Wykład 03
Witold Obłoza
24 listopada 2010
Wykład 03
Witold Obłoza
24 listopada 2010
TWIERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 21
Jeżeli lim
n→∞
a
n
= 0, a ciąg {b
n
} jest ograniczony to lim
n→∞
a
n
b
n
= 0.
DOWÓD:
Niech |b
n
| ≤ M. Dla n > n
0
|a
n
| <
ε
M
Stąd dla n > n
0
|a
n
b
n
| = |a
n
||b
n
| <
ε
M
M = ε,
a to oznacza, że lim
n→∞
a
n
b
n
= 0.
TWIERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 22
Jeżeli lim
n→∞
h
n
= 0, lim
n→∞
c
n
= c > 0
to
lim
n→∞
c
h
n
n
= 1.
DOWÓD:
Z definicji granicy mamy ∃n
0
takie, że ∀n ≥ n
0
c
2
≤ c
n
≤
3c
2
,
a stąd min
(
c
2
h
n
,
3c
2
h
n
)
≤ c
h
n
n
≤ max
(
c
2
h
n
,
3c
2
h
n
)
Wystarczy więc pokazać, że lim
n→∞
c
h
n
= 1.
TWIERDZENIA O GRANICACH
Wiemy, że lim
k→∞
c
−1
k
= lim
k→∞
c
1
k
= 1.
Zatem ∀ε > 0
dla
∀k > k
0
c
−1
k
, c
1
k
∈ (1 − ε, 1 + ε)
Ale ∀k
∃n
0
∀n ≥ n
0
−
1
k
< h
n
<
1
k
,
Więc ∀n > n
0
c
h
n
∈ (1 − ε, 1 + ε) co kończy dowód.
SYMBOLE OZNACZONE
DEFINICJA 23
Mówimy, że ci
,
ag {a
n
}
∞
n=1
zmierza do 0 po wartościach dodatnich
( odpowiednio ujemnych )
wtw, gdy ∃n
0
∀n > n
0
a
n
> 0
( odpowiednio ∃n
0
∀n > n
0
a
n
< 0 ) oraz lim
n→∞
a
n
= 0.
Zapisujemy lim
n→∞
a
n
= 0
+
( odpowiednio lim
n→∞
a
n
= 0
−
).
TWIERDZENIE 24
Jeżeli lim
n→∞
a
n
= 0
+
, lim
n→∞
b
n
= 0
−
lim
n→∞
c
n
= c > 0, lim
n→∞
d
n
= d < 0
zaś lim
n→∞
p
n
= +∞, lim
n→∞
q
n
= −∞ to
lim
n→∞
c
n
a
n
= ∞,
lim
n→∞
c
n
b
n
= −∞,
lim
n→∞
d
n
a
n
= −∞,
lim
n→∞
d
n
b
n
= ∞,
lim
n→∞
p
n
a
n
= ∞,
lim
n→∞
p
n
b
n
= −∞,
lim
n→∞
q
n
a
n
= −∞,
lim
n→∞
q
n
b
n
= ∞,
lim
n→∞
p
n
· c
n
= ∞,
lim
n→∞
p
n
· d
n
= −∞,
lim
n→∞
q
n
· c
n
= −∞,
lim
n→∞
q
n
· d
n
= ∞,
SYMBOLE OZNACZONE
Jeżeli lim
n→∞
c
n
= c ≥ 0, lim
n→∞
p
n
= +∞, lim
n→∞
q
n
= −∞ i c < 1 to
lim
n→∞
c
p
n
n
= 0,
lim
n→∞
c
q
n
n
= ∞,
gdy c > 1 to
lim
n→∞
c
q
n
n
= 0,
lim
n→∞
c
p
n
n
= ∞.
UWAGA 25
Na mocy powyższego twierdzenia symbole
”
c
0
+
” ,
”
c
0
−
”,
”
±∞
0
+
”,
”
±∞
0
−
”,
” ± ∞ · c”
oraz ”c
±∞
” dla
c 6= 1
s
,
a symbolami oznaczonymi.
SYMBOLE OZNACZONE-DOWODY
DOWODY:
Dla lim
n→∞
a
n
= 0
+
i lim
n→∞
c
n
= c > 0 mamy
∀M > 0 ∃n
1
∀n > n
1
a
n
<
c
2M
oraz
∃n
2
∀n > n
2
0 <
c
2
< c
n
.
Dla n > n
0
= max{n
1
, n
2
} mamy
c
n
a
n
>
c
2
c
M
= M.
Oznacza to, że lim
n→∞
c
n
a
n
= ∞.
SYMBOLE OZNACZONE-DOWODY
DOWODY:
Dla lim
n→∞
b
n
= 0
−
i lim
n→∞
p
n
= +∞, mamy
∀M < 0 ∃n
1
∀n > n
1
p
n
> −M oraz
∃n
2
∀n > n
2
−1 < b
n
< 0.
Dla n > n
0
= max{n
1
, n
2
} mamy
p
n
b
n
<
−M
b
n
< M.
Oznacza to, że lim
n→∞
p
n
b
n
= −∞.
SYMBOLE OZNACZONE-DOWODY
DOWODY:
Dla lim
n→∞
c
n
= c > 1 i lim
n→∞
q
n
= −∞, mamy
∃n
1
∀n > n
1
c
n
>
1 + c
2
> 1
stąd ∀n > n
1
c
q
n
n
<
1 + c
2
q
n
=
2
1 + c
−q
n
.
