1

Model regresji – estymacja, wnioskowanie

Zad.1

Na podstawie obserwacji dotycz cych wielko ci dziennej produkcji (cecha X w szt.) oraz wielko ci dziennych kosztów zmiennych

(cecha Y w tys. zł), przeprowadzonej w 18 zakładach produkcyjnych ustalono dla tej grupy zakładów:

-

redni wielko dziennej produkcji na poziomie 25 szt.. z odchylenia standardowym 12 szt.,

-

redni wielko dziennego kosztu zmiennego na poziomie 7,3 tys. zł z odchyleniem standardowym 2,5 tys. zł,

-

nast puj c posta oszacowanej funkcji liniowej regresji drugiego rodzaju:

55

,

3

15

,

0

ˆ

+

⋅

=

i

i

x

y

,

Na podstawie powy szych danych wyznaczy współczynnik korelacji liniowej mi dzy poziomem obrotów i powierzchni
ekspozycyjn punktu sprzeda y oraz zbada jego istotno

.

Odp: r(xy) = 0,72 t = 4,17 H

0

odrzucamy

Zad. 2

Na podstawie 7 obserwacji oszacowano liniowy model zu ycia surowca (Y w t.) wzgl dem wielko ci produkcji (X w tys. szt.)

uzyskuj c:

2

.

10

)

(

,

44

)

(

,

180

,

28

)

(x

7

1

,

4

120

15

ˆ

7

1

=

i

2

2

i

=

=

=

=

−

=

+

=

z

S

y

S

y

x

x

x

y

i

i

a) Czy oszacowane współczynniki w modelu regresji s istotne?

b) wyznaczy wielko zu ycia surowca przy wielko ci produkcji 7 tys. szt. oraz dokładno tej prognozy.

Odp.: S(z) = 5,29 S(a) = 0,73 S(b) = 4,83 t

a

= 20,5 t

b

= 24,8 warto prognozowana: 225 ton

Zad. 3

Analiza zale no ci czasu sp dzonego przed telewizorem (zmienna Y, w godzinach) a wielko ci czasu wolnego od zaj

zawodowych i domowych w ci gu dnia (zmienna X, w godzinach) w ród losowo wybranych 142 kobiet umo liwiła wyznaczenie

nast puj cych składników estymacji równania regresji liniowej:

ocena współczynnika regresji liniowej = 0,2 ze rednim bł dem szacunku 0,05

ocena wyrazu wolnego = 0,02 ze rednim bł dem szacunku 0,004
N

ale y zinterpretowa oszacowania parametrów modelu oraz wyznaczy i zinterpretowa prognozowany czas ogl dania telewizji

w ród kobiet dysponuj cych 2 godzinami wolnego czasu.

Odp.: 0,42 godz.

Zad. 4

Na podstawie danych dotycz cych czasu trwania ci y (cecha X w tygodniach) oraz masy noworodka (cecha Y w gramach) dla 1000

obserwacji uzyskano nast puj ce informacje:

243389929

)

ˆ

(

;

199137214

)

ˆ

(

;

57

,

3

)

(

;

95

,

1591

)

,

cov(

;

3401000

;

12

,

40

1000

1

2

1000

1

2

1000

1

=

−

=

−

=

=

=

=

=

=

=

i

i

i

i

i

i

i

y

y

y

y

x

S

y

x

y

x

a) Prosz zbada , czy zale no liniow mi dzy mas noworodka oraz czasem trwania ci y mo na uzna za istotn ?

b) O ile gramów zmieniała si rednia waga noworodka wraz ze wzrostem czasu trwania ci y o jeden tydzie ?

Odp.: a) t = 1,73 nie, b) rednio o 124,9 gram

Zad. 5

Na podstawie 553 obserwacji oszacowano liniowy model regresji miesi cznego dochodu (w złotych) wzgl dem długo ci okresu

edukacji (w latach). Uzyskano nast puj ce wyniki:

[102,234]

[11,6013]

566

,

525

433

,

107

ˆ

+

=

x

y

Wiadomo ponadto, e rednia długo okresu edukacji w tej grupie kształtowała si na poziomie 10,1 lat, za dla oszacowanego

równania otrzymano R

2

= 0,13.

a/ Czy wpływ długo ci okresu edukacji na dochód jest statystycznie istotny, przy poziomie istotno ci 0,01?

b/

Nie wykonuj c adnych oblicze prosz oceni prawdziwo nast puj cego wniosku, sformułowanego na podstawie

oszacowanego równania: współczynnik korelacji liniowej dochodu i długo ci okresu edukacji zawiera si w przedziale (-1; -0,4)?

