Fizyka Statystyczna i Termodynamika
Opracowanie zagadnie´n do egzaminu
Kamil M˛etrak
kamet@if.pw.edu.pl
Brakuje punktów 28, 29, 31, 32, 33, 34
29-31.01.2004
2
1. A♣ Zasady termodynamiki
2. 2♣ Transformacja Legendrea w termodynamice
3. 3♣ Relacja Gibbsa - Duhlema
4. 4♣ Zasada pracy maksymalnej
5. 5♣ Stabilno´s´c układów termodynamicznych, równowaga termodynamiczna
6. 6♣ Entropia dla gazu doskonałego
7. 7♣ Potencjał chemiczny dla gazu doskonałego
8. 8♣ Reguła faz Gibbsa
9. 9♣ Termodynamika reakcji chemicznych, gaz doskonały
10. 10♣ Równanie Clausiussa - Clapeyrona
11. A♦ Rozkład mikrokanoniczny
12. 2♦ Rozkład kanoniczny, wyprowadzenie, własno´sci, fluktuacje
13. 3♦ Wielki rozkład kanoniczny, wyprowadzenie, własno´sci, fluktuacje
14. 4♦ Rozkład Maxwella Boltzmana
15. 5♦ G˛esto´s´c stanów
16. 6♦ Rozkład Fermiego - Diraca
17. 7♦ Rozkład Bosego Einsteina
18. 8♦ Gaz elektronowy, potencjał chemiczny, energia wewn˛etrzna, ciepło wła´sciwe
19. 9♦ Gaz bozonowy, potencjał chemiczny, energia wewn˛etrzna, ciepło wła´sciwe
20. 10♦ Kondensacja Bosego - Einsteina
21. A♥ Model Isinga, przykłady zastosowa´n
22. 2♥ Rozszerzenia modelu Isinga
23. 3♥ Model Isinga w jednym wymiarze
24. 4♥ Funkcje korelacji ła´ncucha Isinga
25. 5♥ Podatno´s´c ła´ncucha Isinga
26. 6♥ Teoria pola ´sredniego (molekularnego), temperatura krytyczna, wykładniki krytyczne
27. 7♥ Hipoteza uniwersalno´sci zjawisk krytycznych
28. 8♥ Teoria Landaua przej´s´c fazowych, wykładniki krytyczne
29. 9♥ Teoria chaosu deterministycznego, mapa logistyczna
30. 10♥ Hipoteza skalowania
31. J♥ Grupa renormalizacji na przykładzie modelu Isinga i modelu perkolacji
32. Q♥ Równanie transportu Boltzmana
33. K♥ Równania dyfuzji
34. JOKER Przewodnictwo elektryczne
3
1. Zasady termodynamiki.
Zerowa zasada termodynamiki Dla ka˙zdego równowagowego układu termodynamicznego istnieje intensywna,
skalarna wielko´s´c, która jest funkcj ˛a stanu, zwana temperatur ˛a, taka, ˙ze układy znajduj ˛a si˛e we wzajemnej
równowadze termodynamicznej je´sli ich stany opisywane s ˛a przez tak ˛a sam ˛a temperatur˛e. Zasada ma charak-
ter przechodni.
(θ
A
= θ
B
)
∧ (θ
B
= θ
C
)
⇒ (θ
A
= θ
C
)
Pierwsza zasada termodynamiki Dla ka˙zdego układu termodynamicznego istnieje wielko´s´c zwana energi ˛a
wewn˛etrzn ˛a, która jest a) funkcj ˛a stanu ukladu, b) sum ˛a wszystkich energii elementów układu. W układach izo-
lowanych energia wewn˛etrzna nie zmienia si˛e w czasie (zasada zachowania energii wewn˛etrznej).
Druga zasada termodynamiki Istnieje intensywana zmienna T zwana temperatur ˛a bezwzgl˛edn ˛a oraz eksten-
sywna zmienna S zwana entropi ˛a, taka, ˙ze dla układu jednorodnego w stanie równowagi mamy dQ = T dS.
Entropia układu izolowanego nigdy nie maleje i w stanie równowagi osi ˛aga maksimum, którego warto´s´c wynika
z warunków narzuconych na układ z zewn ˛atrz. Taka definicja entropii pracuje tylko dla procesów odwracalnych.
Trzecia zasada termodynamiki Dla dowolnego ukłau termodynamicznego lim
T
→0
S = 0
2. Transformacja Legendre’a w termodynamice. Potencjały trmodynamiczne.
U = U (S, V, N )
- naturalne zmienne energii wewn˛etrznej
T =
∂U (S,V,N )
∂S
p =
∂U (S,V,N )
∂S
µ =
∂U (S,V,N )
∂S
Jednak znaj ˛ac U = U(T, V, N) nie mog˛e znale´z´c entropii S.
F = F (T, V, N ) = U
−
∂U
∂S
S = U
− T S - energia swobodna Helmholtza
H = H(S, p, N ) = U
−
∂U
∂V
V = U + pV
- entalpia
G = G(T, p, N ) = U
−
∂U
∂V
V
−
∂U
∂S
S = U + pV
− T S - potencjał termodynamiczny Gibbsa
3. Relacja Gibbsa-Duhlema.
dU = T dS
− pdV + µdN
dS =
dU + pdV
− µdN
T
S(λU, λV, λN ) = λS(U, V, N )
Ró˙zniczkujemy obie strony po λ i wstawiamy λ = 1:
∂S
∂U
V,N
· U +
∂S
∂V
U,N
· V +
∂S
∂N
U,V
· N = S(U, V, N)
1
T
· U +
p
T
· V −
µ
T
· N = S
U + pV
− T S = µN
ale
U + pV
− T S = G
st ˛ad
G = µN
4
4. Zasada pracy maksymalnej.
Układy Z i R
p
maj ˛a stał ˛a entropi˛e, bo nie ma przepływu ciepła.
