Opracował Jerzy Stasz

11. Drgania,fale

Wahadło sprężynowe; siła sprężysta

kx

F

−

=

2

o

m

k

ω

=

Równanie ruchu harmonicznego

0

2

2

2

=

+

x

dt

x

d

o

ω

Rozwiązanie

)

sin(

o

o

t

A

x

ϕ

ω

+

=

Prędkość

)

cos(

o

o

t

A

v

ϕ

ω

ω

+

=

Przyspieszenie

x

a

o

2

ω

−

=

o

ϕ

- faza początkowa

o

o

o

T

f

π

π

ω

2

2

=

=

f

o

–częstotliwość, T

o

- okres

Okres wahań wahadła sprężynowego

k

m

T

o

π

2

=

Okres wahań wahadła matematycznego

g

l

T

π

2

=

l- długość wahadła, g – przyspieszenie ziemskie

Okres wahań wahadła fizycznego

mgr

I

T

o

π

2

=

I

o

– moment bezwładności względem osi wahań, m – masa wahadła, r – odległość środka

masy do osi wahań

Energia drgań

E = E

k

(t) + E

p

(t) = const

2

2

max

2

1

2

1

kA

mv

E

=

=

)

(

2

1

)

(

2

t

mv

t

E

k

=

)

(

2

1

)

(

2

t

kx

t

E

p

=

Drgania tłumione, siły:

F = ma = -kx – bv

Równanie ruchu

0

2

2

2

2

=

+

+

x

dt

dx

dt

x

d

ω

β

m

b

2

=

β

Rozwiązanie

)

sin(

ϕ

ω

β

+

=

−

t

e

A

x

t

o

2

2

2

β

ω

ω

−

=

o

Amplituda

t

o

e

A

A

β

−

=

Logarytmiczny dekrement tłumienia

T

A

A

n

n

β

=

=

Λ

+

1

ln

Opracował Jerzy Stasz

Drgania wymuszone, siły:

t

F

bv

kx

ma

F

o

Ω

+

−

−

=

=

cos

Równanie ruchu

t

m

F

x

dt

dx

dt

x

d

o

o

Ω

=

+

+

cos

2

2

2

2

ω

β

Rozwiązanie

)

sin(

ϕ

−

Ω

=

t

A

x

Amplituda

2

2

2

2

4

)

(

Ω

+

Ω

−

=

β

ω

o

o

m

F

A

Przesunięcie fazowe

2

2

2

Ω

−

Ω

=

o

tg

ω

β

ϕ

Częstość rezonansowa

2

2

2

β

ω

−

=

Ω

o

r

A = maximum

Równanie fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku +x

)

sin(

kx

t

A

y

−

=

ω

T

f

π

π

ω

2

2

=

⋅

=

Liczba falowa

λ

π

2

=

k

Prędkość fazowa fali

k

v

ω

=

Prędkość fali podłużnej w ciele stałym

)

2

1

)(

1

(

)

1

(

µ

µ

ρ

µ

−

+

−

=

E

v

E – moduł Younga

ρ

– gęstość ciała, µ –współczynnik Poissona

Prędkość fali podłużnej w pręcie

ρ

E

v

=

Prędkość fali poprzecznej w ciele stałym

ρ

G

v

=

G- moduł sprężystości postaciowej

Prędkość fali poprzecznej w strunie o przekroju poprzecznym S, F – siła naciągu

S

F

v

ρ

=

Prędkość fali podłużnej w cieczy

βρ

1

=

v

β – współczynnik ściśliwości

cieczy

Prędkość fali podłużnej w gazie

ρ

κ

p

v

=

κ – wykładnik adiabaty,

p – ciśnienie

Natężenie fali (ilość energii ∆W przepływającą w czasie ∆t przez powierzchnię ∆S)

Opracował Jerzy Stasz

2

2

2

2

1

A

v

s

m

J

t

S

W

I

ω

ρ

=









∆

∆

∆

=

Amplituda ciśnienia fali

A

v

p

m

ω

ρ

=

∆

Opór akustyczny

v

Z

ρ

=

Współczynnik odbicia przy przejściu prostopadłym fali z ośrodka „1” do ‘2”:

2

2

1

2

1













+

−

=

Z

Z

Z

Z

R

Współczynnik transmisji przy przejściu prostopadłym fali z ośrodka „1” do ‘2”:

