Analiza Matematyczna 1.2

Lista zada´n

Jacek Cicho´n, Wrocław 2013/14

´

Cwiczenia do tego kursu trwaj ˛

a tylko 15 godzin. Musimy ten czas dobrze wykorzysta´c. Na stronach Instytutu Matematyki

i Informatyki Politechniki Wrocławskiej (www.im.pwr.wroc.pl, podstrona Dla studentów/Narzedzia on-line) znale´z´c mo˙zecie
informacje o narz˛edziach informatycznych które mog ˛

a sie wam przyda´c do rozwi ˛

azywania zada´n oraz szkicowania wykresów

funkcji. Przed ´cwiczeniami wygenerujcie wykresy wszystkich funkcji które maj ˛

a by´c na nich omawiane.

Gwiazdki oznaczaj ˛

a orientacyjny stopie´n trudno´sci zadania. Zadania dodatkowe, bez numeracji, s ˛

a przeznaczone do samo-

dzielnego rozwi ˛

azania przez studentów i b˛ed ˛

a omawiane na ´cwiczeniach je´sli tylko wystarczy na to czasu.

C1

Logika, zbiory

Zadanie 1 — Zapisz za pomoc ˛

a symboli matematycznych

wyra˙zenie “n jest liczb ˛

a pierwsz ˛

a”.

Zadanie 2 — Niech R(x,y) oznacza, ˙ze “x jest rodzicem y”
oraz niech K(x) oznacza, ˙ze “x jest kobiet ˛

a”.

1. x i y s ˛

a rodze´nstwem

2. x jest bratem y

3. x jest matk ˛

a y

4. x jest dziadkiem y

Zadanie 3 — Ustalmy liczby rzeczywiste a < b. Niech A

ε

=

(a − ε, a + ε) oraz B

ε

= (b − ε, b + ε). Kiedy A

ε

∩ B

ε

6= ∅ ?

Zadanie 4 — Wyznacz zbiory [a, b] \ (a, b), (a, b) \ [a, b] oraz
[a, b] ∩ (a, b).

Zadanie 5 — Poka˙z metod ˛

a Indukcji Matematycznej, ˙ze 1 +

2 + . . . + n =

1
2

n(n + 1).

Uwaga: Musisz równie˙z zna´c proste

wyprowadzenie tego wzoru.

Zadanie 6 — Poka˙z, ˙ze zbiór liczb wymiernych Q jest za-
mkni˛ety na dodawanie, odejmowanie, mno˙zenie i dzielenie
przez liczb˛e ró˙zn ˛

a od 0.

Zadanie 7 — Przypomnij sobie dowód tego, ˙ze

√

2 /

∈ Q. Po-

ka˙z, ˙ze je´sli q ∈ Q to

√

2 + q /

∈ Q.

* Zadanie 8 — Sformułuj samodzielnie poj˛ecie kresu dolnego
podzbioru A zbioru liczb rzeczywistych - oznaczmy go przez
inf(A). Poka˙z, ˙ze inf(A) = − sup(−A), gdzie −A = {−a :

a ∈ A}. Wywnioskuj z tego, ˙ze ka˙zdy ograniczony z dołu pod-
zbiór R ma kres dolny.

Zadanie 9 — Wyznacz

liczby

sup([0, 1]),

sup((0, 1)),

sup(0, 1) ∩ Q), inf({

1

n

:

n

≥ 1}), sup({n ∈ N :

n jest liczb ˛

a pierwsz ˛

a}).

Zadanie 10 — Korzystaj ˛

ac z tego, ˙ze sin

2

(x) + cos

2

(x) = 1

poka˙z, ˙ze | sin(x) + 2 cos(x)| ≤

√

5 dla ka˙zdego x ∈ R.

Wska-

zówka: Skorzystaj z nierówno´sci Cauchy’ego.

Zadania dodatkowe

* Zadanie — Poka˙z, ˙ze dla dowolnej liczby naturalnej n za-
chodzi równo´s´c 1

2

+ 2

2

+ . . . + n

2

=

1
6

n(n + 1)(2n + 1).

* Zadanie — Rozwa˙zmy nast˛epujac ˛

a p˛etl˛e

1:

for I=1 to N do

2:

for J=I to N do

3:

for K=J to N do

4:

Op(I,J,K)

5:

end for

6:

end for

7:

end for

Ile razy jest wykonywana operacje Op?

* Zadanie — Załó˙zmy, ˙ze a < b oraz c < d. Podaj mo˙zliwie
prosty warunek na to aby (a, b) ∩ (c, d) 6= ∅ .

* Zadanie — Niech x

1

, . . . , x

n

≥ −1 b˛ed ˛

a liczbami o tym

samym znaku. Poka˙z, ˙ze

n

Y

i=1

(1 + x

i

) ≥ 1 +

n

X

i=1

x

i

.

1

Wskazówka: Wzoruj si˛e na dowodzie nierówno´sci Berno-
uliego.

** Zadanie — Niech A = {x ≥ 0 : x

2

< 2}. Poka˙z, ˙ze

sup(A)

2

= 2 (czyli, ˙ze sup(A) =

√

2).

* Zadanie — Niech ZM oznacza zdanie “w ka˙zdy niepustym
podzbiorze zbioru liczb naturalnych istnieje element najmniej-
szy”. Wyprowad´z ze zdania ZM zasad˛e Indukcji Matematycz-
nej.

** Zadanie — Wyprowad´z z zasady Indukcji Matematycznej
zdanie ZM.

C2

Funkcje elementarne

Zadanie 11 — Poka˙z, ˙ze dla dowolnych trzech liczb rzeczy-
wistych x, y, z zachodzi nierówno´s´c |x − z| ≤ |x − y| + |y − z|.

Uwaga: Nierówno´s´c ta nazywa si˛e nierówno´sci ˛

a trójk ˛

ata.

Wskazówka: Na wykładzie pokazali´smy, ˙ze |a + b| ≤ |a| + |b|
dla dowolnych liczb a, b ∈ R.