∆E + ∆E
R
T
+ ∆E
R
p
+ ∆E
Z
= 0
zasada zachowania energii
∆E + ¯
T ∆ ¯
S
− ¯
p∆ ¯
V + W = 0
gdzie ∆E jest energi ˛a wewn˛etrzn ˛a systemu Σ, za´s W - prac ˛a nieobj˛eto´sciow ˛a wykonan ˛a przez system Σ nad
systemem Z. Ale
∆S + ∆ ¯
S
≥ 0 równe dla procesu odwracalnego
oraz
∆V =
−∆ ¯
V
wi˛ec
∆E
− ¯
T ∆S + ¯
pV + W
≤ 0
∆(E
− ¯
T S + ¯
pV ) + W
≤ 0
−∆(E − ¯
T S + ¯
pV )
≥ W
Praca wykonywana przez układ Σ jest mniejsza lub równa zmianie tej wielko´sci ( )
5. Stabilno´s´c układów termodynamicznych, równowaga termodynamiczna.
a) 2 układy w stanie równowagi w kontakcie cieplnym
S
= S
1
+ S
2
dS
= dS
1
+ dS
2
oraz
T
1
dS
1
= δQ
1
T
2
dS
2
= δQ
2
przy czym
δQ = δQ
1
=
−δQ
2
dS
= δQ
1
T
1
−
1
T
2
dS
=
∂
∂E
1
S
1
dE
1
+
1
2
∂
2
∂E
1
2
S
1
(dE
1
)
2
+ . . . +
∂
∂E
2
S
2
dE
2
+
1
2
∂
2
∂E
2
2
S
1
(dE
2
)
2
+ . . . =
=
∂
∂E
1
S
1
=
1
T
1
=
1
T
1
dE
1
+
1
T
2
dE
2
+
1
2
∂
∂E
1
1
T
1
dE
1
+
1
2
∂
∂E
2
1
T
2
dE
2
=
=
{dE
1
+ dE
2
= 0
}
=
1
2
∂
2
∂E
1
2
S
1
+
∂
2
∂E
2
2
S
2
(dE)
2
≤ 0
Fluktuacje stanu równowagi mog ˛a tylko zminiejszy´c entropi˛e.
∂
2
∂E
2
S
≤ 0
∂
∂E
1
T
≤ 0
−
1
T
2
∂
∂E
T
≤ 0
∂
∂E
T
N,V
≥ 0
5
Energia wewn˛etrzna wyra˙zona jako funkcja zmiennych eksttensywnych (bez entropii) i temperatury jest niemale-
j ˛ac ˛a funkcj ˛a temperatury.
b) 2 układy wymieniaj ˛ace energi˛e i mas˛e
dE
= dE
1
+ dE
2
=
=
∂
∂S
1
E
1
dS
1
+
1
2
∂
2
∂S
1
2
E
1
(dS
1
)
2
+ . . . +
∂
∂S
2
E
2
dS
2
+
1
2
∂
2
∂S
2
2
E
1
(dS
2
)
2
+ . . . +
+
∂
∂N
1
E
1
dN
1
+
1
2
∂
2
∂N
1
2
E
1
(dN
1
)
2
+ . . . +
∂
∂N
2
E
2
dN
2
+
1
2
∂
2
∂N
2
2
E
1
(dN
2
)
2
+ . . . =
=
dS
1
=
−dS
2
dN
1
=
−dN
2
=
= (T
1
− T
2
)dS
1
+
1
2
∂
2
∂S
1
2
E
1
+
∂
2
∂S
2
2
E
2
(dS
1
)
2
+
+(µ
1
− µ
2
)dN
1
+
1
2
∂
2
∂N
1
2
E
1
+
∂
2
∂N
2
2
E
2
(dN
1
)
2
≥ 0
∂
2
∂S
2
E
≥ 0
∂
2
∂N
2
E
≥ 0
∂
∂N
µ
≥ 0
c) 2 układy wymieniaj ˛ace energi˛e i obj˛eto´s´c
T
1
dS
1
= dE
1
+ δW
1
T
2
dS
2
= dE
2
+ δW
2
0 = dS
= dS
1
+ dS
2
=
1
T
1
(dE
1
+ δW
1
) +
1
T
2
(dE
2
+ δW
2
) =
=
1
T
1
(dE
1
+ p
1
dV
1
) +
1
T
2
(dE
2
+ p
2
dV
2
) =
=
dE
1
+ dE
2
= 0
dV
1
+ dV
2
= 0
=
=
1
T
1
−
1
T
2
dE
1
+
p
1
T
1
−
p
2
T
2
dV
1
Z tego wynika, ˙ze T
1
= T
2
i p
1
= p
2
6
Warunkiem stabilno´sci jest maksymalizacja entropii
0
≥ dS = dS
1
+ dS
2
=
1
T
1
−
1
T
2
dE
1
+
p
1
T
1
−
p
2
T
2
dV
1
+
+
1
2
∂
2
∂E
1
2
S
1
(dE
1
)
2
+
∂
2
∂E
1
∂V
1
S
1
dE
1
dV
1
+
1
2
∂
2
∂V
1
2
S
1
(dV
1
)
2
+
+
1
2
∂
2
∂E
2
2
S
2
(dE
2
)
2
+
∂
2
∂E
2
∂V
2
S
2
dE
2
dV
2
+
1
2
∂
2
∂V
2
2
S
2
(dV
2
)
2
st ˛ad
∂
2
∂E
2
S
(dE)
2
+ 2
∂
2
∂E∂V
S
dEdV +
∂
2
∂V
2
S
(dV )
2
≤ 0
War. stabilno´sci:
∂
2
∂S
2
E
V
≤ 0
∂
2
∂V
2
E
S
≤ 0
∂
2
∂S∂V
E
−
∂
2
∂S
2
E
V
·
∂
2
∂V
2
E
S
≤ 0
I) Z minimalizacji entalpii
H = U + pV
= H(S, p)
dH
= T dS
− pdV + V dp = dH
1
+ dH
2
dS
= 0 = dS
1
+ dS
2
Analiza stabilno´sci
dH
= T dS + V dp +
1
2
∂
2
∂S
2
H
(dS)
2
+
1
2
∂
2
∂p
2
H
(dp)
2
+
∂
2
H
∂p∂S
dpdS
dH
1
+ dH
2
= (T
1
− T
2
)dS
1
+
1
2
∂
2
∂S
1
2
H
1
+
∂
2
∂S
2
2
H
2
(dS
1
)
2
Dla H = min. T
1
= T
2
oraz
∂
2
∂S
2
H
≥ 0
C
p
=
∂
∂T
Q
≥ 0
II) Z minimalizacji energii swobodnej
dF
= dF
1
+ dF
2
= 0
dF
= d(U
− T S) = T dS − pdV − T dS − SdT
dF
1
=
−p
1
dV
1
− S
1
dT
1
0 = dF
1
+ dF
2
= (
−p
1
+ p
2
)dV
1
⇒ p
1
= p
2
Analiza stabilno´sci
dF
1
=
∂
∂V
1
F
1
(dV
1
) +
∂
∂T
1
F
1
(dT
1
) +
1
2
∂
2
∂V
1
2
F
1
(dV
1
)
2
+
1
2
∂
2
∂T
1
2
F
1
(dT
1
)
2
⇒
⇒ dF =
1
2
∂
2
∂V
1
2
F
1
+
∂
2
∂V
2
2
F
2
(dV
1
)
2
∂
2
∂V
2
F
≥ 0
−
∂
∂V
p
≥ 0
κ =
−
1
V
∂
∂p
V
≥ 0
7
III) Z minimalizacji potencjału Gibbsa
dG
= dU + d(pV )
− d(T S) =
= T dS
− pdV +
β
X
i=1
P
X
α=1
µ
α
i
dN
β
i
+ d(pV )
− d(T S) =
=
−SdT + V dp +
β
X
i=1
P
X
α=1
µ
α
i
dN
β
i
W najprostszym przypadku, gdy β = P = 1
dG =
−SdT + V dp + µdN
Analiza równowagi:
µ = const.
