1
Elementy algebry liniowej
1.1
Dzia lania na macierzach
Definicja: Macierz o wymiarach m
× n to prostok
,
atna tablica liczb
A =
a
11
. . .
a
1n
. . . . . .
. . .
a
m1
. . . a
mn
z lo˙zona z m wierszy i n kolumn. M´
owimy, ˙ze dwie macierze
A =
a
11
. . .
a
1n
. . . . . .
. . .
a
m1
. . . a
mn
i
B =
b
11
. . .
b
1n
. . . . . .
. . .
b
m1
. . . b
mn
s
,
a r´
owne, je´sli a
ij
= b
ij
dla wszystkich i = 1, 2, . . . , m i j = 1, 2, . . . , n
Przyk lad:
A =
"
1 2 3
4 5 6
#
, B =
"
−1
5
0
0
−2 −4
#
,
C =
1 4
2 5
3 6
, D =
−1
0
5
−2
0
−4
Θ =
0 0
0 0
0 0
, Θ =
"
0 0 0
0 0 0
#
− macierze zerowe,
I =
"
1 0
0 1
#
, I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
− macierze jednostkowe.
"
a 0
0 d
#
,
a 0 0
0
b 0
0 0
c
− macierze diagonalne,
"
a
b
0 d
#
,
"
a 0
c d
#
,
a 0
0
b
c
0
d e f
a
b
c
0 d
e
0 0 f
- macierze tr´
ojk
,
atne.
Macierze kt´
ore maj
,
a tylko jedn
,
a kolumn
,
e i m wierszy nazywamy wektorami (kolum-
nowymi).
1
Przyk lad:
~
x =
1
2
3
, ~
y =
"
−1
2
#
, ~0 =
0
0
0
− wektory kolumnowe
Macierze kt´
ore maj
,
a tylko jeden wiersz i n kolumn nazywamy wektorami (wierszo-
wymi).
Przyk lad:
~
x =
h
1 2 3
i
, ~
y =
h
−1 2
i
, ~0 =
h
0 0 0
i
− wektory wierszowe
Liczby b
,
edziemy r´
ownie˙z nazywa´
c skalarami.
Dodawanie i odejmowanie macierzy
Dwie macierze dodajemy (odejmujemy) dodaj
,
ac (odejmuj
,
ac) odpowiadaj
,
ace sobie
wyrazy. Stad wynika, ˙ze dodawanie jest wykonalne wtedy i tylko wtedy, gdy macie-
rze maj
,
a te same wymiary.
Przyk lad:
A + B =
"
1 2 3
4 5 6
#
+
"
−1
5
0
0
−2 −4
#
=
"
0 7 3
4 3 2
#
,
C
− D =
1 4
2 5
3 6
−
−1
0
5
−2
0
−4
=
2
4
−3
7
3 10
.
C + Θ =
1 4
2 5
3 6
+
0 0
0 0
0 0
=
1 4
2 5
3 6
.
Dzia lanie
A + D =
"
1 2 3
4 5 6
#
+
−1
0
5
−2
0
−4
nie jest wykonalne, bo macierze A i D maj
,
a r´
o˙zne wymiary.
Og´
olnie
a
11
. . .
a
1k
. . . . . .
. . .
a
m1
. . . a
mk
±
b
11
. . . b
1n
. . . . . .
. . .
b
k1
. . . b
kn
=
a
11
± b
11
. . .
a
1n
± b
1n
. . . . . .
. . .
a
m1
± b
m1
. . . a
mn
± b
mn
.
2
Mno ˙zenie przez skalar
Aby pomno˙zy´
c macierz przez skalar, trzeba pomno˙zy´
c ka˙zdy wyraz macierzy przez
ten skalar.
Przyk lad:
3A = 3
"
1 2 3
4 5 6
#
=
"
3
6
9
12 15 18
#
−2C = −2
1 4
2 5
3 6
=
−2
−8
−4 −10
−6 −12
.
Og´
olnie
c
a
11
. . .
a
1k
. . . . . .
. . .
a
m1
. . . a
mk
=
ca
11
. . .
ca
1n
. . . . . .
. . .
ca
m1
. . . ca
mn
Transpozycja
Definicja: Macierz
,
a transponowan
,
a macierzy M jest macierz M
T
otrzymana z M
przez utworzenie wierszy z kolumn (co jest r´
ownowa˙zne z przekszta lceniem wierszy
w kolumny). Macierz, kt´
ora jest r´
owna swojej macierzy transponowanej, nazywamy
macierz
,
a symetryczn
,
a.
Przyk lad:
A
T
=
"
1 2 3
4 5 6
#
T
=
1 4
2 5
3 6
= C,
D
T
=
−1
0
5
−2
0
−4
T
=
"
−1
5
0
0
−2 −4
#
= B.
"
1
2
2
−1
#
T
=
"
1
2
2
−1
#
,
1
−2
5
−2
3
0
5
0
−5
T
=
1
−2
5
−2
3
0
5
0
−5
− macierze symetryczne.
Wynikiem transponowania macierzy transponowanej jest macierz wyj´sciowa, tzn.:
(M
T
)
T
= M.
3
Mno ˙zenie macierzy
Je˙zeli R jest macierz
,
a o wymiarach m
× n , a S jest macierz
,
a o wymiarach n
× p, to
iloczyn RS jest macierz
,
a o wymiarach m
×p. Mno˙zenie jest wykonalne tylko wtedy,
gdy liczba kolumn pierwszej macierzy jest r´
owna liczbie wierszy drugiej macierzy. Me-
tod
,
e obliczania iloczynu macierzy najpierw poka˙zemy na przyk ladach.