Zadanie 12 — Niech f (x) = x

2

− 1. Naszkicuj wykresy

funkcji f

1

(x) = f (x), f

2

(x) = f (x + 1), f

3

(x) = f (x − 1),

f

4

(x) = |f (x)|, f

5

(x) = f (2x), f

6

(x) =

1

f (x)

, f

7

(x) =

2

f

6

(x)

.

Wskazówka: Mo˙zesz wykorzysta´c w tym celu wyszu-

kiwark˛e informacji Google lub skorzystaj z serwisu Wolfram
Alpha.

Zadanie 13 — Okre´sl dziedziny i naszkicuj wykresy funkcji
zadanych wzorami f

1

(x) =

x

x

2

+2x−5

, f

2

(x) =

x+1

x

2

−1

, f

3

(x) =

x+1
x−1

.

Zadanie 14 — Niech f (x) = sin(x) oraz g(x) = x

2

. Naszki-

cuj wykresy funkcji f ◦g oraz g◦f . Czy potrafisz w inny sposób
zapisa´c wzór na funkcj˛e g ◦ f ? Podaj kilka innych przykładów
na to, ˙ze zlo˙zenie funkcji nie jest przemienne.

Zadanie 15 — Naszkicuj

wykresy

funkcji

f

a

(x)

=

√

1 − x

2

sin(a · x), dla a = 1, 10, 100, 200. Wyjasnij zaob-

serwowane zjawisko.

Zadanie 16 — Naszkicuj na jednym rysunku wykresy funkcji
f

a

(x) = a

x

dla a =

1
4

,

1
2

, 1,

3
2

, 2. Dla jakich warto´sci a > 0

funkcja f

a

jest rosn ˛

aca a dla jakich malej ˛

aca?

Zadanie 17 — Poka˙z, ˙ze je´sli f, g : R → R sa funkcjami ro-
sn ˛

acymi, to f ◦ g te˙z jest funkcj ˛

a rosn ˛

ac ˛

a.

Zadanie 18 — Wyznacz funkcje odwrotne do funkcji zada-
nych wzorami f (x) =

x+1
x−1

, g(x) = 2

x+1

, h(x) = log

2

(x + 1).

Zadanie 19 — Naszkicuj na jednym rysunku wykresy funkcji
g

a

(x) = log

a

(x) dla a =

1
4

,

1
2

, 1,

3
2

, 2. Dla jakich warto´sci

a > 0 funkcja g

a

jest rosn ˛

aca a dla jakich malej ˛

aca (na półpro-

stej (0, ∞))?

Zadanie 20 — Znajd´z taka liczb˛e a, ˙ze 2

log

10

(x)

= x

a

.

Wska-

zówka: Skorzystaj ze wzoru log

a

(x) =

log

b

(x)

log

b

(a)

na zamian˛e

podstawy logarytmów.

Zadania dodatkowe

Zadanie — Funkcj˛e f : R → R nazywamy parzyst ˛

a je´sli

(∀x ∈ R)(f (−x) = f (x)). Funkcj˛e f : R → R nazywamy
nieparzyst ˛

a je´sli (∀x ∈ R)(f (−x) = −f (x)).

1. Zbadaj parzysto´s´c i nieparzysto´s´c funkcji f

n

(x) = x

n

dla róznych n ∈ N.

2. Poka˙z, ˙ze ka˙zda funkcja f : R → R jest sum ˛

a funkcji

parzystej i nieparzystej.

Zadanie — Spróbuj naszkicowa´c wykres funkcji f zadanej
wzorem

f (x) =



1

:

x ∈ Q

0

:

x /

∈ Q

Uwaga: Funkcja ta nazywa si˛e funkcj ˛

a Dirichleta.

C3

Trygonometria

Zadanie 21 — Uzasadnij, ˙ze nastepuj ˛

ace dwa zdania s ˛

a rów-

nowa˙zne:

1.(∀x, y ∈ R)(x 6= y→f (x) 6= f (y)),

2.(∀x, y ∈ R)(f (x) = f (y)→x = y).

Zadanie 22 — Poka˙z, ˙ze sin

2

(x) =

1
2

(1 − cos(2t)) oraz

cos

2

(x) =

1
2

(1 + cos(2t)).

Zadanie 23 — Poka˙z, ˙ze sin(2x) = 2 · sin(x) · cos(x),
cos(2x) = cos

2

(x) − sin

2

(x), sin(3x) = 3 · sin(x) − 4 sin

3

(x)

oraz cos(3x) = 4 cos

3

(x) − 3 · cos(x).

Zadanie 24 — Poka˙z, ˙ze tan(x + y) =

tan(x)+tan(y)

1−tan(x) tan(y)

.

Zadanie 25 — Poka˙z, ˙ze

1.

sin(x) + sin(y) = 2 sin(

x+y

2

) cos(

x−y

2

)

2.

cos(x) + cos(y) = 2 cos(

x+y

2

) cos(

x−y

2

)

Zadanie 26 — Jaki jest zwi ˛

azek mi˛edzy wykresami funkcji

y = f (x) oraz y = f (x + a), gdzie a jest ustalon ˛

a liczb ˛

a

rzeczywist ˛

a?

2

Zadanie 27 — Poka˙z, ˙ze sin(x +

π

2

) = cos(x). Zrób to na

dwa sposoby: za pomoc ˛

a wzoru na sin(x + y) oraz za pomoc ˛

a

interpretacji geometrycznej funkcji trygonometrycznych.

Zadanie 28 — Narysuj wykresy funkcji y = arcsin(sin(x))
oraz y = arcsin(cos(x)) dla x ∈ [−4π, 4π]. Wyja´snij zaobser-
wowane zjawiska.

Zadanie 29 — Narysuj wykres funkcji y = arctan(tan(x)).
Wyja´snij zaobserwowane zjawisko.

Zadanie 30 — Poka˙z, ˙ze arccos(x) =

π

2

− arcsin(x) oraz

arccot(x) =

π

2

− arctan(x).

