie horyzontalnej (

nie horyzontalnej (

x

x

na p

na p

ó

ó

ł

ł

noc;

noc;

y

y

na wsch

na wsch

ó

ó

d

d

).

).

Janusz Walo

Janusz Walo

32

32

Gradient pionowy si

Gradient pionowy si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

(2)

(2)

(Krzywizna powierzchni ekwipotencjalnej

(Krzywizna powierzchni ekwipotencjalnej

…

…

II

II

)

)

Rozwini

Rozwini

ę

ę

cie potencja

cie potencja

ł

ł

u

u

W(x,y,z

W(x,y,z

)

)

w szereg Taylora w otoczeniu punktu

w szereg Taylora w otoczeniu punktu

P

P

mo

mo

ż

ż

na zapisa

na zapisa

ć

ć

:

:

Dla punktu P na powierzchni ekwipotencjalnej mamy:

Dla punktu P na powierzchni ekwipotencjalnej mamy:

(

)

...

2

1

2

2

2

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

yz

W

xz

W

xy

W

z

W

y

W

x

W

z

W

y

W

x

W

W

W

yz

xz

xy

zz

yy

xx

z

y

x

P

g

W

W

W

W

W

z

y

x

P

−

=

=

=

=

,

0

,

Uwzgl

Uwzgl

ę

ę

dniaj

dniaj

ą

ą

c powy

c powy

ż

ż

sze i zaniedbuj

sze i zaniedbuj

ą

ą

c wyrazy trzeciego i wy

c wyrazy trzeciego i wy

ż

ż

szych rz

szych rz

ę

ę

d

d

ó

ó

w

w

dostaniemy:

dostaniemy:

(

)

0

...

2

1

2

2

=

+

+

+

+

−

xy

W

y

W

x

W

gz

xy

yy

xx

17

Janusz Walo

Janusz Walo

33

33

Gradient pionowy si

Gradient pionowy si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

(3)

(3)

(Krzywizna powierzchni ekwipotencjalnej

(Krzywizna powierzchni ekwipotencjalnej

…

…

III

III

)

)

Po wprowadzeniu wsp

Po wprowadzeniu wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych biegunowych oraz zale

dnych biegunowych oraz zale

ż

ż

no

no

ś

ś

ci na krzywizn

ci na krzywizn

ę

ę

przekroju normalnego, tzn.:

przekroju normalnego, tzn.:

dostaniemy:

dostaniemy:

2

2

1

,

sin

,

cos

s

z

R

A

s

y

A

s

x

A

−

=

=

=

g

W

R

i

g

W

R

yy

y

xx

x

−

=

−

=

1

1

Przekroje normalne o azymutach

Przekroje normalne o azymutach

A=0

A=0

̊

̊

i

i

A=90

A=90

̊

̊

maj

maj

ą

ą

krzywizny:

krzywizny:

(

)

A

W

A

A

W

A

W

g

R

yy

xy

xx

A

2

2

sin

cos

sin

2

cos

1

1

+

+

−

=

a

a

krzywizna

krzywizna

ś

ś

rednia

rednia

wyra

wyra

ż

ż

ona

ona

za ich pomoc

za ich pomoc

ą

ą

wynosi:

wynosi:

(

)

yy

xx

y

x

W

W

g

R

R

H

+

−

=















+

=

2

1

1

1

2

1

*

(

(

)

)

(

(





)

)

Janusz Walo

Janusz Walo

34

34

Gradient pionowy si

Gradient pionowy si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

(4)

(4)

(Krzywizna powierzchni ekwipotencjalnej

(Krzywizna powierzchni ekwipotencjalnej

…

…

IV

IV

)

)

W celu znalezienia ekstremum wyra

W celu znalezienia ekstremum wyra

ż

ż

enia

enia

(

(

)

)

wzgl

wzgl

ę

ę

dem azymutu

dem azymutu

A

A

dostaniemy:

dostaniemy:

co prowadzi do wzoru:

co prowadzi do wzoru:

0

2

sin

2

cos

2

sin

=

+

+

−

A

W

A

W

A

W

yy

xy

xx

yy

xx

xy

W

W

W

A

−

= 2

2

tan

Warto

Warto

ś

ś

ci uzyskane dla azymut

ci uzyskane dla azymut

ó

ó

w przekroj

w przekroj

ó

ó

w normalnych o ekstremalnych

w normalnych o ekstremalnych

krzywiznach

krzywiznach

A

A

1

1

i

i

A

A

2

2

=A

=A

1

1

±

±

90

90

̊

̊

wstawione do wzoru

wstawione do wzoru

(

(

)

)

pozwala wyznaczy

pozwala wyznaczy

ć

ć

tzw.

tzw.

krzywizn

krzywizn

ę

ę

geofizyczn

geofizyczn

ą

ą

:

:

xx

yy

xy

W

W

W

A

W

A

W

R

R

g

K

−

=

−

=

=













−

=

∆

∆

,

2

csc

2

2

sec

1

1

2

1

18

Janusz Walo

Janusz Walo

35

35

Gradient pionowy si

Gradient pionowy si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

(5)

(5)

(Gradient pionowy si

(Gradient pionowy si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

–

–

r

r

ó

ó

wnanie

wnanie

Brunsa

Brunsa

)

)

Tzw. uog

Tzw. uog

ó

ó

lnione r

lnione r

ó

ó

wnanie

wnanie

Poissona

Poissona

(

(

∆

∆

W

W

w przestrzeni wewn

w przestrzeni wewn

ę

ę

trznej)

trznej)

ma posta

ma posta

ć

ć

:

:

Gradient pionowy si

Gradient pionowy si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci mo

ci mo

ż

ż

na zapisa

na zapisa

ć

ć

:

:

2

4

ω

σ

π

+

⋅

−

=

+

+

=

∆

G

W

W

W

W

zz

yy

xx

(

)

2

2

4

grad

ω

σ

π

−

+

+

=

−

=

∂

∂

−

=

∂

∂

=

G

W

W

W

z

g

h

g

g

yy

xx

zz

Wstawiaj

Wstawiaj

ą

ą

c za sum

c za sum

ę

ę

W

W

xx

xx

+W

+W

yy

yy

warto

warto

ść

ść

wyznaczon

wyznaczon

ą

ą

z r

z r

ó

ó

wnania

wnania

(

(





)

)

dostaniemy wyra

dostaniemy wyra

ż

ż

enie nazywane

enie nazywane

r

r

ó

ó

wnaniem

wnaniem

Brunsa

Brunsa

:

:

2

*

2

4

2

ω

σ

π

−

+

−

=

∂

∂

G

gH

h

g

Janusz Walo

Janusz Walo

36

36

Gradient pionowy si

Gradient pionowy si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

(6)

(6)

(Przyspieszenie normalne ponad elipsoid

(Przyspieszenie normalne ponad elipsoid

ą

ą

…

…

I

I

)

)

W przestrzeni zewn

W przestrzeni zewn

ę

ę

trznej

trznej

(dla niewielkich wysoko

(dla niewielkich wysoko

ś

ś

ci)

ci)

przyspieszenie normalne

przyspieszenie normalne

mo

mo

ż

ż

na wyrazi

na wyrazi

ć

ć

za pomoc

za pomoc

ą

ą

wzoru

wzoru

Brunsa

Brunsa

:

:

Po rozwini

Po rozwini

ę

ę

ciu sumy

ciu sumy

(M

(M

-

-

1

1

+N

+N

-

-

1

1

)

)

w szereg wg pot

w szereg wg pot

ę

ę

g sp

g sp

ł

ł

aszczenia i zast

aszczenia i zast

ą

ą

pieniu

pieniu

pr

pr

ę

ę

dko

dko

ś

ś

ci k

ci k

ą

ą

towej

towej

ω

ω

przez

przez

q

q

dostaniemy :

dostaniemy :

(

)

B

f

q

f

a

h

2

sin

2

1

2

−

+

+

−

=

∂

∂

γ

γ

...

