1

Odpowiedzi i schematy oceniania

Arkusz 7

Zadania zamknięte

Numer

zadania

Poprawna

odpowiedź

Wskazówki do rozwiązania zadania

1.

A.

6

2

3

9

1

27

−

=

⇒

−

=

⋅

−

=

W

W

, zatem wartość wyrażenia została

zmniejszona o 3 .

2.

B.

n

x

2

1

+

=

. Tylko liczby

1 i 2 spełniają warunki zadania, dla

większych liczb naturalnych drugi składnik sumy jest ułamkiem

właściwym.

3.

A.

Np.

6

3

4

,

3

2

=

+

⇒

+

=

−

=

y

x

y

x

.

4.

C.

W podanym zbiorze wraz ze wzrostem argumentów maleje wartość

funkcji.

5.

D.

2

3

3

2

3

0

3

3

2

3

3

+

=

⇒

=

+

−

⋅

y

y

6.

B.

Skorzystaj z definicji wartości bezwzględnej i pamiętaj, że

0

0

−

=

.

7.

D.

3

0

3

3

3

≤

⇒

≤

−

⇒

−

=

−

x

x

x

x

8.

D.

(

) (

)

(

)

(

)

0

3

4

0

3

4

3

12

4

3

2

2

2

3

=

−

+

⇒

=

−

+

−

⇒

=

+

−

a

a

a

a

a

a

a

a

,

zatem

3

=

a

.

9.

A.

Skorzystaj z zasady rysowania funkcji

)

(x

f

y

−

=

.

10.

C.

1

7

+

=

n

a

n

, zatem

43

6

=

a

11.

C.

5

2

2

32

2

<

⇒

<

n

n

, więc liczby naturalne dodatnie spełniające tę

nierówność to

4

,

3

,

2

,

1

.

12.

B.

Gdy zwiększamy

n

, ułamek

n

1

się zmniejsza.

13.

B.

Każdy punkt symetralnej odcinka jest jednakowo odległy od końców

tego odcinka.

14.

D.

2

1

2

1

2

1

r

r

S

S

r

r

+

<

<

−

, więc okręgi przecinają się.

2

15.

C.

140

10

180

10

−

−

=

∠

⇒

=

∠

CDA

CAO

30

=

⇒ CDA

16.

D.

x

x 2

,

– boki prostokąta, d – przekątna prostokąta,

5

5

2

cos

5

2

cos

5

=

⇒

=

⇒

=

α

α

x

x

x

d

.

17.

C.

Nierówność przekształcamy do postaci

(

) (

)

0

3

1

2

2

≤

+

+

−

y

x

, zatem

spełnia ją jedynie punkt

(

)

3

,

1

−

=

P

.

18.

A.

a

– krawędź sześcianu, d – przekątna sześcianu,

więc

6

6

6

3

=

⇒

=

a

a

2

3

18

3

=

⇒

=

⇒

=

⇒

d

d

a

d

.

19.

C.

x

x 2

,

3

– odpowiednio ramię i podstawa trójkąta będącego

przekrojem,

x

r

=

, zatem

3

1

3

sin

=

=

x

x

α

.

20.

D.

16

11

)

(

11

,

16

=

⇒

=

=

Ω

=

=

A

P

A

21.

B.

25

,

4

8

6

5

5

4

4

4

3

3

=

+

+

+

+

+

+

+

=

−

x

Zadania otwarte

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Liczba

punktów

Wyznaczenie pierwiastków trójmianu:

2

1

,

4

2

1

=

−

=

x

x

.

1

22.

Rozłożenie wielomianu na czynniki:

(

)













−

+

=

2

1

4

2

)

(

x

x

x

W

.

1

Wyznaczenie długości wysokości:

5

4

=

AB

.

1

23

Wyznaczenie długości boku trójkąta:

3

15

8

=

a

.

1

Zapisanie liczby pod pierwiastkiem w postaci:

25

log

2

2

=

a

.

1

24.

Wykorzystanie własności logarytmu do wykazania tezy zadania:

5

25

=

=

a

.

1

3

Wyznaczenie dziedziny równania:

{ }

2

\

R

D

=

.

1

25.

Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi:

D

x

∉

=

2

,

zatem równanie sprzeczne.

1

Wyznaczenie sumy pól trójkątów

ab

P

BCP

APD

2

1

:

,

=

, gdzie

b

a,

są bokami prostokąta.

1

26.

Wyznaczenie sumy pól trójkątów

ba

P

DCP

APB

2

1

:

,

=

, co

wykazuje tezę zadania.

1

Zapisanie równania wynikającego z treści zadania:

1

1

=

+

x

x

.

1

27.

Wykazanie sprzeczności równania:

0

,

0

1

2

<

∆

=

+

−

x

x

.

1

Wprowadzenie oznaczeń:

β

α

,

,

, h

a

– odpowiednio krawędź

podstawy, wysokość ostrosłupa, kąt nachylenia ściany bocznej

do płaszczyzny podstawy, kąt nachylenia krawędzi bocznej do

płaszczyzny podstawy oraz zapisanie proporcji wynikającej z

definicji tangensa kąta

α

:

3

2

2

=

a

h

.

1

28.

Obliczenie tangensa kąta

3

2

tg

:

=

β

β

.

1

Wyznaczenie równania prostej k prostopadłej do prostej l

przechodzącej przez punkt

4

3

1

:

+

−

=

x

y

A

.

2 ( w tym

1 punkt za

współczynnik

kierunkowy)

Wyznaczenie współrzędnych punku przecięcia się prostych













=

2

7

,

2

3

:

,

P

k

l

.

2 (1 punkt za

zapisanie

układu i 1 za

rozwiązanie)

29.

Wyznaczenie współrzędnych punktu

(

)

5

,

3

:

−

=

B

B

.

1

Zapisanie układu równań:

(

) (

)







=

+

+

+

=

+

+

+

+

+

185

2

42

5

3

2

1

2

1

1

1

1

r

a

r

a

r

a

r

a

r

a

.

2 (po 1 punkcie

za każde

równanie)

30.

Przekształcenie układu do równania kwadratowego:

1

4

0

207

84

5

2

=

+

−

r

r

.

Rozwiązanie równania:

8

,

13

,

3

2

1

=

=

r

r

.

1

Wyznaczenie pierwszego wyrazu i zapisanie odpowiedzi:

∨







=

=

3

5

1

r

a







=

−

=

8

,

13

4

,

27

1

r

a

.

1

Wyznaczenie krawędzi podstawy graniastosłupa:

12

=

a

.

1

Wyznaczenie wysokości graniastosłupa:

4

=

h

.

1

Wyznaczenie objętości graniastosłupa:

3

144

=

V

.

1

Wyznaczenie przekątnej ściany bocznej:

10

4

=

d

.

1

31.

Wyznaczenie cosinusa kąta między przekątną ściany bocznej i

krawędzią podstawy:

10

10

3

cos

=

α

.

1