Zadania dodatkowe

* Zadanie — Poka˙z, ˙ze dla ka˙zdej ustalonej liczby naturalnej
n istnieja takie stałe a

0

, . . . , a

n

, ˙ze

(cos(x))

n

=

n

X

k=0

a

k

cos(kx) .

Wskazówka: Skorzystaj z tego, ˙ze cos(t) =

1
2

(e

it

+ e

−it

).

* Zadanie — Poka˙z, ˙ze dla ka˙zdej ustalonej liczby naturalnej
n mamy

n

X

k=1

sin(kx) =

sin(

nx

2

) sin(

(n+1)x

2

)

sin(

x

2

)

oraz

n

X

k=0

cos(kx) =

cos(

nx

2

) sin(

(n+1)x

2

)

sin(

x

2

)

Wskazówka: Oblicz sum˛e 1 + e

it

+ (e

it

)

2

+ . . . + (e

it

)

n

.

Przy upraszczaniu skorzystaj z nast˛epuj ˛

acej równo´sci: e

it

− 1

= e

it

2

(e

it

2

− e

−it

2

) = 2 · i · e

it

2

· sin(

t

2

) (to mocno upraszcza

obliczenia) .

C4

Ci ˛

agi

Odpowiedzi na wi˛ekszo´s´c zada´n z tej grupy mo˙zesz znale´z´c
za pomoc ˛

a programu Mathematica lub za pomoc ˛

a serwisu

Wolfram Alpha. Przez polecenie “oblicz” rozumiemy wi˛ec w
poni˙zszych zadaniach “oblicz samodzielnie”. Ale z narz˛edzi
tych warto korzysta´c do sprawdzenia poprawno´sci swoich ob-
licze´n.

Do znajdowania granic w programie Mathematica słu˙zy

polecenie Limit[f[n],n→ ∞]. Przykład wyznaczania granicy
za pomoc ˛

a serwisu Wolfram Alpha mo˙zesz znale´z´c na stro-

nach WWW Instytutu Matematyki i Informatyki PWr (Stu-
denci/Narz˛edzia on-line).

Zadanie 31 — Oblicz granice nast˛epuj ˛

acych ci ˛

agów:

1. a

n

=

2n+n+3

n

2

+3n+1

,

2. b

n

=

2n

2

+n+3

n

2

+3n+1

,

3. c

n

=

2n

3

+n+3

n

2

+3n+1

.

Zadanie 32 — Ustalmy liczb˛e g. Rozwa˙zmy ci ˛

ag (a

n

) o wy-

razach zadanych wzorem

a

n

=

b10

n

gc

10

n

.

1. Poka˙z, ˙ze ci ˛

ag (a

n

) jest zbie˙zny i wyznacz jego granic˛e.

Wskazówka: Skorzystaj z nierówno´sci x − 1 < bxc ≤
x.

2. Jak szybko zbiega ci ˛

ag (a

n

) do swojej granicy?

3. Do czego w praktyce informatycznej mo˙ze ci si˛e przy-

da´c to zadanie?

Zadanie 33 — Oblicz granice

1. lim

n→∞

1+2+...+n

n

2

2. lim

n→∞

1

2

+2

2

+...+n

2

n

3

3. lim

n→∞

(

√

n

2

+ n − n)

Zadanie 34 — Oblicz granice ci ˛

agów

1.

n+(−1)

n

2n+1

,

2.

n

√

n

n

+ 1,

3.

n

√

n2

n

+ n

2

.

Zadanie 35 — Oblicz granic˛e nast˛epuj ˛

acych ci ˛

agów

1. (1 +

1

n

)

3n+1

,

2. (1 −

1

n

)

2n+1

,

3. (1 +

1

n

)

n

2

,

4. (

n+1
n+1

)

n+1

,

5. (1 +

1

n

2

)

n

.

Zadanie 36 — Niech n b˛ed ˛

a liczbami naturalnymi takimi, ˙ze

n > 0 oraz b > 1.

1. Poka˙z, ˙ze reprezentacja liczby n przy podstawie b

składa si˛e z blog

b

(n)c + 1 cyfr.

2. Niech l

b

(n) oznacza liczb˛e cyfr w reprezentacji liczby

n przy podstawie b Oblicz

lim

n→∞

l

2

(n)

l

10

(n)

.

Zadanie 37 — Za pomoc ˛

a wzoru Strirlinga n! ≈

√

2πn(

n

e

)

n

oraz poprzedniego zadania oszacuj z ilu cyfr (przy podstawie
10) składa si˛e liczba 1000!. Wyznacz nast˛epnie dokładn ˛

a liczb˛e

cyfr w reprezentacji dziesi˛etnej liczby 1000! i porównaj z uzy-
skanym oszacowaniem.

Wskazówka: Przyda´c Ci si˛e mog ˛

a na-

st˛epuj ˛

ace dwie funkcje: IntegerDigits[x] oraz Length[x] pro-

gramu Mathematica.

3

Zadanie 38 — Poka˙z, ˙ze je´sli |a| < 1 to

lim

n→∞

(1 + a + . . . + a

n

) =

1

1 − a

.

Zadanie 39 — Podaj prosty dowód tego, ˙ze ci ˛

ag a

n

= (−1)

n

nie jest zbie˙zny.

Zadanie 40 — Bezpo´srednio z definicji granicy ciagu poka˙z,

˙ze lim

n

2n+1

n

2

= 0 oraz lim

n

(n −

√

n) = ∞.

Zadania dodatkowe

Zadanie — Co mo˙zesz powiedzie´c o granicy ci ˛

agu zadanego

wzorem postaci a

n

=

w(n)

v(n)

, gdzie w jest wielomianem stopnia

k za´s v jest wielomianem stopnia l?

Zadanie — Załó˙zmy, ˙ze 0 ≤ a ≤ b. Poka˙z zbie˙zno´s´c i wy-
znacz granic˛e ci ˛

agu

n

√

a

n

+ b

n

.

