kol zal sem2 ETI IBM 2011 2012

background image

Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Analiza matematyczna II”

WETI, kierunek IBM, 2 sem., r. ak. 2011/2012

1. [7p.] a) Obliczyć całkę

ZZ

V

Z

z

2

q

x

2

+ y

2

+ z

2

dxdydz,

gdzie bryła V opisana jest nierównościami: 0 ¬ z ¬

4 − x

2

− y

2

oraz x ­ 0, y ­ x. Wykonać

odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych walcowych uogólnionych.

2. [7p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

Z

K

y

2

dx + x

2

dy,

gdzie K jest krzywą o równaniu (x − 1)

2

+ y

2

= 1 zorientowaną dodatnio. Wykonać odpowiedni

rysunek.

[2p.] b) Wyznaczyć rotację pola wektorowego ~

W =

"

xy

2

,

x

yz

, z

q

y

3

#

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [7p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania

2(xe

−y

1)dx + (e

y

− x

2

e

−y

)dy = 0

spełniającą warunek początkowy y(3) = 0.

[2p.] b) Sprawdzić, czy równanie y

0

=

4x

2

+ 3xy + y

2

4y

2

+ 3xy + x

2

jest równaniem różniczkowym jednorodnym.

4. [7p.] Wyznaczyć całkę ogólną równania y

00

6y

0

+ 9y = xe

3x

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i w punkcie b) określić jej rodzaj

a)

X

n=1

3

2n

n

n

2

(n + 2)

n

2

b)

X

n=1

(1)

n+1

n

3

+ 1

[2p.] c) Zbadać z definicji zbieżność szeregu

X

n=1



n

3

n+1

3



.

6. [7p.] Rozwinąć funkcję f (x) = ln(2 + x) w szereg Taylora w otoczeniu punktu x

0

= 1. Podać

przedział zbieżności otrzymanego szeregu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [5p.] Funkcja f (x) = x(π − x) dla x ∈ (0, π) posiada rozwinięcie w szereg

trygonometryczny Fouriera postaci

f (x) =

X

n=1

4

πn

3

[1 (1)

n

] sin nx.

W oparciu o to rozwinięcie wyznaczyć sumę szeregu

X

n=1

(1)

n−1

(2n − 1)

3

.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
kol zal sem2 ETI AiR 2011 2012
kol zal pop sem2 AiR IBM 2011 2012
kol zal sem2 AiR IBM 2012 2013
kol zal algebra ETI IBM 2010 11
kol zal algebra ETI IBM 2010 11
kol zal algebra ETI EiT 2011 12
kol zal sem2 AiR IBM 2013 2014
kol zal algebra ETI IBM 2010 11
kol zal algebra ETI IBM 2010 11
kol zal algebra ETI AiR IBM 2012 13
kol zal algebra ETI AiR IBM 2011 12
kol zal algebra ETI AiR IBM 2011-12
kol zal algebra ETI AiR IBM 2012-13

więcej podobnych podstron