Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Jacek Chróścielewski

Magdalena Rucka

Wprowadzenie do metody

elementów skończonych (MES)

materiały do wykładu nr 4a

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Jacek Chróścielewski

Magdalena Rucka

2

Wprowadzenie do MES

Istota MES

 MES służy do rozwiązywania różnorodnych problemów mechaniki

(wyznaczanie pól przemieszczeń, naprężeń, temperatury, itp.), dla których
rozwiązanie ścisłe nie jest możliwe do uzyskania.

http://www.portusproject.org/

http://www.sofistik.gr/fileadmin/_temp_/bridge_2.jpg

http://www.ara.com/Projects/SVO/popups/weld_geometry.html

http://www.aecweb.de/bilder/2006/i/0056-sofistik.jpg.htm

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Jacek Chróścielewski

Magdalena Rucka

3

Istota MES

 Zastąpienie ciągłego kontinuum (zasada wariacyjna typu przemieszczeń

wirtualnych) obliczeniowym modelem dyskretnym (równania algebraiczne).

 Aproksymacja funkcji (interpolacja) opisujących zjawiska fizyczne w obszarze

elementu.

Wprowadzenie do MES

 Zapewnienie wiarygodności

rozwiązań MES wymaga spełnienia
kryteriów zbieżności metody.

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Jacek Chróścielewski

Magdalena Rucka

4

MES – historia

 H

RENNIKOFF

[1941], M

C

H

ENRY

[1943]

– kontinuum – opis kratownicowy

(jednowymiarowy),

 C

OURANT

[1943]

– kontinuum podział na skończone kawałki (trójkąty),

 L

EVY

[1953]

– metoda przemieszczeń (sztywności) uogólnienie,

 T

URNER

, C

LOUGH

, M

ARTIN

, T

OPP

[1956]

– połączenie koncepcji dyskretnych

kawałków i sztywności,

 C

LOUGH

[1960]

– metoda elementów skończonych

 Z

IENKIEWICZ

, C

HEUNG

[1965]

– problemy pola, temperatura i przepływy.

FRANK by Czesław Branicki

http://pl.m.wikipedia.org/wiki/Plik:Karta_dziurkowana-80kolumn_Odra1300.jpg

Wprowadzenie do MES

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Jacek Chróścielewski

Magdalena Rucka

5

MES – aktualnie

integrowanie systemów MES z systemami do modelowania geometrycznego
CAD w całość

wg. Chróścielewski J., Malinowski M., Miśkiewicz M.: Próbne obciążenie mostu przez Wisłę w Puławach. Seminarium Mosty stalowe, Wrocław 2008.

Wprowadzenie do MES

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Jacek Chróścielewski

Magdalena Rucka

6

MES – składnik projektowania inżynierskiego

Wprowadzenie do MES

Kombinacja odpowiednich elementów skończonych pozwala
stosunkowo wiernie odwzorować w modelu obliczeniowym złożoność
formy i właściwości konstrukcji inżynierskich oraz zachodzących zjawisk.

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Jacek Chróścielewski

Magdalena Rucka

7

Kroki rozwiązania MES problemu inżynierskiego

0. wybór modelu teoretycznego konstrukcji

(niezależnie od MES)

poziom mechaniki, sposób opisu konstrukcji, ciała i jego brzegu ,

1. zbudowanie dyskretnego modelu obliczeniowego

wybór siatki węzłów i elementów

Wprowadzenie do MES

B

B



 Podział dziedziny z brzegiem (często jej przybliżeniem z brzegiem )

na zbiór prostych rozłącznych podobszarów o brzegu zwanych
elementami skończonymi.

B

B



h

B

h

B



( )

e

B

( )

e

B



( )

1

e

N

h

e

e

B

B

B









Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Jacek Chróścielewski

Magdalena Rucka

8

 podział dziedziny na elementy skończone wiąże się z jednoczesnym

doborem węzłów

Wprowadzenie do MES

a

x

1, 2,3,...,

a

N



 przykłady elementów skończonych:

1D 2D 3D

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Jacek Chróścielewski

Magdalena Rucka

9

 liczba stopni swobody w węźle elementu zależy od typu konstrukcji

i przyjętej teorii

Wprowadzenie do MES

 podstawowa klasyfikacja elementów skończonych

kontynualne strukturalne

prętowe powierzchniowe

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Jacek Chróścielewski

Magdalena Rucka

10

2. Analiza indywidualnych elementów

Wprowadzenie do MES

a) aproksymacja w elementach

 Zostaje dobrana funkcja aproksymacyjna u

h

(x)

określająca jednoznacznie

stan przemieszczeń wewnątrz elementu skończonego w zależności od
przemieszczeń punktów węzłowych

1

( )

( )

( )

N

h

i

i

i

u x

u x

N x u









– wartości węzłowe

i

u

( )

i

N x

– funkcje interpolacyjne
(funkcje kształtu)

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Jacek Chróścielewski

Magdalena Rucka

11

Wprowadzenie do MES

 Funkcja aproksymacyjna u

h

(x)

przyjmuje te same wartości co funkcja

przybliżana w punktach interpolacji (węzłach elementu)

 Funkcje interpolacyjne N

i

(x):

 W MES nazywają się funkcjami kształtu
 Zazwyczaj są to wielomiany Lagrange’a lub Hermite’a
 W węzłach muszą spełniać warunek

1 dla

( )

0 dla

a

b

ab

a

b

N

a

b











 





 Wielomian Lagrange'a rzędu p w

węźle a, gdzie a = 1, 2, …, N+1=p
ma ogólną postać:

1

( )

( )

( )

1

( )

N p

b

p

a

b a

a

b

b

r

r

L r

r

r

 













Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Jacek Chróścielewski

Magdalena Rucka

12

Wprowadzenie do MES

b) Tworzenie macierzy elementowych K

(e)

i wektorów obciążeń P

(e)

oraz ich

transformacja do układu globalnego

( )

( )

( )

e

e



u x

N u

– macierz funkcji kształtu

( )

e

N

( )

( )

( )

( )

e

T

e

e

e

B





K

B CB

( )

e

B

– macierz wiążąca przemieszczenie
i odkształcenie

C

– macierz konstytutywna

3. Analiza całego układu

utworzenie (agregacja) globalnej macierzy K oraz P,

uwzględnienie warunków brzegowych

4. Rozwiązanie układu równań

Kq = P

q = K

-1

P

5. Wyznaczenie naprężeń, odkształceń

w elementach

( )

( )

( )

e

e



ε x

B u

( )

( )



σ x

Cε x

6. Ocena błędu i weryfikacja rozwiązania