Zadanie — Poka˙z, ˙ze ze zbie˙zno´sci ci ˛

agu (a

n

) wynika zbie˙z-

no´s´c ci ˛

agu (|a

n

|). Czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne?

Zadanie — Niech a

n

= (n mod 20) +

1

n

. Wyznacz punkty

skupienia ci ˛

agu (a

n

).

* Zadanie — Znajd´z taki ci ˛

ag dla którego ka˙zda liczba z prze-

działu [0, 1] jest jego punktem skupienia.

* Zadanie — Ustalmy liczb˛e a > 0. Niech x

0

= 0 oraz

x

n+1

=

1
2

(x

n

+

a

x

n

). Poka˙z, ˙ze lim

n

x

n

=

√

a. Zastosuj

ten wyniki dla a = 2. Który wyraz tak zbudowanego ci ˛

agu

ró˙zni si˛e od

√

2 o mniej ni˙z 10

−3

?

Zadanie — Niech (n

k

) b˛edzie takim ci ˛

agiem liczb natural-

nych, ˙ze (∀k)(n

k

< n

k+1

). Poka˙z, ˙ze (∀k)(k ≤ n

k

).

Wska-

zówka: Zacznij od zastanowienia si˛e nad wyborem metody do-
wodu.

C5

Ci ˛

agło´s´c - I

Do szkicowania wykresów funkcji mo˙zesz stosowa´c wyszuki-
wark˛e Google, polecenie Plot[f[x],{x,a,b}] programu Mathe-
matica b ˛

ad´z poleceniem plot serwisu Wolfram Alpha.

Zadanie 41 — Niech f (x) = x − bxc dla x ∈ R.

1. Narysuj wykres funkcji f .

2. Poka˙z, ˙ze f (x + 1) = f (x) dla dowolnego x ∈ R.
3. Wyznacz obraz funkcji f .

4. Wyznacz punkty ci ˛

agło´sci funkcji f .

Zadanie 42 — Niech

f (x) =



0

:

x = 0

sin(

1

x

)

:

x 6= 0

1. Wyznacz x takie, ˙ze f (x) = 0.

Wskazówka: Je´sli x 6=

0 to (f (x) = 0) ≡ (sin(

1

x

) = 0) ≡ (∃k ∈ Z)(

1

x

= kπ)

≡ . . . .

2. Wyznacz x takie, ˙ze f (x) = 1.

3. Naszkicuj wykres funkcji f .

4. Czy f jest ci ˛

agła w punkcie 0?

5. Wyznacz punkty ci ˛

agło´sci funkcji f .

Zadanie 43 — Na wykładzie pokazali´smy, ˙ze ka˙zda funkcja
stała jest ci ˛

agła, ˙ze suma i iloczyn dwóch funkcji ci ˛

agłych jest

ci ˛

agła. Poka˙z, ˙ze je´sli f, g : (a, b) → R s ˛

a ci ˛

agłe, to funkcja h

zadana wzorem h(x) = f (x) − g(x) jest równie˙z ci ˛

agła.

Zadanie 44 — Na wykładzie pokazali´smy, ˙ze je´sli f

:

(a, b) → R, g : R → R, x

0

∈ (a, b) oraz f jest ci ˛

agła w punk-

cie x

0

a g jest ci ˛

agła w punkcie f (x

0

) to zło˙zenie h = g ◦ f

jest ci ˛

agłe w punkcie x

0

.

1. Poka˙z, ˙ze je´sli f : (a, b) → (c, d) jest i g : (c, d) → R

jest ci ˛

agła to funkcja g ◦ f jest ci ˛

agła na (a, b).

2. Narysuj wykres funkcji f : R → R zadanej wzorem

f (x) = | sin(x)| i poka˙z, ˙ze jest ona jest ci ˛

agła. Mo˙zesz

skorzysta´c z tego, ˙ze funkcja y = sin(x) jest ci ˛

agła.

Zadanie 45 — Dla zadanej liczby a definiujemy funkcj˛e f

a

:

R → R wzorem

f

a

(x) =



x

:

x < 1

1
2

x

2

+ a

:

x ≥ 1

Dla jakiego a funkcja f

a

jest ci ˛

agła?

Zadanie 46 — Niech f (x) =

1

sin

2

(x)

.

1. Wyznacz dziedzin˛e oraz obraz funkcji f .

2. Naszkicuj wykres funkcji f .

3. Ustalmy liczb˛e k ∈ Z. Niech (a

n

) b˛edzie ci ˛

agiem

zbie˙znym do liczby kπ. Wyznacz granic˛e lim f (a

n

).

Zadanie 47 — Niech f (x) =

x

2

−1

x−1

.

1. Dla jakich x ∈ R funkcja f jest okre´slona?
2. Czy funkcja f jest ci ˛

agła?

Zadanie 48 — Dla funkcji f : R → R okre´slamy

N C(f ) = {x ∈ R : f nie jest ci ˛

agła w punkcie x} .

Wska˙z (znajd´z) takie funkcje f : R → R, ˙ze

1. N C(f ) = ∅,

2. N C(f ) = {1, 2, 3},

3. N C(f ) = Z,
4. N C(f ) = R.

4

Zadanie 49 — Wiemy, ˙ze je´sli f : [a, b] → R jest funkcj ˛

a ci ˛

a-

gł ˛

a oraz f (a) < 0 i f (b) > 0, to istnieje takie c ∈ (a, b), ˙ze

f (c) = 0.
Wykorzystaj t˛e własno´s´c funkcji ci ˛

agłych do znalezienia przy-

bli˙zenia liczby

√

3 z dokładno´sci ˛

a do jednego miejsca po prze-

cinku.

Wskazówka: Rozwa˙z funkcj˛e g(x) = x

2

− 3. Zauwa˙z, ˙ze

g(1) < 0, g(2) > 0 oraz, ˙ze g(x) = 0 ≡ x

2

= 3.

