Zbiory ograniczone i kresy zbiorów

Def.

Liczb¦ m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb¦ M

ograniczeniem górnym zbioru X ⊂ R gdy

(

i)

^

x∈X

x ≥ m;

(

ii)

^

x∈X

x ≤ M.

Mówimy, »e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy ma

ograniczenie dolne (odp. górne).

Zbiór nazywamy ograniczonym gdy jest ograniczony z doªu i z góry,

tzn.

_

m,M∈R

^

x∈X

m ≤ x ≤ M.

Zbiory ograniczone i kresy zbiorów

Def.

Liczb¦ m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb¦ M

ograniczeniem górnym zbioru X ⊂ R gdy

(

i)

^

x∈X

x ≥ m;

(

ii)

^

x∈X

x ≤ M.

Mówimy, »e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy ma

ograniczenie dolne (odp. górne).

Zbiór nazywamy ograniczonym gdy jest ograniczony z doªu i z góry,

tzn.

_

m,M∈R

^

x∈X

m ≤ x ≤ M.

Zbiory ograniczone i kresy zbiorów

Def.

Liczb¦ m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb¦ M

ograniczeniem górnym zbioru X ⊂ R gdy

(

i)

^

x∈X

x ≥ m;

(

ii)

^

x∈X

x ≤ M.

Mówimy, »e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy ma

ograniczenie dolne (odp. górne).

Zbiór nazywamy ograniczonym gdy jest ograniczony z doªu i z góry,

tzn.

_

m,M∈R

^

x∈X

m ≤ x ≤ M.

Zbiory ograniczone i kresy zbiorów

Def.

Liczb¦ m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb¦ M

ograniczeniem górnym zbioru X ⊂ R gdy

(

i)

^

x∈X

x ≥ m;

(

ii)

^

x∈X

x ≤ M.

Mówimy, »e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy ma

ograniczenie dolne (odp. górne).

Zbiór nazywamy ograniczonym gdy jest ograniczony z doªu i z góry,

tzn.

_

m,M∈R

^

x∈X

m ≤ x ≤ M.

Zbiory ograniczone i kresy zbiorów

Def.

Liczb¦ m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb¦ M

ograniczeniem górnym zbioru X ⊂ R gdy

(

i)

^

x∈X

x ≥ m;

(

ii)

^

x∈X

x ≤ M.

Mówimy, »e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy ma

ograniczenie dolne (odp. górne).

Zbiór nazywamy ograniczonym gdy jest ograniczony z doªu i z góry,

tzn.

_

m,M∈R

^

x∈X

m ≤ x ≤ M.

Zbiory ograniczone i kresy zbiorów

Def.

Liczb¦ m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb¦ M

ograniczeniem górnym zbioru X ⊂ R gdy

(

i)

^

x∈X

x ≥ m;

(

ii)

^

x∈X

x ≤ M.

Mówimy, »e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy ma

ograniczenie dolne (odp. górne).

Zbiór nazywamy ograniczonym gdy jest ograniczony z doªu i z góry,

tzn.

_

m,M∈R

^

x∈X

m ≤ x ≤ M.

Def.

Liczb¦ a nazywamy kresem dolnym zbioru X ⊂ R je±li jest jego

najwi¦kszym ograniczeniem dolnym, tzn.

^

x∈X

x ≥ a i

^

ε>

0

_

x

0

∈

X

x

0

<

a + ε.

Liczb¦ b nazywamy kresem górnym zbioru X ⊂ R je±li jest jego

najmniejszym ograniczeniem górnym, tzn.

^

x∈X

x ≤ b i

^

ε>

0

_

x

0

∈

X

x

0

>

b − ε.

Kres dolny zbioru X oznaczamy inf X a górny sup X piszemy

równie» inf X = −∞ (sup X = ∞), gdy X nie jest ograniczony z

doªu (odp. z góry).

Twierdzenie (Aksjomat ci¡gªo±ci (zbioru liczb rzeczywistych))

Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny.

(Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z doªu ma kres dolny.)

Def.

Liczb¦ a nazywamy kresem dolnym zbioru X ⊂ R je±li jest jego

najwi¦kszym ograniczeniem dolnym, tzn.

^

x∈X

x ≥ a i

^

ε>

0

_

x

0

∈

X

x

0

<

a + ε.

Liczb¦ b nazywamy kresem górnym zbioru X ⊂ R je±li jest jego

najmniejszym ograniczeniem górnym, tzn.

^

x∈X

x ≤ b i

^

ε>

0

_

x

0

∈

X

x

0

>

b − ε.

Kres dolny zbioru X oznaczamy inf X a górny sup X piszemy

równie» inf X = −∞ (sup X = ∞), gdy X nie jest ograniczony z

doªu (odp. z góry).

Twierdzenie (Aksjomat ci¡gªo±ci (zbioru liczb rzeczywistych))

Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny.

(Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z doªu ma kres dolny.)

Def.

Liczb¦ a nazywamy kresem dolnym zbioru X ⊂ R je±li jest jego

najwi¦kszym ograniczeniem dolnym, tzn.

^

x∈X

x ≥ a i

^

ε>

0

_

x

0

∈

X

x

0

<

a + ε.

Liczb¦ b nazywamy kresem górnym zbioru X ⊂ R je±li jest jego

najmniejszym ograniczeniem górnym, tzn.

