PA2 opis matemat

background image

Politechnika Warszawska

Instytut Automatyki i Robotyki

Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny

PODSTAWY AUTOMATYKI

część 2

Opis matematyczny układów liniowych

background image

Linearyzacja układów nieliniowych

Rzeczywiste układy regulacji zazwyczaj są układami nieliniowymi, dla

uproszczenia opisu matematycznego przeprowadza się ich
linearyzację, co pozwala na sformułowanie przybliżonego opisu
liniowego, ważnego w otoczeniu wybranego punktu pracy na
charakterystyce statycznej (punkt ten odpowiada najczęściej
nominalnym lub uśrednionym warunkom pracy układu).

Rzeczywiste układy regulacji zazwyczaj są układami nieliniowymi, dla

uproszczenia opisu matematycznego przeprowadza się ich
linearyzację, co pozwala na sformułowanie przybliżonego opisu
liniowego, ważnego w otoczeniu wybranego punktu pracy na
charakterystyce statycznej (punkt ten odpowiada najczęściej
nominalnym lub uśrednionym warunkom pracy układu).

1

12

12

1

1

2gL

S

F

dt

dL

A

α

=

U

F

Charakterystyka statyczna

Charakterystyka statyczna

1

12

12

2gL

S

F

α

=

L

1

punkt pracy

F

background image

Opis matematyczny układów liniowych

Ogólna postać równania różniczkowego układu liniowego:

Ogólna postać równania różniczkowego układu liniowego:

gdzie: y- sygnał wyjściowy, x-sygnał wejściowy, a

i

, b

i

- współczynniki stałe

y, u – są odchyłkami od punktu pracy

u

b

dt

u

d

b

dt

u

d

b

y

a

dt

y

d

a

dt

y

d

a

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

0

1

1

1

0

1

1

1

+

+

+

=

+

+

+

K

K

ZASADA SUPERPOZYCJI

ZASADA SUPERPOZYCJI

y(u

1

+u

2

)=y(u

1

)+y(u

2

)

gdzie: y(u

i

) oznacza odpowiedź układu y na wymuszenie u

i

;

oraz y(0)=0

background image

Charakterystyka statyczna

Charakterystyka statyczna układu – przedstawia zależność sygnału

wyjściowego układu od sygnału wejściowego w stanie ustalonym

Charakterystyka statyczna układu – przedstawia zależność sygnału

wyjściowego układu od sygnału wejściowego w stanie ustalonym

Stan ustalony układu – wszystkie pochodne sygnału wejściowego

i sygnału wyjściowego są równe zero

Stan ustalony układu – wszystkie pochodne sygnału wejściowego

i sygnału wyjściowego są równe zero

u

y

Postać charakterystyki statycznej układów liniowych i zlinearyzowanych:

Postać charakterystyki statycznej układów liniowych i zlinearyzowanych:

gdzie: u,y – wejście, wyjście z układu

u

a

b

y

0

0

=

background image

Przekształcenie Laplace’a

Zastąpienie równania różniczkowego transmitancją operatorową,
przejście z dziedziny czasu rzeczywistego na zmienną zespoloną

Zastąpienie równania różniczkowego transmitancją operatorową,
przejście z dziedziny czasu rzeczywistego na zmienną zespoloną

)

(

)

(

s

f

t

f

ω

j

c

s

+

=

=

0

)

(

)

(

dt

e

t

f

s

f

st

)]

(

[

)

(

t

f

L

s

f

=

)]

(

[

)

(

1

s

f

L

t

f

=

+

=

ω

j

c

ω

j

c

t

s

def

ds

e

F(s)

j

π

2

1

)

(t

f

przekształcenie
Laplace’a

odwrotne
przekształcenie
Laplace’a

background image

Opis matematyczny układów liniowych

Zastąpienie równania różniczkowego transmitancją operatorową:

Zastąpienie równania różniczkowego transmitancją operatorową:

)

(

)

(

)

(

)

(

0

1

1

0

1

1

b

s

b

s

b

s

u

a

s

a

s

a

s

y

m

m

m

m

n

n

n

n

+

+

+

=

+

+

+

K

K

u

b

dt

u

d

b

dt

u

d

b

y

a

dt

y

d

a

dt

y

d

a

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

0

1

1

1

0

1

1

1

+

+

+

=

+

+

+

K

K

)