Zadanie 50 — Na wykładzie omówili´smy nast˛epuj ˛

ace twier-

dzenie: je´sli f : [a, b] → R jest funkcj ˛

a ci ˛

agł ˛

a, to istniej ˛

a liczby

m, M ∈ [a, b] takie, ˙ze f (m) = inf{f (x) : x ∈ [a, b]} oraz
f (M ) = sup{f (x) : x ∈ [a, b]}.

1. Czy zało˙zenie ci ˛

agło´sci jest w tym twierdzeniu po-

trzebne?

2. Czy twierdzenie to byłoby prawdziwe, gdyby odcinek

[a, b] zast ˛

api´c odcinkiem (a, b)?

3. Czy twierdzenie to byłoby prawdziwe, gdyby odcinek

[a, b] zast ˛

api´c zbiorem R?

Zadania dodatkowe

Zadanie — Poka˙z, ˙ze je´sli funkcje f, g : R → R s ˛

a ci ˛

agłe,

to równie˙z funkcje m(x) = min{f (x), g(x)} oraz M (x) =
max{f (x), g(x)} s ˛

a ci ˛

agłe.

Zadanie — Załó˙zmy, ˙ze f : [0, 1] → [0, 1] jest funkcj ˛

a ci ˛

agł ˛

a.

Poka˙z, ˙ze istnieje takie x

0

∈ [0, 1], ˙ze f (x

0

) = x

0

Zadanie — Załó˙zmy, ˙ze f : R → R jest ci ˛

agła i f (d) < 0, to

istnieje  > 0 takie, ˙ze

(∀x)(|x − d| <  → f (x) < 0) .

Sformułuj podobne twierdzenie dla przypadku f (d) > 0.

Zadanie — Załó˙zmy, ˙ze f jest funkcj ˛

a ci ˛

agł ˛

a, a < b, f (a) <

f (b). Niech

A = {x ∈ [a, b] : f (x) < 0)} .

1. Poka˙z, ˙ze A 6= ∅.

2. Niech δ = sup(A). Poka˙z, ˙ze f (δ) = 0

C6

Funkcje ci ˛

agłe i granice

Zadanie 51 — Niech f (x) =

1

x

2

−1

.

1. Wyznacz asymptoty pionowe i poziome funkcji f .

2. Naszkicuj wykres funkcji f .

3. Naszkicuj wykres funkcji f

1

(x) = 2

f (x)

.

Zadanie 52 — Niech g(x) =

x

2

x

2

−1

oraz h(x) =

x

3

+x

x

2

−1

. Wy-

znacz asymptoty pionowe i poziome funkcji g i h. Naszkicuj
wykresy funkcji g i h.

Zadanie 53 — Znajd´z funkcje f, g : R → R takie, ˙ze
lim

x→∞

f (x) = lim

x→∞

g(x) = +∞ oraz

1. lim

x→∞

(f (x) − g(x)) = +∞

2. lim

x→∞

(f (x) − g(x)) = 0

3. lim

x→∞

(f (x) − g(x)) = −∞

Zadanie 54 — Oblicz nast˛epuj ˛

ace granice:

1. lim

x→∞

x

2

+1

2x

2

+2x+1

2. lim

x→∞

2x

3

+2x

x

2

+3x+1

3. lim

x→∞

x

2

+1

2x

3

+2x+1

Zadanie 55 — Oblicz nast˛epuj ˛

ace granice (

Wskazówka: mo-

˙zesz skorzysta´c z ci ˛

agło´sci funkcji trygonometrycznych, loga-

rytmów i funkcji wykładniczej.

):

1. lim

x→0

sin(

x

x

2

+1

)

2. lim

x→∞

log

2

((1 +

1

x

)

x

)

3. lim

x→∞

2

(

1

x

)

Zadanie 56 — Poka˙z, ˙ze funkcja

sgn(x) =







−1

:

x < 0

0

:

x = 0

1

:

x > 0

nie jest ci ˛

agła w punkcie 0. Wyznacz punkty ci ˛

aglo´sci funkcji

sgn.

Zadanie 57 — Wyznacz punkty ci ˛

agło´sci funkcji f (x) =

sgn(sin(x)), g(x) = sgn(cos(x)), h(x) = bxc oraz a(x) =


1

x

.

Zadanie 58 — Narysuj wykresy funkcji zadanych wzorami
y =

x

x−1

, y = x − bxc, y = x sin(

1

x

), y = x

2

sin(

1

x

),

y =

1

x

sin(

1

x

) oraz wyznacz ich granice w punkcie 0.

Zadanie 59 — Oblicz granice lim

x→1

x

2

−1

x

3

−1

, lim

x→1

x

3

−1

x

2

−1

.

Zadanie 60 — Czy istnieje granica lim

x→∞

sin(x)? Czy ist-

nieje granica lim

x→0+

sin(

1

x

)?

Zadania dodatkowe

Zadanie — Załó˙zmy, ˙ze istnieje η > 0 taka, ˙ze (∀x)(|x −
x

0

| < η → f (x) = g(x)). Poka˙z, ˙ze je´sli f jest ci ˛

agła w

punkcie x

0

to równie˙z g jest ci ˛

agła w punkcie x

0

. Dlaczego

pokazan ˛

a własno´s´c funkcji ci ˛

agłych mo˙zemy wysłowi´c nast˛e-

puj ˛

aco: ci ˛

agło´s´c funkcji w punkcie jest poj˛eciem lokalnym

?

5

Zadanie — Poka˙z, ˙ze ka˙zda funkcja ci ˛

agła f : R → R

spełniaj ˛

aca warunek f (x + y) = f (x) + f (y) jest postaci

f (x) = a · x dla pewnej stałej a.

Wskazówka: Przyjmij

a = f (1) i poka˙z najpierw, ˙ze f (x) = a · x dla wszystkich
x ∈ N, potem dla wszystkich x ∈ Q i w ko´ncu dla wszystkich
x ∈ R.

