MATEMATYKA - Biotechnologia

Zestaw 9. - Granica i ciągłość funkcji

Zad. 1. Obliczyć granice następujących funkcji:

a)

lim

x→1

x

4

+ 3x

2

− 4

x + 1

,

g)

lim

x→

π

2

cos x

sin 4x

,

b)

lim

x→1

x

2

+ 3x − 4

x − 1

,

h)

lim

x→−∞

− 8x

5

+ 5x

4

+ x

3

− 2,

c)

lim

x→0

√

x

2

+ 1 −

√

x + 1

1 −

√

x + 1

,

i)

lim

x→+∞

√

x

2

+ x +

√

x

x(

√

x

2

+ x + x)

,

d)

lim

x→0

sin 4x

5x

,

j)

lim

x→+∞

√

x

2

+ 1 +

√

x

√

x

2

+ x

,

e)

lim

x→5

tg x − tg 5

x − 5

,

m)

lim

x→−∞

x

2

+ 1

x

2

− 2

!

x

2

,

f)

lim

x→0

1 − cos x

x

2

,

n)

lim

x→+∞



x + 1

x − 2



2x−1

.

Zad. 2. Zbadać istnienie granic jednostronnych i istnienie granic następujących funkcji:

a) f (x) =

1

5−x

w punkcie x = 5,

b) f (x) =

x

x

2

−16

w punkcie x = 4,

c) f (x) =

3

(x−2)

2

w punkcie x = 2,

d) f (x) = e

−

1
x

w punkcie x = 0,

e) f (x) =

|x−1|

x−1

+ x w punkcie x = 1,

f) f (x) = arctan

1

1−x

w punkcie x = 1,

g) f (x) =

e

1

x

−1

e

1

x

+1

w punkcie x = 0,

h) f (x) =

x

1+e

1

x

w punkcie x = 0.

Zad. 3. Zbadać ciągłość następujących funkcji:

a) f (x) =

(

2

x

− 1

dla

x ¬ 0

x

2

− 2x dla

x > 0,

b) g(x) =

(

x

2

−1

√

x−1

dla

x ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞)

3

dla

x = 1.

1

Zadanie domowe

Zad. 1. Obliczyć granice następujących funkcji:

a)

lim

x→−∞

−x

4

+ 3x

3

+ 2x

2

− 8x + 1,

f)

lim

x→0

sin 5x

sin 3x

,

b)

lim

x→1

x

3

− x

2

+ x − 1

x

3

+ x

2

− x − 1

,

g)

lim

x→0

10x

tg 3x

,

c)

lim

x→−∞

4

√

x

4

+ 1

x

,

h)

lim

x→0

tg 2x

tg x

,

d)

lim

x→+∞

√

1 + x + 2

√

1 + x

2

,

i)

lim

x→+∞



3x + 5

3x + 7



x+1

.

e)

lim

x→0

25

x

− 9

x

5

x

− 3

x

,

Zad. 2. Zbadać istnienie granic jednostronnych i istnienie granic następujących funkcji:

a) f (x) =

−2

(x+1)

3

w punkcie x = −1,

b) f (x) =

x−3

1−x

2

w punkcie x = 1,

c) f (x) =

x

2

−4

|2−x|

w punkcie x = 2,

d) f (x) = 2e

1

4−x2

w punkcie x = 2,

e) f (x) =

x

2x+e

1

x−1

w punkcie x = 1,

f) f (x) =

2

1

x

+3

3

1

x

+2

w punkcie x = 0.

Zad. 3. Zbadać ciągłość następujących funkcji:

a) f (x) =

(

(x + 1)

2

dla

x < 2

log

1
2

x + 2

dla

x ­ 2,

b) g(x) =















x

2

+x−2

x+2

dla

x ∈ (−∞, −1]

1 −

1

x+2

dla

x ∈ (−1, 0)



1
3



x

− 2 dla

x ∈ [0, +∞),

c) u(x) = sgnx.

2