T = 1 – R

(pomijamy straty na absorpcję)

Natężenie fali akustycznej kulistej w odległości

r od źródła punktowego o mocy P:

2

4

r

P

I

⋅

=

π

Tłumienie (absorpcja) płaskiej fali akustycznej w zależności od odległości x

x

o

e

I

I

α

−

=

α

– współczynnik absorpcji

Głośność













=

o

I

I

L

log

10

[dB]

I

o

= 10

-12

W/m

2

– próg słyszalności dla f = 1000 Hz

Częstotliwość

dudnień

2

1

f

f

f

d

−

=

f

1

, f

2

- częstotliwości

nakładających się dźwięków

Efekt Dopplera, zbliżanie

v

v

v

v

f

f

o

1

2

1

1

−

+

=

f

o

– częstotliwość drgań źródła

Efekt Dopplera, oddalanie

v

v

v

v

f

f

o

1

2

1

1

+

−

=

f

– obserwowana częstotliwość

v

– prędkość dźwięku, v

1

– prędkość źródła, v

2

– prędkość obserwatora

Opracował Jerzy Stasz

1.

Oscylator ma postać klocka o masie m = 0.5 kg umocowanego na sprężynie. Po
wprawieniu w drgania o amplitudzie A = 35 cm oscylator powtarza swój ruch co 0.5 s.
Wyznacz: a) okres - T, b) częstość - f, c) częstość kołową - ω, d) stałą sprężystości -k,
e) maksymalną prędkość- vm, f) wartość maksymalnej siły Fm, jaką sprężyna
wywiera na klocek

2.

Ciało drga ruchem harmonicznym opisanym wzorem (w jednostkach SI)

)

3

cos(

5

,

6

π

π

+

=

t

x

. Dla czasu

t = 2 s wyznacz: a) przemieszczenie, b) prędkość, c)

przyspieszenie, d) fazę, e) częstość, f) okres drgań

3.

W drgającym układzie klocek – sprężyna energia mechaniczna wynosi 1 J., amplituda
10 cm, maksymalna prędkość 1,2 m/s. Wyznacz: a) stałą sprężystości, b) masę klocka,
c) częstość drgań

4.

Jaka jest długość wahadła „sekundowego”, które wykonuje pełne wahnięcie z lewa na
prawo i z powrotem w ciągu 2 s? (zastosuj wzór dla wahadła matematycznego)

5.

Oscylator tłumiony ma następujące parametry: m = 250 g, k = 85 N/m, b = 70 g/s.
Wyznacz: a) okres drgań tego oscylatora, b) czas, po którym amplituda drgań
tłumionych zmaleje do połowy swojej wartości początkowej?

6.

Napisz wzór przedstawiający falę sinusoidalną , mającą amplitudę 0,01 m, częstość
550 Hz, prędkość 330 m/s. biegnącą a) w ujemnym kierunku wzdłuż osi x, b) w
kierunku dodatnim .

7.

Oblicz prędkość fal poprzecznych

v w sznurze o długości l =2 m i masie m = 60 g

poddanym naprężeniu

F = 500 N.

8.

Lina, po której może biec fala, ma długość

l =2,7 m i masę m = 260 g. Naprężenie

liny wynosi N =36 N. Jaka musi być częstość fali biegnącej o amplitudzie A = 7,7
mm, aby jej średnia moc była równa 85 W? (

2

2

2

1

A

v

P

sr

ω

µ

=

), µ

= m/l

9.

W przypadku normalnego słuchu zakres częstości słyszalnych rozciąga się od około
20 Hz do 20 kHz. Jakie długości fal dźwiękowych w powietrzu odpowiadają tym
częstościom? Prędkość dźwięku w powietrzu v = 340 m/s.

10.

Ź

ródło emituje izotropowo fale dźwiękowe. Natężenie fal w odległości 2,5 m od

ź

ródła wynosi 1,91

•

10

-4

W/m

2

.

a)

wyznacz poziom głośności dźwięku w [decybelach].

b)

wyznacz moc źródła.

11.

Poziom głośności pewnego źródła dźwięku wzrósł o 30 dB. O jaki czynnik wrosły
jego a) natężenie ,b) amplituda zmian ciśnienia