(0

y

)

y(0

s

y(s)

s

dt

y

d

L

1

n

1

n

n

n

n

+

+

=

K

y(s)

s

dt

y

d

L

n

n

n

=

przy zerowych warunkach
początkowych

background image

Transmitancja operatorowa

m

n

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

u

s

y

s

G

n

n

n

n

m

m

m

m

+

+

+

+

+

+

=

=

,

)

(

)

(

)

(

0

1

1

0

1

1

K

K

Transmitancja operatorowa: stosunek transformaty sygnału

wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy
zerowych warunkach początkowych

Transmitancja operatorowa: stosunek transformaty sygnału

wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy
zerowych warunkach początkowych

)

(

)

(

)

(

)

(

0

1

1

0

1

1

b

s

b

s

b

s

u

a

s

a

s

a

s

y

m

m

m

m

n

n

n

n

+

+

+

=

+

+

+

K

K

)

(

)

(

)

(

s

N

s

M

s

G

=

0

1

1

0

1

1

)

(

)

(

a

s

a

s

a

s

N

b

s

b

s

b

s

M

n

n

n

n

m

m

m

m

+

+

+

=

+

+

+

=

K

K

background image

Wyznaczanie transmitancji operatorowej

Przykład 1: Wyznaczyć transmitancję operatorową układu

opisanego równaniem różniczkowym:

Przykład 1: Wyznaczyć transmitancję operatorową układu

opisanego równaniem różniczkowym:

Wykorzystując operator różniczkowania s można

powyższe równanie zapisać w postaci

3u

y

dt

dy

2

=

+

1

2s

3

u(s)

y(s)

G(s)

3u(s)

y(s)

1)

(2s

3u(s)

y(s)

y(s)

2s

+

=

=

=

+

=

+

c

c

background image

Opis elementów na schematach blokowych

Obiekty o jednym wejściu i jednym wyjściu:

Obiekty o jednym wejściu i jednym wyjściu:

u

y

G(s)

...

...

u

1

u

2

u

m

y

1

y

2

y

m

MG(s)

=

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

2

22

21

1

12

11

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

MG

nm

n

n

m

m

K

M

M

M

M

K

K

m

k

n

i

s

u

s

y

s

G

k

i

ik

K

K

1

,

1

,

)

(

)

(

)

(

=

=

=

)

(

)

(

)

(

s

u

s

y

s

G

=

Obiekty wielowymiarowe:

background image

Wyznaczenie charakterystyki statycznej

z transmitancji operatorowej

)

(

)

(

lim

)

(

lim

)

(

lim

0

0

0

s

u

s

G

s

s

y

s

t

y

y

s

s

t

=

=

=

)

(

lim

0

0

0

s

G

u

y

s

=

)

(

lim

0

0

0

s

G

u

y

s

=

Końcowe równanie charakterystyki statycznej:

0

0

0

0

u

a

b

y

=

),

(

lim

),

(

lim

0

0

t

y

y

t

u

u

t

t

=

=

Na podstawie twierdzenia o wartości końcowej:

0

0

1

)

(

u

s

s

u

const

u

=

=

0

1

1

0

1

1

)

(

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

G

n

n

n

n

m

m

m

m

+

+

+

+

+

+

=

K

K

background image

Własności układów

Właściwości dynamiczne – prezentacja przebiegu wielkości wyjściowej

y(t) po wprowadzeniu do układu wymuszenia u(t)

Właściwości dynamiczne – prezentacja przebiegu wielkości wyjściowej

y(t) po wprowadzeniu do układu wymuszenia u(t)

Postać charakterystyki w typowym układzie współrzędnych:

Postać charakterystyki w typowym układzie współrzędnych:

y

u

t

Gdzie: u - sygnał wejściowy

y - sygnał wyjściowy
t - czas [s]

background image

Metody wyznaczania odpowiedzi układu y(t)

Klasyczna:

• Założyć warunki początkowe
• Rozwiązać równanie różniczkowe

Klasyczna:

• Założyć warunki początkowe
• Rozwiązać równanie różniczkowe

u

b

dt

u

d

b

dt

u

d

b

y

a

dt

y

d

a

dt

y

d

a

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

0

1

1

1

0

1

1

1

+

+

+

=

+

+

+

K

K

Operatorowa:

Operatorowa:

)]

(

)

(

[

)

(

)]

(

[

)

(

1

1

s

u

s

G

L

t

f

s

y

L

t

f

=

=

=

background image

Typowe wymuszenia

Skok jednostkowy

Skok jednostkowy

t

u

1(t)

