A

n

a

liz

a

m

a

tem
a

ty

cz

n

a

2

II

k

o

lo

k

w

iu

m

, s

em

es

tr

le

tn

i 2

0

0

6

/2

0

0

7

N

a

p

ier

w

szej
s

tr

o

n

ie

p

racy
p

ro

sz

ę
n

ap
is

a

ć
n

azw

ę
k

u

rs

u

, z

k

tó

reg
o

o

d

b

y

w

a

si

ę
k

o

lo

k

w

iu

m

,

sw

o

je

im

ię

i

n

azw

is

k

o

, n

u

m

er

in

d

ek
su

, w

y

d

zi

ał

, k

ier

u

n

ek
, r

o

k

s

tu

d

ió

w

, i

m

ię

i

n

azw

is

k

o

w

y

k

ład
o

w

cy
(

o

so

b

y

p

ro

w

ad
z

ą
cej
ć

w

iczen

ia)

, d

at

ę
o

raz
sp

o

rz

ą
d

zi

ć
p

o

n

iż

sz

ą
tab
el

k

ę
. P

o

-

n

a

d

to

p

ro
sz

ę p

o

n

u

m

ero

w

a

ć i

p

o

d

p

is

a

ć w

szy
st

k

ie

p

o

zo
st

a

łe

k

a

rt

k

i p

ra
cy
.

I5

1

2

3

4

S

um
a

T

re

ś
ci

zad
a

ń

p

ro

sz

ę
n

ie

p

rzep
is

y

w

a

ć
. R

o

zw
ią

za
n

ie

za
d

a

n

ia

o

n

u

m

erze

n

n

a

le

ży

n

a

p

i-

sa

ć
n

a

n

-t

ej

k

a

rt

ce
p

ra
cy
. N

a

ro

zw
ią

zan

ie

zad

a

ń

p

rzezn

aczo

n

o

6

0

m

in

u

t,

za
ro

zw
ią

zan

ie

k

a

ż
d

eg
o

zad
an
ia

m

o

ż
n

a

o

tr

zy
m

a

ć
o

d

0

d

o

5

p

u

n

k

tó

w

. W
r

o

zw
ią

zan

iach
n

al

e

ż
y

d

o

k

ład
n

ie

o

p

is

y

w

a

ć
p

rzeb
ieg
r

o

zu
m

o

w

an
ia,

tzn
. f

o

rm

u

ło

w

a

ć
w

y

k

o

rzy
st

y

w

an
e

d

ef

in

icj

e

i t

w

ier

d

zen

ia,

p

rzy
tacza

ć
s

to

so

w

an
e

w

zo
ry

, u

zas
ad
n

ia

ć
w

y

ci

ą
g

an
e

w

n

io

sk

i.

P

o

n

ad
to

p

ro

sz

ę
s

p

o

rz

ą
d

za
ć

st

ar

an
n

e

ry

su

n

k

i z

p

eł

n

y

m

o

p

is

em
. P

o

w

o

d

zen

ia

!

T

er

es

a J
ur
le

w

ic

z

Z

A

D

A

N

IA

1.

P

oda

ć
w
y

m

ia

ry

pr
os

topa
dł

o

ś
ci

anu o m

aks

y

m

al

ne
j obj

ę
to

ś
ci

, kt
ór

eg

o

pr

ze

k

ą
tna
m
a dł
ug
o

ść

.

d

=

6

0

cm

2.

O

bl

ic

zy

ć
c

ał

k

ę

,

∫∫

P

m

a

x

(

x

2

,

y

)

d

x

d

y

g

dz
ie

, z
a

ś
s

y

m

bol

oz

na
cz

a ni
e m
ni

ej

-

P

=

[0

,1

]

×

[0

,4

]

m

ax

sz

ą
z

l

ic

zb.

3.

W
pr

ow
adz
aj

ą
c w
spół
rz

ę
dne

bi
eg

unow

e obl
ic

zy

ć
pol

e obs

za

ru

og
ra

ni

cz

one

g

o kr

zy

w

y

m

i

,

, pr

zy

c

zy

m

.

x

2

+

y

2

=

6

x
x

2

+

y

2

=

8

x

3

y

≥

x

4.