Przyk lad:
AD =
"
1 2 3
4 5 6
#
−1
0
5
−2
0
−4
=
"
1
· (−1) + 2 · 5 + 3 · 0 1 · 0 + 2 · (−2) + 3 · (−4)
4
· (−1) + 5 · 5 + 6 · 0 4 · 0 + 5 · (−2) + 6 · (−4)
#
=
"
9
−16
21
−34
#
,
BC =
"
−1
5
0
0
−2 −4
#
1 4
2 5
3 6
=
"
9
21
−16 −34
#
.
Zauwa˙zmy, ˙ze (AD)
T
= BC = D
T
A
T
.
CB =
1 4
2 5
3 6
"
−1
5
0
0
−2 −4
#
=
−1 −3 −16
−2
0
−20
−3
3
−24
,
AI =
"
1 2 3
4 5 6
#
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
"
1 2 3
4 5 6
#
= A,
IA =
"
1 0
0 1
# "
1 2 3
4 5 6
#
=
"
1 2 3
4 5 6
#
.
Og´
olnie, je´sli
a
11
. . .
a
1k
. . . . . .
. . .
a
m1
. . . a
mk
b
11
. . . b
1n
. . . . . .
. . .
b
k1
. . . b
kn
=
c
11
. . .
c
1n
. . . . . .
. . .
c
m1
. . . c
mn
to
c
ij
= a
i1
b
1j
+ a
i2
b
2j
+
· · · + a
ik
b
kj
.
Twierdzenie: (W lasno´sci dzia la´
n na macierzach)
Je´sli P, R, S s
,
a macierzami i dzia lania s
,
a wykonalne, to zachodz
,
a nast
,
epuj
,
ace
r´
owno´sci:
4
1. P + (R + S) = (P + R) + S
5. IR = R oraz RI = R
2. P + R = R + P.
6. ΘR = Θ oraz RΘ = Θ
3. P (RS) = (P R)S
7. (R + S)
T
= R
T
+ S
T
4. Θ + R = R i R + Θ = R
8. (RS)
T
= S
T
R
T
Uwaga: Mno˙zenie macierzy nie jest przemienne. Na przyk lad
"
2 7
3 4
# "
0 1
1 0
#
=
"
7 2
4 3
#
"
0 1
1 0
# "
2 7
3 4
#
=
"
3 4
2 7
#
.
1.2
Wyznacznik macierzy
Definicja: Wyznacznikiem macierzy A = [a] o wymiarach 1
× 1 jest liczba a.
Definicja: Wyznacznikiem macierzy A =
"
a
b
c d
#
o wymiarach 2
× 2 nazywamy
wyra˙zenie ad
− bc. Wyznacznik macierzy A oznaczamy r´ownie˙z
a
b
c d
.
Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub
|A|.
Niech A
ij
oznacza macierz, kt´
ora powstaje z macierzy A przez skre´slenie i-tego
wiersza i j-tej kolumny.
Wyznacznikiem macierzy A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
o wymiarach 3
× 3 jest
det(A) = a
11
a
22
a
23
a
32
a
33
− a
12
a
21
a
23
a
31
a
33
+ a
13
a
21
a
22
a
31
a
32
=
a
11
det(A
11
)
− a
12
det(A
12
) + a
13
det(A
13
).
Og´
olnie wyznacznikiem macierzy n
× n jest
det(A) = a
11
det(A
11
)
− a
12
det(A
12
) +
· · · + (−1)
n+1
a
1n
det(A
1n
).
Przyk lad:
det(
1 2 3
4 5 6
7 8 9
) = 1
5 6
8 9
− 2
4 6
7 9
+ 3
4 5
7 8
=
(45
− 48) − 2(36 − 42) + 3(32 − 35) = −3 + 12 − 9 = 0
Schemat Sarrusa
(Mo˙zna stosowa´
c tylko do macierzy 3
× 3)
5
a
b
c
d
e
f
g
h
k
a
b
c
⊕
d
e
f
⊕
⊕
= aek + dhc + gbf
− ceg − fha − kbd
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
Twierdzenie: (W lasno´sci wyznacznik´
ow)
1. Transponowanie macierzy nie zmienia jej wyznacznika. det(A) = det(A
T
).
2. Zamiana dw´
och kolumn (lub wierszy) zmienia znak wyznacznika.
det([ ~
a
1
, . . . , ~
a
i
, . . . , ~
a
j
, . . . , ~
a
n
]) =
− det([ ~
a
1
, . . . , ~
a
j
, . . . , ~
a
i
, . . . , ~
a
n
])
3. Wyznacznik macierzy z powtarzaj
,
ac
,
a si
,
e kolumn
,
a (lub wierszem) jest r´
owny
zeru.
det([ ~
a
1
, . . . , ~
a
i
, . . . , ~
a
i
, . . . , ~
a
n
]) = 0
4. Je˙zeli wyrazy pewnej kolumny (lub wiersza) pomno˙zymy przez sta l
,
a, to wy-
znacznik zwielokrotni si
,
e o t
,
e sta l
,
a.
det([ ~
a
1
, . . . , c~
a
i
, . . . , ~
a
n
]) = c det([ ~
a
1
, . . . , ~
a
i
, . . . , ~
a
n
])
5. Dodanie do pewnej kolumny (pewnego wiersza) innej kolumny pomno˙zonej
(wiersza pomno˙zonego) przez sta l
,
a nie zmienia warto´sci wyznacznika.
det([ ~
a
1
, . . . , ~
a
i
+ c ~
a
j
, . . . , ~
a
n
]) = det([ ~
a
1
, . . . , ~
a
i
, . . . , ~
a
n
])
6. Wyznacznik iloczynu macierzy jest r´
owny iloczynowi wyznacznik´
ow tych ma-
cierzy
det AB = det A det B
7. Wz´
or Laplace’a
dla i-tego wiersza:
det(A) = (
−1)
i+1
(a
i1
det(A
i1
)
− a
i2
det(A
i2
) +
· · · + (−1)
n+1
a
in
det(A
in
)).
dla j-tej kolumny:
det(A) = (
−1)
j+1
(a
1j
det(A
1j
)
− a
2j
det(A
2j
) +
· · · + (−1)
n+1
a
nj
det(A
nj
)).