Analiza stabilno´sci:
∂
∂n
µ
≥ 0
w ogólnym przypadku mamy warunek równowagi:
β
X
i=1
P
X
α=1
µ
α
i
dN
β
i
= 0
"
∂
∂N
β
I
µ
β
I
#
Jest to "nieujemna" macierz β · P × β · P .
6. Entropia gazu doskonałego.
dS =?
dU = dQ
− pdV , dQ = T dS
dS =
dU + pdV
T
=
wstawiamy dU = c
v
dT
= nc
v
dT
T
+ nR
dV
V
S =
Z
dS = nc
v
ln T + nR ln V + c(n) =
gdzie c(n) = −nR ln n + nσ Zatem
S = n
c
v
ln T + R ln(
V
n
) + σ
8
7. Potencjał chemiczny gazu doskonałego.
µ =? dF =
−SdT − pdV + µdN
∂F
∂N
T,V
= µ
F = U
− T S − c
1
v
N T
− T N
c
1
v
ln T + k
B
ln
V
n
− T Nσ
0
F = F (T, V, N )
µ = c
1
v
T
− T c
1
v
ln T + k
B
ln
V
N
− T σ
0
+ k
B
T
c =
N
V
- koncentracja
µ(T ) = µ
0
(T ) + tk
B
ln c
µ
0
(T ) = c
1
v
T
− T c
1
v
ln T + T k
B
− T σ
0
8. Reguła faz Gibbsa.
P
- ilo´s´c faz, B - liczba rodzajów cz ˛astek.
µ
1
1
=
µ
2
1
=
. . .
= µ
P
1
µ
1
2
=
µ
2
2
=
. . .
= µ
P
2
...
...
...
...
µ
1
B
= µ
2
B
= . . . = µ
P
B
µ
α
i
zale˙z ˛a od p i T , ale równie˙z od wzgl˛ednych koncentracji w danej fazie:
N
α
i
P
B
j=i
N
α
i
= c
i
· α
i
,
B
X
i=1
c
α
i
= 1
Niezale˙znych koncentracji jest zatem P · (B − 1), wi˛ec ogólnie mamy P · (B − 1) + 2 zmiennych (bo dodatkowo
p
i V ) oraz B · (P − 1) wi˛ezów z warunków równowagi. Liczba stopni swobody (wielko´sci, które moga byc
zmieniane) wynosi:
f = P
· (B − 1) + 2 − B · (P − 1) = 2 + B − P
9. Termodynamika reakcji chemicznych, gaz doskonały.
Ka˙zd ˛a reakcj˛e chemiczn ˛a mo˙zna zapisa´c w postaci
X
j
ν
j
A
j
A
j
- symbol reagenta
ν
j
- liczba wyst˛epuj ˛aca w równaniu reakcji
L
- stała postepu reakcji
N
j
= ν
j
· L
L
okre´sla liczb˛e elementarnych procesów reakcji N
j
- liczba cz ˛astek okre´slonego typu(j), które wzieły udział w
reakcji
Równowaga systemu chemicznego ma miejsce gdy reakcja nie zachodzi lub ilo´s´c reakcji w jedn ˛a stron˛e jest
równa liczbie reakcji w drug ˛a stron˛e.
G = µN
- dla jednaj cz ˛astki
G =
X
j
µ
j
N
j
- dla j rodzajów cz ˛astek
G = G(p, T, N
1
, N
2
, . . .)
9
Równowaga ma miejsce gdy dG = 0
0 = dG =
X
j
µ
j
N
j
=
X
j
µ
j
ν
j
dL
X
j
µ
j
ν
j
= 0
Warunek równowagi reakcji chemicznej.
10. Równanie Clausiusa - Clapeyrona.
µ
(1)
I
= µ
(1)
II
µ
(2)
I
= µ
(2)
II
dµ
I
= dµ
II
(wzdłu˙z linii przej´scia fazowego - l.p.f.)
µ =
G
N
dG =
−S · dT + V · dp
dµ =
−S · dT + V · dp
N
=
−s · dT + C · dp
gdzie s =
S
N
oznacza entropi˛e na 1 cz ˛asteczk˛e, natomiast v =
V
N
.
−s
I
· dT + v
I
· dp = −s
II
· dT + v
II
· dp
dT i dp - zmiana wzdłu˙z linii przej´scia fazowego.
(s
II
− s
I
)
· dT = (v
II
− vI) · dp
∆s
II
−I
= ∆v
II
−I
·
dp
dT
l.p.f.
dQ = T
· dS
∂Q
∂T
x
= T
·
∂S
∂T
x
= c
x
c
przem.faz.
= ∆Q = T
· ∆s
II
−I
11. Rozkład mikrokanoniczny.
Okre´sla prawdopodobi´nstwo mikrostanu układu, gdy układ jest izolowany (brak wymiany masy i energii z
otoczeniem).
P (Ω) =
1
∆Γ
dla stanów dozwolonych
0
dla stanów niedozwolonych
S = k
B
ln(∆Γ)
∆Γ = e
S
kB
10
12. Rozkład kanoniczny, wyprowadzenie, własno´sci, fluktuacje.
Rozkład kanoniczny okre´sla prawdopodobie´nstwo mikrostanu układu, gdy układ jest w kontakcie cieplnym z
otoczeniem (wymiane energii), ale nie mo˙ze wymienia´c masy (N = const.) - układ zamkni˛ety.
’Cało´s´c’ jako układ i otoczenie jest opisana rozkładem mikrokanonicznym.
