Analiza matematyczna 2

Egzamin podstawowy, semestr letni 2006/2007

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu
(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek,
rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić po-
niższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie pozostałe
kartki pracy.

M6

1

2

3

4

5

6

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej
kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie każdego zadania można
otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn.
formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane
wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Zbadać z definicji zbieżność całki niewłaściwej

.

∫

e

π

∞

1
x

sin ln x dx

2. Znajdując wzór na sumę odpowiedniego szeregu potęgowego obliczyć sumę

S =

1

3⋅2

−

1

6⋅2

2

+

1

9⋅2

3

−

1

12⋅2

4

+

1

15⋅2

5

− ...

3. Napisać równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej

i stycznej do

l

: −x = y = 2z

powierzchni

.

z =

24 − x

2

− 4y

2

4. Znajdując minimum odpowiedniej funkcji dwóch zmiennych wyznaczyć odległość

między prostymi

,

l

: ( x, y, z ) = ( s, s − 2, 1 + s ), s ∈ R

.

k

: ( x, y, z ) = ( −1 + t, t, 3t ), t ∈ R

5. Obliczyć pole obszaru znajdującego się w półpłaszczyźnie

i ograniczo-

y ≤

3 x

nego krzywymi

,

.

x

2

+ y

2

= 4y x

2

+ y

2

= 10y

6. Czworościan, którego gęstość objętościowa w każdym punkcie jest równa jego

odległości od płaszczyzny

ograniczają płaszczyzny układu współrzędnych

xOz

oraz płaszczyzna o równaniu

. Obliczyć masę tego czworościanu.

x + 2y + 4z = 8

.

Analiza matematyczna 2

Egzamin podstawowy, semestr letni 2006/2007

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu
(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek,
rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić po-
niższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie pozostałe
kartki pracy.

N6

1

2

3

4

5

6

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej
kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie każdego zadania można
otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn.
formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane
wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Stosując całkę niewłaściwą obliczyć objętość bryły obrotowej utworzonej po obrocie

wokół osi

obszaru określonego warunkami

Ox

.

2 ≤ x < ∞, 0 ≤ y ≤

1
x

e

2
x

2. Stosując kryterium ilorazowe zbadać zbieżność szeregu

.

n = 1

∞

Σ

n ( arctg

2

n n

) ( tg

3

n

)

3. Korzystając z różniczki podać przybliżoną objętość stożka, którego promień podstawy

wynosi

cm, natomiast tworząca

cm.

R = 3 ± 0, 1

l = 5 ± 0, 3

4. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji

na

f ( x, y ) = xy − x − y

zbiorze

.

A = { ( x, y ) ∈ R

2

: y ≤ 2x, y ≥ x

2

}

5. Obszar płaski jest opisany związkiem

. Używając

D

( x

2

+ y

2

)

3

≤ ( x

2

− y

2

)

2

współrzędnych biegunowych obliczyć pole tego obszaru. Sporządzić rysunek.

6. Wydrążona półkula o promieniu wewnętrznym

i zewnętrznym

ma

r = 1

R = 3

ś

rodek w punkcie

. Jej gęstość objętościowa wynosi

( 0, 0, 0 )

.

γ ( x, y, z ) =

x

2

+ y

2

+ z

2

Obliczyć masę tej półkuli.

Analiza matematyczna 2

Egzamin podstawowy, semestr letni 2006/2007

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu
(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek,
rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić po-
niższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie pozostałe
kartki pracy.

O6

1

2

3

4

5

6

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej
kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie każdego zadania można
otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn.
formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane
wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Obliczyć całkę niewłaściwą drugiego rodzaju

.

∫

0

1

dx

3

x + x

2. Wyznaczyć środek i promień zbieżności szeregu potęgowego

.

Σ

n = 4

∞

(

n

n − 3

)

n

2

( 1 − 4x )

n

3. Naszkicować zbiór punktów nieciągłości funkcji

.

g ( x, y ) =







x ⋅ y

3

, x ≤ y

3

7x + 8, x > y

3

4. Zbadać, czy funkcja

ma ekstrema lokalne.

f ( x, y ) = ( x + 2 )

2

− ( y − 5 )

3

5. Obliczyć objętość i naszkicować bryłę ograniczoną powierzchniami

V

.

z = x

2

− y

2

, x

2

+ y

2

= 4, z = −5

6. Obliczyć moment statyczny względem płaszczyzny

jednorodnej bryły

yOz

obrotowej powstałej z obrotu wokół osi

trapezu krzywoliniowego

V

Ox

.

T = { ( x, y, 0 ) :







0 ≤ y ≤ 1 dla 0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ x dla 1 ≤ x ≤ 2

Analiza matematyczna 2

Egzamin podstawowy, semestr letni 2006/2007

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu
(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek,
rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić po-
niższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie pozostałe
kartki pracy.

P6

1

2

3

4

5

6

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej
kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 minut, za rozwiązanie każdego zadania można
otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn.
formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane
wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Stosując kryterium ilorazowe zbadać zbieżność całki niewłaściwej

.

∫

0

2

sin x

3

x

− 1

dx

2. Stosując twierdzenie o całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumę szeregu

.

Σ

n = 2

∞

(−2)

n

n ⋅ 5

n

3. Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji

g ( x, y ) =

arcctg y

arcsin x

w punkcie

.

( x

0

, y

0

) = ( −

2

2

,

3

3

)

4. Znaleźć ekstrema lokalne i globalne funkcji

.

f ( x, y ) = x

4

( y + 3 )

2

5. Obliczyć moment statyczny względem osi

jednorodnego czworokąta o wierz-

Oy

chołkach

P = ( 1, 0 ), Q = ( 2, 4 ), R = ( 5, 4 ), S = ( 4, 0 )

i o masie

.

M = 3

6. Obliczyć objętość bryły będącej częścią wspólną dwóch kul o promieniach rów-

nych i o środkach

. Wprowadzić współrzędne

2

S

1

= ( 0, 0, 0 ), S

2

= ( 0, 0, 2 )

sferyczne.