^

x∈X

x ≤ b i

^

ε>

0

_

x

0

∈

X

x

0

>

b − ε.

Kres dolny zbioru X oznaczamy inf X a górny sup X piszemy

równie» inf X = −∞ (sup X = ∞), gdy X nie jest ograniczony z

doªu (odp. z góry).

Twierdzenie (Aksjomat ci¡gªo±ci (zbioru liczb rzeczywistych))

Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny.

(Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z doªu ma kres dolny.)

Def.

Liczb¦ a nazywamy kresem dolnym zbioru X ⊂ R je±li jest jego

najwi¦kszym ograniczeniem dolnym, tzn.

^

x∈X

x ≥ a i

^

ε>

0

_

x

0

∈

X

x

0

<

a + ε.

Liczb¦ b nazywamy kresem górnym zbioru X ⊂ R je±li jest jego

najmniejszym ograniczeniem górnym, tzn.

^

x∈X

x ≤ b i

^

ε>

0

_

x

0

∈

X

x

0

>

b − ε.

Kres dolny zbioru X oznaczamy inf X a górny sup X piszemy

równie» inf X = −∞ (sup X = ∞), gdy X nie jest ograniczony z

doªu (odp. z góry).

Twierdzenie (Aksjomat ci¡gªo±ci (zbioru liczb rzeczywistych))

Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny.

(Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z doªu ma kres dolny.)

Def.

Liczb¦ a nazywamy kresem dolnym zbioru X ⊂ R je±li jest jego

najwi¦kszym ograniczeniem dolnym, tzn.

^

x∈X

x ≥ a i

^

ε>

0

_

x

0

∈

X

x

0

<

a + ε.

Liczb¦ b nazywamy kresem górnym zbioru X ⊂ R je±li jest jego

najmniejszym ograniczeniem górnym, tzn.

^

x∈X

x ≤ b i

^

ε>

0

_

x

0

∈

X

x

0

>

b − ε.

Kres dolny zbioru X oznaczamy inf X a górny sup X piszemy

równie» inf X = −∞ (sup X = ∞), gdy X nie jest ograniczony z

doªu (odp. z góry).

Twierdzenie (Aksjomat ci¡gªo±ci (zbioru liczb rzeczywistych))

Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny.

(Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z doªu ma kres dolny.)

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.

Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7,

11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.).

Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

,

−

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

,

−

1

6

,

1

8

,

−

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

,

−

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie,

jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie,

jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,

1, 1,

2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,

1, 1, 2,

3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1,

2, 3,

5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2,

3, 5,

8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3,

5, 8,

13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5,

8, 13,

21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8,

13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,

21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych

to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych

to ci¡g okre±lony

opisowo,
2,

3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,

2, 3,

5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2,

3, 5,

7, 11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3,

5, 7,

11, 13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5,

7, 11,

13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7,

11, 13,

17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11,

13, 17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13,

17, ... .

Ci¡gi liczbowe

Def.

Ci¡giem nazywamy funkcj¦ odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych

w zbiór liczb rzeczywistych.Warto±¢ tej funkcji dla danej liczby

naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy a

n

(b

n

itp.). Ci¡g oznaczamy (a

n

)

a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci

funkcji) {a

n

}

.

Przykªady:

1.

a

n

=

(−

1)

n

2n

to ci¡g okre±lony wzorem,

−

1

2

,

1

4

, −

1

6

,

1

8

, −

1

10

,...

2.

b

1

=

1, b

2

=

1, b

n+2

=

b

n+1

+

b

n

to ci¡g okre±lony

rekurencyjnie, jest to sªynny ci¡g Fibbonaciego,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

3.

(

c

n

)

- ci¡g kolejnych liczb pierwszych to ci¡g okre±lony

opisowo,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

I

Mówimy, »e ci¡g (a

n

)

jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy

zbiór {a

n

}

jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z

góry) [z doªu].

I

Ci¡g (a

n

)

nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy

odpowiednio:
(i)

^

n∈N

a

n

<

a

n+1

;

(ii)

^

n∈N

a

n

≤

a

n+1

.

Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy. Ci¡gi

malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a

nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi. Mówimy te» o

ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.

I

Monotoniczno±¢ ci¡gu (a

n

)

okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy

kolejnych wyrazów a

n+1

−

a

n

. Je±li ci¡g (b

n

)

ma wyrazy

dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz

b

n+1

b

n

z 1.

I

Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:

a

n

jest ograniczony i nie jest monotoniczny,

ci¡g Fibbonaciego b

n

jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i

rosn¡cy od drugiego miejsca,

ci¡g c

n

jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.

I

Mówimy, »e ci¡g (a

n

)

jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy

zbiór {a

n

}

jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z

góry) [z doªu].

I

Ci¡g (a

n

)

nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy

odpowiednio:

(i)

^

n∈N

a

n

<

a

n+1

;

(ii)

^

n∈N

a

n

≤

a

n+1

.

Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy. Ci¡gi

malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a

nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi. Mówimy te» o

ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.

I

Monotoniczno±¢ ci¡gu (a

n

)

okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy

kolejnych wyrazów a

n+1

−

a

n

. Je±li ci¡g (b

n

)

ma wyrazy

dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz

b

n+1

b

n

z 1.

I

Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:

a

n

jest ograniczony i nie jest monotoniczny,

ci¡g Fibbonaciego b

n

jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i

rosn¡cy od drugiego miejsca,

ci¡g c

n

jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.