6
8. Wyznacznik macierzy tr´
ojk
,
atnej (diagonalnej) jest r´
owny iloczynowi element´
ow
nale˙z
,
acych do przek
,
atnej tej macierzy.
a
11
a
12
. . .
a
1 n
−1
a
1n
0
a
22
. . .
a
2 n
−1
a
2n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
. . . a
n
−1 n−1
a
n
−1 n
0
0
. . .
0
a
n n
= a
11
a
22
· · · a
n
−1 n−1
a
nn
.
Obliczanie wyznacznik´
ow wi
,
ekszych macierzy bezpo´srednio z definicji jest bardzo
czasoch lonne.
Dlatego warto pozna´
c inny spos´
ob wykorzystuj
,
acy przedstawione
wy˙zej w lasno´sci wyznacznik´
ow.
Przyk lad:
2
−5
1 2
−3
7
−1 4
5
−9
2 7
4
−6
1 2
=
−
1
−5
2 2
−1
7
−3 4
2
−9
5 7
1
−6
4 2
=
−
1
−5
2 2
0
2
−1 6
0
1
1 3
0
−1
2 0
=
1
−5
2 2
0
1
1 3
0
2
−1 6
0
−1
2 0
=
1
−5
2 2
0
1
1 3
0
0
−3 0
0
0
3 3
=
1
−5
2 2
0
1
1 3
0
0
−3 0
0
0
0 3
= 1
· 1 · (−3) · 3 = −9
1.3
Macierz odwrotna
Definicja: Macierz
,
a odwrotn
,
a do macierzy A nazywamy tak
,
a macierz B, ˙ze AB =
I i BA = I. Je´sli macierz ma macierz odwrotn
,
a, to jest macierz
,
a kwadratow
,
a.
Macierz odwrotn
,
a do macierzy A oznaczamy A
−1
. Je˙zeli A
−1
= [b
ij
], to
b
ij
= (
−1)
i+j
det A
ji
det A
,
gdzie A
ji
jest macierz
,
a, kt´
ora powstaje z macierzy A przez skre´slenie j-tego wiersza
i i-tej kolumny. Zauwa˙zmy, ˙ze macierz odwrotna istnieje pod warunkiem, ˙ze det A
6=
0.
W szczeg´
olno´sci, macierz odwrotna do macierzy
A =
"
a
b
c d
#
ma posta´
c
A
−1
=
1
ad
− bc
"
d
−b
−c
a
#
.
7
Podobnie, je´sli A jest macierz
,
a o wymiarach 3
× 3, to macierz odwrotna
A
−1
=
1
det A
det A
11
− det A
12
det A
13
− det A
21
det A
22
− det A
23
det A
31
− det A
32
det A
33
T
=
1
det A
det A
11
− det A
21
det A
31
− det A
12
det A
22
− det A
32
det A
13
− det A
23
det A
33
.
Zadanie: Wyznaczy´
c macierz odwrotn
,
a do macierzy A =
"
2 2
5 4
#
Obliczamy det(A) = ad
− bc = 2 · 4 − 2 · 5 = −2. St
,
ad
A
−1
=
1
−2
"
4
−2
−5
2
#
=
"
−2
1
5
2
−1
#
Sprawdzamy
A A
−1
=
"
2 2
5 4
# "
−2
1
5
2
−1
#
= I
A
−1
A =
"
−2
1
5
2
−1
# "
2 2
5 4
#
= I
1.4
Uk lady r´
owna´
n liniowych
Og´
olna posta´
c uk ladu r´
owna´
n liniowych:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ . . . + a
2n
x
n
= b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . + a
mn
x
n
= b
m
Ka˙zdy ci
,
ag liczb x
1
, x
2
, . . . , x
n
spe lniaj
,
acy uk lad r´
owna´
n, nazywamy rozwi
,
azaniem
tego uk ladu.
Uk lad r´
owna´
n mo˙zna r´
ownie˙z przedstwi´
c w postaci macierzowej:
A~
x = ~b,
gdzie
A =
a
11
. . .
a
1n
. . . . . .
. . .
a
m1
. . . a
mn
,
~
x =
x
1
. . .
x
n
,
~b =
b
1
. . .
b
m
.
8
Macierz A nazywamy macierz
,
a uk ladu, a wektory ~
x, ~b odpowiednio wektorem nie-
wiadomych i wektorem wyraz´
ow wolnych.
Macierz [A
|~b] utworzon
,
a z macierzy
uk ladu i wektora wyraz´
ow wolnych nazywamy macierz
,
a rozszerzon
,
a. Je´sli macierz
uk ladu r´
owna´
n ma posta´
c
A =
I
|
A
0
−− − −−
Θ
|
Θ
0
,
gdzie A
0
jest pewn
,
a macierz
,
a o wymiarach mniejszych (lub r´
ownych) ni˙z macierz A,
to taki uk lad nazywamy bazowym.