2

2

2

+

∂

∂

+

∂

∂

+

=

h

h

h

h

h

γ

γ

γ

γ

Przyspieszenie normalne ponad elipsoid

Przyspieszenie normalne ponad elipsoid

ą

ą

mo

mo

ż

ż

na przedstawi

na przedstawi

ć

ć

w postaci

w postaci

szybko zbie

szybko zbie

ż

ż

nego szeregu

nego szeregu

(w mianowniku mamy

(w mianowniku mamy

a

a

)

)

postaci:

postaci:

2

2

1

1

2

ω

γ

−













+

−

=

∂

∂

N

M

g

h

N

M

H

1

1

0

*

+

=

=

σ

(

(





)

)

19

Janusz Walo

Janusz Walo

37

37

Gradient pionowy si

Gradient pionowy si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

(7)

(7)

(Przyspieszenie normalne ponad elipsoid

(Przyspieszenie normalne ponad elipsoid

ą

ą

…

…

II

II

)

)

Dla wi

Dla wi

ę

ę

kszo

kszo

ś

ś

ci przypadk

ci przypadk

ó

ó

w mo

w mo

ż

ż

na uwzgl

na uwzgl

ę

ę

dni

dni

ć

ć

tylko trzy pierwsze wyrazy

tylko trzy pierwsze wyrazy

rozwini

rozwini

ę

ę

cia, a ponadto pochodn

cia, a ponadto pochodn

ą

ą

drugiego rz

drugiego rz

ę

ę

du

du

(i ewentualnie wy

(i ewentualnie wy

ż

ż

szych

szych

rz

rz

ę

ę

d

d

ó

ó

w)

w)

mo

mo

ż

ż

na wyznaczy

na wyznaczy

ć

ć

w oparciu o sferyczne przybli

w oparciu o sferyczne przybli

ż

ż

enie Ziemi o

enie Ziemi o

promieniu

promieniu

a

a

, tzn.:

, tzn.:

Uwzgl

Uwzgl

ę

ę

dniaj

dniaj

ą

ą

c powy

c powy

ż

ż

sze uwagi dostaniemy wz

sze uwagi dostaniemy wz

ó

ó

r na przyspieszenie

r na przyspieszenie

normalne na wysoko

normalne na wysoko

ś

ś

ci

ci

h

h

ponad elipsoid

ponad elipsoid

ą

ą

postaci:

postaci:

(

)













+

−

+

+

−

⋅

=

2

2

2

3

sin

2

1

2

1

h

a

h

B

f

q

f

a

h

γ

γ

Wyra

Wyra

ż

ż

enie to jest przydatne do zrozumienia teorii Mo

enie to jest przydatne do zrozumienia teorii Mo

ł

ł

ode

ode

ń

ń

skiego oraz w

skiego oraz w

niwelacji satelitarnej

niwelacji satelitarnej

…

…

2

2

2

6

a

h

γ

γ

=

∂

∂

Janusz Walo

Janusz Walo

38

38

Pochodne potencja

Pochodne potencja

ł

ł

u normalnego

u normalnego

(1)

(1)

(Pochodne drugiego rz

(Pochodne drugiego rz

ę

ę

du potencja

du potencja

ł

ł

u normalnego

u normalnego

…

…

I

I

)

)

Przyjmuj

Przyjmuj

ą

ą

c analogiczne oznaczenia pochodnych potencja

c analogiczne oznaczenia pochodnych potencja

ł

ł

u normalnego do

u normalnego do

pochodnych potencja

pochodnych potencja

ł

ł

u rzeczywistego tzn.

u rzeczywistego tzn.

U

U

x

x

,U

,U

y

y

,U

,U

z

z

,U

,U

xx

xx

,

,

…

…

mo

mo

ż

ż

emy zapisa

emy zapisa

ć

ć

dla elipsoidy ekwipotencjalnej:

dla elipsoidy ekwipotencjalnej:

Rozwijaj

Rozwijaj

ą

ą

c

c

M

M

-

-

1

1

i

i

N

N

-

-

1

1

w szeregi wzgl

w szeregi wzgl

ę

ę

dem

dem

e

e

’

’

do wyraz

do wyraz

ó

ó

w zawieraj

w zawieraj

ą

ą

cych

cych

[

[

e

e

’

’

2

2

]

]

otrzymamy:

otrzymamy:

(

)

B

f

f

b

B

e

a

b

U

U

U

h

xx

yy

2

2

2

2

2

cos

2

cos

−

=

′

⋅

=

=

−

=

∆

γ

γ

γ

Pochodna

Pochodna

U

U

zz

zz

wynika z r

wynika z r

ó

ó

wnania

wnania

Brunsa

Brunsa

i jest opisana wzorem

i jest opisana wzorem

(

(





)

)

,

,

w

w

kt

kt

ó

ó

rym zmieni si

rym zmieni si

ę

ę

jedynie znak.

jedynie znak.

