Matematyka dyskretna – dr Marcin Raniszewski

Matematyka Dyskretna – ćw. 7

Dyskretna teoria prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo, prawdopodobieństwo warunkowe,

niezależność zdarzeń, prawdopodobieństwo na nieskończonym Ω

Definicja klasyczna prawdopodobieństwa:

Jeśli wszystkie zdarzenia elementarne w

są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zajścia

zdarzenia losowego A możemy liczyć ze wzoru:

Wybrane własności prawdopodobieństwa:







Zliczanie zdarzeń jednakowo prawdopodobnych:

Zad. 1. W pudełku znajdują się trzy kule białe i osiem kul czarnych. Losowo wyciągamy dwie
kule bez zwracania (ze zwracaniem). Znajdź prawdopodobieństwo tego, że:

(a) obie kule są białe
(b) obie są czarne
(c) jedna z nich jest czarna, a druga biała

Zad. 2. Ze zbioru liczb {1, 2, 5, 6, 7, 9} losujemy trzy różne cyfry i tworzymy z nich liczbę.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę nieparzystą?

Zad. 3. Pewien program losuje milion razy liczbę całkowitą z przedziału [1, 1000000]. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że wylosuje co najmniej raz jedynkę?

Czy są

powtórzenia?

Nie

Czy liczy się

kolejność?

Nie

Kombinacje

bez powtórzeń

Tak

Wariacje bez

powtórzeń

Tak

Wariacje z

powtórzeniami

Matematyka dyskretna – dr Marcin Raniszewski

Niech X będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina M podzbiorów X stanowi σ-ciało jeśli:



,



,



.

Definicja prawdopodobieństwa dla nieskończonej przestrzeni zdarzeń Ω:

Niech

będzie σ-ciałem na Ω. Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję spełniającą następujące

warunki:





,



jeśli

jest dowolnym ciągiem podzbiorów M parami rozłącznych, to

.

Najczęściej będziemy przyjmować

(zbiór wszystkich podzbiorów

).

Zad. 4. Rzucamy symetryczną kostką aż do otrzymania szóstki:

(a) jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucimy co najmniej trzy razy?
(b) jakie jest prawdopodobieństwo, że zakończymy parzystym rzutem?

Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe:

Zad. 5. Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami, białą i szarą. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że liczba oczek na szarej kostce jest

5 pod warunkiem, że:

(a) suma wartości na obu kostkach jest równa 9?
(b) iloczyn wartości na obu kostkach jest

20?

Zad. 6. Rzucamy trzema symetrycznymi kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na
żadnej kostce nie wypadła szóstka, jeśli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek?

Zdarzenia

i nazywamy niezależnymi jeśli: . Warunek ten możemy zapisać równoważnie

jako:

.

Zad. 7. Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Niech

oznacza zdarzenie:

„w pierwszych dwóch rzutach dokładnie raz wypadł orzeł”,

oznacza: „w czterech rzutach

orzeł wypadł dokładnie dwa razy”. Czy zdarzenia

i są niezależne? Odpowiedź uzasadnij.

Zad. 8. Dane są dwa niezależne zdarzenia

i o prawdopodobieństwach

i

. Znajdź:

(a)

(b)

(c)