Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

Całkowanie numeryczne

materiały do wykładu nr 5

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

2

Całkowanie numeryczne

Zastosowanie w problemach inżynierskich

( )

T

e

L

EA

dL





K

B B

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

3

Całkowanie numeryczne

Cel

– przybliżyć całkę

używając wartości funkcji f w równoodległych punktach

( )

b

a

f x dx

I





Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

4

Całkowanie numeryczne

Metody całkowania:

– zamknięte (ustalone wartości na końcach przedziału)

– otwarte (ustalone wartości wewnątrz przedziału)

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

5

Całkowanie numeryczne

Metody obliczania całek

1. Metoda Newtona-Cotesa
Polega na zastąpieniu danej funkcji lub danego zbioru funkcji pewną
funkcją aproksymującą, która jest łatwo całkowalna.

( )

( )

b

b

n

a

a

I

f x dx

f x dx









2

1

0

1

2

1

( )

...

n

n

n

n

n

f x

a

a x

a x

a

x

a x











 



Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

6

Całkowanie numeryczne

a) metoda trapezów

1

( )

( )

b

b

a

a

I

f x dx

f x dx









1

( )

( )

( )

( )

(

)

f b

f a

f x

f a

x a

b a











( )

( )

( )

(

)

b

a

f b

f a

I

f a

x a

dx

b a





























( )

( )

2

f a

f b

I

b a







Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

7

Całkowanie numeryczne

Przykład

(Chapra S.C., Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill Book Company, 1988)

2

3

4

5

( )

0.2 25

200

675

900

400

f x

x

x

x

x

x













Obliczyć całkę funkcji
w przedziale <0; 0.8> metodą trapezów.

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

8

Całkowanie numeryczne

Sposobem na poprawę dokładności – podział przedziału całkowania na
podprzedziały i zastosowanie metody trapezów do każdego
z podprzedziałów

b a

h

n





1

2

0

1

1

( )

( )

...

( )

n

n

x

x

x

x

x

x

I

f x dx

f x dx

f x dx







 







1

0

1

( )

2

( )

(

)

2

n

i

n

i

h

I

f x

f x

f x





























1

0

1

( )

2

( )

(

)

2

n

i

n

i

f x

f x

f x

I

b a

n















Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

9

Całkowanie numeryczne

Przykład

(Chapra S.C., Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill Book Company, 1988)

2

3

4

5

( )

0.2 25

200

675

900

400

f x

x

x

x

x

x













Obliczyć całkę funkcji
w przedziale <0; 0.8> metodą trapezów z podziałem na 2, 3, 4, 5
podprzedziałów.

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

10

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

11

Całkowanie numeryczne

b) metoda Simpsona





0

1

2

( )

4 ( )

(

)

3

h

J

f x

f x

f x











0

1

2

3

3

( ) 3 ( ) 3 (

)

( )

8

h

J

f x

f x

f x

f x









0

1

2

( )

4 ( )

(

)

(

)

6

f x

f x

f x

J

b a





 

0

1

2

3

( ) 3 ( ) 3 (

)

( )

(

)

8

f x

f x

f x

f x

J

b a







 

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

12

Całkowanie numeryczne

Przykład

(Chapra S.C., Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill Book Company, 1988)

2

3

4

5

( )

0.2 25

200

675

900

400

f x

x

x

x

x

x













Obliczyć całkę funkcji
w przedziale <0; 0.8> metodą Simpsona z regułą 1/3.

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

13

Całkowanie numeryczne

Przykład

(Chapra S.C., Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill Book Company, 1988)

2

3

4

5

( )

0.2 25

200

675

900

400

f x

x

x

x

x

x













Obliczyć całkę funkcji
w przedziale <0; 0.8> metodą Simpsona z regułą 3/8.

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

14

Całkowanie numeryczne

2. Kwadratura Gaussa-Legendre’a

1

( )

( )

n

b

i

i

a

i

I

f x dx

f x w











Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

15

Całkowanie numeryczne

Wartości węzłów i wag kwadratury Gaussa-Legendre'a

1

1

1

( )

( )

n

i

i

i

I

f

d

f

w

 

















i

w

i

n

= 1

0

2

n

= 2

– 0.5773502692

1

0.5773502692

1

n

= 3

– 0.7745966692

0.5555555556

0

0.8888888889

0.7745966692

0.5555555556

n

= 4

– 0.8611363116

0.3478548451

– 0.3399810436

0.6521451549

0.3399810436

0.6521451549

0.8611363116

0.3478548451

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

16

Całkowanie numeryczne

Zmiana przedziału całkowania









1

1

1

( )

( )

( )

n

b

i

i

a

i

I

f x dx

f x

Jd

f x

w J























2

2

b a

a b

x











2

b a

dx

d







2

dx

b a

J

d









Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

17

Całkowanie numeryczne

Przykład

2

( )

f x

x



Obliczyć całkę funkcji w przedziale <1; 4>.





1

1

( )

I

f x

w J





Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

18

Całkowanie numeryczne

Przykład

2

( )

f x

x



Obliczyć całkę funkcji w przedziale <1; 4>.













2

1

1

2

2

1

( )

( )

(

)

i

i

i

I

f x

w J

f x

w J

f x

w J

















Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

19

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0

2

4

6

8

10

12

14

16

n =10

I=21

I

MC

=14.457

error = 31.1572 %

Całkowanie numeryczne

3. Metoda Monte-Carlo

 podejście probabilistyczne

 losujemy n liczb p

i

o rozkładzie jednostajnym na odcinku <0,1>

 obliczamy współrzędne

 obliczamy całkę

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0

2

4

6

8

10

12

14

16

n =10

I=21

I

MC

=21.0597

error = 0.28449 %

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

20

Całkowanie numeryczne

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0

2

4

6

8

10

12

14

16

n =100

I=21

I

MC

=20.9987

error = 0.006062 %

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0

2

4

6

8

10

12

14

16

n =100

I=21

I

MC

=22.4752

error = 7.0247 %