I

Mówimy, »e ci¡g (a

n

)

jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy

zbiór {a

n

}

jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z

góry) [z doªu].

I

Ci¡g (a

n

)

nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy

odpowiednio:
(i)

^

n∈N

a

n

<

a

n+1

;

(ii)

^

n∈N

a

n

≤

a

n+1

.

Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy.

Ci¡gi

malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a

nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi. Mówimy te» o

ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.

I

Monotoniczno±¢ ci¡gu (a

n

)

okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy

kolejnych wyrazów a

n+1

−

a

n

. Je±li ci¡g (b

n

)

ma wyrazy

dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz

b

n+1

b

n

z 1.

I

Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:

a

n

jest ograniczony i nie jest monotoniczny,

ci¡g Fibbonaciego b

n

jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i

rosn¡cy od drugiego miejsca,

ci¡g c

n

jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.

I

Mówimy, »e ci¡g (a

n

)

jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy

zbiór {a

n

}

jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z

góry) [z doªu].

I

Ci¡g (a

n

)

nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy

odpowiednio:
(i)

^

n∈N

a

n

<

a

n+1

;

(ii)

^

n∈N

a

n

≤

a

n+1

.

Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy. Ci¡gi

malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a

nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi.

Mówimy te» o

ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.

I

Monotoniczno±¢ ci¡gu (a

n

)

okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy

kolejnych wyrazów a

n+1

−

a

n

. Je±li ci¡g (b

n

)

ma wyrazy

dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz

b

n+1

b

n

z 1.

I

Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:

a

n

jest ograniczony i nie jest monotoniczny,

ci¡g Fibbonaciego b

n

jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i

rosn¡cy od drugiego miejsca,

ci¡g c

n

jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.

I

Mówimy, »e ci¡g (a

n

)

jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy

zbiór {a

n

}

jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z

góry) [z doªu].

I

Ci¡g (a

n

)

nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy

odpowiednio:
(i)

^

n∈N

a

n

<

a

n+1

;

(ii)

^

n∈N

a

n

≤

a

n+1

.

Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy.

Ci¡gi

malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a

nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi. Mówimy te» o

ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.

I

Monotoniczno±¢ ci¡gu (a

n

)

okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy

kolejnych wyrazów a

n+1

−

a

n

. Je±li ci¡g (b

n

)

ma wyrazy

dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz

b

n+1

b

n

z 1.

I

Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:

a

n

jest ograniczony i nie jest monotoniczny,

ci¡g Fibbonaciego b

n

jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i

rosn¡cy od drugiego miejsca,

ci¡g c

n

jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.

I

Mówimy, »e ci¡g (a

n

)

jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy

zbiór {a

n

}

jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z

góry) [z doªu].

I

Ci¡g (a

n

)

nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy

odpowiednio:
(i)

^

n∈N

a

n

<

a

n+1

;

(ii)

^

n∈N

a

n

≤

a

n+1

.

Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy. Ci¡gi

malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a

nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi.

Mówimy te» o

ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.

I

Monotoniczno±¢ ci¡gu (a

n

)

okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy

kolejnych wyrazów a

n+1

−

a

n

. Je±li ci¡g (b

n

)

ma wyrazy

dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz

b

n+1

b

n

z 1.

I

Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:

a

n

jest ograniczony i nie jest monotoniczny,

ci¡g Fibbonaciego b

n

jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i

rosn¡cy od drugiego miejsca,

ci¡g c

n

jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.

I

Mówimy, »e ci¡g (a

n

)

jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy

zbiór {a

n

}

jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z

góry) [z doªu].

I

Ci¡g (a

n

)

nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy

odpowiednio:
(i)

^

n∈N

a

n

<

a

n+1

;

(ii)

^

n∈N

a

n

≤

a

n+1

.

Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy. Ci¡gi

malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a

nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi. Mówimy te» o

ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.

I

Monotoniczno±¢ ci¡gu (a

n

)

okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy

kolejnych wyrazów a

n+1

−

a

n

. Je±li ci¡g (b

n

)

ma wyrazy

dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz

b

n+1

b

n

z 1.

I

Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:

a

n

jest ograniczony i nie jest monotoniczny,

ci¡g Fibbonaciego b

n

jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i

rosn¡cy od drugiego miejsca,

ci¡g c

n

jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.

I

Mówimy, »e ci¡g (a

n

)

jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy

zbiór {a

n

}

jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z

góry) [z doªu].

I

Ci¡g (a

n

)

nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy

odpowiednio:
(i)

^

n∈N

a

n

<

a

n+1

;

(ii)

^

n∈N

a

n

≤

a

n+1

.

Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy. Ci¡gi

malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a

nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi. Mówimy te» o

ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.

I

Monotoniczno±¢ ci¡gu (a

n

)

okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy

kolejnych wyrazów a

n+1

−

a

n

. Je±li ci¡g (b

n

)

ma wyrazy

dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz

b

n+1

b

n

z 1.

I

Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:

a

n

jest ograniczony i nie jest monotoniczny,

ci¡g Fibbonaciego b

n

jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i

rosn¡cy od drugiego miejsca,

ci¡g c

n

jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.

I

Mówimy, »e ci¡g (a

n

)

jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy

zbiór {a

n

}

jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z

góry) [z doªu].