∀ε ∃n
2
∀k > n
2
> 0
2
1 + c
k
< ε.
Ustalmy k > n
2
.
∃n
3
∀n > n
3
−q
n
> k
( lim
n→∞
q
n
= −∞)
Dla ∀n > max{n
1
, n
3
} mamy c
q
n
n
<
2
1 + c
−q
n
<
2
1 + c
k
n
< ε.
Oznacza to, że lim
n→∞
c
q
n
n
= 0.
SYMBOLE NIEOZNACZONE
TWIERDZENIE 26
Symbolami nieoznaczonymi s
,
a
”0 · (±∞)”,
”
0
0
”,
”
∞
∞
”,
”∞ − ∞”,
”0
0
”,
”∞
0
”,
”1
±∞
”.
UZASADNIENIA:
Dla ”0 · (+∞)”
a
n
=
1
n
−→ 0,
b
n
= n −→ ∞
i
a
n
· b
n
= 1 −→ 1, ale
a
n
=
1
n
−→ 0,
b
n
= n
2
−→ ∞
i
a
n
· b
n
= n −→ ∞.
SYMBOLE NIEOZNACZONE
UZASADNIENIA:
Dla ”
0
0
”
a
n
=
1
n
−→ 0,
b
n
=
1
n
−→ 0
i
a
n
b
n
= 1 −→ 1, ale
a
n
=
1
n
−→ 0,
b
n
=
1
n
2
−→ 0
i
a
n
b
n
= n −→ ∞.
SYMBOLE NIEOZNACZONE
UZASADNIENIA:
Dla ”
∞
∞
”
a
n
= n −→ ∞,
b
n
= n −→ ∞
i
a
n
b
n
= 1 −→ 1, ale
a
n
= n
2
−→ ∞,
b
n
= n −→ ∞
i
a
n
b
n
= n −→ ∞.
SYMBOLE NIEOZNACZONE
UZASADNIENIA:
Dla ”∞ − ∞”
a
n
= (n + 1) −→ ∞,
b
n
= n −→ ∞
i
a
n
− b
n
= 1 −→ 1, ale
a
n
= 2 · n −→ ∞,
b
n
= n −→ ∞
i
a
n
− b
n
= n −→ ∞.
SYMBOLE NIEOZNACZONE
UZASADNIENIA:
Dla ”0
0
”
a
n
=
1
n
−→ 0,
b
n
=
1
n
−→ 0
i
a
b
n
n
=
1
n
√
n
−→ 1, ale
a
n
=
1
n
n
−→ 0,
b
n
=
1
n
−→ 0
i
a
b
n
n
=
1
n
−→ 0.
SYMBOLE NIEOZNACZONE
UZASADNIENIA:
Dla ”∞
0
”
a
n
= n −→ ∞,
b
n
=
1
n
−→ 0
i
a
b
n
n
=
n
√
n −→ 1, ale
a
n
= n
n
−→ ∞,
b
n
=
1
n
−→ 0
i
a
b
n
n
= n −→ ∞.
SYMBOLE NIEOZNACZONE
UZASADNIENIA:
Dla ”1
∞
”
a
n
= 1 −→ 1,
b
n
= n −→ ∞
i
a
b
n
n
= 1 −→ 1, ale
a
n
= (1 +
1
n
) −→ 1,
b
n
= n −→ ∞
i
a
b
n
n
= (1 +
1
n
)
n
−→ e.
GRANICA DOLNA I GRANICA GÓRNA
DEFINICJA 27
Niech A ⊂ R ∪ {−∞, ∞} b
,
edzie zbiorem punktów skupienia ( właściwych
i niewłaściwych ) ci
,
agu {a
n
}. Granic
,
a górn
,
a ci
,
agu {a
n
} nazywamy liczb
,
e
lim sup a
n
=
∞
gdy ∞ ∈ A,
sup A
gdy A ∩ R 6= ∅ ∧ ∞ /
∈ A,
−∞
gdy A = {−∞}.
Granic
,
a doln
,
a ci
,
agu {a
n
} nazywamy liczb
,
e
lim inf a
n
=
−∞
gdy − ∞ ∈ A,
inf A
gdy A ∩ R 6= ∅ ∧ −∞ /
∈ A,
∞
gdy A = {∞}.
Szeregi liczbowe
DEFINICJA 28
Niech b
,
edzie dany ci
,
ag {a
n
}
∞
n=l
.
Określamy ci
,
ag sum cz
,
eściowych {S
n
}
∞
n=1
szeregu
∞
P
n=l
a
n
wzorem
S
n
=
n
P
k=1
a
k
.
Mówimy, że szereg
∞
P
n=l
a
n
jest zbieżny, jeżeli jego ci
,
ag sum cz
,
eściowych
jest zbieżny do granicy właściwej.
W przeciwnym wypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.
SZEREGI LICZBOWE
PRZYKŁAD 29
Szereg
∞
P
n=1
1
n(n + 1)
jest zbieżny.
DOWÓD:
S
n
=
n
P
k=1
1
k(k + 1)
=
n
P
k=1
(
1
k
−
1
k + 1
) =
n
P
k=1
1
k
−
n
P
k=1
1
k + 1
= 1 +
n
P
k=2
1
k
−
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
1
n + 1
=
1 +
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
n−1
P
k=1
1
k + 1
−
1
n + 1
= 1 −
1
n + 1
−→ 1