P (Ω
t
) = P (Ω, Ω
0
) =
1
∆Γ
P (Ω) =?
P (Ω)
= P (Ω, Ω
0
)
· ∆Γ
0
(E
0
) =
=
1
∆Γ
t
· ∆Γ
0
(E
t
− E) =
1
∆Γ
t
e
S0(Et−E)
kB
=
{E + E
0
= E
t
}
=
E
E
t
=
S
0
(E
t
− E) = S
0
(E
t
) +
∂S
0
∂E
N
(
−E) + . . .
=
1
T
0
=
1
T
=
=
1
∆Γ
t
exp(
S
0
(E
t
)
−
E
T
+ . . .)
k
B
≈
1
∆Γ
t
· e
S0(Et)
kB
· e
−
E
kB T
=
=
1
Z
· e
−β·E
β =
1
k
B
T
gdzie Z =
Z
e
−β·E
dΩ
- suma statystyczna lub suma stanów
Z
ma własno´sci funkcji tworz ˛acej:
U =
hEi =
Z
EP (Ω, E)dΩ =
1
Z
Z
e
−βE
EdΩ =
1
Z
∂
∂(
−β)
Z =
−
∂
∂β
ln Z
F = U
− T S
S =
hS(Ω)i = h−k
B
ln P
i = −k
B
Z
ln(P )
· P · dΩ Entropia w rozkładzie kanonicznym
F
= U
− T S = U + T k
B
Z
P
· ln P · dΩ =
= U + T k
B
1
Z
Z
e
−βE
[
−lnZ − βE] dΩ =
= U
− T k
B
ln Z
Z
Z
e
−βE
dΩ
− T k
B
β
Z
e
−βE
1
Z
EdΩ =
= U
− T k
B
lnZ
− U =
ln Z
β
F β
=
− ln Z
e
−βF
= Z
Fluktuacje energii w rozkładzie kanonicznym
σ
2
=
h(E − U)
2
i = hE
2
i − hEi
2
=
=
1
Z
Z
e
−βE
E
2
dΩ
− (
1
Z
Z
e
−βE
EdΩ)
2
=
=
1
Z
Z
00
−
Z
0
Z
=
ZZ
00
− (Z
0
)
2
Z
2
=
Z
0
Z
0
= (ln Z)
00
=
−
∂
∂β
U =
=
−
∂U
∂T
∂T
∂β
=
−c
V
−1
1
k
B
T
2
= c
V
k
B
T
2
11
σ
2
= c
V
k
B
T
2
≈ k
B
T N
σ
U
=
√
N
N
=
1
√
N
−→ 0
Multiplikatywno´s´c sumy statystycznej
Z
=
Z
e
−βE
dΩ =
dE = dE
1
+ . . . + dE
N
dΩ = dΩ
1
+ . . . + dΩ
N
=
Z
e
−βE
1
dΩ
1
·
Z
e
−βE
2
dΩ
2
· . . . ·
Z
e
−βE
N
dΩ
N
=
= Z
1
· Z
2
· . . . · Z
N
=
=
{dla N cz ˛astek identycznych} = (Z
1
)
N
13. Wielki rozkład kanoniczny, wyprowadzenie, własno´sci, fluktuacje.
Rokład wielki kanoniczny okre´sla prawdopobie´nstwo mikrostanu układu, gdy układ jest otwarty, czyli mo˙ze
wymienia´c z otoczeniem nie tylko energi˛e, ale i mas˛e (liczb˛e cz ˛astek)
dU = T dS
− pdV + µdN
∂U
∂N
S,V
= µ
P (E, N ) =
1
∆Γ
· ∆Γ
0
∆Γ
0
= e
S0(E0 ,N 0)
kB
S
0
(E
t
− E, N
t
− N) = S
0
(E
t
, N
t
) + (
−E
∂S
0
∂E
0
)(
−N
∂S
0
∂N
0
+ . . . =
= S
0
(E
t
, N
t
) + (
−E
1
T
) + (
−N)(−
µ
T
=
= S
0
(E
t
, N
t
)
−
1
T
E + N
µ
T
P (E, N ) =
1
∆Γ
t
e
S0(Et,Nt)
kB
· e
−
E
kB T
· e
N µ
kB T
=
=
1
˙
Z
· e
−
E
kB T
· e
N µ
kB T
˙
Z
- wielka suma statystyczna.
˙
Z =
∞
X
N =0
Z
e
−βE
e
N µβ
(dΩ
1
· dΩ
2
· . . . · dΩ
N
)
(sumocałka)
hNi =
Z
N P (E, N )dΩ =
1
˙
Z
Z
N e
−βE+βµN
dΩ =
=
1
˙
Z
1
β
∂ ˙
Z
∂µ
=
1
β
∂
∂µ
ln ˙
Z
∂ ˙
Z
∂β
=
˙
Z
P
∞
N =0
R
[
−E + Nµ]e
−βE+Nµβ
(dΩ
1
· dΩ
2
· . . . · dΩ
N
)
˙
Z
=
˙
Z[U +
hNiµ]
12
−U + µhNi =
1
˙
Z
∂ ˙
Z
∂β
=
∂
∂β
ln ˙
Z
U =
∂
∂β
ln ˙
Z + µ
hNi
Fluktuacje w rozkładzie wielkim kanonicznym
σ
2
N
=
h(N − hNi)
2
i = hN
2
i − hNi
2
=
=
1
˙
Z
1
β
2
∂
2
∂β
2
˙
Z
−
1
˙
Z
1
β
∂
∂µ
˙
Z
2
=
=
1
β
2
˙
Z
∂
2
∂µ
2
˙
Z
−
∂ ˙
Z
∂µ
2
˙
Z
2
=
∂
∂µ
∂ ˙
Z
∂µ
˙
Z
1
β
2
=
=
1
β
2
∂
∂µ
∂
∂µ
ln ˙
Z
=
1
β
2
β
∂
∂µ
hNi =
= k
B
T
∂
hNi
∂µ
σ
N
U
=
√
N
N
=
1
√
N
−→ 0
S
=
−k
B
hln P i = −k
B
∞
X
N =0
Z
1
˙
Z
e
−βE+Nβµ
{− ln ˙
Z + [
−βE + Nβµ]}dΩ
1
· dΩ
2
· . . . · dΩ
N
=
=
−k
B
{ln ˙
Z + (
−β)U + βUhNi}
F
= U
− T S = U + T k
B
{− ln ˙
Z
− βU + βUhNi} =
=
−T k
B
ln ˙
Z + µ
hNi
F
− µhNi = −T k
B
ln ˙
Z
F
− G = −T k
B
ln ˙
Z = Φ =
−pV
F
− G
−T k
B
= ln ˙
Z
˙
Z
= e
G
−F
T kB
Multiplikatywno´s´c wielkiej sumy statystycznej
E
= E
A
· E
B
˙
Z
=
∞
X
N =0
Z
e
−β(E−µN)
dΩ
1
· . . . · dΩ
N
˙
Z
=
˙
Z
A
· ˙
Z
B
Je´sli E = E
1
+ E
2
+ . . . + E
N
hE
1
i = hE
2
i = . . . = hE
N
i
˙
Z =
∞
X
N =0
Z
e
−β(NE
1
−µN)
