Ciągi liczbowe. Granice ciągów.

(notatki z wykładu)

Nieskończony ciąg liczbowy (a

n

) jest funkcją określoną na liczbach naturalnych,

przyjmującą wartości rzeczywiste.

Ciąg (a

n

) jest rosnący





n



N: a

n

< a

n+1

.

Ciąg (a

n

) jest niemalejący





n



N: a

n



a

n+1

.

Podobnie definiuje się ciąg malejący czy też ciąg nierosnący.

Ciąg (a

n

) jest ograniczony z góry





M



R



n



N: a

n

< M.

Ciąg (a

n

) jest ograniczony z dołu





m



R



n



N: a

n

> m.

Przykład 1. Określić monotoniczność ciągu a

n

=

1

2



n

n

.

Oszacujemy w tym celu wyrażenie

n

n

a

a

1





. Mamy tutaj

n

n

a

a

1





=

1

2

3

2

1









n

n

n

n

=

=

)

1

2

)(

3

2

(

)

3

2

(

)

1

2

)(

1

(













n

n

n

n

n

n

=

)

1

2

)(

3

2

(

1





n

n

. Wyrażenie to jest dodatnie dla każdego naturalnego n,

a więc spełniona jest zawsze nierówność a

n

< a

n+1

, czyli badany ciąg jest rosnący.

Przykład 2. Sprawdzić ograniczoność ciągu a

n

=

1

2



n

n

.

Zauważmy, że dla każdego naturalnego n zachodzi nierówność

1

2



n

n

> 0, czyli badany ciąg

jest ograniczony z dołu. Możemy także zapisać, że

1

2



n

n

=

2

1

(

1

2

2



n

n

) =

2

1

(

1

2

1

1

2







n

n

) =

2

1

–

2

1

(

1

2

1



n

).

Ostatnie wyrażenie jest zawsze mniejsze od

2

1

, a więc badany ciąg jest też ograniczony z góry.

Definicja granicy ciągu (wg Cauchy’ego).

g

a

n

n







lim





>0



m



N



n>m:



a

n

–g



<



Przykład 3. Wykazać na podstawie definicji granicy ciągu, że





n

lim

2

3



n

n

= 3.

Wychodząc z nierówności



2

3



n

n

–3



<



otrzymujemy, że



2

6

3

3







n

n

n



<



, skąd

2

6



n

<



,

czyli



6

< n+2 i dalej



6

–2 < n a więc n >



6

–2. Dla każdego



>0 istnieje zatem liczba m

zależna tylko od



( m = [



6

–2+1] ), że dla wszystkich n > m spełniona jest wyjściowa

nierówność.

Ciąg, który ma granicę, jest zbieżny. Jeżeli nie istnieje liczba rzeczywista, która jest granicą

danego ciągu, to mówimy, że taki ciąg jest rozbieżny.

Ciągi rozbieżne do +



lub –



:









n

n

a

lim





X



R



m



N



n>m: a

n

>X









n

n

a

lim





x



R



m



N



n>m: a

n

<x

Oto kilka podstawowych granic ciągów:

c

c

n







lim

(granica ciągu stałego a

n

= c

jest równa stałej c)





n

lim n

1

= 0

Jeżeli a>0, to





n

lim n

a

=



oraz





n

lim

a

n

1

= 0

Podstawowe twierdzenia o ciągach i ich granicach.

Twierdzenie 1.

Ciąg rosnący (malejący) i ograniczony z góry (z dołu) jest zbieżny.

Twierdzenie 2,

Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.

Z tw. 2 wynika, że jeśli mamy przynajmniej dwa podciągi pewnego ciągu, które są zbieżne

do różnych granic, to dany ciąg jest rozbieżny (nie ma granicy). Na przykład dla ciągu

n

n

a

)

1

(





mamy dwa podciągi stałe:

1

2



n

a

(wyrazy o numerach parzystych) oraz

1

1

2







n

a

(wyrazy o numerach nieparzystych). Oba te podciągi są zbieżne, ale do różnych granic – jeden
do 1, drugi do –1, czyli omawiany ciąg nie ma granicy.

Twierdzenie 3 (o granicy sumy, iloczynu i ilorazu ciągów).

Jeżeli

a

a

n

n







lim

i

b

b

n

n







lim

, to

a)

b

a

b

a

n

n

n











)

(

lim

, b)

b

a

b

a

n

n

n











)

(

lim

, c)

b

a

b

a

n

n

n







)

/

(

lim

(b

n



0, b



0).