Odp.: a) t = 9,26 b) nieprawdziwy

Zad. 6

Na podstawie badania dotycz cego losowej próby 29 wynajmowanych lokali u ytkowych w pewnej miejscowo ci dokonano analizy

regresji liniowej rocznej ceny najmu (Y w tys. zł) wzgl dem powierzchni lokalu (X w m kw). Uzyskano nast puj ca funkcj regresji
liniowej:

18

,

26

36

,

0

ˆ

+

=

x

y

standardowe bł dy szacunku współczynnika regresji i wyrazu wolnego wynosiły odpowiednio: 3,03

tys. zł i 0,06.

2

a) Prosz poda interpretacj oszacowanych parametrów modelu oraz standardowych bł dów szacunku;

b) Czy dla poziomu istotno ci 0,05mozna uzna współczynnik regresji za istotny?

Odp.: b) t = 0,12

Zad. 7

Badaj c zale no kosztów zmiennych wydobycia surowca wzgl dem wielko ci wydobycia dla 27 obserwacji otrzymano nast puj ce

wyniki:

-

wzrost wielko ci wydobycia o 1 tys. t prowadził do wzrostu kosztów zmiennych rednio o 0,08 tys. zł,

-

poziom kosztów oraz rozmiary wydobycia charakteryzowały warto ci rednie wynosz ce odpowiednio 4 tys. zł oraz 10 tys. t. z

odchyleniami standardowymi odpowiednio 2 tys. zł oraz 4 tys. t.

Czy na podstawie zebranych informacji mo na uzna korelacj liniow mi dzy kosztami zmiennymi i wielko ci produkcji za

statystycznie istotn ?

Odp.: r(xy) = 0,16 t = 0,81

Zad. 8

Analizuj c zmienno liczby zawieranych umów handlowych w zale no ci od liczby pracowników zatrudnianych w działach

dystrybucji uzyskano nast puj cy ci g reszt w modelu regresji liniowej:

0, 0, 1, 1, -1, -1, -1, 0, 1, -1, 1, -1, -1, 0, 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1.

a) Czy uzyskane reszty wskazuj na ich losowy charakter.

b) Prosz okre li przeci tny bł d szacunku liczby zawieranych umów handlowych wzgl dem liczby pracowników zatrudnianych w

działach dystrybucji.

Odp.: 0,35

Zad. 9

W celu zbadania regresji wydatków (w zł) wzgl dem dochodów na osob (w zł) w gospodarstwach domowych wylosowano prób

losow , na podstawie, której uzyskano nast puj ce wyniki (odchylenie standardowe obliczono na podstawie estymatorów MNW):

rednia

odchylenie standardowe

kowariancja wydatków i dochodów

Wydatki

1863,61

925,82

818516,63

Dochody

1965,09

1245,21

Wyznacz równanie regresji liniowej i podaj interpretacj parametrów strukturalnych równania. Wiedz c, e suma kwadratów reszt

wyniosła 14268391,35 (zł

2

), oce czy oszacowanie współczynnika regresji jest istotne na poziomie istotno ci 0,05.

Odp.: Y^=0,53x+822,11; S(e)=657,55; S(a)=0,09; t=5,89

Zad. 10

Zbadano zale no wysoko ci dochodów na osob w gospodarstwie domowy (w dukatach) a liczb dzieci pozostaj cych na

utrzymaniu. Uzyskane na podstawie badania 16 gospodarstw wyniki prezentuje poni szy wydruk komputerowy:

Regression Analysis - Linear model: Y = a+bX
--------------------------------------------------------------
Dependent variable: dochody/1 osob w dukatach
Independent Variable: liczba dzieci
--------------------------------------------------------------
Standard T Prob.
Parameter Estimate Error Value Level
--------------------------------------------------------------
Intercept 29.7368 15.6277 1.90283 .07783
Slope -0.976058 0.0723004 -13.5 .00000
--------------------------------------------------------------
Analysis of Variance
--------------------------------------------------------------
Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio Prob. Level
Model 14226.640 1 14226.640 182.25 .00000
Residual 1092.8489 14 78.0606
--------------------------------------------------------------
Total (Corr.) 15319.489 15
Correlation Coefficient = -0.963672 R-squared = 92.87 percent
Stnd. Error of Est. = 8.83519

Prosz zapisa oszacowane równanie regresji liniowej, zinterpretowa jego parametry oraz zbada , czy korelacja liniowa mi dzy

wysoko ci dochodu na osob a liczb dzieci w gospodarstwie domowym mo na uzna za statystycznie istotn .

Odp.:

7368

,

29

976058

,

0

ˆ

+

=

i

i

x

y

t = -12,6