dΩ
1
· . . . · dΩ
N
13
14. Rozkład Maxwella Boltzmanna.
Stosuj ˛ac rozkład kanoniczny dla 1 cz ˛astki otrzymujemy:
dN
N
= const.e
−βε(rrr,vvv)
drrrdvvv
gdzie ε oznacza energi˛e jednej cz ˛astki, znajduj ˛acej si˛e w pewnym otoczeniu punktu rrr i maj ˛ac ˛a pr˛edko´s´c zblizon ˛a
do vvv. Stał ˛a const. mo˙zna wyliczy´c z warunku unormowania prawdopodobie´nstwa.
Najcz˛e´sciej ε separuje si˛e na sum˛e energii potencjalnej i kinetycznej:
ε(rrr, vvv) = φ(rrr) +
mv
2
2
Rozkład Maxwella otrzymuje sie z rozkładu Boltzmanna przez wysumowanie po poło˙zeniach. Wówczas nie-
zale˙znie od φ(rrr) otrzymuje sie:
dN
N
= const.e
−
βmv2
2
dvvv
Je´sli interesuje nas wył ˛acznie warto´s´c pr˛edko´sci to nale˙zy to wyra˙zenie wysumowa´c po kierunkach wektoravvv.
w tym celu element obj˛eto´sci wyra˙zamy za pomoc ˛a współrz˛ednych sferycznych wg wzoru: dvvv = v
2
dv sin θdθdφ
i otzrymujemy:
dN
N
= const.e
−
βmv2
2
v
2
dv
Stała const. wynosi:
4π
m
2πk
B
T
3
2
Ostatecznie rozkład Maxwella dla modułu pr˛edko´sci wyra˙zony jest wzrem:
dN (v) = 4πN
m
2πk
B
T
3
2
e
−
mv2
2kB T
v
2
dv
Rozkład Boltzmanna musi byc uzyty wtedy, gdy rozpatrywane zjawiska zwi ˛azane s ˛a z energi ˛a potencjaln ˛a,
gdyz w takich przypadkach nieistotna jest energia kinetyczna.
15. G˛esto´s´c stanów.
Funkcja g˛esto´sci stanów g(ε) okre´sla liczb˛e mo˙zliwych realizacji jednej warto´sci energii. Je´sli ε przybiera
ci ˛agły zbiór warto´sci, to g(ε) ma znaczenie ilo´sci stanów w pewnym otoczeniu energii ε. W przypadku dyskret-
nego zbioru warto´sci ε, g(ε) podaje liczb˛e stanów o tej energii.
Dla gazu elektronowego energia zale˙zy tylko ad warto´sci wektora falowego kkk : ε = ¯h
2
k
2
/2m
. Przedziałowi
energii (ε, ε + dε) odpowiada w kuli Fermiego warstwa sferyczna o grubo´sci dk równej
dk =
1
2¯
h
2m
ε
dε
Obj˛eto´s´c tej wartwy
dΩ = 4πk
2
dk = 4sqrt2πm
3
2
¯
h
−3
√
εdε
σkkk =
(2π)
3
V
dΩ
σkkk
=
V
4π
2
2m
¯
h
2
3
2
√
εdε
14
Liczba stanów jest 2 razy wi˛eksza od liczby wektorów falowych ze wzgl˛edu na spin:
g(ε)dε =
V
2π
2
2m
¯
h
2
3
2
√
εdε = A
√
εdε
Dla gazu bozonowego funkcja g˛esto´sci stanów jest praktycznie taka sama, z jedn ˛a tylko ró˙znic ˛a. Elektrony
maj ˛a 2 mo˙zliwe warto´sci spinu, natomiast bozony - 2s + 1, z tym ˙ze s = 0, 1, 2
g(ε) = B
√
ε,
B =
2s + 1
2
A =
2s + 1
π
2
V
2m
¯
h
2
3
2
Dla gazu fotonowego przyjmuje si˛e zwykle jako argument nie energi˛e cz ˛astki ε, ale cz˛esto´s´c draga´n ω.
σkkk =
4πω
2
ν
3
dω
Na jeden wektor falowy, zgodnie z warunkami Borna-Karmana, przypada obj˛eto´s´c równa
(2π)
3
V
. Fala o
ustalonym wektorze falowym mo˙ze mie´c s polaryzacji. Zatem fnkcja g˛esto´sci stanów przybiera posta´c
g(ω)dω =
sV
2π
2
ν
3
ω
2
dω
16. Rozkład Fermiego - Diraca.
Przedstawia on ´sredni ˛a liczb˛e elektronów w poszczególnych stanach kwantowych α.
Punktem wyj´scia do wyprowadzenia tego rozkładu jest wzór na ´sredni ˛a liczb˛e cz ˛astek w rozkładzie wielkim
kanonicznym.
hNi =
X
α
hN
α
i
hN
α
i =
1
β
∂
2
∂µ
2
ln ˙
Z
˙
Z
α
= 1 + e
−β(ε
α
−µ)
hN
α
i =
1
e
εα−µ
kB T
+ 1
Dla warunków klasycznych, przy du˙zych temperaturach, mo˙zna zaniedba´c jedynk˛e w mianowniku rokładu
Fermiego - Diraca i wtedy rozkład ten przechodzi w rozklad Boltzmanna
17. Rozkład Bosego - Einsteina.
Dla tego rozkładu punktem wyj´scia rózwnie˙z jest rozkład wielki kanoniczny. Jednak w przypadku bozonów
nie ma czegos takiego jak zakaz Pauliego, zatem suma po liczbie cz ˛astek jest nieograniczona.
˙
Z
α
=
∞
X
n=0
e
−
n(ε
−µ)
kB T
hN
α
i = k
B
T
∂
∂µ
ln ˙
Z =
1
e
ε
−µ
kB T
− 1
Rozkład Bosego - Einsteina ró˙zni sie od Fermiego - Diraca tylko znakiem przy jedno´sci w mianowniku.