γ

γ

yy

xx

U

N

U

M

−

=

−

=

1

,

1

20

Janusz Walo

Janusz Walo

39

39

Pochodne potencja

Pochodne potencja

ł

ł

u normalnego

u normalnego

(2)

(2)

(Pochodne drugiego rz

(Pochodne drugiego rz

ę

ę

du potencja

du potencja

ł

ł

u normalnego

u normalnego

…

…

II

II

)

)

Pochodn

Pochodn

ą

ą

U

U

xz

xz

mo

mo

ż

ż

emy zapisa

emy zapisa

ć

ć

:

:

Pochodn

Pochodn

ą

ą

∂γ

∂γ

/

/

∂

∂

B

B

wyznaczamy ze wzoru

wyznaczamy ze wzoru

(

(

)

)

, a pochodna

, a pochodna

∂

∂

B/

B/

∂

∂

x

x

to znana z

to znana z

geometrii elipsoidy r

geometrii elipsoidy r

ó

ó

ż

ż

niczka

niczka

:

:

(

)

M

x

B

B

f

f

B

B

a

1

,

2

cos

2

sin

4

*

=

∂

∂

−

⋅

=

∂

∂

γ

γ

Zatem ostatecznie mamy:

Zatem ostatecznie mamy:

x

B

B

x

U

xz

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

=

γ

γ

(

)

M

x

B

B

f

f

B

M

U

a

xz

1

,

2

cos

2

sin

4

*

=

∂

∂

−

⋅

=

γ

Janusz Walo

Janusz Walo

40

40

Pochodne potencja

Pochodne potencja

ł

ł

u normalnego

u normalnego

(3)

(3)

(Pochodne drugiego rz

(Pochodne drugiego rz

ę

ę

du potencja

du potencja

ł

ł

u normalnego

u normalnego

…

…

III

III

)

)

Pochodn

Pochodn

ą

ą

U

U

yz

yz

mo

mo

ż

ż

emy zapisa

emy zapisa

ć

ć

analogicznie:

analogicznie:

Wobec symetrii obrotowej modelu pola normalnego mamy:

Wobec symetrii obrotowej modelu pola normalnego mamy:

0

0

=

⇒

=

∂

∂

yz

U

L

γ

Z tego samego powodu

Z tego samego powodu

(symetrii)

(symetrii)

mamy te

mamy te

ż

ż

:

:

y

L

L

y

U

xz

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

=

γ

γ

0

=

xy

U

21

Janusz Walo

Janusz Walo

41

41

Geodezyjny system odniesienia

Geodezyjny system odniesienia

1980

1980

(1)

(1)

(

(

G

G

eogetic

eogetic

R

R

eference

eference

S

S

ystem

ystem

GRS

GRS

’

’

80

80

…

…

I

I

)

)

Geodezyjny system odniesienia GRS

Geodezyjny system odniesienia GRS

’

’

80

80

zosta

zosta

ł

ł

przyj

przyj

ę

ę

ty na XVII Zgromadzeniu

ty na XVII Zgromadzeniu

Generalnym Mi

Generalnym Mi

ę

ę

dzynarodowej Unii Geodezji i Geofizyki w

dzynarodowej Unii Geodezji i Geofizyki w

Canberze

Canberze

w grudniu 1979

w grudniu 1979

roku. Mi

roku. Mi

ę

ę

dzynarodowa Asocjacja Geodezji zaleci

dzynarodowa Asocjacja Geodezji zaleci

ł

ł

a stosowanie tego systemu w pracach

a stosowanie tego systemu w pracach

geodezyjnych.

geodezyjnych.