Definicja: Operacj
,
a elementarn
,
a nazywamy ka˙zde z nast
,
epuj
,
acych przekszta lce´
n
uk ladu r´
owna´
n liniowych:
1. pomno˙zenie pewnego r´
ownania uk ladu przez dowoln
,
a liczb
,
e i dodanie do in-
nego r´
ownania tego uk ladu.
2. pomno˙zenie lub podzielenie pewnego r´
ownania uk ladu przez liczb
,
e r´
o˙zn
,
a od
zera.
3. przestawienie ze sob
,
a dw´
och r´
owna´
n uk ladu.
4. dopisanie lub usuni
,
ecie z uk ladu r´
ownania zerowego postaci 0x
1
+ 0x
2
+
· · · +
0x
n
= 0.
Definicja: Dwa uk lady r´
owna´
n liniowych nazywamy r´
ownowa˙znymi, je´sli jeden z
nich mo˙zna otrzyma´
c z drugiego przez wykonanie ci
,
agu operacji elementarnych.
Twierdzenie:
1. Ka˙zdy uk lad r´
owna´
n mo˙zna za pomoc
,
a ci
,
agu operacji elementarnych sprowa-
dzi´
c do uk ladu bazowego, tzn. ka˙zdy uk lad r´
owna´
n liniowych jest r´
ownowa˙zny
z pewnym uk ladem bazowym. (Czasem mo˙ze by´
c konieczne r´
ownie˙z przesta-
wianie kolumn macierzy uk ladu.)
2. R´
ownowa˙zne uk lady r´
owna´
n liniowych maj
,
a r´
owne zbiory rozwi
,
aza´
n.
Twierdzenie:
1. Uk lad r´
owna´
n liniowych r´
ownowa˙zny z uk ladem bazowym postaci I~
x = ~b ma
dok ladnie jedno rozwi
,
azanie ~
x = ~b.
2. Uk lad r´
owna´
n liniowych r´
ownowa˙zny z uk ladem bazowym postaci [I
|A
0
]~
x = ~b
(A
0
jest pewn
,
a macierz
,
a) ma niesko´
nczenie wiele rozwi
,
aza´
n.
3. Je´sli uk lad bazowy r´
ownowa˙zny z danym uk ladem r´
owna´
n liniowych zawiera
r´
ownanie postaci 0x
1
+ 0x
2
+ . . . + 0x
n
= 1, to uk lad ten jest sprzeczny.
9
Zadanie: Rozwi
,
aza´
c uk lad r´
owna´
n
x + 2y
− 2z =
0
2x + 5y
− z =
7
3x + 4y
− 10z = −10
Przy pomocy przekszta lce´
n elementarnych sprowadzamy ten uk lad r´
owna´
n do
postaci bazowej. Takie post
,
epowanie nazywamy eliminacj
,
a niewiadomych.
I
−2I + II
−3I + III
x + 2y
− 2z =
0
y
+ 3z =
7
−2y − 4z = −10
I
II
III/2
x + 2y
− 2z =
0
y
+ 3z =
7
−y − 2z =
−5
−2II + I
II
II + III
x
− 8z = −14
y + 3z =
7
z =
2
8III + I
−3III + II
III
x
= 2
y
= 1
z = 2
Latwo zauwa˙zy´
c, ˙ze operacje elementarne wykonywane na r´
ownaniach uk ladu w isto-
cie wykonywane s
,
a na wsp´
o lczynnikach tego uk ladu. Dlatego wygodniej wykonywa´
c
wszystkie obliczenia na macierzy rozszerzonej.
Zadanie: Rozwi
,
aza´
c uk lad r´
owna´
n
x
1
− 2x
2
+ 3x
3
+ x
4
= 2
3x
1
− 7x
2
+ 13x
3
+ 5x
4
= 11
2x
1
− x
2
− 3x
3
+ 2x
4
=
−5
Tworzymy macierz rozszerzon
,
a tego uk ladu i wykonujemy odpowiedni ci
,
ag operacji
elementarnych.
10
1
−2
3 1
|
2
3
−7
13 5
|
11
2
−1 −3 2 | −5
I
−3I + II
−2I + III
1
−2
3 1
|
2
0
−1
4 2
|
5
0
3
−9 0 | −9
−2II + I
II
3II + III
1
0
−5 −3 | −8
0
−1
4
2
|
5
0
0
3
6
|
6
I
II
III/3
1
0
−5 −3 | −8
0
−1
4
2
|
5
0
0
1
2
|
2
5III + I
−4III + II
III
1
0 0
7
|
2
0
−1 0 −6 | −3
0
0 1
2
|
2
I
−1 · II
III
1 0 0 7
| 2
0 1 0 6
| 3
0 0 1 2
| 2
Otrzymali´smy uk lad bazowy:
x
1
+7x
4
= 2
x
2
+6x
4
= 3
x
3
+2x
4
= 2
Uk lad ma niesko´
nczenie wiele rozwi
,
aza´
n:
x
1
= 2
− 7x
4
x
2
= 3
− 6x
4
Rozwi¨
azanie og´
olne.
x
3
= 2
− 2x
4
x
4
− dowolne
Uwaga: Uk lad r´
owna´
n liniowych w postaci macierzowej:
A~
x = ~b.
Za l´
o˙zmy, ˙ze macierz A ma macierz odwrotn
,
a. Wtedy
A
−1
A~
x = A
−1
~b.
11
Poniewa˙z A
−1
A = I i I~
x = ~
x, wi
,
ec ~
x = A
−1
~b, tzn. wektor niewiadomych mo˙zna
wyznaczy´
c mno˙z
,
ac wektor wyraz´
ow wolnych z lewej strony przez odwrotno´s´
c ma-
cierzy A.
