Funkcja jednej zmiennej - przykładowe zadania na kolokwium

1. Zbadać ciągłość funkcji

( )

î

í

ì

-

<

+

+

-

³

+

=

1

1

5

1

2

5

2

x

dla

x

x

x

dla

x

x

f

2. Wyznaczyć równania asymptot funkcji

a.

( )

1

3

2

2

+

+

+

=

x

x

x

x

f

,

b.

( )

9

1

2

2

-

-

=

x

x

x

f

.

3. Obliczyć granicę

a.

1

2

4

lim

-

+¥

®

÷

ø

ö

ç

è

æ +

n

x

n

n

,

b.

1

3

8

lim

1

-

-

+

®

x

x

x

,

c.

2

0

1

lim

2

x

e

x

x

-

®

,

d.

(

)

1

2

ln

3

lim

0

+

®

x

x

x

.

4. Obliczyć granice jednostronne

a.

x

x

e

1

0

lim

-

®

,

b.

2

1

lim

2

+

-

-

®

x

x

x

.

5. Obliczyć pochodną funkcji

a.

( )

( )

x

x

f

ln

=

,

b.

( )

(

)

1

2

2

+

=

x

tg

x

f

,

c.

( )

( )

x

x

x

f

sin

=

.

6. Oblicz drugą pochodną funkcji

a.

( )

(

)

( )

x

x

x

x

f

cos

1

2

+

+

=

,

b.

( )

( )

x

e

x

f

cos

=

.

7. Wyznaczyć równanie prostej stycznej do wykresu funkcji

( )

3

3

+

+

=

x

x

x

f

w punkcie

1

0

=

x

. Wskazówka:

( )

( )(

)

0

0

0

x

x

x

f

x

f

y

-

¢

=

-

.

8. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji

( )

1

4

4

2

+

+

-

=

x

x

x

x

f

9. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji

( )

x

x

x

x

f

12

3

2

2

3

-

-

=

w przedziale

[

]

1

,

2

-

Î

x

.

10. Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji

( )

x

x

x

x

f

6

6

2

4

-

-

=

11. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżoną wartość

a.

3

63 ,

b.

)

005

.

1

(

arctg

.

12. Wyznaczyć pochodną funkcji danej w postaci parametrycznej

a.

( )

( )

( )

( )

î

í

ì

=

=

t

e

t

y

t

e

t

x

t

t

sin

cos

b.

( )

( )

( )

( )

ïî

ï

í

ì

=

×

=

t

t

t

y

t

t

t

x

ln

ln