2010 11 WIL Wyklad 06id 27177 Nieznany (2)

background image

Wykład 06

Witold Obłoza

2 grudnia 2010

background image

GRANICA FUNKCJI

DEFINICJA 53 (definicja Heine’go)

Niech funkcja f : D −→ R b

,

edzie określona w S(x

0

) s

,

asiedztwie punktu

x

0

.

Mówimy, że liczba g jest granic

,

a funkcji f w punkcie x

0

wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x

n

}

n=1

⊂ S(x

0

)

( lim

n→∞

x

n

= x

0

=⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = g)

background image

GRANICA FUNKCJI

DEFINICJA 54 (Definicja Cauchy’ego)

Niech funkcja f : D −→ R b

,

edzie określona w s

,

asiedztwie punktu x

0

.

Mówimy, że liczba g jest granic

,

a funkcji f w punkcie x

0

wtedy i tylko

wtedy,

gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D

(x

0

− δ < x < x

0

+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).

background image

DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE

TWIERDZENIE 55

Definicje Cauchy’ego i Heine’go granicy funkcji w punkcie są równoważne,

DOWÓD:

Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x

0

w sensie Cauchy’ego.

Wówczas ∀ε > 0

∃δ > 0 taka, że gdy 0 < |x − x

0

| < δ

to

|f (x) − g| < ε.

Jeżeli x

n

−→ x

0

i {x

n

} ⊂ S(x

0

) to ∃n

0

takie, że ∀n > n

0

0 < |x

n

− x

0

| < δ, więc |f (x

n

) − g| < ε.

Stąd dla x

n

−→ x

0

i {x

n

} ⊂ S(x

0

) mamy f (x

n

) −→ g.

Liczba g jest także granicą w sensie Heine’go.

background image

DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE

Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x

0

w sensie Heine’go i

przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy’ego.

Wówczas ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x

δ

takie, że |X − X

0

| < δ

i

|f (x) − g| > ε.

Mamy stąd ( zamiast δ bierzemy

1

n

)

ε > 0

∀n

∃x

n

takie, że 0 < |x

n

− x

0

| <

1

n

|f (x

n

) − g| > ε.

Ale wówczas x

n

−→ x

0

i f (x

n

) 9 g.

Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.

background image

GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI

DEFINICJA 56 (Definicja Heine’go)

Niech funkcja f : D −→ R b

,

edzie określona w s

,

asiedztwie lewostronnym

punktu x

0

.

Mówimy, że liczba g jest granic

,

a lewostronn

,

a funkcji f w punkcie x

0

wtedy i tylko wtedy, gdy

∀{x

n

}

n=1

⊂ S

(x

0

) ( lim

n→∞

x

n

= x

0

=⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = g.)

DEFINICJA 57 (Definicja Heine’go)

Niech funkcja f : D −→ R b

,

edzie określona w s

,

asiedztwie

prawostronnym punktu x

0

.

Mówimy, że liczba g jest granic

,

a prawostronn

,

a funkcji f w punkcie x

0

wtedy i tylko wtedy, gdy

∀{x

n

}

n=1

⊂ S

+

(x

0

) ( lim

n→∞

x

n

= x

0

=⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = g).

background image

GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI

DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy’ego)

Niech funkcja f : D −→ R b

,

edzie określona w s

,

asiedztwie lewostronnym

punktu x

0

.

Mówimy, że liczba g jest granic

,

a lewostronn

,

a funkcji f w punkcie x

0

wtedy i tyko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D

(x

0

− δ < x < x

0

=⇒ |f (x) − g| < ε).

DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy’ego)

Niech funkcja f : D −→ R b

,

edzie określona w s

,

asiedztwie

prawostronnym punktu x

0

.

Mówimy, że liczba g jest granic

,

a prawostronn

,

a funkcji f w punkcie x

0

wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ D
(x

0

< x < x

0

+ δ =⇒ |f (x) − g| < ε).

background image

GRANICE NIEWŁAŚCIWE

DEFINICJA 60

Niech funkcja f : D −→ R b

,

edzie określona w s

,

asiedztwie punktu x

0

.

Mówimy, że ∞ jest granic

,

a niewłaściw

,

a funkcji f w punkcie x

0

wtedy i

tylko wtedy, gdy

∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D

(0 < |x − x

0

| < δ =⇒ f (x) > M ).

DEFINICJA 61

Niech funkcja f : D −→ R b

,

edzie określona w S(x

0

) s

,

asiedztwie punktu

x

0

.

