1

Ćwiczenie 2

Stosunek prędkości średniej do maksymalnej

I.

Celem ćwiczenia jest eksperymentalne określenie stosunku prędkości średniej do

maksymalnej przy przepływie powietrza przez przewód o przekroju kołowym.

II.

Wprowadzenie

Rozważmy ustalony przepływ nieściśliwego lepkiego płynu przez przewód

kołowy o stałej średnicy D 2R

=

. Pomijamy siły masowe (G 0)

=

. Do rozważań

wybieramy cylindryczny układ współrzędnych (r, φ, z) związany z przewodem w taki

sposób, że oś

z pokrywa się z geometryczną osią rury, a jej zwrot jest zgodny ze

zwrotem wektora prędkości. Zakładamy, że pole prędkości przepływu

v jest

symetryczne względem tej osi i jest funkcją promienia

r.

Przyjmując, że ruch jest laminarny, możemy taki przepływ opisać równaniem

Naviera-Stokesa w postaci:

2

2

1 dp

d v

1 dv

dz

dr

r dr





= ν

+





ρ





(2.1)

gdzie: ρ – gęstość płynu (ρ = const),

p – ciśnienie,

ν

– kinematyczny współczynnik lepkości (ν = const).

Gradient ciśnienia równoległy do osi rury (gdyż

G 0

=

) jest stały i równy:

dp

p

const

dz

L

∆

= −

=

(2.2)

gdzie: ∆p – różnica ciśnień między przekrojami rury odległymi o L.

2

Rys.2.1.

Kinematyczny współczynnik lepkości powietrza w funkcji temperatury i ciśnienia

Zatem

2

2

1 p

d v

1 dv

L

dr

r dr





∆

−

= ν

+





ρ





Powyższą postać równania możemy przekształcić następująco:

1 p

1 d

dv

r

L

r dr

dr

∆





−

= ν





ρ





Po dwukrotnym scałkowaniu otrzymujemy:

[

]

2

1

2

1 p r

v(r) C ln r C

L 4

∆

−

= ν

+

+

ρ

(2.3)

Rozwiązanie (2.3) musi być ze względów fizycznych ograniczone do każdego r, w

szczególności dla r

0

=

. Zatem

1

C

0

=

, gdyż

r

0

limln r

→

= −∞

. Natomiast prędkość płynu

lepkiego na powierzchni kontaktu z ciałem stałym równa się zeru:

__

r

R,

0

_

v

=

=

Wobec tego zachodzi:

2

2

pR

C

4L

∆

= −

µ

3

Poszukiwaną funkcję v(r) może napisać w postaci

2

2

2

pR

r

v(r)

1

4 L

R





∆

=

−





µ





(2.4)

gdzie: µ – dynamiczny współczynnik lepkości.

Profil prędkości przedstawiony zależnością (2.4) ma kształt paraboloidy obrotowej.

Funkcja (2.4) w osi przewodu (r 0)

=

ma maksimum równe:

2

max

pR

v

v(r 0)

4 L

∆

=

= =

µ

(2.5)

Całkując prędkość (2.4) po powierzchni przekroju przewodu, oblicza się strumień

objętości:

R

R

2

2

4

2

F

0

0

2

pR

r

pR

Q

vdF 2

rv(r)dr

r 1

dr

4 L

R

8 L





π∆

π∆

=

= π

=

−

=





µ

µ





∫

∫

∫

(2.6)

Prędkość średnią możemy wyliczyć z definicyjnej zależności:

4

2

sr

2

Q

pR

pR

v

F

8 L R

8 L

π∆

∆

= =

=

µ π

µ

(2.7)

Porównując (2.5) i (2.7) widzimy, że w ruchu laminarnym prędkość średnia równa jest

połowie prędkości maksymalnej.

sr

max

1

v

v

2

=

(2.8)

W przepływie turbulentnym profil prędkości różni się znacznie od rozkładu

prędkości odpowiadającemu ruchowi laminarnemu. Prędkość nieznacznie zmienia się w

podstawowym rdzeniu strumienia płynu i szybko maleje w pobliżu ścianek.