GRS

GRS

’

’

80 zast

80 zast

ą

ą

pi

pi

ł

ł

dotychczasowy uk

dotychczasowy uk

ł

ł

ad GRS

ad GRS

’

’

67, a jego pe

67, a jego pe

ł

ł

ny opis znale

ny opis znale

źć

źć

mo

mo

ż

ż

na w

na w

publikacji

publikacji

H.Moritza

H.Moritza

:

:

Geodetic

Geodetic

Reference

Reference

Frame

Frame

1980 (

1980 (

The

The

Geodesist

Geodesist

’

’

s

s

Handbook

Handbook

,

,

Bulletin

Bulletin

Geodesique

Geodesique

,

,

Vol.58, No.3,1984

Vol.58, No.3,1984

.

.

GRS

GRS

’

’

80 to oparty

80 to oparty

na teorii geocentrycznej elipsoidy ekwipotencjalnej

na teorii geocentrycznej elipsoidy ekwipotencjalnej

system zdefiniowany przez nast

system zdefiniowany przez nast

ę

ę

puj

puj

ą

ą

ce sta

ce sta

ł

ł

e standardowe:

e standardowe:

•

•

r

r

ó

ó

wnikowy promie

wnikowy promie

ń

ń

Ziemi

Ziemi

a = 6 378 137 m

a = 6 378 137 m

•

•

geocentryczn

geocentryczn

ą

ą

sta

sta

łą

łą

grawitacyjn

grawitacyjn

ą

ą

Ziemi (z atmosfer

Ziemi (z atmosfer

ą

ą

)

)

GM = 3 986 005 x 10

GM = 3 986 005 x 10

8

8

m

m

3

3

s

s

-

-

2

2

•

•

dynamiczny wsp

dynamiczny wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik kszta

czynnik kszta

ł

ł

tu Ziemi (w

tu Ziemi (w

łą

łą

czaj

czaj

ą

ą

c sta

c sta

ł

ł

e deformacji Ziemi)

e deformacji Ziemi)

J

J

2

2

= 108 263 x 10

= 108 263 x 10

-

-

8

8

•

•

k

k

ą

ą

tow

tow

ą

ą

pr

pr

ę

ę

dko

dko

ść

ść

Ziemi:

Ziemi:

ω

ω

= 7 292 115 x 10

= 7 292 115 x 10

-

-

11

11

rad s

rad s

-

-

1

1

Janusz Walo

Janusz Walo

42

42

Geodezyjny system odniesienia

Geodezyjny system odniesienia

1980

1980

(2)

(2)

(

(

G

G

eogetic

eogetic

R

R

eference

eference

S

S

ystem

ystem

GRS

GRS

’

’

80

80

…

…

II

II

)

)

Do oblicze

Do oblicze

ń

ń

stosowane s

stosowane s

ą

ą

te same wzory co w systemie 1967

te same wzory co w systemie 1967

(wyprowadzone i

(wyprowadzone i

zdefiniowane wcze

zdefiniowane wcze

ś

ś

niej)

niej)

Ma

Ma

ł

ł

a o

a o

ś

ś

elipsoidy odniesienia jest

elipsoidy odniesienia jest

r

r

ó

ó

wnoleg

wnoleg

ł

ł

a

a

do kierunku definiowanego

do kierunku definiowanego

przez

przez

Conventional

Conventional

International

International

Origin

Origin

, a po

, a po

ł

ł

udnik pocz

udnik pocz

ą

ą

tkowy jest

tkowy jest

r

r

ó

ó

wnoleg

wnoleg

ł

ł

y do po

y do po

ł

ł

udnika zerowego

udnika zerowego

d

d

ł

ł

ugo

ugo

ś

ś

ci przyjmowanych przez BIH.

ci przyjmowanych przez BIH.

Przybli

Przybli

ż

ż

ony wz

ony wz

ó

ó

r

r

(dla wyznaczonych wsp

(dla wyznaczonych wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik

czynnik

ó

ó

w w zale

w w zale

ż

ż

no

no

ś

ś

ci

ci

(

(

)

)

)

)

na

na

przyspieszenie normalne na elipsoidzie GRS

przyspieszenie normalne na elipsoidzie GRS

’

’

80 ma posta

80 ma posta

ć

ć

:

:

(

)

]

[

2

sin

0000058

.

0

sin

0053024

.

0

1

780327

.

9

2

2

2

−

⋅

−

⋅

+

⋅

=

ms

B

B

γ

22

Janusz Walo

Janusz Walo

43

43

Przyspieszenie na sferoidzie norm.