Mówimy, że ∞ jest granic

,

a niewłaściw

,

a funkcji f w punkcie x

0

wtedy i

tylko wtedy, gdy ∀{x

n

}

n=1

⊂ S(x

0

)

( lim

n→∞

x

n

= x

0

=⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = ∞).

background image

GRANICE NIEWŁAŚCIWE

DEFINICJA 62

Niech funkcja f : D −→ R b

,

edzie określona w s

,

asiedztwie punktu x

0

.

Mówimy, że −∞ jest granic

,

a niewłaściw

,

a funkcji f w punkcie x

0

wtedy i

tylko wtedy, gdy

∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D

(0 < |x − x

0

| < δ =⇒ f (x) < M ).

DEFINICJA 63

Niech funkcja f : D −→ R b

,

edzie określona w S(x

0

) s

,

asiedztwie punktu

x

0

.

Mówimy, że −∞ jest granic

,

a niewłaściw

,

a funkcji f w punkcie x

0

wtedy i

tylko wtedy, gdy

∀{x

n

}

n=1

⊂ S(x

0

)

( lim

n→∞

x

n

= x

0

=⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = −∞).

background image

GRANICE NIEWŁAŚCIWE

DEFINICJA 64

Niech funkcja f : D −→ R b

,

edzie określona w S

(x

0

) s

,

asiedztwie

lewostronnym punktu x

0

.

Mówimy, że ∞ jest granic

,

a niewłaściw

,

a lewostronn

,

a funkcji f w punkcie

x

0

wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x

n

}

n=1

⊂ S

(x

0

)

( lim

n→∞

x

n

= x

0

=⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = ∞).

DEFINICJA 65

Niech funkcja f : D −→ R b

,

edzie określona w S

+

(x

0

) s

,

asiedztwie

prawostronnym punktu x

0

.

Mówimy, że ∞ jest granic

,

a niewłaściw

,

a prawostronn

,

a funkcji f w

punkcie x

0

wtedy i tylko wtedy, gdy ∀{x

n

}

n=1

⊂ S

+

(x

0

)

( lim

n→∞

x

n

= x

0

=⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = ∞).

background image

GRANICE NIEWŁAŚCIWE

DEFINICJA 66

Niech funkcja f : D −→ R b

,

edzie określona w s

,

asiedztwie

prawostronnym punktu x

0

.

Mówimy, że ∞ jest granic

,

a niewłaściw

,

a prawostronn

,

a funkcji f w

punkcie x

0

wtedy i tylko wtedy, gdy

∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D

(x

0

< x < x

0

+ δ =⇒ f (x) > M ).

DEFINICJA 67

Niech funkcja f : D −→ R b

,

edzie określona w s

,

asiedztwie lewostronnym

punktu x

0

.

Mówimy, że ∞ jest granic

,

a niewłaściw

,

a lewostronn

,

a funkcji f w punkcie

x

0

wtedy i tylko wtedy, gdy

∀M ∃δ > 0 : ∀x ∈ D

(x

0

− δ < x < x

0

=⇒ f (x) > M ).

background image

GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI

DEFINICJA 68

Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę g ∈ R przy
x zmierzającym do nieskończoności

wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x > M |f (x) − g| < ε.

DEFINICJA 69

Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę g ∈ R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności

wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε > 0 ∃M takie, że
∀x < M |f (x) − g| < ε.

background image

GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI

DEFINICJA 70

Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności

wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) > K.

DEFINICJA 71

Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę ∞ przy x
zmierzającym do minus nieskończoności

wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) > K.

background image

GRANICE W NIESKOŃCZONOŚCI

DEFINICJA 72

Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie ∞ ma granicę −∞ przy x
zmierzającym do nieskończoności

wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x > M f (x) < K.

DEFINICJA 73

Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie −∞ ma granicę −∞ przy
x zmierzającym do minus nieskończoności

wtedy i tylko wtedy, gdy ∀K ∃M takie, że
∀x < M f (x) < K.

background image

GRANICE JEDNOSTRONNE I GRANICA FUNKCJI

TWIERDZENIE 74

Funkcja f określona w s

,

asiedztwie punktu x

0

ma granic

,

e w tym punkcie

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice lim

x→x


0

f (x),

lim

x→x

+
0

f (x)

oraz

lim

x→x


0

f (x) = lim

x→x

+
0

f (x).

DOWÓD:

Jeżeli granica istnieje to oczywiście istnieją granice jednostronne i są
sobie równe.

