2010 11 WIL Wyklad 03id 27176 Nieznany (2)

background image

Wykład 03

Witold Obłoza

24 listopada 2010

background image

TWIERDZENIA O GRANICACH

TWIERDZENIE 21

Jeżeli lim

n→∞

a

n

= 0, a ciąg {b

n

} jest ograniczony to lim

n→∞

a

n

b

n

= 0.

DOWÓD:

Niech |b

n

| ≤ M. Dla n > n

0

|a

n

| <

ε

M

Stąd dla n > n

0

|a

n

b

n

| = |a

n

||b

n

| <

ε

M

M = ε,

a to oznacza, że lim

n→∞

a

n

b

n

= 0.

background image

TWIERDZENIA O GRANICACH

TWIERDZENIE 22

Jeżeli lim

n→∞

h

n

= 0, lim

n→∞

c

n

= c > 0

to

lim

n→∞

c

h

n

n

= 1.

DOWÓD:

Z definicji granicy mamy ∃n

0

takie, że ∀n ≥ n

0

c

2

≤ c

n

3c

2

,

a stąd min

(



c

2



h

n

,

 3c

2



h

n

)

≤ c

h

n

n

≤ max

(



c

2



h

n

,

 3c

2



h

n

)

Wystarczy więc pokazać, że lim

n→∞

c

h

n

= 1.

background image

TWIERDZENIA O GRANICACH

Wiemy, że lim

k→∞

c

−1

k

= lim

k→∞

c

1
k

= 1.

Zatem ∀ε > 0

dla

∀k > k

0

c

−1

k

, c

1
k

∈ (1 − ε, 1 + ε)

Ale ∀k

∃n

0

∀n ≥ n

0

1
k

< h

n

<

1
k

,

Więc ∀n > n

0

c

h

n

∈ (1 − ε, 1 + ε) co kończy dowód.

background image

SYMBOLE OZNACZONE

DEFINICJA 23
Mówimy, że ci

,

ag {a

n

}

n=1

zmierza do 0 po wartościach dodatnich

( odpowiednio ujemnych )

wtw, gdy ∃n

0

∀n > n

0

a

n

> 0

( odpowiednio ∃n

0

∀n > n

0

a

n

< 0 ) oraz lim

n→∞

a

n

= 0.

Zapisujemy lim

n→∞

a

n

= 0

+

( odpowiednio lim

n→∞

a

n

= 0

).

TWIERDZENIE 24
Jeżeli lim

n→∞

a

n

= 0

+

, lim

n→∞

b

n

= 0

lim

n→∞

c

n

= c > 0, lim

n→∞

d

n

= d < 0

zaś lim

n→∞

p

n

= +∞, lim

n→∞

q

n

= −∞ to

lim

n→∞

c

n

a

n

= ∞,

lim

n→∞

c

n

b

n

= −∞,

lim

n→∞

d

n

a

n

= −∞,

lim

n→∞

d

n

b

n

= ∞,

lim

n→∞

p

n

a

n

= ∞,

lim

n→∞

p

n

b

n

= −∞,

lim

n→∞

q

n

a

n

= −∞,

lim

n→∞

q

n

b

n

= ∞,

lim

n→∞

p

n

· c

n

= ∞,

lim

n→∞

p

n

· d

n

= −∞,

lim

n→∞

q

n

· c

n

= −∞,

lim

n→∞

q

n

· d

n

= ∞,

background image

SYMBOLE OZNACZONE

Jeżeli lim

n→∞

c

n

= c ≥ 0, lim

n→∞

p

n

= +∞, lim

n→∞

q

n

= −∞ i c < 1 to

lim

n→∞

c

p

n

n

= 0,

lim

n→∞

c

q

n

n

= ∞,

gdy c > 1 to

lim

n→∞

c

q

n

n

= 0,

lim

n→∞

c

p

n

n

= ∞.