1.5
Wzory Cramera
Je˙zeli A jest macierz
,
a o wymiarach n
× n i det A 6= 0 oraz
A
x
1
..
.
x
n
=
b
1
..
.
b
n
jest uk ladem r´
owna´
n liniowych w postaci macierzowej, to uk lad ten ma dok ladnie
jedno rozwi
,
azanie dane wzorami:
x
1
=
det B
1
det A
, x
2
=
det B
2
det A
, . . . , x
n
=
det B
n
det A
,
gdzie B
j
jest macierz
,
a, kt´
ora powstaje przez zast
,
apienie j-tej kolumny macierzy A
kolumn
,
a wyraz´
ow wolnych.
Przyk lad:
x+ 2y+ 3z = 1
3x+
y+ 2z = 2
2x+ 3y+
z = 3
Posta´
c macierzowa :
1 2 3
3 1 2
2 3 1
x
y
z
=
1
2
3
det A =
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1
2
3
3
1
2
= 1 + 27 + 8
− 6 − 6 − 6 = 18
det B
x
=
1
2
3
2
1
2
3
3
1
1
2
3
2
1
2
= 1 + 18 + 12
− 9 − 6 − 4 = 12
det B
y
=
1
1
3
3
2
2
2
3
1
1
1
3
3
2
2
= 2 + 27 + 4
− 12 − 6 − 3 = 12
12
det B
z
=
1
2
1
3
1
2
2
3
3
1
2
1
3
1
2
= 3 + 9 + 8
− 2 − 6 − 18 = −6
Rozwi
,
azanie:
x =
12
18
=
2
3
, y =
12
18
=
2
3
, z =
−6
18
=
−
1
3
1.6
Dzia lania na wektorach
Definicja: Wektorem (n-wymiarowym) nazywamy ka˙zdy n-elementowy ci
,
ag liczb
rzeczywistych. Ka˙zdy wektor mo˙ze by´
c zapisany w postaci macierzy jednowierszowej
lub jednokolumnowej. Zbi´
or wszystkich wektor´
ow n-wymiarowych oznaczamy R
n
.
Dodawanie i mno˙zenie wektor´
ow przez liczby rzeczywiste wykonujemy tak jak
analogiczne dzia lania na macierzach:
[x
1
, x
2
, . . . , x
n
] + [y
1
, y
2
, . . . , y
n
] = [x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, . . . , x
n
+ y
n
]
a[x
1
, x
2
, . . . , x
n
] = [ax
1
, ax
2
, . . . , ax
n
]
Iloczyn skalarny wektor´
ow
Je´sli ~
x = [x
1
, x
2
, . . . , x
n
] oraz ~
y = [y
1
, y
2
, . . . , y
n
] s
,
a wektorami n-wymiarowymi, to
ich iloczyn skalarny jest okre´slony wzorem
~
x
◦ ~y = x
1
y
1
+ x
2
y
2
+
· · · + x
n
y
n
.
D lugo´sci
,
a (albo norm
,
a) wektora ~
x = [x
1
, x
2
. . . x
n
] nazywamy liczb
,
e
||~x|| =
q
x
2
1
+ x
2
2
+
· · · x
2
n
.
Latwo sprawdzi´
c, ˙ze
1. ~
x
◦ ~x = ||~x||
2
.
2. ~
x
◦ ~y = ~y ◦ ~x
3. ~
x
◦ (a~y + b~z) = a(~x ◦ ~y) + b(~x ◦ ~z) dla dowolnych wielko´sci skalarnych a, b.
Wektory ~
x i ~
y s
,
a prostopad le wtedy i tylko wtedy, gdy ~
x
◦ ~y = 0.
1.7
R´
ownania prostych
R´
ownanie og´
olne prostej
Zbi´
or wszystkich punkt´
ow P = [x, y] spe lniaj
,
acych r´
ownanie
ax + by = c
13
tworzy prost
,
a le˙z
,
ac
,
a na p laszczy´
znie R
2
. R´
ownanie to nazywamy r´
ownaniem og´
olnym.
W tym przypadku wektor [a, b] jest prostopad ly do prostej.
-
X
6
Y
O
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
[a, b]
ax + by = c
Przyk lad:
Punkt [10,-2] le˙zy na prostej 2x + 5y = 10, bo 2
· 10 + 5 · (−2) = 10.
Punkt [2,2] nie le˙zy na prostej 4x + y = 7, bo 4
· 2 + 2 = 10 6= 7
R´
ownanie kierunkowe prostej
y = mx + c
Wsp´
o lczynnik m oznacza nachylenie prostej, tzn., ˙ze y wzrasta o m jednostek przy
ka˙zdym wzro´scie x o jedn
,
a jednostk
,
e. Liczba c jest wsp´
o lrz
,
edn
,
a punktu przeci
,
ecia
prostej z osi
,
a Y .
-
X
6
Y
O
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
y = mx + c
c
x
x + 1
6
?
m
Uwaga: Je´sli prosta jest r´
ownoleg la do osi Y, to nie mo˙ze by´
c przedstawiona w
postaci r´
ownania kierunkowego.
14
R´
ownanie odcinkowe prostej:
x
a
+
y
b
= 1
Liczby a, b odpowiednio s
,
a d lugo´sciami odcink´
ow skierowanych wyznaczonych
przez punkt O i punkty przeci
,
ecia prostej z osiami X i Y .