Z istnienia i równości granic jednostronnych mamy:

∀ε

∃δ

1

takie, że ∀x ∈ (x

0

− δ

1

, x

0

)

|f (x) − g| < ε

∀ε

∃δ

2

takie, że ∀x ∈ (x

0

, x

0

+ δ

2

)

|f (x) − g| < ε

background image

Wówczas dla δ = min{δ

1

, δ

2

} mamy ∀x ∈ D

f

zachodzi implikacja

0 < |x − x

0

| < δ =⇒ |f (x) − g| < ε.

background image

TWIERDZENIA O GRANICACH

TWIERDZENIE 75

Jeżeli funkcje f, g określone w s

,

asiedztwie punktu x

0

maj

,

a w tym

punkcie granice właściwe to istniej

,

a granice

lim

x→x

0

[f (x) ± g(x)],

lim

x→x

0

[f (x) · g(x)]

i

lim

x→x

0

[f (x) ± g(x)] = lim

x→x

0

f (x) ± lim

x→x

0

g(x)],

lim

x→x

0

[f (x) · g(x)] = lim

x→x

0

f (x) · lim

x→x

0

g(x).

Jeżeli ponadto g(x) 6= 0 w s

,

asiedztwie x

0

i lim

x→x

0

g(x) 6= 0 to istnieje

granica

lim

x→x

0

f (x)

g(x)

,

i

lim

x→x

0

f (x)

g(x)

=

lim

x→x

0

f (x)

lim

x→x

0

g(x)

.

background image

TWIERDZENIA O GRANICACH

TWIERDZENIE 76

Jeżeli funkcje f, g określone w s

,

asiedztwie punktu x

0

maj

,

a w tym

punkcie granice właściwe oraz w tym s

,

asiedztwie f (x) ≤ g(x) to

lim

x→x

0

f (x) ≤ lim

x→x

0

g(x)

TWIERDZENIE 77

Niech funkcje f, g, h b

,

ed

,

a określone w s

,

asiedztwie punktu x

0

i funkcje

f, h maj

,

a w tym punkcie granic

,

e właściw

,

a równ

,

a a oraz w tym

s

,

asiedztwie f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) to funkcje g ma w tym punkcie granic

,

e

właściw

,

a równ

,

a a.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

DEFINICJA 78

Niech funkcja f b

,

edzie określone w O(x

0

) otoczeniu punktu x

0

( odpowiednio w O

(x

0

) otoczeniu lewostronnym punktu x

0

, w O

+

(x

0

)

otoczeniu prawostronnym punktu x

0

,)

Mówimy, że funkcja f jest ci

,

agła ( odpowiednio ci

,

agła lewostronnie,

ci

,

agła prawostronnie) jeżeli

lim

x−→x

0

f (x) = f (x

0

)

( odpowiednio

lim

x−→x


0

f (x) = f (x

0

),

lim

x−→x

+
0

f (x) = f (x

0

) ).

DEFINICJA 79

Funkcj

,

e określon

,

a w danym przedziale nazywamy ci

,

agł

,

a w tym przedziale

wtw, gdy jest ci

,

agła w każdym punkcie tego przedziału.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

DEFINICJA 80

Niech funkcja f b

,

edzie określone w O(x

0

) otoczeniu punktu x

0

. Mówimy,

że funkcja f ma w punkcie x

0

nieci

,

agłość pierwszego rodzaju jeżeli

istniej

,

a właściwe granice jednostronne i

lim

x−→x


0

f (x) 6= f (x

0

) lub

lim

x−→x

+
0

f (x) 6= f (x

0

).

Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x

0

nieci

,

agłość drugiego rodzaju

jeżeli któraś z granic jednostronnych nie istnieje lub jest niewłaściwa.

background image

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

TWIERDZENIE 81

Niech funkcja f b

,

edzie określona w O(x

0

) otoczeniu punktu x

0

. Funkcja

jest ci

,

agła w punkcie x

0

wtw, gdy jest jednocześnie ci

,

agła lewostronnie i

prawostronnie.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2010 11 WIL Wyklad 07id 27178 Nieznany (2)
2010 11 WIL Wyklad 03id 27176 Nieznany (2)
2010 11 WIL Wyklad 05
2010 11 WIL Wyklad 08
2010 11 WIL Wyklad 04
2010 12 WIL Wyklad 09id 27185 Nieznany (2)
2010 11 WIL Wyklad 02
2010 11 WIL Wyklad 05
2010 11 02 WIL Wyklad 02id 2717 Nieznany (2)
2010 11 04 WIL Wyklad 04id 2717 Nieznany
2010 11 08 WIL Wyklad 08id 2717 Nieznany
2010 11 01 WIL Wyklad 01id 2717 Nieznany (2)
2011 01 09 WIL Wyklad 15id 2752 Nieznany (2)

więcej podobnych podstron