I

Ci¡g (a

n

)

nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy

odpowiednio:
(i)

^

n∈N

a

n

<

a

n+1

;

(ii)

^

n∈N

a

n

≤

a

n+1

.

Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy. Ci¡gi

malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a

nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi. Mówimy te» o

ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.

I

Monotoniczno±¢ ci¡gu (a

n

)

okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy

kolejnych wyrazów a

n+1

−

a

n

. Je±li ci¡g (b

n

)

ma wyrazy

dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz

b

n+1

b

n

z 1.

I

Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:

a

n

jest ograniczony i nie jest monotoniczny,

ci¡g Fibbonaciego b

n

jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i

rosn¡cy od drugiego miejsca,

ci¡g c

n

jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.

I

Mówimy, »e ci¡g (a

n

)

jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy

zbiór {a

n

}

jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z

góry) [z doªu].

I

Ci¡g (a

n

)

nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy

odpowiednio:
(i)

^

n∈N

a

n

<

a

n+1

;

(ii)

^

n∈N

a

n

≤

a

n+1

.

Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy. Ci¡gi

malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a

nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi. Mówimy te» o

ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.

I

Monotoniczno±¢ ci¡gu (a

n

)

okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy

kolejnych wyrazów a

n+1

−

a

n

. Je±li ci¡g (b

n

)

ma wyrazy

dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz

b

n+1

b

n

z 1.

I

Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:

a

n

jest ograniczony i nie jest monotoniczny,

ci¡g Fibbonaciego b

n

jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i

rosn¡cy od drugiego miejsca,

ci¡g c

n

jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.

I

Mówimy, »e ci¡g (a

n

)

jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy

zbiór {a

n

}

jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z

góry) [z doªu].

I

Ci¡g (a

n

)

nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy

odpowiednio:
(i)

^

n∈N

a

n

<

a

n+1

;

(ii)

^

n∈N

a

n

≤

a

n+1

.

Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy. Ci¡gi

malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a

nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi. Mówimy te» o

ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.

I

Monotoniczno±¢ ci¡gu (a

n

)

okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy

kolejnych wyrazów a

n+1

−

a

n

. Je±li ci¡g (b

n

)

ma wyrazy

dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz

b

n+1

b

n

z 1.

I

Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:

a

n

jest ograniczony i nie jest monotoniczny,

ci¡g Fibbonaciego b

n

jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i

rosn¡cy od drugiego miejsca,

ci¡g c

n

jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.

I

Mówimy, »e ci¡g (a

n

)

jest ograniczony (z góry) [z doªu] gdy

zbiór {a

n

}

jego wyrazów jest odpowiednio: ograniczony (z

góry) [z doªu].

I

Ci¡g (a

n

)

nazywamy: (i) rosn¡cym, (ii) niemalej¡cym gdy

odpowiednio:
(i)

^

n∈N

a

n

<

a

n+1

;

(ii)

^

n∈N

a

n

≤

a

n+1

.

Analogicznie okre±lamy ci¡gi: malej¡cy i nierosn¡cy. Ci¡gi

malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a

nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicznymi. Mówimy te» o

ci¡gach monotonicznych od pewnego miejsca.

I

Monotoniczno±¢ ci¡gu (a

n

)

okre±lamy badaj¡c znak ró»nicy

kolejnych wyrazów a

n+1

−

a

n

. Je±li ci¡g (b

n

)

ma wyrazy

dodatnie, to mo»emy te» porównywa¢ iloraz

b

n+1

b

n

z 1.

I

Dla ci¡gów z poprzedniego przykªadu zachodzi:

a

n

jest ograniczony i nie jest monotoniczny,

ci¡g Fibbonaciego b

n

jest ograniczony z doªu, niemalej¡cy i

rosn¡cy od drugiego miejsca,

ci¡g c

n

jest ograniczony z doªu i rosn¡cy.

Granica wªa±ciwa ci¡gu

Def. (granica wªa±ciwa)

Mówimy, »e ci¡g a

n

jest zbie»ny do granicy a ∈ R, co zapisujemy

lim a

n

=

a

(

lub lim

n→∞

a

n

=

a)

gdy

^

ε>

0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

|

a

n

−

a| < ε.

Przykªady:

1.

lim

(−

1)

n

2n

=

0.

2.

Ci¡g okre±lony wzorem d

n

= (−

1)

n n

n+1

nie jest zbie»ny do

»adnej granicy.

Granica wªa±ciwa ci¡gu

Def. (granica wªa±ciwa)

Mówimy, »e ci¡g a

n

jest zbie»ny do granicy a ∈ R, co zapisujemy

lim a

n

=

a

(

lub lim

n→∞

a

n

=

a)

gdy

^

ε>

0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

|

a

n

−

a| < ε.

Przykªady:

1.

lim

(−

1)

n

2n

=

0.

2.

Ci¡g okre±lony wzorem d

n

= (−

1)

n n

n+1

nie jest zbie»ny do

»adnej granicy.

Granica wªa±ciwa ci¡gu

Def. (granica wªa±ciwa)

Mówimy, »e ci¡g a

n

jest zbie»ny do granicy a ∈ R, co zapisujemy

lim a

n

=

a

(

lub lim

n→∞

a

n

=

a)

gdy

^

ε>

0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

|

a

n

−

a| < ε.

Przykªady:

1.

lim

(−

1)

n

2n

=

0.

2.