-
X
6
Y
O
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
a
x
a
+
y
b
= 1
Przyk lad:
Prosta o r´
ownaniu
x
5
+
y
2
= 1 przecina o´s X w punkcie 5, a o´s Y w punkcie 2.
Uwaga: Proste r´
ownoleg le do osi uk ladu wsp´
o lrz
,
ednych oraz proste przechodz
,
ace
przez punkt [0,0] nie mog
,
a by´
c przedstawione w postaci r´
ownania odcinkowego.
Przyk lad:
Znale´
z´
c r´
ownanie prostej przechodz
,
acej przez punkty [1,4] i [2,6]
y = mx + c
Odpowied´
z:
6 = m
· 2 + c
y = 2x + 2.
(r´
ownanie kierunkowe)
4 = m
· 1 + c
2x
− y = −2 (r´ownanie og´olne)
———————
x
−1
+
y
2
= 1
(r´
ownanie odcinkowe)
2 = m
i
c = 2
Wi
,
azki towarowe i wektory cen
Przyk lad: Za l´
o˙zmy, ˙ze pewien sklep sprzedaje tylko chleb i bu lki: Niech wektor
[x
1
, x
2
] oznacza sprzedza˙z x
1
bochenk´
ow chleba i x
2
bu lek.
Dzienna sprzeda˙z wynosi:
Poniedzia lek
~a=[47,135]
Wtorek
~b=[42,109]
´
Sroda
~c=[45,113]
Czwartek
~
d=[40,110]
Pi
,
atek
~
e=[41,158]
Sobota
~
f =[77,189]
15
Sprzeda˙z w tygodniu:
~a +~b +~c + ~
d +~
e + ~
f = [47 + 42 + 45 + 40 + 41 + 77, 135 + 109 + 113 + 110 + 158 + 189] =
[292, 814].
Wi
,
azka towarowa to wektor ~
x = [x
1
, x
2
. . . , x
n
] oznaczaj
,
acy, ˙ze w sk lad wi
,
azki
wchodzi x
1
jednostek towaru pierwszego, x
2
jednostek towaru drugiego itd. Zbi´
or
wi
,
azek towarowych jest zawarty w przestrzeni R
n
.
Wektor ~
p = [p
1
, p
2
, . . . p
n
] taki, ˙ze p
1
oznacza cen
,
e pierwszego towaru, p
2
cen
,
e
drugiego towaru, itd nazywamy wektorem cen.
Warto´sci
,
a wi
,
azki towarowej ~
x jest iloczyn skalarny
~
p
◦ ~x = p
1
x
1
+ p
2
x
2
+
· · · p
n
x
n
.
Je´sli ka˙zd
,
a wi
,
azk
,
e towarow
,
a [x
1
, x
2
] przedstawimy jako punkt na p laszczy´
znie i
ustalimy wektor cen [p
1
, p
2
], to zbi´
or wi
,
azek towarowych o ustalonej warto´sci w
tworzy prost
,
a o r´
ownaniu p
1
x
1
+ p
2
x
2
= w. Wi
,
azki le˙z
,
ace powy˙zej tej prostej maj
,
a
warto´s´
c wi
,
eksz
,
a ni˙z w. Wi
,
azki le˙z
,
ace poni˙zej tej prostej maj
,
a warto´s´
c mniejsz
,
a
ni˙z w. Warto zauwa˙zy´
c, ˙ze zbi´
or wi
,
azek towarowych o innej, ustalonej warto´sci
w
0
r´
ownie˙z tworzy prost
,
a o r´
ownaniu p
1
x
1
+ p
2
x
2
= w
0
. Proste te s
,
a r´
ownoleg le,
poniewa˙z obie s
,
a prostopad le do wektora [p
1
, p
2
].
-
x
1
6
x
2
O
Wi
,
azki o ni˙zszej warto´sci
Wi
,
azki o wy˙zszej warto´sci
Wektor cen
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
p
1
x
1
+ p
2
x
2
= w
0
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
p
1
x
1
+ p
2
x
2
= w
Za l´
o˙zmy, ˙ze ~
x oznacza pewn
,
a wi
,
azk
,
e towarow
,
a, a ~
p jest wektorem cen. Przypu´s´
cmy,
˙ze doch´
od konsumenta wynosi I. Nier´
owno´s´
c ~
p
◦ ~x ≤ I nazywamy ograniczeniem
bud˙zetowym konsumenta.
Zbi´
or wi
,
azek towarowych, spo´sr´
od kt´
orych konsument mo˙ze dokona´
c wyboru,
przy zachowaniu ogranicze´
n bud˙zetowych , nazywamy jego zbiorem bud˙zetowym.