UWAGA 25
Na mocy powyższego twierdzenia symbole

c

0

+

” ,

c

0

”,

±∞

0

+

”,

±∞

0

”,

” ± ∞ · c”

oraz ”c

±∞

” dla

c 6= 1

s

,

a symbolami oznaczonymi.

background image

SYMBOLE OZNACZONE-DOWODY

DOWODY:

Dla lim

n→∞

a

n

= 0

+

i lim

n→∞

c

n

= c > 0 mamy

∀M > 0 ∃n

1

∀n > n

1

a

n

<

c

2M

oraz

∃n

2

∀n > n

2

0 <

c

2

< c

n

.

Dla n > n

0

= max{n

1

, n

2

} mamy

c

n

a

n

>

c
2
c

M

= M.

Oznacza to, że lim

n→∞

c

n

a

n

= ∞.

background image

SYMBOLE OZNACZONE-DOWODY

DOWODY:

Dla lim

n→∞

b

n

= 0

i lim

n→∞

p

n

= +∞, mamy

∀M < 0 ∃n

1

∀n > n

1

p

n

> −M oraz

∃n

2

∀n > n

2

−1 < b

n

< 0.

Dla n > n

0

= max{n

1

, n

2

} mamy

p

n

b

n

<

−M

b

n

< M.

Oznacza to, że lim

n→∞

p

n

b

n

= −∞.

background image

SYMBOLE OZNACZONE-DOWODY

DOWODY:

Dla lim

n→∞

c

n

= c > 1 i lim

n→∞

q

n

= −∞, mamy

∃n

1

∀n > n

1

c

n

>

1 + c

2

> 1

stąd ∀n > n

1

c

q

n

n

<

 1 + c

2



q

n

=



2

1 + c



−q

n

.

∀ε ∃n

2

∀k > n

2

> 0



2

1 + c



k

< ε.

Ustalmy k > n

2

.

∃n

3

∀n > n

3

−q

n

> k

( lim

n→∞

q

n

= −∞)

Dla ∀n > max{n

1

, n

3

} mamy c

q

n

n

<



2

1 + c



−q

n

<



2

1 + c



k

n

< ε.

Oznacza to, że lim

n→∞

c

q

n

n

= 0.

background image

SYMBOLE NIEOZNACZONE

TWIERDZENIE 26
Symbolami nieoznaczonymi s

,

a

”0 · (±∞)”,

0
0

”,


”,

”∞ − ∞”,

”0

0

”,

”∞

0

”,

”1

±∞

”.

UZASADNIENIA:

Dla ”0 · (+∞)”

a

n

=

1

n

−→ 0,

b

n

= n −→ ∞

i

a

n

· b

n

= 1 −→ 1, ale

a

n

=

1

n

−→ 0,

b

n

= n

2

−→ ∞

i

a

n

· b

n

= n −→ ∞.

background image

SYMBOLE NIEOZNACZONE

UZASADNIENIA:

Dla ”

0
0

a

n

=

1

n

−→ 0,

b

n

=

1

n

−→ 0

i

a

n

b

n

= 1 −→ 1, ale

a

n

=

1

n

−→ 0,

b

n

=

1

n

2

−→ 0

i

a

n

b

n

= n −→ ∞.

background image

SYMBOLE NIEOZNACZONE

UZASADNIENIA:

Dla ”


a

n

= n −→ ∞,

b

n

= n −→ ∞

i

a

n

b

n

= 1 −→ 1, ale

a

n

= n

2

−→ ∞,

b

n

= n −→ ∞

i

a

n

b

n

= n −→ ∞.

background image

SYMBOLE NIEOZNACZONE

UZASADNIENIA:

Dla ”∞ − ∞”

a

n

= (n + 1) −→ ∞,

b

n

= n −→ ∞

i

a

n

− b

n

= 1 −→ 1, ale

a

n

= 2 · n −→ ∞,

b

n

= n −→ ∞

i

a

n

− b

n

= n −→ ∞.

background image

SYMBOLE NIEOZNACZONE

UZASADNIENIA:

Dla ”0

0

a

n

=

1

n

−→ 0,

b

n

=

1

n

−→ 0

i

a

b

n

n

=

1

n

n

−→ 1, ale

a

n

=

1

n

n

−→ 0,

b

n

=

1

n

−→ 0

i

a

b

n

n

=

1

n

−→ 0.

background image

SYMBOLE NIEOZNACZONE

UZASADNIENIA:

Dla ”∞

0

a

n

= n −→ ∞,

b

n

=

1

n

−→ 0

i

a

b

n

n

=

n

n −→ 1, ale

a

n

= n

n

−→ ∞,

b

n

=

1

n

−→ 0

i

a

b

n

n

= n −→ ∞.

background image

SYMBOLE NIEOZNACZONE

UZASADNIENIA:

Dla ”1

a

n

= 1 −→ 1,

b

n

= n −→ ∞

i

a

b

n

n

= 1 −→ 1, ale

a

n

= (1 +

1

n

) −→ 1,

b

n

= n −→ ∞

i

a

b

n

n

= (1 +

1

n

)

n

−→ e.

background image

GRANICA DOLNA I GRANICA GÓRNA

DEFINICJA 27

Niech A ⊂ R ∪ {−∞, ∞} b

,

edzie zbiorem punktów skupienia ( właściwych

i niewłaściwych ) ci

,

agu {a

n

}. Granic

,

a górn

,

a ci

,

agu {a

n

} nazywamy liczb

,

e

lim sup a

n

=

gdy ∞ ∈ A,

sup A

gdy A ∩ R 6= ∅ ∧ ∞ /

∈ A,

−∞

gdy A = {−∞}.

Granic

,

a doln

,

a ci

,

agu {a

n

} nazywamy liczb

,

e

lim inf a

n

=

−∞

gdy − ∞ ∈ A,

inf A

gdy A ∩ R 6= ∅ ∧ −∞ /

∈ A,

gdy A = {∞}.

background image

Szeregi liczbowe

DEFINICJA 28

Niech b

,

edzie dany ci

,

ag {a

n

}


n=l

.

Określamy ci

,

ag sum cz

,

eściowych {S

n

}

n=1

szeregu

P

n=l

a

n

wzorem

S

n

=

n

P

k=1

a

k

.

Mówimy, że szereg

P

n=l

a

n

jest zbieżny, jeżeli jego ci

,

ag sum cz

,

eściowych

jest zbieżny do granicy właściwej.

W przeciwnym wypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.

background image

SZEREGI LICZBOWE

PRZYKŁAD 29

Szereg

P

n=1

1

n(n + 1)

jest zbieżny.

DOWÓD:

S

n

=

n

P

k=1

1

k(k + 1)

=

n

P

k=1

(

1

k

1

k + 1

) =

n

P

k=1

1

k

n

P

k=1

1

k + 1

= 1 +

n

P

k=2

1

k

n−1

P

k=1

1

k + 1

1

n + 1

=

1 +

n−1

P

k=1

1

k + 1

n−1

P

k=1

1

k + 1

1

n + 1

= 1 −

1

n + 1

−→ 1


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2010 11 WIL Wyklad 07id 27178 Nieznany (2)
2010 11 WIL Wyklad 06id 27177 Nieznany (2)
2010 11 WIL Wyklad 05
2010 11 WIL Wyklad 08
2010 11 WIL Wyklad 04
2010 12 WIL Wyklad 09id 27185 Nieznany (2)
2010 11 WIL Wyklad 02
2010 11 WIL Wyklad 05
2010 11 02 WIL Wyklad 02id 2717 Nieznany (2)
2010 11 04 WIL Wyklad 04id 2717 Nieznany
2010 11 08 WIL Wyklad 08id 2717 Nieznany
2010 11 01 WIL Wyklad 01id 2717 Nieznany (2)
2011 01 09 WIL Wyklad 15id 2752 Nieznany (2)

więcej podobnych podstron