Kolokwium nr 1 z matematyki

Wydzia l WILi´

S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2009/2010

Zad.1. [6p+3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

a) Zbada´c, czy pole wektorowe ~

F

= [−2z

2

e

−

2x

+ 2 cos y, −2x sin y − 3z

2

,

2ze

−

2x

− 6yz] spe lnia warunek wystar-

czaj¸acy istnienia potencja lu i wyznaczy´c ten potencja l.

b) Sformu lowa´c twierdzenie o niezale˙zno´sci ca lki krzywoliniowej od drogi oraz obliczy´c

R

⌢

AB

(−2z

2

e

−

2x

+ 2 cos y)dx + (−2x sin y − 3z

2

)dy + (2ze

−

2x

− 6yz)dz.

je˙zeli A(0, 4, 0) i B(0, 0, 2).

Zad.2. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Obliczy´c mas¸e luku, b¸ed¸acego cz¸e´sci¸a okr¸egu x

2

+ y

2

= 4 le˙z¸acego w pierwszej ´cwiartce uk ladu ws´o lrz¸ednych,

je˙zeli g¸esto´s´c masy ρ(x, y, z) = x

2

y

2

.

Zad.3. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Obliczy´c

R

L

(x

3

−y)dx+xydy, je˙zeli L jest lukiem L : {y

2

= 4x} skierowanym od punktu A(1, 2) do punktu B(0, 0).

Zad.4. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Dla krzywej o r´ownaniu:

L

: ~r(t) = [t + 3 sin t, 2 cos t, 3t − sin t]

wyznaczy´c r´ownanie prostej binormalnej i p laszczyzny normalnej w punkcie P (0, 2, 0).

Zad.5. [4p+3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

a) Obliczy´c krzywizn¸e i skr¸ecenie krzywej L : {2y = x

2

,

3z = x

3

} w punkcie P (0, 0, 0).

b) Co znaczy, ˙ze punkt M

0

( ~

OM

= ~r(t

0

)) jest punktem sp laszczenia krzywej? Czy krzywa z punktu a) ma

punkty sp laszczenia?