16
-
x
1
6
x
2
O
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
I/p
2
I/p
1
Zbi´
or bud˙zetowy
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
x
1
6
x
2
O
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
I/p
2
I/p
1
q
x
1
= q
Zbi´
or bud˙zetowy przy racjonowaniu
(x
1
≤ q klient mo˙ze kupi´c co najwy˙zej q jednostek I towaru)
Zbi´
or bud˙zetowy
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
x
1
6
x
2
O
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
@
@
@
@
@
@
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
@
@
@
@
I/p
2
I/p
1
q
x
1
p
1
+ x
2
p
2
= I
qp
1
+ (x
1
− q)p
∗
1
+ x
2
p
2
= I
Zbi´
or bud˙zetowy
Zbi´
or bud˙zetowy z uwzgl
,
ednieniem podatku przy zakupach x
1
> q
(Za pierwszy towar powy˙zej q jednostek klient p laci cen
,
e p
∗
1
> p
1
)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
17
-
x
1
6
x
2
O
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
I/p
2
I/p
1
x
1
p
1
+ x
2
p
2
= I
qp
1
+ (x
1
− q)p
∗
1
+ x
2
p
2
= I
Zbi´
or bud˙zetowy
Zbi´
or bud˙zetowy z uwzgl
,
ednieniem rabatu przy zakupach x
1
> q
(Za pierwszy towar powy˙zej q jednostek klient p laci cen
,
e p
∗
1
< p
1
)
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1.8
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe jest jedn
,
a z metod umo˙zliwiaj
,
acych wyb´
or rozwi
,
azania opty-
malnego spo´sr´
od wielu rozwi
,
aza´
n dopuszczalnych. Metoda ta mo˙ze by´
c stosowana,
gdy zar´
owno warunki opisuj
,
ace zbi´
or rozwi
,
aza´
n dopuszczalnych jak i funkcja celu
stanowi
,
aca kryterium wyboru s
,
a funkcjami liniowymi. Model matematyczny zada-
nia programowania liniowego sk lada si
,
e z trzech cz
,
e´sci:
• zmienne decyzyjne: uk lad zmiennych x
1
, . . . , x
n
(lub wektor [x
1
, . . . , x
n
]), kt´
orych
warto´s´
c b
,
edzie rozwi
,
azaniam zadania.
• warunki ograniczaj
,
ace: uk lad r´
owna´
n i nier´
owno´sci liniowych.
• funkcja celu: funkcja liniowa postaci z = a
1
x
1
+
· · · + a
n
x
n
.
Przyk lad:
Pewien zak lad produkuje dwa wyroby: I i II. Do produkcji tych wyrob´
ow potrzebne
s
,
a trzy surowce: S
1
, S
2
, S
3
. Nak lady surowc´
ow i zyski jednostkowe s
,
a nast
,
epuj
,
ace:
Wyroby
Zasoby
Surowce
I
II
surowca
S
1
3
1
18
S
2
2
4
40
S
3
3
2
24
Zyski jednostkowe
2
3
18
Nale˙zy ustali´
c plan produkcji zapewniaj
,
acy maksymalny zysk.
PLAN PRODUKCJI: Zmienne decyzyjne:
x
1
planowana liczba jednostek wyrobu I.
x
2
planowana liczba jednostek wyrobu II.
Warunki ograniczaj
,
ace:
3x
1
+ x
2
≤ 18
2x
1
+ 4x
2
≤ 40
3x
1
+ 2x
2
≤ 24.
x
1
≥ 0 , x
2
≥ 0
Funkcja celu (zysk z produkcji): z = 2x
1
+ 3x
2
Rozwi
,
azanie metod
,
a graficzn
,
a.
Za lo˙zony plan produkcji [x
1
, x
2
] jest dwuwymiarow
,
a wi
,
azk
,
a towarow
,
a, ktorej odpo-
wiada dok ladnie jeden punkt p laszczyzny. Zbi´
or dopuszczalnych wi
,
azek mie´sci si
,
e
na rysunku w obszarze zakropkowanym, ograniczonym prostymi:
-
X
1
6
X
2
O
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
18
6
L
1
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
10
20
L
2
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
12
8
L
3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
L
1
:
3x
1
+ x
2
= 18
L
2
:
2x
1
+ 4x
2
= 40
L
3
:
3x
1
+ 2x
2
= 24.
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
2x + 3y = 36
z = 36
M
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
K
19
Ka˙zdy punkt na prostej o r´
ownaniu 2x
1
+ 3x
2
= d jest obrazem wi
,
azki towaro-
wej, kt´
orej wyprodukowanie przyniesie zysk d. Wszystkie takie proste s
,
a do sie-
bie r´
ownoleg le, bo maj
,
a wsp´
olny wektor prostopad ly [2, 3]. Wystarczy znale´
z´
c tak
,
a
prost
,
a przecinaj
,
ac
,
a obszar zacieniowany przynajmniej w jednym punkcie, kt´
ora le˙zy
powy˙zej wszystkich prostych przecinaj
,
acych ten obszar. Ustalmy dowoln
,
a warto´s´
c d,
np d = 24 i wykre´slmy prost
,
a pomocnicz
,
a M : 2x
1
+ 3x
2
= 24. Z rysunku wynika,
˙ze w obszarze zacieniowanym istniej
,
a wi
,
azki towarowe o wy˙zszej warto´sci funkcji
celu (tzn. le˙z
,
ace powy˙zej prostej M ). St
,
ad wynika, ˙ze poszukiwanym rozwi
,
azaniem
jest prosta K r´
ownoleg la do M i przechodz
,
aca przez punkt przeci
,
ecia prostych L
2
i
L
3
. Rozwi
,
azaniem s
,
a wsp´
o lrz
,
edne punktu przeci
,
ecia prostych B i C.
To prowadzi do uk ladu r´
owna´
n:
(
B :
2x
1
+ 4x
2
= 40
C :
3x
1
+ 2x
2
= 24
Rozwi
,
azanie: x
1
= 2
x
2
= 9
z
max
= 31
Rozwi
,
azaniem optymalnym jest x
1
= 2
x
2
= 9. Maksymalna warto´s´
c osi
,
agana
przez funkcj
,
e celu przy zachowaniu warunk´
ow ograniczaj
,
acych jest r´
owna z
max
= 31.
1.9
Analiza nak lad´
ow i wynik´
ow
Model Leontiewa
Macierz wsp´
o lczynnik´
ow koszt´
ow (wsp´
o lczynnik´
ow technicznych):
A =
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn
.