=

0

1(t)

u(t)

dla t ≥ 0

dla t < 0

u

u

st

t

=

0

1(t)

u

u(t)

st

dla t ≥ 0

dla t < 0

Skok o wartość stałą

Skok o wartość stałą

background image

Typowe wymuszenia

t

u

Wymuszenie liniowo narastające

Wymuszenie liniowo narastające

t

a

u(t)

=

Impuls jednostkowy – Delta Diraca

Impuls jednostkowy – Delta Diraca

t

u

0

=

=

0

(t)

u(t)

δ

dla t ≠ 0

dla t = 0

background image

Typowe wymuszenia

• Wymuszenie skokowe jednostkowe

u(t)=1(t)

• Wymuszenie skokowe o wartość stałą

u(t)=u

st

·1(t)

• Wymuszenie w postaci impulsu

u(t)=δ(t) Delta Diraca

• Wymuszenie liniowo narastające

u(t)= a·t

u
1

t

u

u

st

t

t

u

t

u

s

s

u

1

)

(

=

st

u

s

s

u

1

)

(

=

1

)

(

=

s

u

2

)

(

s

a

s

u

=

background image

Tablica transformat

background image

Opis układów z użyciem współrzędnych stanu

=

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

t

u

t

u

t

u

t

U

p

M

=

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

t

x

t

x

t

x

t

X

n

M

=

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

t

y

t

y

t

y

t

Y

q

M

wektor wejść

wektor stanu

wektor wyjść

W ogólnym opisie układów wielowymiarowych poszczególne wielkości
określone są w postaci wektorów i oznaczają:

Obiekt

u

1

u

2

u

p

y

1

y

2

y

q

x

n

x

2

x

1

...

Schemat obiektu

background image

Przestrzeń stanów

Zbiór wszystkich możliwych wartości wektora stanu X(t) w chwilach t
tworzy przestrzeń stanów układu (przestrzeń fazową).

Zbiór wartości wektora stanu układu w kolejnych chwilach czasu
tworzy w tej przestrzeni krzywą, zwaną trajektorią stanu układu
(trajektorią fazową).

Zbiór wszystkich możliwych wartości wektora stanu X(t) w chwilach t
tworzy przestrzeń stanów układu (przestrzeń fazową).

Zbiór wartości wektora stanu układu w kolejnych chwilach czasu
tworzy w tej przestrzeni krzywą, zwaną trajektorią stanu układu
(trajektorią fazową).

x

3

x

2

x

1

background image

Równania stanu i wyjść

Ogólna postać równania stanu:

z n warunkami początkowymi:

0

0

)

(

X

t

X

=



=

=

=

=

0

0

2

1

2

1

10

0

1

2

1

2

1

1

1

)

(

);

;

,

,

,

;

,

,

,

(

)

(

)

(

);

;

,

,

,

;

,

,

,

(

)

(

n

n

p

n

n

n

p

n

x

t

x

t

u

u

u

x

x

x

f

dt

t

dx

x

t

x

t

u

u

u

x

x

x

f

dt

t

dx

K

K

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

K

K

)]

(

),

(

[

)

(

t

U

t

X

G

t

Y

=

Ogólna postać równania wyjść:

=

=

)

;

,

,

,

;

,

,

,

(

)

(

)

;

,

,

,

;

,

,

,

(

)

(

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

t

u

u

u

x

x

x

g

t

y

t

u

u

u

x

x

x

g

t

y

p

n

q

q

k

n

K

K

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

K

K

)]

(

),

(

[

)

(

t

U

t

X

F

t

X

=

&

background image

Zlinearyzowane równania stanu

Po linearyzacji w otoczeniu wybranego stanu ustalonego (nominalnego
punktu pracy), równania przyjmują wówczas postać:

t

t

f

u

u

f

u

u

f

u

u

f

x

x

f

x

x

f

x

x

f

dt

t

dx

p

p

n

n

+

+

+

+

+

+

+

+

=

1

1

2

2

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

1

)

(

K

K

t

t

g

u

u

g

u

u

g

u

u

g

x

x

g

x

x

g

x

x

g

y

p

p

n

n

+

+

+

+

+

+

+

+

=

1

1

2

2

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

1

K

K

...