Ci¡g okre±lony wzorem d

n

= (−

1)

n n

n+1

nie jest zbie»ny do

»adnej granicy.

Granica wªa±ciwa ci¡gu

Def. (granica wªa±ciwa)

Mówimy, »e ci¡g a

n

jest zbie»ny do granicy a ∈ R, co zapisujemy

lim a

n

=

a

(

lub lim

n→∞

a

n

=

a)

gdy

^

ε>

0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

|

a

n

−

a| < ε.

Przykªady:

1.

lim

(−

1)

n

2n

=

0.

2.

Ci¡g okre±lony wzorem d

n

= (−

1)

n n

n+1

nie jest zbie»ny do

»adnej granicy.

Granica wªa±ciwa ci¡gu

Def. (granica wªa±ciwa)

Mówimy, »e ci¡g a

n

jest zbie»ny do granicy a ∈ R, co zapisujemy

lim a

n

=

a

(

lub lim

n→∞

a

n

=

a)

gdy

^

ε>

0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

|

a

n

−

a| < ε.

Przykªady:

1.

lim

(−

1)

n

2n

=

0.

2.

Ci¡g okre±lony wzorem d

n

= (−

1)

n n

n+1

nie jest zbie»ny do

»adnej granicy.

Granica wªa±ciwa ci¡gu

Def. (granica wªa±ciwa)

Mówimy, »e ci¡g a

n

jest zbie»ny do granicy a ∈ R, co zapisujemy

lim a

n

=

a

(

lub lim

n→∞

a

n

=

a)

gdy

^

ε>

0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

|

a

n

−

a| < ε.

Przykªady:

1.

lim

(−

1)

n

2n

=

0.

2.

Ci¡g okre±lony wzorem d

n

= (−

1)

n n

n+1

nie jest zbie»ny do

»adnej granicy.

Granice niewªa±ciwe

Mówimy, »e ci¡g a

n

jest zbie»ny do:

1.

∞

, co zapisujemy

lim a

n

= ∞

gdy

^

M>0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

a

n

>

M

2.

−∞

, co zapisujemy lim a

n

= −∞

gdy

^

M>0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

a

n

< −

M

Przykªady:

1.

Ci¡g Fibbonaciego jest zbie»ny do niesko«czono±ci.

2.

lim(n − n

2

) = −∞

.

3.

Ci¡g a

n

= (−

2)

n

nie jest zbie»ny do »adnej granicy.

Granice niewªa±ciwe

Mówimy, »e ci¡g a

n

jest zbie»ny do:

1.

∞

, co zapisujemy lim a

n

= ∞

gdy

^

M>0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

a

n

>

M

2.

−∞

, co zapisujemy

lim a

n

= −∞

gdy

^

M>0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

a

n

< −

M

Przykªady:

1.

Ci¡g Fibbonaciego jest zbie»ny do niesko«czono±ci.

2.

lim(n − n

2

) = −∞

.

3.

Ci¡g a

n

= (−

2)

n

nie jest zbie»ny do »adnej granicy.

Granice niewªa±ciwe

Mówimy, »e ci¡g a

n

jest zbie»ny do:

1.

∞

, co zapisujemy lim a

n

= ∞

gdy

^

M>0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

a

n

>

M

2.

−∞

, co zapisujemy lim a

n

= −∞

gdy

^

M>0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

a

n

< −

M

Przykªady:

1.

Ci¡g Fibbonaciego jest zbie»ny do niesko«czono±ci.

2.

lim(n − n

2

) = −∞

.

3.

Ci¡g a

n

= (−

2)

n

nie jest zbie»ny do »adnej granicy.

Granice niewªa±ciwe

Mówimy, »e ci¡g a

n

jest zbie»ny do:

1.

∞

, co zapisujemy lim a

n

= ∞

gdy

^

M>0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

a

n

>

M

2.

−∞

, co zapisujemy

lim a

n

= −∞

gdy

^

M>0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

a

n

< −

M

Przykªady:

1.

Ci¡g Fibbonaciego jest zbie»ny do niesko«czono±ci.

2.

lim(n − n

2

) = −∞

.

3.

Ci¡g a

n

= (−

2)

n

nie jest zbie»ny do »adnej granicy.

Granice niewªa±ciwe

Mówimy, »e ci¡g a

n

jest zbie»ny do:

1.

∞

, co zapisujemy lim a

n

= ∞

gdy

^

M>0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

a

n

>

M

2.

−∞

, co zapisujemy lim a

n

= −∞

gdy

^

M>0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

a

n

< −

M

Przykªady:

1.

Ci¡g Fibbonaciego jest zbie»ny do niesko«czono±ci.

2.

lim(n − n

2

) = −∞

.

3.

Ci¡g a

n

= (−

2)

n

nie jest zbie»ny do »adnej granicy.

Granice niewªa±ciwe

Mówimy, »e ci¡g a

n

jest zbie»ny do:

1.

∞

, co zapisujemy lim a

n

= ∞

gdy

^

M>0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

a

n

>

M

2.

−∞

, co zapisujemy lim a

n

= −∞

gdy

^

M>0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

a

n

< −

M

Przykªady:

1.

Ci¡g Fibbonaciego jest zbie»ny do niesko«czono±ci.

2.

lim(n − n

2

) = −∞

.

3.

Ci¡g a

n

= (−

2)

n

nie jest zbie»ny do »adnej granicy.