Przyspieszenie na sferoidzie norm.

(1)

(1)

(Sferoida normalna

(Sferoida normalna

…

…

I

I

)

)

Poj

Poj

ę

ę

cie

cie

sferoidy

sferoidy

wprowadzi

wprowadzi

ł

ł

P.Laplace

P.Laplace

pracuj

pracuj

ą

ą

c na teori

c na teori

ą

ą

figur r

figur r

ó

ó

wnowagi

wnowagi

cia

cia

ł

ł

ciek

ciek

ł

ł

ych wiruj

ych wiruj

ą

ą

cych ze sta

cych ze sta

łą

łą

pr

pr

ę

ę

dko

dko

ś

ś

ci

ci

ą

ą

k

k

ą

ą

tow

tow

ą

ą

wok

wok

ó

ó

ł

ł

sta

sta

ł

ł

ej osi.

ej osi.

Powierzchnie o sta

Powierzchnie o sta

ł

ł

ej g

ej g

ę

ę

sto

sto

ś

ś

ci zbli

ci zbli

ż

ż

one do koncentrycznych sfer nazwa

one do koncentrycznych sfer nazwa

ł

ł

sferoidami ekwipotencjalnymi

sferoidami ekwipotencjalnymi

.

.

Uzupe

Uzupe

ł

ł

niaj

niaj

ą

ą

c wz

c wz

ó

ó

r

r

(

(





)

)

opisuj

opisuj

ą

ą

cy potencja

cy potencja

ł

ł

dla symetrycznego rozk

dla symetrycznego rozk

ł

ł

adu masy

adu masy

wzgl

wzgl

ę

ę

dem r

dem r

ó

ó

wnika i osi obrotu o sk

wnika i osi obrotu o sk

ł

ł

adnik wyra

adnik wyra

ż

ż

aj

aj

ą

ą

cy potencja

cy potencja

ł

ł

od

od

ś

ś

rodkowy

rodkowy

mamy:

mamy:

Wyra

Wyra

ż

ż

aj

aj

ą

ą

c potencja

c potencja

ł

ł

od

od

ś

ś

rodkowy

rodkowy

V

V

’

’

we wsp

we wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych sferycznych oraz

dnych sferycznych oraz

przyjmuj

przyjmuj

ą

ą

c oznaczenie dla

c oznaczenie dla

q

q

’

’

, czyli:

, czyli:

GM

a

q

r

V

3

2

2

2

2

,

sin

2

1

ω

θ

ω

=

′

=

′

(

)

(

)

2

2

2

1

2

2

2

2

1

cos

1

y

x

P

J

r

a

r

M

G

U

n

n

n

n

+

+















⋅













−

=

∑

∞

=

ω

θ

(10)

(10)

Janusz Walo

Janusz Walo

44

44

Przyspieszenie na sferoidzie norm.

Przyspieszenie na sferoidzie norm.

(2)

(2)

(Sferoida normalna

(Sferoida normalna

…

…

II

II

)

)

Po wstawieniu do wzoru

Po wstawieniu do wzoru

(10)

(10)

dostaniemy:

dostaniemy:

W praktyce wz

W praktyce wz

ó

ó

r stosowany by

r stosowany by

ł

ł

w

w

„

„

skr

skr

ó

ó

conej

conej

”

”

wersji zawieraj

wersji zawieraj

ą

ą

cej jedynie

cej jedynie

harmoniczne strefowe 2

harmoniczne strefowe 2

-

-

ego rz

ego rz

ę

ę

du (n=1,

du (n=1,

sferoida

sferoida

Brunsa

Brunsa

) lub harmoniczne

) lub harmoniczne

strefowe 2

strefowe 2

-

-

ego i 4

ego i 4

-

-

ego rz

ego rz

ę

ę

du (n=2,

du (n=2,

sferoida Helmerta

sferoida Helmerta

).

).

