Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Analiza matematyczna II”

WETI, kierunki AiR i IBM, 2 sem., r. ak. 2012/2013

1. [8p.] a) Obliczyć objętość bryły określonej nierównościami

x

2

+ y

2

¬ 3z

i

x

2

+ y

2

­ z

2

Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić współrzędne walcowe.

2. [8p.] a) Obliczyć całkę

Z

K

e

x

(1 − cos y) dx − e

x

(1 − sin y) dy

gdzie K jest brzegiem obszaru określonego nierównościami 0 ¬ x ¬ π i 0 ¬ y ¬ sin x
zorientowanym dodatnio.
[2p.] b) Sprawdzić, czy pole wektorowe

~

W =

1 −

1

y

+

y

z

!

~i +

x

z

+

x

y

2

!

~j −

xy

z

2

~k

jest potencjalne.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [8p.] a) Rozwiązać równanie 3xy

0

− y = 3xy

4

ln x.

[2p.] b) Jakim podstawieniem można sprowadzić równanie

xy

0

− y = (x + y) ln

x + y

x

do równania o zmiennych rozdzielonych? Odpowiedź uzasadnij odpowiednimi przekształceniami.

4. [8p.] Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego

y

00

− 3y

0

+ 2y = xe

x

przy zadanych warunkach początkowych y(0) = 0 i y

0

(0) = 1.

[2p.] b) Podać przykład równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach niejedno-
rodnego rzędu n ­ 4, dla którego nie da się zastosować metody przewidywań przy wyznaczaniu
całki szczególnej.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [8p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i w punkcie b) określić jej rodzaj

a)

∞

X

n=1

√

n



n +

q

n

√

n



2

b)

∞

X

n=1

(−1)

n

3

n



1 +

1

n



n

2

[2p.] c) Na podstawie definicji zbadać zbieżność szeregu

∞

X

n=1

ln

n

(n + 1)

2

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. *) [dla chętnych] [5p.] Wyznaczyć sumę szeregu wewnątrz przedziału zbieżności

∞

X

n=0

(n + 1)x

n

π

n