Granice niewªa±ciwe

Mówimy, »e ci¡g a

n

jest zbie»ny do:

1.

∞

, co zapisujemy lim a

n

= ∞

gdy

^

M>0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

a

n

>

M

2.

−∞

, co zapisujemy lim a

n

= −∞

gdy

^

M>0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

a

n

< −

M

Przykªady:

1.

Ci¡g Fibbonaciego jest zbie»ny do niesko«czono±ci.

2.

lim(n − n

2

) = −∞

.

3.

Ci¡g a

n

= (−

2)

n

nie jest zbie»ny do »adnej granicy.

Granice niewªa±ciwe

Mówimy, »e ci¡g a

n

jest zbie»ny do:

1.

∞

, co zapisujemy lim a

n

= ∞

gdy

^

M>0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

a

n

>

M

2.

−∞

, co zapisujemy lim a

n

= −∞

gdy

^

M>0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

a

n

< −

M

Przykªady:

1.

Ci¡g Fibbonaciego jest zbie»ny do niesko«czono±ci.

2.

lim(n − n

2

) = −∞

.

3.

Ci¡g a

n

= (−

2)

n

nie jest zbie»ny do »adnej granicy.

Granice niewªa±ciwe

Mówimy, »e ci¡g a

n

jest zbie»ny do:

1.

∞

, co zapisujemy lim a

n

= ∞

gdy

^

M>0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

a

n

>

M

2.

−∞

, co zapisujemy lim a

n

= −∞

gdy

^

M>0

_

n

0

∈N

^

n>n

0

a

n

< −

M

Przykªady:

1.

Ci¡g Fibbonaciego jest zbie»ny do niesko«czono±ci.

2.

lim(n − n

2

) = −∞

.

3.

Ci¡g a

n

= (−

2)

n

nie jest zbie»ny do »adnej granicy.

Arytmetyka granic

Twierdzenie

Je»eli ci¡gi (a

n

)

i (b

n

)

s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:

1.

lim(a

n

±

b

n

) =

lim a

n

±

lim b

n

),

2.

lim(c · a

n

) =

c · lim a

n

, gdzie c ∈ R,

3.

lim(a

n

·

b

n

) =

lim a

n

·

lim b

n

,

4.

lim

a

n

b

n

=

lim a

n

lim b

n

, o ile lim b

n

6=

0,

5.

lim(a

n

)

k

= (

lim a

n

)

k

, gdzie k ∈ N,

6.

lim

k

√

a

n

=

k

√

lim a

n

.

Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:
a

n

=

3n

3

−

n

2

n

3

+

5n

2

+

n

; b

n

= (

p

n

2

+

10 − n); c

n

=

r

4

n

+

2

n

2

2n

+

3

n

.

Arytmetyka granic

Twierdzenie

Je»eli ci¡gi (a

n

)

i (b

n

)

s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:

1.

lim(a

n

±

b

n

) =

lim a

n

±

lim b

n

),

2.

lim(c · a

n

) =

c · lim a

n

, gdzie c ∈ R,

3.

lim(a

n

·

b

n

) =

lim a

n

·

lim b

n

,

4.

lim

a

n

b

n

=

lim a

n

lim b

n

, o ile lim b

n

6=

0,

5.

lim(a

n

)

k

= (

lim a

n

)

k

, gdzie k ∈ N,

6.

lim

k

√

a

n

=

k

√

lim a

n

.

Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:
a

n

=

3n

3

−

n

2

n

3

+

5n

2

+

n

; b

n

= (

p

n

2

+

10 − n); c

n

=

r

4

n

+

2

n

2

2n

+

3

n

.

Arytmetyka granic

Twierdzenie

Je»eli ci¡gi (a

n

)

i (b

n

)

s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:

1.

lim(a

n

±

b

n

) =

lim a

n

±

lim b

n

),

2.

lim(c · a

n

) =

c · lim a

n

, gdzie c ∈ R,

3.

lim(a

n

·

b

n

) =

lim a

n

·

lim b

n

,

4.

lim

a

n

b

n

=

lim a

n

lim b

n

, o ile lim b

n

6=

0,

5.

lim(a

n

)

k

= (

lim a

n

)

k

, gdzie k ∈ N,

6.

lim

k

√

a

n

=

k

√

lim a

n

.

Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:
a

n

=

3n

3

−

n

2

n

3

+

5n

2

+

n

; b

n

= (

p

n

2

+

10 − n); c

n

=

r

4

n

+

2

n

2

2n

+

3

n

.

Arytmetyka granic

Twierdzenie

Je»eli ci¡gi (a

n

)

i (b

n

)

s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:

1.

lim(a

n

±

b

n

) =

lim a

n

±

lim b

n

),

2.

lim(c · a

n

) =

c · lim a

n

, gdzie c ∈ R,

3.

lim(a

n

·

b

n

) =

lim a

n

·

lim b

n

,

4.

lim

a

n

b

n

=

lim a

n

lim b

n

, o ile lim b

n

6=

0,

5.

lim(a

n

)

k

= (

lim a

n

)

k

, gdzie k ∈ N,

6.

lim

k

√

a

n

=

k

√

lim a

n

.

Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:
a

n

=

3n

3

−

n

2

n

3

+

5n

2

+

n

; b

n

= (

p

n

2

+

10 − n); c

n

=

r

4

n

+

2

n

2

2n

+

3

n

.