Bezpośrednio przy ściance przewodu znajduje się laminarna warstwa przyścienna o

grubości δ, w której prędkość jest liniową funkcja zmiennej r.

(

)

0

v

R r

τ

=

−

µ

(2.9)

gdzie: τ

0

– naprężenie styczne na ściance.

Natomiast w pozostałej części przekroju profil prędkości w ruchu turbulentnym wyraża

zależność:

4

n

max

r

v

v

1

R





=

−









(2.10)

Wzór (2.10) nazywany jest wzorem potęgowym Prandtla.

Rys.2.2.

Rozkład prędkości w warstwie przyściennej i w rdzeniu turbulentnym

Wartości współczynnika n ustalane są na podstawie pomiarów. Jak wynika z tych

eksperymentów, wartość wykładnika potęgowego zależy od liczby Reynoldsa i maleje

wraz z jej wzrostem.

Z zależności (2.10) przy założeniu, że

R

δ <<

określamy średnią prędkość przepływu

(

)(

)

n

R

max

sr

max

2

0

2v

Q

1

r

v

v

1

2 rdr

F

R

R

n 1 n 2





= =

−

π

=





π

+

+





∫

(2.11)

Stosunek prędkości średniej do maksymalnej przy przepływie turbulentnym jet więc

równy

(

)(

)

sr

max

v

2

k

v

n 1 n 2

=

=

+

+

(2.12)

Dla liczb Reynoldsa z przedziału (10

4

÷10

7

) współczynnik k liczony ze wzoru (2.12)

przyjmuje wartości z zakresu (0,8÷0,9).

III.

Pomiar prędkości miejscowych

Pomiaru prędkości miejscowych dokonuje się zwykle przy pomocy rurek

piętrzących: Pitota i Prandtla. Jeżeli w poruszającym się płynie zostanie zanurzone ciało,

5

to nastąpi spiętrzenie przepływu oraz rozdział strug dookoła tego ciała. W punkcie

stagnacji S (rys.2.3) znajdującym się w środku obszaru spiętrzania, prędkość przepływu

jest równa zeru (v = 0).

Rys.2.3.

Punkt stagnacji

Równanie Bernoulliego dla „zatrzymanej” linii prądu ma postać:

v

p

p

2g

g

g

∞

∞

+

=

ρ

ρ

(2.13)

gdzie: v

∞

, p

∞

- prędkość i ciśnienie w przepływie niezakłóconym,

p – ciśnienie statyczne w punkcie stagnacji.

Przekształcając równanie (2.13) otrzymujemy:

2

v

p p

2

∞

∞

ρ

=

+

(2.14)

Ciśnienie p będące sumą ciśnienia statycznego p

∞

i ciśnienia dynamicznego

2

v

2

∞

ρ

nazywamy ciśnieniem całkowitym. Wynika stąd, że ciśnienie w punkcie stagnacji jest

ciśnieniem całkowitym i jeśli tam zostanie wykonany otwór, to wewnątrz niego będzie

panowało ciśnienie całkowite. Wyznaczenie prędkości przepływu można, zatem

sprowadzić do pomiaru ciśnienia spiętrzania oraz pomiaru ciśnienia statycznego.

Taka metoda pomiaru prędkości realizowana jest przy pomocy rurki Pitota.

Ciśnienie całkowite mierzone jest w punkcie spiętrzania, a statyczne na ściance

rurociągu. Wymaga to jednak założenia, że ciśnienie statyczne w całym przekroju jest

stałe.

6

Z tego względu wygodniej jest posługiwać się rurką Prandtla, umożliwiającą

pomiar zarówno ciśnienia statycznego, dynamicznego i całkowitego. Schemat tego

przyrządu przedstawia rys.2.4.

Rys.2.4.

Rurka Prandtla.

Sonda tego typu pozwala na pomiar ciśnienia różnicowego całkowitego i

statycznego. Ciśnienie całkowite odbierane jest w punkcie stagnacji 2. Ciśnienie

statyczne działa na pobocznicę rurki umieszczonej równolegle do kierunku przepływu.

Różnica ta jest ciśnieniem dynamicznym.