R

R

ó

ó

ż

ż

niczkowanie wzoru dla sferoidy

niczkowanie wzoru dla sferoidy

Brunsa

Brunsa

wzgl

wzgl

ę

ę

dem normalnej (w

dem normalnej (w

praktyce wystarczy wzgl

praktyce wystarczy wzgl

ę

ę

dem promienia

dem promienia

r

r

prowadzi do wyra

prowadzi do wyra

ż

ż

enia na

enia na

przyspieszenie si

przyspieszenie si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci na sferoidzie normalnej postaci:

ci na sferoidzie normalnej postaci:

(

)



























′

+

⋅













−

=

∑

∞

=

θ

θ

2

3

1

2

2

2

sin

2

cos

1

a

r

q

P

J

r

a

r

M

G

U

n

n

n

n

(

)













′

−













′

−

+

+

=

∂

∂

−

=

θ

θ

γ

2

2

4

4

2

2

2

sin

2

cos

3

1

q

a

r

q

f

r

a

r

a

a

GM

r

U

(11)

(11)

23

Janusz Walo

Janusz Walo

45

45

Przyspieszenie na sferoidzie norm.

Przyspieszenie na sferoidzie norm.

(3)

(3)

(Sferoida normalna

(Sferoida normalna

…

…

III

III

)

)

Upraszczaj

Upraszczaj

ą

ą

c r

c r

ó

ó

wnanie

wnanie

(11)

(11)

do wyraz

do wyraz

ó

ó

w rz

w rz

ę

ę

du sp

du sp

ł

ł

aszczenia

aszczenia

[f]

[f]

oraz

oraz

zast

zast

ę

ę

puj

puj

ą

ą

c szeroko

c szeroko

ść

ść

geocentryczn

geocentryczn

ą

ą

szeroko

szeroko

ś

ś

ci

ci

ą

ą

geodezyjn

geodezyjn

ą

ą

dostaniemy

dostaniemy

wz

wz

ó

ó

r na przyspieszenie dla sferoidy

r na przyspieszenie dla sferoidy

Brunsa

Brunsa

postaci:

postaci:

oraz analogicznie wz

oraz analogicznie wz

ó

ó

r na przyspieszenie si

r na przyspieszenie si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci dla sferoidy

ci dla sferoidy

Helmerta z dok

Helmerta z dok

ł

ł

adno

adno

ś

ś

ci

ci

ą

ą

do kwadratu sp

do kwadratu sp

ł

ł

aszczenia

aszczenia

[f

[f

2

2

]

]

postaci:

postaci:

(

)

ϕ

γ

γ

2

*

sin

1

f

a

+

=













−

+

=

ϕ

β

ϕ

γ

γ

2

sin

4

1

sin

1

2

4

2

*

f

a

gdzie:

gdzie:

fq

f

J

10

11

8

105

2

4

4

+

−

−

=

β

(12)

(12)

Janusz Walo

Janusz Walo

46

46

Przyspieszenie na sferoidzie norm.

Przyspieszenie na sferoidzie norm.

(4)

(4)

(Wz

(Wz

ó

ó

r Helmerta

r Helmerta

…

…

I

I

)

)

Do praktycznego wykorzystania wzoru

Do praktycznego wykorzystania wzoru

(12)

(12)

potrzebne by

potrzebne by

ł

ł

o wyznaczenie jego

o wyznaczenie jego

wsp

wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik

czynnik

ó

ó

w. Helmert w latach 1901

w. Helmert w latach 1901

-

-

1909 wyznaczy

1909 wyznaczy

ł

ł

je bior

je bior

ą

ą

c do

c do

oblicze

oblicze

ń

ń

:

:













−

+

−

=

−

=

∆

ϕ

β

ϕ

γ

γ

2

sin

4

1

sin

1

2

4

2

*

0

0

f

g

g

g

a

i

i

i

•

•

punkt odniesienia pomiar

punkt odniesienia pomiar

ó

ó

w grawimetrycznych w Poczdamie

w grawimetrycznych w Poczdamie

(z pomiar

(z pomiar

ó

ó

w

w

bezwzgl

bezwzgl

ę

ę

dnych wahad

dnych wahad

ł

ł

owych)

owych)

•

•

warto

warto

ś

ś

ci przyspieszenia

ci przyspieszenia

g

g

z pomiar

z pomiar

ó

ó

w dla oko

w dla oko

ł

ł

o 1400 punkt

o 1400 punkt

ó

ó

w

w

(o znanych

(o znanych

dodatkowo warto

dodatkowo warto

ś

ś

ciach szeroko

ciach szeroko

ś

ś

ci i wysoko

ci i wysoko

ś

ś

ci)

ci)