O

bl

ic

zy

ć
m
as

ę
c

zw

or

o

ś
ci

anu og

ra

ni

cz

one

g

o pł

as

zc

zy

zn

ą
o r
ów
na
ni

u

or
az

pł
as

zc

zy

zna
m

i ukł

adu w

spół
rz

ę
dny

ch, j
e

ż
el

i

3

x

+

y

+

2

z

=

6

g

ę
st

o

ść

obj

ę
to

ś
ci

ow
a w
ka
ż
dy
m

punkc

ie

j

es

t r

ów
na
j

eg

o odl

eg

ło

ś
ci

od pł

as

zc

zy

zny

y

O

z.

A

n

a

liz

a

m

a

tem
a

ty

cz

n

a

2

II

k

o

lo

k

w

iu

m

, s

em

es

tr

le

tn

i 2

0

0

6

/2

0

0

7

N

a

p

ier

w

szej
s

tr

o

n

ie

p

racy
p

ro

sz

ę
n

ap
is

a

ć
n

azw

ę
k

u

rs

u

, z

k

tó

reg
o

o

d

b

y

w

a

si

ę
k

o

lo

k

-

w

iu

m

, s

w

o

je

im

ię

i

n

azw

is

k

o

, n

u

m

er

in

d

ek
su

, w

y

d

zi

ał

, k

ier

u

n

ek
, r

o

k

s

tu

d

ió

w

, i

m

ię

i

n

azw

is

k

o

w

y

k

ład
o

w

cy
(

o

so

b

y

p

ro

w

ad
z

ą
cej
ć

w

iczen

ia)

, d

at

ę
o

raz
sp

o

rz

ą
d

zi

ć
p

o

n

iż

sz

ą

t

ab
el

k

ę
. P

o

n

a

d

to

p

ro
sz

ę p

o

n

u

m

ero

w

a

ć i

p

o

d

p

is

a

ć w

szy
st

k

ie

p

o

zo
st

a

łe

k

a

rt

k

i p

ra
cy
.

J

5

1

2

3

4

S

um
a

T

re

ś
ci

zad
a

ń

p

ro

sz

ę
n

ie

p

rzep
is

y

w

a

ć
. R

o

zw
ią

za
n

ie

za
d

a

n

ia

o

n

u

m

erze

n

n

a

le

ży

n

a

-

p

is

a

ć
n

a

n

-t

ej

k

a

rt

ce
p

ra
cy
. N

a

ro

zw
ią

zan

ie

zad

a

ń

p

rzezn

aczo

n

o

6

0

m

in

u

t,

za
ro

zw
ią

-

zan
ie

k

a

ż
d

eg
o

zad
an
ia

m

o

ż
n

a

o

tr

zy
m

a

ć
o

d

0

d

o

5

p

u

n

k

tó

w

. W
r

o

zw
ią

zan

iach
n

al

e

ż
y

d

o

k

ład
n

ie

o

p

is

y

w

a

ć
p

rzeb
ieg
r

o

zu
m

o

w

an
ia,

tzn
. f

o

rm

u

ło

w

a

ć
w

y

k

o

rzy
st

y

w

an
e

d

ef

in

icj

e

t

w

ier

d

zen

ia,

p

rzy
tacza

ć
s

to

so

w

an
e

w

zo
ry

, u

zas
ad
n

ia

ć
w

y

ci

ą
g

an
e

w

n

io

sk

i.

P

o

n

ad
to

p

ro

-

s

z

ę
s

p

o

rz

ą
d

za
ć
s

tar

an
n

e

ry

su

n

k

i z

p

eł

n

y

m

o

p

is

em
. P

o

w

o

d

zen

ia

!

T

er

es

a J
ur
le

w

ic

z

Z

A

D

A

N

IA

1.

N
a pow

ie

rz

chni

z
na
le

ź

ć
punkt

l

e

ż

ą
cy

na
jbl

iż

ej

punkt

u

z

=

x

y

.

P

=

(

0

,0

,4

)

2.

N
ie

ch

b
ę
dz
ie

t

rój

k

ą
te

m

o w

ie

rz

choł
ka
ch

,

T

(

0

,1

),

(

0

,3

)

. O

bl

ic

zy

ć
c

ał

k

ę

(

1

,2

)

.

∫∫

T

d

x

d

y

y

3.

W

y

zna
cz

y

ć
w
spół
rz

ę
dn
ą

ś
rodka

m
as

y

j

ednor

odne

j pł
y

tki

z

na
jdu-

y

c

j

ą
ce

j s

ię

na
d os

ią

i

og
ra

ni

cz

one

j kr
zy

w

y

m

i

O

x

.

x

2

+

y

2

=

2

x
,

x

2

+

y

2

=

8

x
,

y

=

0

4.