15
18. Gaz elektronowy, potencjał chemiczny, energia wewn˛etrzna, ciepło wła´sciwe.
Potencjał chemiczny
N
=
Z
µ
0
g(ε)dε = A
Z
µ
0
√
εdε =
2
3
Aµ
3
2
µ
0
=
¯
h
2
2m
(3π
2
c)
2
2
c =
N
V
Energia wewn˛etrzna
U
0
=
Z
µ
0
0
εg(ε)dε =
2
3
A(µ
0
)
5
2
=
=
3
5
µ
0
N
W temperaturze T = 0 energia wewn˛etrzna pokrywa si˛e z energi ˛a swobodn ˛a F. Zatem
p =
−
∂
∂V
F =
2
3
U
0
V
Równanie stanu
pV =
2
5
N µ
0
=
2
5
3π
2
V
1
3
N
4
3
Dla temperatur T > 0:
Potencjał chemiczny
N
=
Z
∞
0
g(ε)f (ε)dε =
= A
Z
∞
0
√
εf (ε)dε
Tej całki nie da si˛e ´sci´sle obliczy´c, ale mo˙zna skorzystka´c z metody przybli˙zonej. Zatem niech I
p
oznacza całk˛e
I
p
=
Z
∞
0
ε
p
f (ε)dε
Po wykonaniu całkowania prze cz˛e´sci otrzymujemy
I
p
=
−1
p + 1
Z
∞
0
ε
p+1
∂
∂ε
f (ε)dε
Pozostałe wyrazy znikaj ˛aw zerze i niesko´nczono´sci. Nast˛epnie podstawiamy y =
ε
−µ
k
B
T
, przyjmuj ˛ac, ˙ze k
B
T
µ,
dzi˛eki czemu mo˙zemy przesun ˛a´c doln ˛a granic˛e całkowania do −∞. Zatem
I
p
=
−
1
p + 1
Z
+
∞
−∞
(µ + yk
B
T )
p+1
∂
∂y
f dy
gdzie
f (y) =
1
e
y
+ 1
,
∂
∂y
f =
−
1
(e
−y
+ 1)(e
y
+ 1)
Rozwijamy człon pot˛egowy w szereg Taylora wokół punktu µ wzgl˛edem przyrostu (yk
B
T
) z ograniczeniem do 3
wyrazów
(µ + yk
B
T )
p+1
= µ
p+1
+ (p + 1)µ
p
yk
B
T +
1
2
p(p + 1)µ
p
−1
(yk
B
T )
2
16
Całka z drugiego składnika znika(drugi składnik jest funkcj ˛a nieparzyst ˛a), wi˛ec otrzymujemy, ˙ze
I
p
=
µ
p+1
p + 1
+
π
2
6
pµ
p
−1
(k
B
T )
2
Zatem liczba wszystkich elektronów wynosi
N = A(
2
3
µ
3
2
+
π
2
12
µ
1
1
2
(k
B
T )
2
St ˛ad wynika, ˙ze
µ =
2A
3N
2
3
"
1 +
π
2
8
k
B
T
µ
0
2
#
−
2
3
Drugi wyraz w nawiasie jest normalnie wielko´sci ˛a mał ˛a, wi˛ec mo˙zna przyblizy´c (1 + x)
a
= 1 + ax
, zatem
µ = µ
0
"
1
−
π
2
12
k
B
T
µ
0
2
#
Energia wewn˛etrzna
U =
hεi =
Z
∞
0
εg(ε)f (ε)dε
Korzystamy tu z poprzednio wyliczonej całki, wstawiaj ˛ac p =
3
2
U =
2
5
Aµ
5
2
"
1 +
5π
2
8
k
B
T
µ
0
2
#
Wstawiaj ˛ac wcze´sniej obliczone µ i korzystaj ˛ac z poprzednio u˙zytego przybli˙zenia otrzymujemy
U = U
0
"
1 +
5π
2
12
k
B
T
µ
0
#
Ciepło wła´sciwe
c
V
=
∂
∂T
U =
5π
2
6
U
0
k
B
µ
0
2
T
Równanie stanu
pV
= k
B
T ln ˙
Z = k
B
T ln
Y
α
˙
Z = k
B
T
X
α
ln ˙
Z =
= k
B
T
Z
∞
0
ln ˙
Z(ε)g(ε)dε
gdzie
˙
Z(ε) = 1 + e
−
ε
−µ
kB T
pV
=
−k
B
T
2
3
Z
∞
0
εg(ε)
∂
∂ε
˙
Zdε =
=
2
3
Z
∞
0
εg(ε)f (ε)dε =
=
2
3
U
17
19. Gaz bozonowy, potencjał chemiczny, energia wewn˛etrzna, ciepło wła´sciwe.
Dla bozonów poni˙zej pewnej temperatury krytycznej µ = 0, zatem warunek stało´sci liczby cz ˛astek jest nie-
prawdziwy. Zatem
N
= N
0
+
Z
∞
0
g(ε)f
B
(ε)dε
N
0
= N
− B
1
(k
B
T )
3
2
gdzie
B
1
= Γ(
3
2
)ζ(
3
2
)
2s + 1
π
2
V
2m
¯
h
2
3
2
Energia wewn˛etrzna
U =
Z
∞
0
εg(ε)f
B
(ε)dε = B(k
B
T )
5
2
Z
∞
0
x
5
2
e
x
− 1
dx
Całka ogólnie wynosi
Z
∞
0
x
p
e
x
− 1
dx = Γ(p + 1)ζ(p)
Otrzymujemy
U = B
2
(k
B
T )
5
2
Ciepło wła´scice
c
V
=
∂
∂T
U =
5
2
B
2
k
5
2
B
T
3
2
= const.T
3
2
Dla temperatur T > T
0
N
=
Z
∞
0
g(ε)f
B
(ε
− µ)dε =
=
Z
∞
0
g(ε)f
B
(ε)dε +
Z
∞
0
g(ε)[f
B
(ε
− µ) − f
B
(ε)]dε
f
B
(ε
− µ) − f
B
(ε)
'
1
1 +
ε
−µ
k
B
T
− 1
−
1
1 +
ε
k
B
T
− 1
=
= k
B
T µ
1
ε(ε
− µ)
N
= B
1
(k
B
T )
3
2
− πBk
B
T
p
|µ|
Zatem
µ =
−
N
πBk
B
T
0
2
"
T
T
0
2
− 1
#
Energia wewn˛etrzna
U
=
Z
∞
0
εg(ε)f
B
(ε
− µ)dε =
=
Z
∞
0
εg(ε)f
B
(ε)dε +
Z
∞
0
εg(ε)[f
B
(ε
− µ) − f
B
(ε)]dε
'
' B
2
(k
B
T )
5
2
+
3
2
µB
Z
∞
0
ε
1
2
f
B
(ε)dε =
= B
2
(k
B
T )
5
2
+
3
2
µN
18
Ciepło wła´sciwe
c
V
=
∂
∂T
U =
5
2
B
2
k
B
5
2
T
3
2
+
9
2
N
πBk
B
T
0
2
N
"