Jak wynika z równania Bernoulliego, w rozważanym przypadku:

2

2

1

1

2

2

p

v

p

v

2

2

+

=

+

ρ

ρ

(2.15)

gdzie: p

1

, p

2

, v

1

, v

2

– ciśnienia i prędkości w punktach 1 i 2 (rys.2.4).

Prędkość v

2

= 0 (punkt stagnacji), a zatem mierzona prędkość przepływu wynosi:

1

d

2

v

v

p

=

=

ρ

(2.16)

gdzie: p

d

= p

2

– p

1

– ciśnienie dynamiczne,

ρ – gęstość płynu.

Ciśnienie dynamiczne, określone jako różnice ciśnienia całkowitego i statycznego,

mierzymy za pomocą mikromanometru z rurką pochyłą.

IV.

Zasada pomiaru ciśnienia przy pomocy mikromanometru z rurką pochyłą

Mikromanometr z rurką pochyłą stosuje się przy pomiarze małych ciśnień

(rys.2.5). Składa się on ze zbiornika pomiarowego (1) zamocowanego na podstawie (2),

7

szklanej rurki (3) umieszczonej na ramieniu. Ramię to składa się z kątownika (4),

uchwytów (5) i prowadnicy wskaźnika (6). Rurka pomiarowa połączona jest ze

zbiornikiem przewodem metalowym. Kurek rozdzielczy zamocowany na pokrywie

zbiornika posiada dwie końcówki oznaczone (+) i (-), które służą do podłączenia

mikromanometru z przestrzenią pomiarową. Przy ustawieniu kurka rozdzielczego w

pozycji „Z” podłącza się węże doprowadzające ciśnienie, w pozycji „O” sprawdza się

punkt zerowy, w pozycji „P” wykonuje się pomiar.

Rys.2.5.

Schemat mikromanometru z rurką pochyłą

1 – zbiornik pomiarowy, 2 – podstawa, 3 – rurka pomiarowa, 4 – kątownik, 5 – uchwyty, 6 –

prowadnica wskaźnika, 7 – kurek rozdzielczy, 8 – ramię, 9 – śruby, 10 – otwór do napełniania

zbiornika, 11 – poziomica.

Możliwość zmiany nachylenia ramienia mikromanometru pozwala na

zwiększenie dokładności pomiaru różnicy wysokości cieczy manometrycznej w

zbiorniku i rurce. Przed pomiarem, jeżeli na ciecz w zbiorniczku i rurce działa ciśnienie

atmosferyczne, zwierciadło cieczy znajduje się na poziomie 0 – 0 (rys.2.6). Jeżeli do

zbiorniczka doprowadzi się ciśnienie p > p

g

(przez końcówkę „+”), wówczas poziom

wody w zbiorniczku obniży się o wartość h

1

, a w rurce przesunie się na długości l.

Rzeczywista różnica wysokości cieczy manometrycznej, równoważąca mierzone

ciśnienie wynosi:

8

=

+

1

2

h

h

h

(2.17)

Objętość cieczy, która wypłynęła ze zbiorniczka jest równa objętości cieczy, która

wpłynęła do rurki, a więc:

⋅ = ⋅

1

r

F h

F l

(2.18)

A po przekształceniu

= ⋅

r

1

F

h

l

F

(2.19)

Gdzie F oznacza pole powierzchni przekroju zbiorniczka, a F

r

pole powierzchni

przekroju rurki. Wartość h

2

wynosi

= ⋅

α

2

h

l sin

(2.20)

Rys.2.6.

Zasada działania mikromanometru z rurką pochyłą

Wstawiając wyrażenia (2.19) i (2.20) do (2.17) uzyskuje się





= ⋅ + ⋅

α =

+

α = ⋅









r

r

F

F

h

l

l sin

l

sin

l n

F

F

(2.21)

Gdzie

= +

α

r

F

n

sin

F

jest przełożeniem manometru, podanym na ramieniu zmiany

przełożenia (8), w zależności od nachylenia rurki.