...

przy czym:

A(t) – macierz układu stopnia n×n

B(t) – macierz wejść stopnia n×p

C(t) – macierz wyjść stopnia q×n

D(t) – macierz transmisyjna układu stopnia q×p

Układ niestacjonarny

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

U

t

D

t

X

t

C

t

Y

t

U

t

B

t

X

t

A

t

X

+

=

+

=

&

background image

Równania stanu układów liniowych stacjonarnych

Układ stacjonarny - o parametrach niezależnych od czasu

W przypadku szczególnym, gdy układ jest liniowy stacjonarny,
pochodne cząstkowe względem zmiennych x

1

,…,x

n

,…,u

1

,…,u

k

nie

zawierają czasu i pochodne cząstkowe względem czasu są równe
zeru. Elementy macierzy są wówczas stałe i równania stanu można
zapisać w postaci:

D

D

B

B

A

A

C

C

)

(t

U

)

(t

Y

)

(t

X

)

(t

X

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

DU

t

CX

t

Y

t

BU

t

AX

t

X

+

=

+

=

&

background image

Przykład wyznaczania równań stanu

u

b

y

a

dt

y

d

a

dt

y

d

n

n

n

n

n

0

0

1

1

1

=

+

+

+

K

u

b

y

a

dt

y

d

a

dt

y

d

n

n

n

n

n

0

0

1

1

1

+

=

K

1

2

3

1

2

1

...

=

=

=

=

=

n

n

x

x

x

x

dt

dy

x

x

y

x

&

&

&

Współrzędne stanu

u

b

x

a

x

a

x

x

x

x

x

n

n

n

0

1

0

1

3

2

2

1

...

+

=

=

=

K

&

&

&

Równania stanu

1

x

y

=

Równanie wyjść

background image

Przykład wyznaczania równań stanu

u

b

x

a

x

a

x

x

x

x

x

n

n

n

0

1

0

1

3

2

2

1

...

+

=

=

=

K

&

&

&

Równania stanu

1

x

y

=

Równanie wyjść

=

−1

2

1

0

...

1

...

0

0

0

...

...

...

...

...

0

...

1

0

0

0

...

0

1

0

n

a

a

a

a

A

=

o

b

B

0

...

0

0

[

]

0

...

0

0

1

=

C

[ ]

0

=

D

D

D

B

B

A

A

C

C

)

(t

U

)

(t

Y

)

(t

X

)

(t

X&

background image

Wyznaczanie równań stanu z transmitancji

Metoda bezpośrednia

n

n

n

n

n

m

m

m

m

s

s

a

s

a

s

a

s

b

s

b

s

b

s

b

s

u

s

y

s

G

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

)

(

)

(

)

(

0

1

1

1

0

1

1

1

K

K

1

)

(

)

(

)

(

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

n

n

n

n

n

n

m

m

n

m

m

s

a

s

a

s

a

s

b

s

b

s

b

s

b

s

u

s

y

s

G

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

K

K

1

)

(

)

(

0

1

1

1

1

n

n

n

s

a

s

a

s

a

s

u

s

E

+

+

+

+

=

K

)

(

]

[

)

(

0

1

1

1

1

s

E

s

b

s

b

s

b

s

b

s

y

n

n

n

m

m

n

m

m

+

+

+

+

=

K

)

(

1

)

(

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

s

u

s

a

s

a

s

a

s

b

s

b

s

b

s

b

s

y

n

n

n

n

n

n

m

m

n

m

m

+

+

+

+

+

+

+

+

=

K

K

)

(

]

[

)

(

)

(

0

1

1

1

1

s

E

s

a

s

a

s

a

s

u

s

E

n

n

n

+

+

+

=

K

background image

Wyznaczanie równań stanu z transmitancji

)

(

]

[

)

(

0

1

1

1

1

s

E

s

b

s

b

s

b

s

b

s

y

n

n

n

m

m

n

m

m

+

+

+

+

=

K

)

(

]

[

)

(

)

(

0

1

1

1

1

s

E

s

a

s

a

s

a

s

u

s

E

n

n

n

+

+

+

=

K

)

(s

u

)

(s

y

)

(s

E

+

s

1

s

1

s

1

s

1

1

n

a

2

n

a

m

n

a

)

(

1

s

E

s

)

(

2

s

E

s

0

a

0

b

m

b

1

m

b

+

+

+

+

+

)

(s

E

s

n

)

(s

E

s

n

m

background image

Wyznaczanie równań stanu z transmitancji

u

x

a

x

a

x

a

x

x

x

x

x

n

n

n

+

=

=

=

−1

2

1

1

0

3

2

2

1

...

...

&

&

&

1

2

1

1

0

...