Arytmetyka granic

Twierdzenie

Je»eli ci¡gi (a

n

)

i (b

n

)

s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:

1.

lim(a

n

±

b

n

) =

lim a

n

±

lim b

n

),

2.

lim(c · a

n

) =

c · lim a

n

, gdzie c ∈ R,

3.

lim(a

n

·

b

n

) =

lim a

n

·

lim b

n

,

4.

lim

a

n

b

n

=

lim a

n

lim b

n

, o ile lim b

n

6=

0,

5.

lim(a

n

)

k

= (

lim a

n

)

k

, gdzie k ∈ N,

6.

lim

k

√

a

n

=

k

√

lim a

n

.

Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:
a

n

=

3n

3

−

n

2

n

3

+

5n

2

+

n

; b

n

= (

p

n

2

+

10 − n); c

n

=

r

4

n

+

2

n

2

2n

+

3

n

.

Arytmetyka granic

Twierdzenie

Je»eli ci¡gi (a

n

)

i (b

n

)

s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:

1.

lim(a

n

±

b

n

) =

lim a

n

±

lim b

n

),

2.

lim(c · a

n

) =

c · lim a

n

, gdzie c ∈ R,

3.

lim(a

n

·

b

n

) =

lim a

n

·

lim b

n

,

4.

lim

a

n

b

n

=

lim a

n

lim b

n

, o ile lim b

n

6=

0,

5.

lim(a

n

)

k

= (

lim a

n

)

k

, gdzie k ∈ N,

6.

lim

k

√

a

n

=

k

√

lim a

n

.

Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:

a

n

=

3n

3

−

n

2

n

3

+

5n

2

+

n

; b

n

= (

p

n

2

+

10 − n); c

n

=

r

4

n

+

2

n

2

2n

+

3

n

.

Arytmetyka granic

Twierdzenie

Je»eli ci¡gi (a

n

)

i (b

n

)

s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:

1.

lim(a

n

±

b

n

) =

lim a

n

±

lim b

n

),

2.

lim(c · a

n

) =

c · lim a

n

, gdzie c ∈ R,

3.

lim(a

n

·

b

n

) =

lim a

n

·

lim b

n

,

4.

lim

a

n

b

n

=

lim a

n

lim b

n

, o ile lim b

n

6=

0,

5.

lim(a

n

)

k

= (

lim a

n

)

k

, gdzie k ∈ N,

6.

lim

k

√

a

n

=

k

√

lim a

n

.

Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:
a

n

=

3n

3

−

n

2

n

3

+

5n

2

+

n

;

b

n

= (

p

n

2

+

10 − n); c

n

=

r

4

n

+

2

n

2

2n

+

3

n

.

Arytmetyka granic

Twierdzenie

Je»eli ci¡gi (a

n

)

i (b

n

)

s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:

1.

lim(a

n

±

b

n

) =

lim a

n

±

lim b

n

),

2.

lim(c · a

n

) =

c · lim a

n

, gdzie c ∈ R,

3.

lim(a

n

·

b

n

) =

lim a

n

·

lim b

n

,

4.

lim

a

n

b

n

=

lim a

n

lim b

n

, o ile lim b

n

6=

0,

5.

lim(a

n

)

k

= (

lim a

n

)

k

, gdzie k ∈ N,

6.

lim

k

√

a

n

=

k

√

lim a

n

.

Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:

a

n

=

3n

3

−

n

2

n

3

+

5n

2

+

n

; b

n

= (

p

n

2

+

10 − n);

c

n

=

r

4

n

+

2

n

2

2n

+

3

n

.

Arytmetyka granic

Twierdzenie

Je»eli ci¡gi (a

n

)

i (b

n

)

s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:

1.

lim(a

n

±

b

n

) =

lim a

n

±

lim b

n

),

2.

lim(c · a

n

) =

c · lim a

n

, gdzie c ∈ R,

3.

lim(a

n

·

b

n

) =

lim a

n

·

lim b

n

,

4.

lim

a

n

b

n

=

lim a

n

lim b

n

, o ile lim b

n

6=

0,

5.

lim(a

n

)

k

= (

lim a

n

)

k

, gdzie k ∈ N,

6.

lim

k

√

a

n

=

k

√

lim a

n

.

Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:
a

n

=

3n

3

−

n

2

n

3

+

5n

2

+

n

;

b

n

= (

p

n

2

+

10 − n); c

n

=

r

4

n

+

2

n

2

2n

+

3

n

.

Arytmetyka granic

Twierdzenie

Je»eli ci¡gi (a

n

)

i (b

n

)

s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:

1.

lim(a

n

±

b

n

) =

lim a

n

±

lim b

n

),

2.

lim(c · a

n

) =

c · lim a

n

, gdzie c ∈ R,

3.

lim(a

n

·

b

n

) =

lim a

n

·

lim b

n

,

4.

lim

a

n

b

n

=

lim a

n

lim b

n

, o ile lim b

n

6=

0,

5.

lim(a

n

)

k

= (

lim a

n

)

k

, gdzie k ∈ N,

6.

lim

k

√

a

n

=

k

√

lim a

n

.

Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:
a

n

=

3n

3

−

n

2

n

3

+

5n

2

+

n

; b

n

= (

p

n

2

+

10 − n);

c

n

=

r

4

n

+

2

n

2

2n

+

3

n

.