Zadanie — Niech n > 0. Naszkicuj wykres funkcji zadanej
wzorem

f (x) =

1

x(x − 1) · · · (x − n)

.

Wskazówka: rozwa˙z oddzielnie przypadek n parzystego i n
nieparzystego.

Zadanie — Oblicz granice wielomianu postaci w(x) = x

n

+

a

n−1

x

n−1

+ . . . + a

1

x + a

0

w niesko´nczono´sci.

Wskazówka:

Rozwa˙z oddzielnie przypadek n parzystego oraz n nieparzy-
stego.

Zadanie — Poka˙z, ˙ze ka˙zdy wielomian (traktowany jako
funkcja z R w R) stopnia nieparzystego ma pierwiastek.

Zadanie — Poka˙z, ˙ze z Twierdzenia o Warto´sci Po´sredniej
wynika, ˙ze je´sli f : R → R jest ci ˛

agła, a < b oraz f (a) <

y

0

< f (b) to istnieje x

0

∈ (a, b) takie, ˙ze f (x

0

) = y

0

.

Zadanie — Korzystaj ˛

ac z poprzedniego zadania poka˙z, ˙ze je-

´sli f : R → R jest ci ˛

agła, to obraz dowolnego odcinka jest

odcinkiem.

Wskazówka: Oto prosta charakteryzacja odcinka:

I jest odcinkiem wtedy i tylko wtedy dla dowolnych a, b ∈ I
takich, ˙ze a ≤ b mamy (a, b) ⊆ I.

Zadanie — Korzystaj ˛

ac z poprzedniego zadania oraz twier-

dzenia Weierstrassa o warto´sciach maksymalnych pokaz, ˙ze je-

´sli f : R → R jest ci ˛

agła, to obraz dowolnego ograniczonego

odcinka domkni˛etego jest odcinkiem domkni˛etym.

Zadanie — Poka˙z, ˙ze w ka˙zdej chwili istniej ˛

a dwa antypo-

dalne punkty na kuli ziemskiej w których jest taka sama tem-
peratura.

C7

Ró˙zniczkowanie - I

Zadanie 61 — Oblicz pochodne funkcji rzeczywistych zada-
nych nast˛epuj ˛

acymi wzorami: y = 2 + 3x + x

3

, y = 1 + x +

x

2

+ . . . + x

n

, y = (x + 1)/(x − 1), y =

x

2

+x+1

x

3

−1

y = x

2

e

x

,

y =

x

1+e

x

.

Zadanie 62 — Naszkicuj wykres funkcji f (x) = x(x−1)(x−
2), wyznacz ekstrema lokalne tej funkcji oraz jej warto´sci w
tych punktach (doprowad´z te warto´sci do mo˙zliwie prostej po-
staci).

Zadanie 63 — Naszkicuj wykres funkcji f (x) =

x

(x−1)(x−2)

,

wyznacz ekstrema lokalne tej funkcji oraz jej warto´sci w tych
punktach (doprowad´z te warto´sci do mo˙zliwie prostej postaci).

Zadanie 64 — Niech f (x) = ax

2

+ bx + c (a, b, c s ˛

a stałe

oraz a 6= 0). Wyznacz punkt ekstremalny funkcji f .

Zadanie 65 — W jakim punkcie funkcja f (x) = xe

−x

przyj-

muje warto´s´c najwi˛eksz ˛

a ?

Zadanie 66 — Znajd´z taka funkcj˛e f , ˙ze f

0

(x) = 1+x+x

2

+

x

3

+ . . . + x

10

.

Zadanie 67 — Poka˙z bezpo´srednio z definicji pochodnej, ˙ze
jesli funkcje f i g s ˛

a ró˙zniczkowalne w punkcie x to (f +

g)

0

(x) = f

0

(x) + g

0

(x).

Zadanie 68 — Na wykładzie omówili´smy wzór na (

f
g

)

0

(x)

Zastosuj ten wzór do wyznaczenia wzoru na (

1

g(x)

)

0

(x).

Zadanie 69 — Chcemy zaprojektowa´c naczynie o kształcie
otwartego od góry prostopadło´scianu o podstawie kwadrato-
wej. Mamy do dyspozycji materiał o powierzchni S. Chcemy
zmaksymalizowa´c obj˛eto´s´c. Wyznacz optymaln ˛

a długo´s´c pod-

stawy a oraz wysoko´s´c h. Wyznacz iloraz

h
a

.

Zadania dodatkowe

Zadanie — Załó˙zmy, ˙ze istnieje η > 0 taka, ˙ze (∀x)(|x −
x

0

| < η → f (x) = g(x)). Poka˙z, ˙ze je´sli f jest ró˙zniczko-

walna w punkcie x

0

to równie˙z g jest ró˙zniczkowalna w punk-

cie x

0

. Dlaczego pokazan ˛

a własno´s´c funkcji ci ˛

agłych mo˙zemy

wysłowi´c nast˛epuj ˛

aco: ró˙zniczkowalno´s´c funkcji w punkcie jest

poj˛eciem lokalnym

?

Zadanie — Niech f (x) = xe

x

. Oblicz f

0

(x), f

00

(x), f

000

(x).

Odgadnij, a nast˛epnie udowodnij wzór na n-t ˛

a pochodn ˛

a funk-

cji f .

Zadanie — Poka˙z bezpo´srednio z definicji pochodnej, ˙ze je´sli
funkcje f i g s ˛

a ró˙zniczkowalne w punkcie x to (f · g)

0

(x) =

f

0

(x)g(x) + f (x)g

0

(x).