+

+

+

+

=

m

m

x

b

x

b

x

b

y

)

(s

u

)

(s

y

)

(s

E

+

s

1

s

1

s

1

s

1

1

n

a

2

n

a

m

n

a

)

(

1

s

E

s

)

(

2

s

E

s

0

a

0

b

m

b

1

m

b

+

+

+

+

+

)

(s

E

s

n

)

(s

E

s

n

m

1

x

2

x

n

x

background image

Przykład

2

2

2

6

5

2

2

)

3

)(

2

(

)

1

(

2

)

(

)

(

)

(

+

+

+

=

+

+

+

=

=

s

s

s

s

s

s

s

s

s

u

s

y

s

G

6

5

1

2

2

)

(

)

(

2

1

2

1

+

+

+

=

s

s

s

s

s

u

s

y

)

6

5

1

)

(

)(

2

2

(

)

(

2

1

2

1

+

+

+

=

s

s

s

u

s

s

s

y

6

5

1

)

(

)

(

2

1

+

+

=

s

s

s

u

s

E

)

(

)

6

5

1

)(

(

2

1

s

u

s

s

s

E

=

+

+

)

(

)

6

5

)(

(

)

(

2

1

s

u

s

s

s

E

s

E

=

+

+

)

(

)

6

5

(

)

(

)

(

2

1

s

E

s

s

s

u

s

E

+

=

)

(

)

2

2

(

)

(

2

1

s

E

s

s

s

y

+

=

background image

Przykład

)

(

)

6

5

(

)

(

)

(

2

1

s

E

s

s

s

u

s

E

+

=

)

(

)

2

2

(

)

(

2

1

s

E

s

s

s

y

+

=

)

(s

u

)

(s

y

)

(s

E

+

s

1

s

1

5

6

2

2

+

+

+

+

1

x

2

x

u

x

x

x

x

x

+

=

=

2

1

2

2

1

5

6

&

&

2

1

2

2

x

x

y

+

=

=

5

6

1

0

A

=

1

0

B

[

]

2

2

=

C

[ ]

0

=

D

background image

Transmitancja na podstawie równań stanu

)

(

]

)

(

[

)

(

1

s

u

D

B

A

Is

C

s

y

+

=

D

B

A

Is

C

s

u

s

y

s

G

+

=

=

−1

)

(

)

(

)

(

)

(

=

1

0

2

1

A

=

1

0

B

[

]

0

1

=

C

[ ]

0

=

D

Przykład

[

]

2

1

)

1

(

2

1

0

1

0

2

1

0

0

0

1

)

(

=





=

s

s

s

s

G

background image

Układy liniowe

Układ liniowy – układ, w którym zachowana jest zasada superpozycji.

Modele matematyczne układów liniowych są opisywane liniowymi
równaniami algebraicznymi lub liniowymi równaniami
różniczkowymi, np.:

Układ liniowy – układ, w którym zachowana jest zasada superpozycji.

Modele matematyczne układów liniowych są opisywane liniowymi
równaniami algebraicznymi lub liniowymi równaniami
różniczkowymi, np.:

u

u

,

y

y

y

..

.

..

+

=

+

+

2

5

0

2

2

Układ nieliniowy – układy w których nie jest zachowana zasada

superpozycji. Układ, w którym y(0)≠0, np.:

opisanym równaniem algebraicznym y=u+1.

Układ nieliniowy – układy w których nie jest zachowana zasada

superpozycji. Układ, w którym y(0)≠0, np.:

opisanym równaniem algebraicznym y=u+1.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
PA2 opis matematyczny [tryb zgodności]
PA2 opis matemat
PA2 opis matematyczny [tryb zgodności]
PA2 opis matemat
PA2 opis matematyczny [tryb zgodności]
PA2 opis matemat (2)
calkowanie 1 opis matematyczny Nieznany
02 Opis matematyczny układów liniowych
02 Opis matematyczny układów liniowych
10 Matematyczny opis zmienności
2002m matematyczno przyrodniczy standard poznaj zainteresowania opis
Opis zawodu Matematyk, Opis-stanowiska-pracy-DOC
Opis - MuPAD Pro, Matematyka, fizyka etc, MuPad Pro 3.1.1 i Cabri geometre 2
Podstawy matematyki finansowej opis funkcji
Opis - Cabri geometre 2, Matematyka, fizyka etc, MuPad Pro 3.1.1 i Cabri geometre 2
Matematyczny opis krzepniecia odlewów
Opis rozdziału VI książki „Dziecięca matematyka” p Edyty Gruszczyk Kolczyńskiej

więcej podobnych podstron