T
T
0
3
2
− 1
#
T
1
2
T
3
2
0
20. Kondensacja Bosego - Einsteina.
Dla temperatur T < T
0
potencjał chemiczny µ gazu bozonowego jest równy 0. Wtedy, w miar˛e zblizania si˛e
do temperatury T = 0 liczba cz ˛astek na poziomie podstawowym N
0
zbli˙za si˛e do całkowitej liczby cz ˛astek N.
Zale˙zno´s´c jest okre´slona wzorem
N
0
= N
− B
1
(k
B
T )
3
2
= N
"
1
−
T
T
0
3
2
#
W miar˛e obni˙zania si˛e temperatury liczba cz ˛astek ulega kondensacji i w temperaturze T = 0 osi ˛aga stan
nasycenia. Wtedy wszystkie cz ˛astki maja energi˛e ε = 0. Zjawisko to le˙zy u podstaw nadciekło´sci, nadprzewod-
nictwa itp.
21. Model Isinga, przykłady zastosowa´n.
Model Isinga jest jednym z modeli układów z oddziaływaniem. Pierwszym zało˙zeniem jest to, aby elementy
stanowi ˛ace układ były jednakowe. Po drugie stan ka˙zdego w˛ezła powinien yc opisany przez zmienn ˛a (np s)
przyjmuj ˛ac ˛a tylko kilka dyskretnych warto´sci. Najcz˛e´sciej s ˛a to 2 warto´sci: s = ±1. Przyjładem takiej warto´sci
mo˙ze by´c spin.
Energia oddziaływania mi˛edzy 2 elementami zapisuje si˛e wzorem
E
nm
=
−J
nm
s
n
s
m
Stała J
mn
mo˙ze byc w najprostszym przydadku okre´slona jako
J
mn
=
J
dla najbli˙zszych s ˛asiadów
0
dla pozostałych
Hamiltonian dla tego modelu ma posta´c
H =
−
1
2
X
i,j
0
J
ij
s
i
s
j
gdzie
X
i,j
0
jest sum ˛a po najbli˙zszych s ˛asiadach
Dla modelu Isinga z zewn˛etrzym polem hamiltonian ma posta´c
H =
−
1
2
J
X
i,j
0
s
i
s
j
− B
X
i
s
i
22. Rozszerzenia modelu Isinga.
I) Model gazu sieciowego(model gazu komórkowego) Do siatki wprowadzamy pewn ˛a liczb˛e cz ˛asteczek.
a) Dla gazu nieidealnego (zakładamy przyci ˛aganie si˛e cz ˛astek - b˛ed ˛a si˛e grupowa´c)
Utworzenie ”gron” zale˙zy m.in. od g˛esto´sci atomów, które wspu´scili´smy.
Hamiltonian dla takiego układu
H =
−2
X
i,j
J
ij
e
i
e
j
gdzie e
i
=
1
je´sli w komórce jest atom
0
je´sli brak atomu w komórce
II) Model sieci neuronowej
Neurony mog ˛a byc w dwóch stanach: pobudzonym (1) lub nieaktywnym (−1). Oddziaływanie ma charakter
chemiczny i elektryczny. Sztuczne sieci neuronowe maj ˛a charakter kolektywny.
19
23. Model Isinga w jednym wymiarze
Ła´ncuch Isinga:
. . .
↑ ↓ ↑ ↓ ↓ ↓ ↑ ↑ ↓ ↑
. . .
E
=
−
N
−1
X
n=1
J
n
s
n
s
n+1
K
n
≡
J
n
k
B
T
Z
n
=
X
{s
n
}
exp
{K
1
s
1
s
2
+ K
2
s
2
s
3
+ . . . + K
n
−1
s
n
−1
s
n
}
s
1
=
±1
s
2
=
±1
..
.
s
N
=
±1
2
N
wyrazów w tej sumie
Z
N
= 2
N
· cosh K
1
· cosh K
2
· · · · · cosh K
N
Dla N=1 energia jest zerowa, ale suma statystyczna Z = 0 = e
0
+ e
0
Energia wewn˛etrzna
U
=
−
∂
∂β
ln Z =
−
∂
∂β
n=N
−1
X
n=1
ln [cosh(J
n
β)] =
=
−
N
−1
X
n=1
J
n
· tgh(J
N
β)
hEi = −
N
−1
X
n=1
J
n
hs
n
, s
n+1
i
U
=
−
N
−1
X
n=1
J
n
· tgh(J
n
β)
Zatem: hs
n
, s
n
+ 1
i = tgh
J
n
k
B
T
24. Funkcje korelacji ła´ncucha Isinga
Γ
n
- funkcja korelacji
Γ
n
=
hs
i
s
i+n
i − hs
i
ihs
i+n
i
Dla przypadku jednowymiarowego hs
i
ihs
i+n
i = 0, zatem
Γ
n
=
hs
i
s
i+n
i =
1
Z
·
X
{s
j
}
s
i
s
i+n
· e
K
1
s
1
s
2
+k
2
s
2
s
3
+...+K
N
−1
s
N
−1
s
N
s
i
s
i+n
= s
i
· s
i+1
· s
i+1
· s
i+2
· s
i+2
· . . . · s
i+n
bo s
i
· s
i
= 1
s
i
s
i+n
= (s
i
· s
i+1
)
· (s
i+1
· s
i+2
)
· . . . · (s
i+n
−1
· s
i+n
)
·
Ostatecznie
Γ
n
=
tgh
J
k
B
T
n
−1
Funkcja korelacji zanika dla du˙zych odległo´sci mi˛edzy spinami.
