LISTA 7 - Zwyczajne równania ró·

zniczkowe I-go rz ¾

edu.

Zadanie 1

Sprawdzi´c, czy podane funkcje s ¾

a rozwi ¾

azaniami (ca÷

kami) wska-

zanych równa´n na zadanych przedzia÷ach:

a) y(t) =

1

1+t

2

, y

0

+ 2ty

2

= 0, R,

b) y(t) = ln t, y

0

= e

y

, (0; 1),

c) e

t

= 1

e

y

, e

y

(1 + y

0

) = 1, (

1; 0),

d) y sin y + cos y

t cos t + sin t = 1, y

0

y cos y + t sin t = 0, R.

Zadanie 2

Rozwi ¾

aza´c równania ró·zniczkowe o zmiennych rozdzielonych:

a) y

0

sin x = y cos x,

b) y

0

= 2xy

2

x

2

y

0

,

c) 2x

2

y

0

= y,

d) x

2

y

0

+ y

1 = 0,

e) y

2

y

0

= 1

2x,

f ) y

0

=

tgy

x

2

,

g) y

0

= cos

2

y

,

h) y

0

=

2x

2

y

,

i) (x

2

+ 1) y

0

= y + 1,

j) y

0

sin x sin y = cos x cos y:

Zadanie 3

Rozwi ¾

aza´c równania ró·zniczkowe jednorodne wzgl ¾

edem x i y:

a) y

2

+ x

2

y

0

= xyy

0

,

b) xy

0

= y (1 + ln y

ln x),

c) xye

x
y

+ y

2

x

2

e

x
y

y

0

= 0,

d) x

2

y

0

= x

2

+ xy + y

2

,

e) y

2

+ x

2

= 2xyy

0

,

f ) x + y + xy

0

= 0,

g) (x

2

+ 2xy) y

0

= y

2

,

h) (x + y) y

0

+ y = 0.

Zadanie 4

Rozwi ¾

aza´c równania ró·zniczkowe liniowe metod ¾

a uzmienniania

sta÷

ej:

a) y

0

ytgx = 2 cos

2

x

,

b) xy

0

= xe

1
x

+ 2y,

c) y

0

+ ytgx = sin 2x,

d) y

0

+ 2xy = xe

x

2

,

e) xy

0

y = 2x

3

,

f ) y

0

sin x + y cos x = sin 2x,

1

g) y

0

cos x + 2y sin x = 2 sin x,

h) (1

x

2

) y

0

+ xy = 1;

i) (1 + x

2

) y

0

+ y = arctgx.

Zadanie 5

Rozwi ¾

aza´c równania liniowe metod ¾

e czynnika ca÷

kuj ¾

acego:

a) y

0

+ y = e

x

;

b) y

0

2xy = x

x

3

;

c) y

0

3y = e

3x

;

d) y

0

+ y = cos x:

Zadanie 6

Rozwi ¾

aza´c równania ró·zniczkowe Bernoulliego:

a) y

0

+ y + y

2

sin x = 0,

b) y

0

+ y + xpy = 0,

c) x

2

y

2

y

0

+ xy

3

= 1,

d) y

0

+

xy

1 x

2

= xpy,

e) 2xyy

0

+ x = y

2

,

f ) 2yy

0

= x + y

2

,

g) y

0

3y

x

+ x

3

y

2

= 0,

h) y

0

+ xy = xy

3

.

Zadanie 7

Rozwi ¾

aza´c równania ró·zniczkowe zupe÷ne:

a) (2y

3) dx + (2x + 3y

2

) dy = 0,

b) 2

y
x

2

+ 2

y
x

y

0

= 0,

c) 2xy + (y

2

+ x

2

) y

0

= 0,

d)

2x
y

3

+

1

y

2

3x

2

y

4

y

0

= 0:

Bibliogra…a

[1] M. Gewert, Z. Skoczylas, Równania ró·

zniczkowe zwyczajne. Teoria,

przyk÷

ady, zadania, O…cyna Wydawnicza GIS, Wroc÷

aw, 2005.

[2] G.I. Zaporo·

zec, Metody rozwi ¾

azywania zada´n z analizy matematycznej,

WNT, Warszawa, 1974.

[3] W. Krysicki, L. W÷

odarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz ¾

e´s´c

II, PWN, Warszawa, 2000.

[4] M. Mat÷

oka, Matematyka dla ekonomistów, Wydawnictwo Akademii

Ekonomicznej w Poznaniu, Pozna´n, 2003.

[5] M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych, Supremum, Warsza-

wa, 2000.

2