•

•

zredukowane warto

zredukowane warto

ś

ś

ci przyspieszenia na geoid

ci przyspieszenia na geoid

ę

ę

za pomoc

za pomoc

ą

ą

redukcji

redukcji

wolnopowietrznej

wolnopowietrznej

•

•

aproksymacj

aproksymacj

ę

ę

zbioru przyspiesze

zbioru przyspiesze

ń

ń

na geoidzie

na geoidzie

g

g

0

0

sferoid

sferoid

ą

ą

normaln

normaln

ą

ą

okre

okre

ś

ś

lon

lon

ą

ą

r

r

ó

ó

wnaniem

wnaniem

(12)

(12)

minimalizuj

minimalizuj

ą

ą

c sum

c sum

ę

ę

kwadrat

kwadrat

ó

ó

w anomalii

w anomalii

grawimetrycznych postaci:

grawimetrycznych postaci:

24

Janusz Walo

Janusz Walo

47

47

Przyspieszenie na sferoidzie norm.

Przyspieszenie na sferoidzie norm.

(5)

(5)

(Wz

(Wz

ó

ó

r Helmerta

r Helmerta

…

…

II

II

)

)

Z uwagi na niekorzystn

Z uwagi na niekorzystn

ą

ą

relacj

relacj

ę

ę

niewiadomych w r

niewiadomych w r

ó

ó

wnaniu

wnaniu

‘

‘

obserwacyjnym

obserwacyjnym

’

’

,

,

Helmert przyj

Helmert przyj

ął

ął

na podstawie modelu

na podstawie modelu

Wicherta

Wicherta

(stworzonego w ramach teorii

(stworzonego w ramach teorii

figur r

figur r

ó

ó

wnowagi cia

wnowagi cia

ł

ł

ciek

ciek

ł

ł

ych)

ych)

warto

warto

ść

ść

:

:

000007

.

0

4

1

4

=

β

w rezultacie pozosta

w rezultacie pozosta

ł

ł

o znalezienie dw

o znalezienie dw

ó

ó

ch niewiadomych na podstawie uk

ch niewiadomych na podstawie uk

ł

ł

adu

adu

r

r

ó

ó

wna

wna

ń

ń

obserwacyjnych postaci:

obserwacyjnych postaci:

rozwi

rozwi

ą

ą

zywanego pod warunkiem:

zywanego pod warunkiem:

(

)

ϕ

ϕ

γ

γ

2

sin

007

000

.

0

sin

1

2

2

*

0

0

−

+

−

=

−

=

∆

f

g

g

g

a

i

i

i

min

1

=

∆

∑

=

i

n

i

g

Janusz Walo

Janusz Walo

48

48

Przyspieszenie na sferoidzie norm.

Przyspieszenie na sferoidzie norm.

(6)

(6)

(Wz

(Wz

ó

ó

r Helmerta

r Helmerta

…

…

III

III

)

)

Helmert wiele razy korygowa

Helmert wiele razy korygowa

ł

ł

swoje wyznaczenia, ale ostatecznie do wzoru

swoje wyznaczenia, ale ostatecznie do wzoru

na przyspieszenie normalne w systemie poczdamskim przyj

na przyspieszenie normalne w systemie poczdamskim przyj

ę

ę

to:

to:

000007

.

0

4

1

.

1901

302

005

.

0

.

1909

978030

4

*

=

=

=

β

γ

r

z

f

r

z

mGal

a

co ostatecznie prowadzi do wzoru na przyspieszenie normalne post

co ostatecznie prowadzi do wzoru na przyspieszenie normalne post

aci:

aci:

Przy czym poprawka

Przy czym poprawka

-

-

14mGal

14mGal

zosta

zosta

ł

ł

a wprowadzona do wzoru dopiero w

a wprowadzona do wzoru dopiero w

1971r.

1971r.

(System Poczdamski

(System Poczdamski

’

’

71 wprowadzony w Polsce w 1985r.).

71 wprowadzony w Polsce w 1985r.).

(

)

mGal

mGal 14

2

sin

007

000

.

0

sin

005302

.

0

1

978030

2

2

−

−

+

=

ϕ

ϕ

γ