Zadanie — Poka˙z bezpo´srednio z definicji pochodnej, ˙ze je´sli
funkcja g jest ró˙zniczkowalne w punkcie x oraz g(x) 6= 0 to

 1

g



0

(x) =

−g

0

(x)

g(x)

2

Zadanie — Korzystaj ˛

ac z dwóch poprzednich zada´n poka˙z,

˙ze je´sli funkcje f i g s ˛

a ró˙zniczkowalne w punkcie x oraz

6

g(x) 6= 0 to

 f

g



0

(x) =

f

0

(x)g(x) − f (x)g

0

(x)

g(x)

2

C8

Ró˙zniczkowanie - II

Zadanie 70 — Oblicz pochodne nast˛epuj ˛

acych funkcji y =

sin(2x

2

+ 1), y = ln(x

2

+ 1), y = xe

−x

2

, y = arctan(x

2

+ 1),

y = (x

2

− x − 1)

10

, y = (cos(x))

3

.

Zadanie 71 — Oblicz pochodne nast˛epuj ˛

acych funkcji: y =

sin(sin(x)), y = sin(sin(sin(x))), y = sin(sin(sin(sin(x)))),
y = arctan(

√

x

2

+ 1), y = sin(ln(x

2

+ 1)).

Zadanie 72 — Wyznacz pochodne funkcji y = arcsin(x),
y = arccos(x), y = arcctan(x).

Zadanie 73 — Poka˙z, ˙ze je´sli funkcja f : R → R jest ci ˛

a-

gła, a < b < c, (∀x ∈ (a, b))(f

0

(x) > 0) oraz (∀x ∈

(a, b))(f

0

(x) < 0) to funkcja f ma lokalne maksimum w pun-

cie b.

Zadanie 74 — W jaki punkcie funkcja zadana wzorem y =
xe

x

przyjmuje warto´s´c najwi˛eksz ˛

a i ile wynosi warto´s´c funkcji

w tym punkcie?

Zadanie 75 — Wyznacz najwi˛eksza i najmniejsz ˛

a warto´s´c

funkcji zadanej wzorem y = xe

−x

2

. Znajd´z obraz tej funk-

cji.

Zadanie 76 — Zbadaj wykres funkcji okre´slonej wzorem y =
x

3

− 9x + 1. Zlokalizuj zera tej funkcji z dokładno´sci ˛

a 0.1.

Zadanie 77 — Zbadaj wykres funkcji zadanej wzorem y =

x

2

−x−1

(x+1)(x−1)

. Czy funkcja ta posiada lokalne ekstrema?

Zadanie 78 — Zbadaj wykres funkcji zadanej wzorem y =

x−2

(x+1)(x−1)

. Wyznacz obraz tej funkcji.

Zadanie 79 — Poło˙zenie ciała w czasie t zadane jest wzorem
x(t) = a sin(ωt).

1. Poka˙z, ˙ze funkcja s jest okresowa i wyznacz jej okres.

2. Wyznacz pr˛edko´s´c oraz przy´spieszenie tego ciała.

Zadanie 80 — Ruch ciała wystrzelonego pod k ˛

atem α ∈

[0,

π

2

] z pr˛edko´sci ˛

a v > 0 opisa´c mo˙zna równaniem

x(t)

=

v · cos(α)t

h(t)

=

−

1
2

gt

2

+ v sin(α)t

,

gdzie h(t) oznacza wysoko´s´c w chwili t za´s x(t) odległo´s´c
ciała od miejsca wystrzelenia w chwili t za´s g oznacza przy-
spieszenie grawitacyjne na poziomie powierzchni ziemi. Za-
uwa˙z, ˙ze h(0) = 0.

1. Wyznacz t

α

> 0 takie, ˙ze h(t

α

) = 0.

2. Niech d(α) = x(t

α

) (jest to odległo´s´c w momencie

zderzenia si˛e z ziemi ˛

a) Dla jakiego α ∈ [0,

π

2

] funkcja

d przyjmuje najwi˛eksz ˛

a warto´s´c?

Zadania dodatkowe

Zadanie — Załó˙z, ˙ze f jest ci ˛

agła na odcinku [a, b] oraz ró˙z-

niczkowalna wewn ˛

atrz odcinka (a, b). Niech

g(x) = f (x) −

 f (b) − f (a)

b − a

(x − a) + f (a)



1. Podaj interpretacj˛e funkcji g.

2. Poka˙z, ˙ze g jest ci ˛

agła na [a, b] oraz ró˙zniczkowalna we-

wn ˛

atrz odcinka (a, b).

3. Poka˙z, ˙ze g(a) = g(b) = 0.

4. Zastosuj twierdzenie Rolle’a do funkcji g i wyprowad´z

z tego twierdzenie Lagrange’a, czyli poka˙z, ˙ze istnieje
punkt c ∈ (a, b) taki, ˙ze

f (b) − f (a)

b − a

= f

0

(c) .

Zadanie — Znajd´z prost ˛

a geometryczn ˛

a interpretacj˛e wzoru

(f

−1

)

0

(t) =

1

f

0

(f

−1

(t))

.

Zadanie — Niech

f (x) =



x

2

sin(

1

x

)

:

x 6= 0

0

:

x = 0

1. Poka˙z, ˙ze f jest funkcj ˛

a ró˙zniczkowaln ˛

a.

2. Poka˙z, ˙ze f

0

nie jest ci ˛

agła w punkcie 0.

Zadanie — Niech

f (x) =



e

−

1

x

:

x > 0

0

:

x ≤ 0

1. Naszkicuj wykres funkcji f .

2. Poka˙z, ˙ze f jest funkcj ˛

a ró˙zniczkowaln ˛

a.

3. Poka˙z, ˙ze f

0

jest równie˙z funkcja ró˙zniczkowaln ˛

a.

C9

Ró˙zniczkowanie - III

Zadanie 81 — Oblicz pochodne nast˛epuj ˛

acych funkcji: y =

2

sin(x)

, y =

√

x

2

+ 1, y =

1

√

1+e

x

, y = log

2

(x

2

+ 1),

y = (x)

e

x

, y = (cos(x))

1
3

.

7

Zadanie 82 — Oblicz pierwsze, drugie i trzecie pochodne na-
st˛epuj ˛

acych funkcji: y = 2x + 1, y = x

2

+ x + 1, y =

x

3

+ x

2

+ 3x + 1, y = sin(x), y = xe

x

.

