Wykład 9.

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.

Przypomnienie o rz ˛edzie macierzy. Przypomnie-
nie definicji układu równa ´n liniowych.

Definicja 9.1.1.

Na podstawie

definicji 8.1.1. okre-

´slamy jeszcze raz układ równa ´n liniowych jako



















a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ . . . + a

1n

x

n

= b

1

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ . . . + a

1n

x

n

= b

2

...

a

m

1

x

1

+ a

m

2

x

2

+ . . . + a

mn

x

n

= b

m

lub w zapisie macierzowym








a

11

a

12

. . .

a

1n

a

21

a

22

. . .

a

2n

...

...

. . .

...

a

m

1

a

m

2

. . . a

mn















x

1

x

2

...

x

n








=








b

1

b

2

...

b

m








lub AX = B, gdzie A =

h

a

ij

i

m

×n

, X

=

h

x

j

i

n

,

B

= [b

i

]

m

.

Dygresja: Układ równa ´n zadany

definicj ˛

a 8.1.1.

da si ˛e sprowadzi ´

c do powy˙zszego układu rów-

na ´n. Wtedy macierz A b ˛edzie macierz ˛

a blo-

kow ˛

a.

Twierdzenie 9.1.1.

(Kroneckera-Capellego) Układ

równa ´n liniowych o n niewiadomych (zadany
definicj ˛

a 9.1.1.), ma rozwi ˛

azanie wtedy, gdy rz ˛

ad

macierzy współczynników A jest równy rz ˛edowi
macierzy rozszerzonej C = [A|B] , tzn.

rankA = rankC = rank [A|B] ,

przy czym rozwi ˛

azanie ma n−rankA stopni swo-

body.

Dygresja: Macierz rozszerzona C to macierz blo-
kowa (patrz wykład 5,

def. 5.1.2. - pkt. 8) o

nast ˛epuj ˛

acej konstrukcji

C

= [A|B] =

h

a

ij

|b

i

i

m

×(n+1)

.

Twierdzenie 9.1.2.

(O rodzajach rozwi ˛

aza ´n układu

równa ´n liniowych) Układ równa ´n liniowych
AX

= B

o n niewiadomych, zadany

definicj ˛

a

9.1.1.:

1. ma dokładnie jedno rozwi ˛

azanie je ˙zeli

rankA = rankC = n (jest układem ozna-
czonym -

własno´s´

c 8.1.1. pkt. 1),

2. nie ma rozwi ˛

aza ´n, gdy rankA 6= rankC (jest

układem sprzecznym -

własno´s´

c 8.1.1. pkt.

2),

3. ma niesko ´nczenie wiele rozwi ˛

aza ´n je ˙zeli

rankA = rankC < n zale ˙znych od n − rankA
parametrów (jest układem nieoznaczonym
-

twierdzenie 9.1.1.).

Przykłady rozwi ˛

aza ´n układów równa ´n.

Sposoby post ˛epowania z układem nieoznaczonym.

Literatura

•

Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometri ˛

a, PWN,

Warszawa 1976.

•

Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ˛e-
stochowa 2001.

•

Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.

•

Kiełbasi ´nski A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.

•

Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.

•

Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wy ˙zszej, PWN,
Warszawa 1975.

•

Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.