Wsp´
o lczynnik a
ij
oznacza warto´s´
c towaru i niezb
,
ednego do wyprodukowania
towaru j o warto´sci 1 jednostki pieni
,
e˙znej.
Przyjmijmy oznaczenia: ~
d - wektor konsumpcji (produktu ko´
ncowego); A~
x - wek-
tor nak lad´
ow w procesie produkcyjnym niezb
,
edny do uzyskania wynik´
ow (produkcji
globalnej) okre´slonych przez wektor ~
x; Aby zaspokoi´
c ustalony popyt ~
d nale˙zy tak
dobra´
c wektor ~
x aby by lo spe lnione r´
ownanie:
~
x = A~
x + ~
d.
Lewa strona wyra˙za ca lkowit
,
a poda˙z, a prawa - ca lkowity popyt. Na popyt sk lada
si
,
e nie tylko wektor po˙z
,
adanej konsumpcji ~
d, lecz tak˙ze wielko´s´
c A~
x potrzebna jako
nak lady w procesie produkcyjnym.
20
Aby obliczy´
c wektor wynik´
ow ~
x przy za lo˙zonym poziomie konsumpcji ~
d nale˙zy
rozwi
,
aza´
c r´
ownanie macierzowe
(I
− A)~x = ~
d.
Macierz I
− A nazywamy macierz
,
a Leontiewa. Je´sli macierz Leontiewa jest odwra-
calna to r´
ownanie ma rozwi
,
azanie postaci
~
x = (I
− A)
−1
~
d.
Twierdzenie: Je´sli suma wyraz´
ow w ka˙zdej kolumnie jest mniejsza ni˙z jeden, to
macierz Leontiewa ma macierz odwrotn
,
a.
Przyk lad:
Pewnien fikcyjny system gospodarczy sk lada si
,
e z trzech ga l
,
ezi (np.: energetyki, hut-
nictwa, i budownictwa). Poni˙zsza tablica jest tablic
,
a przep lyw´
ow mi
,
edzyga l
,
eziowych
w tym systemie.
Numer
Przep lyw x
ij
Produkt Produkcja
ga l
,
ezi
z ga l
,
ezi i do ga l
,
ezi j
ko´
ncowy globalna
j
1
2
3
d
i
x
i
i
1
24
9
20
67
120
2
48
27
10
5
90
3
12
18
30
40
100
Z pierwszego wiersza tej tabeli wynika, ˙ze na produkcj
,
e globaln
,
a pierwszej ga l
,
ezi
r´
own
,
a 120 sk lada sie produkt ko´
ncowy (konsumpcja) o warto´sci 76 oraz produkty
zu˙zyte do produkcji w pierwszej, drugiej i trzeciej ga l
,
ezi o warto´sciach r´
ownych od-
powiednio 24, 9, 20. Podobne informacje zawiera wiersz drugi i trzeci. Wsp´
o lczynnik
a
ij
= x
ij
/x
j
oznacza warto´s´
c towaru i niezb
,
ednego do wyprodukowania towaru j o
warto´sci 1 jednostki pieni
,
e˙znej.
Przedstawmy produkcj
,
e globaln
,
a i produkt ko´
ncowy w postaci wektor´
ow i ob-
liczmy macierz koszt´
ow:
~
x =
120
90
100
~
d =
67
5
40
A =
24
120
9
90
20
100
48
120
27
90
10
100
12
120
18
90
30
100
=
0, 2 0, 1 0, 2
0, 4 0, 3 0, 1
0, 1 0, 2 0, 3
oraz macierz Leontiewa i jej macierz odwrotn
,
a
I
− A =
0, 8
−0, 1 −0, 2
−0, 4
0, 7
−0, 1
−0, 1 −0, 2
0, 7
(I
− A)
−1
=
1, 48 0, 35 0, 47
0, 91 1, 70 0, 50
0, 47 0, 54 1, 64
21
Latwo sprawdzi´
c, ˙ze zachodz
,
a nast
,
epuj
,
ace r´
owno´sci:
120
90
100
=
0, 2 0, 1 0, 2
0, 4 0, 3 0, 1
0, 1 0, 2 0, 3
·
120
90
100
+
67
5
40
oraz
67
5
40
=
0, 8
−0, 1 −0, 2
−0, 4 0, 7 −0, 1
−0, 1 −0, 2 0, 7
−1
·
120
90
100
=
1, 48 0, 35 0, 47
0, 91 1, 70 0, 50
0, 47 0, 54 1, 64
·
120
90
100
22
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
3 Zadania do wykladu Dzialania na macierzach rzad macierzy
3.Zadania do wykladu Dzialania na macierzach rzad macierzy
dzialania na macierzach [ www potrzebujegotowki pl ]
podstawowe dzialania na macierzach
,algebra liniowa z geometrią analityczną, działania na macierzach
Dzialania Na Macierzach
3 Zadania do wykladu Dzialania na macierzach rzad macierzy
dzialania na macierzach 2strony
,algebra 1, Macierz i działanie na macierzach
Działania na potęgach o wykładniku całkowitym, Matematyka, Konspekty
Działania na ułamkach, wykłady i notatki, dydaktyka matematyki, matematyka przedszkole i 1-3
spr dzialania na liczbach nat kl 5 gr 2, Matematyka, kl 5
Zestaw 11 Działania na wektorach i macierzach
Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach
Praca kl nr 1 dzialania na liczbach 5r, Matematyka, kl 5
Praca kl nr 1 dzialania na liczbach 6a, Matematyka, kl 6
Konspekt; działania na liczbach, Metodyka, Matematyka-konspekty
działania na potęgach, Matematyka, Liceum
więcej podobnych podstron