Arytmetyka granic

Twierdzenie

Je»eli ci¡gi (a

n

)

i (b

n

)

s¡ zbie»ne do granic wªa±ciwych, to:

1.

lim(a

n

±

b

n

) =

lim a

n

±

lim b

n

),

2.

lim(c · a

n

) =

c · lim a

n

, gdzie c ∈ R,

3.

lim(a

n

·

b

n

) =

lim a

n

·

lim b

n

,

4.

lim

a

n

b

n

=

lim a

n

lim b

n

, o ile lim b

n

6=

0,

5.

lim(a

n

)

k

= (

lim a

n

)

k

, gdzie k ∈ N,

6.

lim

k

√

a

n

=

k

√

lim a

n

.

Wyznaczy¢ granice danych ci¡gów:
a

n

=

3n

3

−

n

2

n

3

+

5n

2

+

n

; b

n

= (

p

n

2

+

10 − n); c

n

=

r

4

n

+

2

n

2

2n

+

3

n

.

Twierdzenie

1.

Je±li lima

n

= ±∞

, to lim

1

a

n

=

0.

2.

Je»eli lim a

n

=

0 i a

n

>

0 (a

n

<

0), to lim

1

a

n

= ∞ (−∞)

.

Twierdzenie (O trzech ci¡gach)

Je»eli lim a

n

=

lim c

n

=

b oraz a

n

≤

b

n

≤

c

n

dla prawie wszystkich

n ∈ N, to lim b

n

=

b.

Przykªady:

1.

lim

n

√

n = 1;

2.

lim

n

√

a = 1 dla dowolnego a > 0;

3.

Wyznaczy¢ granic¦ ci¡gu a

n

=

n

√

2

n

+

5

n

.

Twierdzenie

1.

Je±li lima

n

= ±∞

, to lim

1

a

n

=

0.

2.

Je»eli lim a

n

=

0 i a

n

>

0 (a

n

<

0), to lim

1

a

n

= ∞ (−∞)

.

Twierdzenie (O trzech ci¡gach)

Je»eli lim a

n

=

lim c

n

=

b oraz a

n

≤

b

n

≤

c

n

dla prawie wszystkich

n ∈ N, to lim b

n

=

b.

Przykªady:

1.

lim

n

√

n = 1;

2.

lim

n

√

a = 1 dla dowolnego a > 0;

3.

Wyznaczy¢ granic¦ ci¡gu a

n

=

n

√

2

n

+

5

n

.

Twierdzenie

1.

Je±li lima

n

= ±∞

, to lim

1

a

n

=

0.

2.

Je»eli lim a

n

=

0 i a

n

>

0 (a

n

<

0), to lim

1

a

n

= ∞ (−∞)

.

Twierdzenie (O trzech ci¡gach)

Je»eli lim a

n

=

lim c

n

=

b oraz a

n

≤

b

n

≤

c

n

dla prawie wszystkich

n ∈ N, to lim b

n

=

b.

Przykªady:

1.

lim

n

√

n = 1;

2.

lim

n

√

a = 1 dla dowolnego a > 0;

3.

Wyznaczy¢ granic¦ ci¡gu a

n

=

n

√

2

n

+

5

n

.

Twierdzenie

1.

Je±li lima

n

= ±∞

, to lim

1

a

n

=

0.

2.

Je»eli lim a

n

=

0 i a

n

>

0 (a

n

<

0), to lim

1

a

n

= ∞ (−∞)

.

Twierdzenie (O trzech ci¡gach)

Je»eli lim a

n

=

lim c

n

=

b oraz a

n

≤

b

n

≤

c

n

dla prawie wszystkich

n ∈ N, to lim b

n

=

b.

Przykªady:

1.

lim

n

√

n = 1;

2.

lim

n

√

a = 1 dla dowolnego a > 0;

3.

Wyznaczy¢ granic¦ ci¡gu a

n

=

n

√

2

n

+

5

n

.

Twierdzenie

1.

Je±li lima

n

= ±∞

, to lim

1

a

n

=

0.

2.

Je»eli lim a

n

=

0 i a

n

>

0 (a

n

<

0), to lim

1

a

n

= ∞ (−∞)

.

Twierdzenie (O trzech ci¡gach)

Je»eli lim a

n

=

lim c

n

=

b oraz a

n

≤

b

n

≤

c

n

dla prawie wszystkich

n ∈ N, to lim b

n

=

b.

Przykªady:

1.

lim

n

√

n = 1;

2.

lim

n

√

a = 1 dla dowolnego a > 0;

3.

Wyznaczy¢ granic¦ ci¡gu a

n

=

n

√

2

n

+

5

n

.

Twierdzenie

1.

Je±li lima

n

= ±∞

, to lim

1

a

n

=

0.

2.

Je»eli lim a

n

=

0 i a

n

>

0 (a

n

<

0), to lim

1

a

n

= ∞ (−∞)

.

Twierdzenie (O trzech ci¡gach)

Je»eli lim a

n

=

lim c

n

=

b oraz a

n

≤

b

n

≤

c

n

dla prawie wszystkich

n ∈ N, to lim b

n

=

b.

Przykªady:

1.

lim

n

√

n = 1;

2.

lim

n

√

a = 1 dla dowolnego a > 0;

3.

Wyznaczy¢ granic¦ ci¡gu a

n

=

n

√

2

n

+

5

n

.