Bezwzględna wartość mierzonego ciśnienia, obliczona w identyczny sposób, jak

w przypadku U-rurki, wynosi

=

+ γ ⋅ =

+ ρ ⋅ ⋅ ⋅

a

cm

a

cm

p p

h

p

g l n

Zaś nadciśnienia

= ρ ⋅ ⋅ ⋅

n

cm

p

g l n

W przypadku pomiaru podciśnienia, przewód doprowadza się do końcówki (-), a

kurek rozdzielczy ustawia się w położenie „O” umożliwiając kontakt cieczy w

9

zbiorniczku z ciśnieniem atmosferycznym. Przy pomiarze różnicy ciśnień wyższe

ciśnienie doprowadza się do końcówki (+), niższe do końcówki (-).

Przed przystąpieniem do właściwych pomiarów przyrząd należy wypoziomować

i wyzerować.

V.

Przebieg ćwiczenia

Schemat stanowiska przedstawiono na rys.2.3. Zestaw pomiarowy składa się

wentylatora wywołującego przepływ powietrza przez odcinek rurowy, gazomierza

turbinowego (2) z korektorem objętości (1) oraz z rurki Prandtla (3) połączonej z

mikromanometrem z rurką pochyłą typu MPR-4. Pomiar temperatury powietrza

dokonuje się termometrem.

Rys.2.7.

Schemat stanowiska pomiarowego

Sposób wykonania ćwiczenia

1.

Przygotować mikromanometr do pomiaru.

2.

Zmierzyć wielkość średnicy rurociągu.

3.

Podłączyć rurkę Pitota-Prandtla do mikromanometru.

4.

Ustalić maksymalny przepływ powietrza.

5.

Dokonać za pomocą rurki Pitota-Prandtla pomiaru ciśnienia dynamicznego

d

p

.

6.

Zmniejszając stopniowo natężenie przepływu powietrza wykonać 10 pomiarów

d

p

.

7.

Obliczyć prędkość

m

v

i wyniki wpisać do tabeli - przyjąć ρ = 1,292923 [kg/m

3

]

10

8.

Obliczyć prędkość średnią

sr

v

oraz jej stosunek do prędkości maksymalnej

m

v

.

9.

Obliczyć liczbę Reynoldsa Re ,

sr

v D

Re

=

ν

- kinematyczny współczynnik lepkości

odczytujemy z wykresu (rys.2.1).

10.

Wykonać wykres

( )

Re

=

sr

m

v

v

f

.

VI. Bibliografia

1.

Bohdan T., Charun H., Ewertowska Z., Majka K., Sławecki J. „Ćwiczenia
laboratoryjne z mechaniki płynów”, Wydawnictwo Uczelniane Politechniki
Koszalińskiej, Koszalin 2001.

2.

Filek K., Roszczynialski W., Wacławik J. „Laboratorium mechaniki płynów z
elementami pomiaroznawstwa”, Wydawnictwo AGH, Kraków 1990.

11

Karta pomiaru stosunku prędkości średniej do maksymalnej

Imię i nazwisko studenta: 1 ………………………………………………………………………….…………….

2 ………………………………………………………………………….…………….

3 ………………………………………………………………….…………………….

4 ……………………………….……………………………………………………….

Rok studiów: ………………………………………

Grupa: ……………..…………………………………

Data: …………………………………………………..

Godzina: …………………………………………….

Temperatura otoczenia: ……………………...

Ciśnienie otoczenia: ……………………………

Rodzaj gazu przepływającej przez przewód rurowy: …..…………………………………………………

Temperatura gazu: ……………………………..

Średnica wewnętrzna przewodu rurowego: …………………………………………………………

Rodzaj cieczy manometrycznej w mikromanometrze: …………………………………………………...

Gęstość cieczy manometrycznej: …………………………………………………………………………………..

Tab.1.1. Zestawienie wyników pomiaru

Pomiar, nr

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Objętościowe natężenie
przepływu – Q [m

3

/s]

Prędkość średnia
– v

sr

[m/s]

Wysokość ciśnienia
dynamicznego – l [mm]

Ciśnienie dynamiczne
– p

d

[Pa]

Prędkość maksymalna
przepływu – v

m

[m/s]

Stosunek v

sr

/v

m

Liczba Reynoldsa –

Re