20
25. Podatno´s´c ła´ncucha Isinga
Trudno znale´z´c ´sredni ˛a magnetyzacj˛e pojedy´nczego spisu. Łatwiej jest znale´z´c podatno´s´c χ =
∂
∂F
hs
i
i w
granicy F=0. hs
i
i jest ´sredni ˛a nie z konkretnego w˛ezła, ale ze wszystkich.
χ = γ
· β · N ·
1 +
tgh
J
k
B
T
1
− tgh
J
k
B
T
=
γN
k
B
T
· e
2J
kB T
gdzie
γ = µ
B
· µ
0
· g
26. Teoria pola ´sredniego(molekularnego), temperatura krytyczna, wykładniki krytyczne
Teoria pola ´sredniego pozwala na przybli˙zone oszacowanie własno´sci termodynamicznych układów. Metoda
mo˙ze by´c zastosowana w dowolnym wymiarze, ale dla niskich wymiarów (d = 1) daje wyniki złe, a dla wy˙zszych
(d > 1) przyblizone.
Istot ˛atej metody jest zastapienie prawdziwych oddziaływa´n mi˛edzycz ˛asteczkowych pewnym polem zewn˛etrznym
i tym samym zredukowanie problemu wielocz ˛astkowego do jednocz ˛astkowego (ka˙zda cz ˛astka porusza si˛e nieza-
le˙znie). Zatem
E
n
=
−Js
n
X
m
hs
m
i − γF s
n
=
=
sumowanie po m dotyczy tylko najbli˙zszych s ˛asiadów
hs
m
i = hsi
=
=
−γ
F +
zJ
hsi
γ
Sk ˛ad wynika, ˙ze prawdziwe pole F nale˙zy zrenormalizowa´c, dodaj ˛ac składnik
f
m
=
zJ
hsi
γ
które pełni role pola wewn˛etrznego.
Jednocz ˛astkowa suma statystyczna
Z
n
= e
−βγ(F +F
m
)
+ e
βγ(F +F
m
)
= 2 cosh βγ(F + F
m
)
hs
n
i = hsi =
1
Z
n
e
−βγ(F +F
m
)
− e
βγ(F +F
m
)
=
tghβγ(F + F
m
)
Temperatura krytyczna
T
0
=
Jz
k
B
Wykładniki krytyczne:
Oznaczmy
ε =
|T − T
0
|
T
0
Pierwszy wykładnik krytyczny - α - zwi ˛azany z ciepłem wła´sciwym
C
∼ ε
−α
Dla temperatur T > T
0
oznacza si˛e go przez α, dla T < T
0
przez α
0
.
Drugi indeks - β - wi ˛a˙ze si˛e z parametrem uporz ˛adkowania X
X
∼ ε
−β
21
Odpowiadaj ˛aca mu podatno´s´c jest zwi ˛azana z trzecim wykładnikiem krytycznym - γ
χ
∼ ε
−γ
Z parametrem X wi ˛a˙ze si˛e jeszcze jeden indeks δ, okre´slaj ˛acy zale˙zno´s´c X(F ) w temperaturze T = T
0
X
∼ F
1
δ
,
(T = T
0
)
Funkcja korelacyjna zale˙zy od odległo´sci, przy czym podstawowa zale˙zno´s´c od r ma posta´c
Γ(r)
∼
1
R
d
−2+η
e
−
e
ξ
gdzie d- wymiar przestrzenny układu, η - indeks krytyczny koryguj ˛acy wykładnik przy r w mianowniku, ξ -
odległo´s´c, na której funkcja wykładnicza maleje e razy. w miar˛e zbli˙zania si˛e do T
0
od strony wy˙zszych temper-
atur stopie´n uporz ˛adkowania układu ro´snie, a odpowiadaj ˛acy mu zasi˛eg korelacji osi ˛aga warto´s´c nieskonczon ˛a.
Zgodnie z tym piszemy
ξ
∼ ε
ν
lub ξ ∼ ε
ν
0
dlaT < T
0
Zaskakuj ˛ac ˛a ceh ˛a indeksów krytycznych jest ich uniwersalizm, tzn. układy zasadniczo ró˙zni ˛ace sie miedzy
sob ˛a maj ˛a podobne warto´sci odpowiednich indeksów krytycznych.
27. Hipoteza uniwersalno´sci zjawisk krytycznych
Wykładniki krytyczne zale˙z ˛a jedynie od wymiaru geometrycznego układu oraz wymiaru parametru porz ˛adku
(Ising - 1, XY - 2, Heisenberg - 3). Złamanie porz ˛adku spowoduje zmian˛e wymiaru parametru. Złamanie symetrii
układu (anizotropia) spowoduje obni˙zenie wymiaru parametru porz ˛adku.
30. Hipoteza skalowania
G
w oklolicy punktu krytycznego jest jednorodn ˛afunkcj ˛aargumentów τ = T −T
c
i H - zewn˛etrzne pole, czyli
spełnia zale˙zno´s´c
G(λ
x
τ, λ
y
H) = λ
p
G(τ, H)
gdzie λ - dowolna stała (λ > 0), x,y,p - charakterystyczne wykładniki.
32. Równanie transportu Boltzmana
Opisuj ˛a transport no´sników pr ˛adu, ciepła w krysztale, metalu... Te równania maj ˛a uniwersalne zastosowanie -
wr˛ecz do ruchu samochodów i przechodniów
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Genetyka - opracowanie do egz, Materiały =), Genetyka
Politologia religii opracowania do egz Politologia Religii zagadnienia
Politologia religii - opracowania do egz, Bierdiajew, Koszmar złego dobra - Nikołaja Bierdiajewa int
Politologia religii - opracowania do egz, ST PK, 3
Politologia religii - opracowania do egz, RELIGIA I NACJONALIZM wg mnie
Politologia religii opracowania do egz wykłady łętocha
OPRACOWANE zagadnienia do EGZ
Opracowane zagadnienia do egz z ped. ogólnej, Pedagogika ogólna
Zagadnienia do egz. -opracowane, UCZELNIA
opracowane zagadnienia do egz z fizyko
Opracowane zagadnienia do egz
J. Sławiński Odbiór i odbiorca w procesie historycznoliterackim, Teoria Literatury, TEORIA LITERATUR
J. Sławiński O problemach „sztuki interpretacji”, Teoria Literatury, TEORIA LITERATURY - opracowania
ZAGADNIENIA DO EGZ. Dla Stomatologów, III rok, pediatria
Zagadnienia obowiązujące do egz z logiki, Nauka, Matematyka
rozw j teorii literatury wyk zag do egz www przeklej pl
socjologia kultury wykłady do egz
więcej podobnych podstron