O
bl

ic

zy

ć
c

ał

k

ę
pot

rój

n

ą

,

∫∫∫

V

y

2

co

s

π

x

2

d

x

d

y

d

z

g
dy
obs

za

r
j

es

t og
ra

ni

cz

ony

pow

ie

rz

chni
am

i

V

z

=

1

−

y

2

,

z

=

0

,

. N

as

zki

cow
a

ć
obs

za

r
.

x

=

0

,

x

=

1

V

A

n

a

liz

a

m

a

tem
a

ty

cz

n

a

2

II

k

o

lo

k

w

iu

m

, s

em

es

tr

le

tn

i 2

0

0

6

/2

0

0

7

N

a

p

ier

w

szej
s

tr

o

n

ie

p

racy
p

ro

sz

ę
n

ap
is

a

ć
n

azw

ę
k

u

rs

u

, z

k

tó

reg
o

o

d

b

y

w

a

si

ę
k

o

lo

k

w

iu

m

,

sw

o

je

im

ię

i

n

azw

is

k

o

, n

u

m

er

in

d

ek
su

, w

y

d

zi

ał

, k

ier

u

n

ek
, r

o

k

s

tu

d

ió

w

, i

m

ię

i

n

azw

is

k

o

w

y

k

ład
o

w

cy
(

o

so

b

y

p

ro

w

ad
z

ą
cej
ć

w

iczen

ia)

, d

at

ę
o

raz
sp

o

rz

ą
d

zi

ć
p

o

n

iż

sz

ą
tab
el

k

ę
. P

o

-

n

a

d

to

p

ro
sz

ę p

o

n

u

m

ero

w

a

ć i

p

o

d

p

is

a

ć w

szy
st

k

ie

p

o

zo
st

a

łe

k

a

rt

k

i p

ra
cy
.

K

5

1

2

3

4

S

um
a

T

re

ś
ci

zad
a

ń

p

ro

sz

ę
n

ie

p

rzep
is

y

w

a

ć
. R

o

zw
ią

za
n

ie

za
d

a

n

ia

o

n

u

m

erze

n

n

a

le

ży

n

a

p

i-

sa

ć
n

a

n

-t

ej

k

a

rt

ce
p

ra
cy
. N

a

ro

zw
ią

zan

ie

zad

a

ń

p

rzezn

aczo

n

o

6

0

m

in

u

t,

za
ro

zw
ią

zan

ie

k

a

ż
d

eg
o

zad
an
ia

m

o

ż
n

a

o

tr

zy
m

a

ć
o

d

0

d

o

5

p

u

n

k

tó

w

. W
r

o

zw
ią

zan

iach
n

al

e

ż
y

d

o

k

ład
n

ie

o

p

is

y

w

a

ć
p

rzeb
ieg
r

o

zu
m

o

w

an
ia,

tzn
. f

o

rm

u

ło

w

a

ć
w

y

k

o

rzy
st

y

w

an
e

d

ef

in

icj

e

i t

w

ier

d

zen

ia,

p

rzy
tacza

ć
s

to

so

w

an
e

w

zo
ry

, u

zas
ad
n

ia

ć
w

y

ci

ą
g

an
e

w

n

io

sk

i.

P

o

n

ad
to

p

ro

sz

ę
s

p

o

rz

ą
d

za
ć

st

ar

an
n

e

ry

su

n

k

i z

p

eł

n

y

m

o

p

is

em
. P

o

w

o

d

zen

ia

!

T

er

es

a J
ur
le

w

ic

z

Z

A

D

A

N

IA

1.

Z

na
le

ź

ć
e

ks

tr

em

a l

oka

lne
i

g

loba
lne
f

unkc

ji

.

f

(

x

,y

)

=

(

x

−

1

)

2

y

4

2.

O

bl

ic

zy

ć
c

ał

k

ę

.

∫

2

3

d

x

∫

x

−

2

4

−

x

d

y

x

3.

O

bl

ic

zy

ć
pol

e t

ej

c

z

ę

ś
ci

pow

ie

rz

chni

,

x

2

+

y

2

+

z

2

=

3

6

kt

ór

a l

e

ż
y

m
ię

dz
y

pł
as

zc

zy

zna
m

i

z

=

3

,

z

=

5

.

4.