Przykład 4.

a)

5

1

5

1

)

5

(

)

1

(

1

5

2

3

2

2

1

1

2

3

1

1

2

3

2

2

lim

lim

lim

2

2

2

2











































n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

b)

3

2

6

4

/

1

/

4

9

3

(

)

/

1

4

(

lim

1

4

9

3

1

4

9

9

lim

)

1

4

9

3

(

lim

2

2

2

2

2





















































n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

Twierdzenie 4.

Jeżeli









n

n

a

lim

, to

0

1

lim







n

n

a

.

Twierdzenie 5.

Jeżeli a > 0, to

1

lim







n

n

a

.

1

lim







n

n

n

. Jeżeli a

n

> 0 i

n

n

a





lim

>0, to

1

lim







n

n

n

a

.

Twierdzenie 6.





























-1

q

gdy

istnieje

nie

1

q

gdy

1

q

gdy

1

1

q

gdy

0

lim

n

n

q

.

Twierdzenie 7.

e

n

n

n









)

1

1

(

lim

. (

e

jest liczbą niewymierną (liczba Eulera);

e



2,72 )

Twierdzenie 8.

Jeżeli dla ciągu (a

n

) istnieje granica

g

lim

1









n

n

n

a

a

< 1, to

0

lim







n

n

a

.

Dowód tw.8. Jeżeli

n

n

a

a

1



< 1 od pewnego n

0

, to znaczy, że

n

n

a

a





1

, czyli ciąg (

n

a

)

jest ciągiem malejącym. Jest on ograniczony z dołu przez liczbę 0, bo

n

a



0, a więc musi to

być ciąg zbieżny. Twierdzimy, że jego granicą jest liczba 0.
Załóżmy nie wprost, że 0 nie jest tą granicą, lecz jest nią pewna liczba a



0. Wtedy musiałoby

być, że

1

a

a

lim

1











n

n

n

a

a

, a to jest wbrew założeniu, że g < 1. A więc wykazaliśmy, że

0

lim







n

n

a



Twierdzenie 9. (o trzech ciągach)

Jeżeli ciągi (a

n

), (b

n

), (c

n

) spełniają warunki a

n



b

n



c

n

dla wszystkich n większych od

pewnego n

0

oraz

g

c

a

n

n

n

n













lim

lim

, to

g

b

n

n







lim

.

Twierdzenie 10. (o dwóch ciągach)

Jeżeli









n

n

a

lim

i a

n



b

n

dla wszystkich n większych od pewnego n

0

, to









n

n

b

lim

.

Przykład 5.

a)













n

n

n

n

3

2

4

3

5

lim











)

1

)

((

3

)

5

(

3

3

2

3

4

lim

n

n

n

n

n

1

)

(

5

3

2

3

4

lim









n

n

n

=

1

5

= 5 (na podst. tw.3 i tw.6).

b)









n

n

n

)

1

(

lim

2

3











)

2

/

3

(

)

3

/

2

(

)

3

/

2

(

1

)

1

(

lim

n

n

n

e

(3/2)

(na podst. tw.7).

c)

0

!

7

lim







n

n

n

ponieważ

0

7

lim

)]

!

7

/(

)

!

1)

n

(

7

[(

lim

1

















n

n

n

n

n

n

(na podst. tw.8).

Przykład 6.

Wyznaczyć granicę ciągu a

n

=

n

n

n

6

4



.

Zauważmy, że zachodzą oczywiste nierówności:

n

n

6



n

n

n

6

4





n

n

6

2



. A ponieważ

6

6

lim

6

lim













n

n

n

n

, a także

6

1

6

2

6

lim

6

2

lim



















n

n

n

n

n

, więc





n

lim

n

n

n

6

4



= 6

(na podst. twierdzenia o 3 ciągach).

Przykład 7.

Wyznaczyć granicę ciągu a

n

=

1

2

1



n

+

2

2

1



n

+...+

n

n



2

1

.

Zauważmy, że

n

n

n



2



a

n



2

n

n

, a ponieważ





n

lim

n

n

n



2

=





n

lim

n

n

n

1

1



= 1, a także





n

lim

2

n

n

= 1, więc na podstawie twierdzenia o trzech ciągach mamy, że





n

lim a

n

= 1.