O

bl

ic

zy

ć
obj

ę
to

ść

br
y

ły

og
ra

ni

cz

one

j pow

ie

rz

chni
am

i

.

y

2

=

x
,

2

x

+

z

=

6

,

z

=

0

A

n

a

liz

a

m

a

tem
a

ty

cz

n

a

2

II

k

o

lo

k

w

iu

m

, s

em

es

tr

le

tn

i 2

0

0

6

/2

0

0

7

N

a

p

ier

w

szej
s

tr

o

n

ie

p

racy
p

ro

sz

ę
n

ap
is

a

ć
n

azw

ę
k

u

rs

u

, z

k

tó

reg
o

o

d

b

y

w

a

si

ę
k

o

lo

k

-

w

iu

m

, s

w

o

je

im

ię

i

n

azw

is

k

o

, n

u

m

er

in

d

ek
su

, w

y

d

zi

ał

, k

ier

u

n

ek
, r

o

k

s

tu

d

ió

w

, i

m

ię

i

n

azw

is

k

o

w

y

k

ład
o

w

cy
(

o

so

b

y

p

ro

w

ad
z

ą
cej
ć

w

iczen

ia)

, d

at

ę
o

raz
sp

o

rz

ą
d

zi

ć
p

o

n

iż

sz

ą

t

ab
el

k

ę
. P

o

n

a

d

to

p

ro
sz

ę p

o

n

u

m

ero

w

a

ć i

p

o

d

p

is

a

ć w

szy
st

k

ie

p

o

zo
st

a

łe

k

a

rt

k

i p

ra
cy
.

L

5

1

2

3

4

S

um
a

T

re

ś
ci

zad
a

ń

p

ro

sz

ę
n

ie

p

rzep
is

y

w

a

ć
. R

o

zw
ią

za
n

ie

za
d

a

n

ia

o

n

u

m

erze

n

n

a

le

ży

n

a

-

p

is

a

ć
n

a

n

-t

ej

k

a

rt

ce
p

ra
cy
. N

a

ro

zw
ią

zan

ie

zad

a

ń

p

rzezn

aczo

n

o

6

0

m

in

u

t,

za
ro

zw
ią

-

zan
ie

k

a

ż
d

eg
o

zad
an
ia

m

o

ż
n

a

o

tr

zy
m

a

ć
o

d

0

d

o

5

p

u

n

k

tó

w

. W
r

o

zw
ią

zan

iach
n

al

e

ż
y

d

o

k

ład
n

ie

o

p

is

y

w

a

ć
p

rzeb
ieg
r

o

zu
m

o

w

an
ia,

tzn
. f

o

rm

u

ło

w

a

ć
w

y

k

o

rzy
st

y

w

an
e

d

ef

in

icj

e

t

w

ier

d

zen

ia,

p

rzy
tacza

ć
s

to

so

w

an
e

w

zo
ry

, u

zas
ad
n

ia

ć
w

y

ci

ą
g

an
e

w

n

io

sk

i.

P

o

n

ad
to

p

ro

-

s

z

ę
s

p

o

rz

ą
d

za
ć
s

tar

an
n

e

ry

su

n

k

i z

p

eł

n

y

m

o

p

is

em
. P

o

w

o

d

zen

ia

!

T

er

es

a J
ur
le

w

ic

z

Z

A

D

A

N

IA

1.

Z
ba
da
ć
, c
zy

f

unkc

ja

h

(

x
,

y

)

=

(

x

−

4

)

3

−

(

y

+

3

)

2

m
a e

ks

tr

em

a l

oka

lne
.

2.

O
bl

ic

zy

ć
m
om
ent

s

ta

ty

cz

ny
w
zg

lę

de
m

os
i

j

ednor

odne

g

o c
zw

or

o-

O

x

k
ą
ta

o m

as

ie

i

o w

ie

rz

choł
ka
ch

M
=

4

.

A

=

(

0

,2

),

B

=

(

0

,−

1

),

C
=

(

3

,1

),

D
=

(

3

,4

)

3.

O
bl

ic

zy

ć
obj

ę
to

ść

br
y

ły

og

ra

ni

cz

one

j pow

ie

rz

chni
am

i

V

,

.

z

=

(

x

2

+

y

2

−

1

)

3

z

=

1

4.

O
bl

ic

zy

ć
c

ał

k

ę

.

∫

0

π

/2

d

x

∫

0

π

/4

d

y

∫

0

π

/3

co

s

(

x

+

2

y

+

3

z

)

d

z