Zadanie 83 — Zbadaj wykres funkcji zadanej wzorem y =

x

1+x

2

. Sprawd´z za pomoc ˛

a kryterium znaku drugiej pochodnej

w jakich punktach funkcja ta ma lokalne ekstrema.

Zadanie 84 — Znajd´z najmniejsz ˛

a i najwi˛eksz ˛

a warto´s´c funk-

cji y = x

3

− x + 1 na odcinku [0, 2].

Zadanie 85 — Znajd´z najmniejsz ˛

a i najwi˛eksz ˛

a warto´s´c funk-

cji y =

x

2

1−x

na odcinku [−1,

1
2

].

Zadanie 86 — Niech f (x) =

|x|

e

x

. Podaj proste uzasadnienie

tego, ˙ze funkcja f jest ci ˛

agła. Wyznacz ekstrema lokalne tej

funkcji.

Wskazówka: Rozwa˙z oddzielnie funkcj˛e f na zbiorze

(−∞, 0] a potem na zbiorze [0, ∞).

Zadanie 87 — Znajd´z pierwsze sze´s´c wyrazów przybli˙zenia
Maclaurina funkcji y = cos(x). Podaj rozs ˛

adne oszacowanie

reszty.

Zadanie 88 — Znajd´z pierwsze sze´s´c wyrazów przybli˙zenia
Taylora funkcji y = sin(x) w punkcie a =

π

2

. Podaj rozs ˛

adne

oszacowanie reszty.

Zadanie 89 — Niech f (x) = x

3

+ 2x

2

+ x + 3. Zastosuj

wzór Maclaurina do funkcji f dla n = 5. Podaj interpretacj˛e
otrzymanego wyniku.

Zadanie 90 — Niech f (x) = x

3

+ 2x

2

+ x + 3. Zastosuj

wzór Taylora do funkcji f dla n = 5 w punkcie a = 1. Po-
daj interpretacj˛e otrzymanego wyniku.

Wskazówka: Podziel

wielomian x

3

+ 2x

2

+ x + 3 przez x − 1.

Zadania dodatkowe

Zadanie — Niech f : R → R bedzie k - krotnie ró˙zniczko-
walna i a ∈ R. Niech

p

k

(x) = f (a) +

f

0

(a)

1!

(x − a) + + . . . +

f

(k)

(a)

k!

(x − a)

k

oraz

ω

k

(x) =

(

f (x)−p

k

(x)

(x−a)

k

:

x 6= a

0

:

x = 0

Poka˙z, ˙ze lim

x→a

ω

k

(x) = 0.

Wskazówka: Zastosuj reguł˛e

L’Hôpital’a.

Zadanie — Ile potrzebujesz wyrazów aproksymacji Taylora
funkcji f (x) = e

x

any otrzyma´c dokładno´s´c 10

−4

na prze-

dziale [−1, 1]?

Zadanie — Wyznacz kilka pierwszych wyrazów aproksyma-
cji funkcji f (x) =

√

1 + x dla x ≈ 0.

Zadanie — Wyznacz kilkana´scie pierwszych wyrazów aprok-
symacji funkcji f (x) = ln

1

1−x

dla x ≈ 0.

Zadanie — Podstaw do wzoru e

x

=

P

∞
k=0

x

k

k!

warto´s´c x =

i · t (gdzie i to jednostka urojona).

1. Upro´s´c to wyra˙zenie (skorzystaj z tego, ˙ze i

2

= −1,

i

3

= −i oraz i

4

= 1). Pogrupuj wyrazy tak aby oddzie-

li´c cz˛e´s´c rzeczywist ˛

a od cz˛e´sci urojonej.

2. Wyznacz kilkana´scie pierwszych wyrazów rozwini˛ecia

funkcji sin(x) w szereg Taylora w punkcie 0.

3. Wyznacz kilkana´scie pierwszych wyrazów rozwini˛ecia

funkcji cos(x) w szereg Taylora w punkcie 0.

4. Porównaj wzory z punktu (1) ze wzorami z punktu (2) i

(3).

C10

Pochodne i całki

Zadanie 91 — Korzystaj ˛

ac z reguł de l’Hospitala oblicz na-

st˛epuj ˛

ace granice:

lim

n→∞

1+n

2

2+n+2n

2

, lim

n→∞

n

5

e

n

, lim

n→∞

(ln n)

3

n

, lim

n→∞

ln n

√

n

,

lim

x→0

tan(x)

x

, lim

x→0

arctan(x)

x

, lim

x→0

1−cos(x)

x

2

,

lim

x→0

xe

2x

−x

1−cos(3x)

,

lim

x→0

(ln(1 − cos(x)) − ln(x

2

)),

lim

x→∞

(1 −

3

x

)

2x

,

lim

x→0

√

1−x−

√

1−x

2

x

, lim

x→∞

(e

x

+ 1)

1

x

, lim

x→0+

x

3

ln x,

lim

x→∞

(ln x)

1

x

, lim

x→0

ln(cos(x))

x

2

.

Zadanie 92 — Dla funkcji f, g : N → R okre´slamy

f = O(g) ≡ (∃C > 0)(∃N )(∀n > N )(|f (n)| ≤ C|g(n)|)

Zapami˛etaj t˛e definicj˛e - b˛edziesz cz˛esto korzysta´c z tego poj˛e-
cia na kursach z analizy algorytmów.

1. Poka˙z, ˙ze je´sli lim

n→∞

|

f (n)
g(n)

| < ∞, to f = O(g)

2. Poka˙z, ˙ze n

2

= O(2n

2

) oraz 2n

2

= O(n

2

).

3. Poka˙z, ˙ze n = O(2

n

), n

2

= O(2

n

) i n

3

= O(2

n

).

4. Narysuj na jednym diagramie wykresy funkcji y = x

3

oraz y = 2

x

dla x ∈ [0, 20].

Wskazówka: Skorzystaj z

polecenia LogPlot[{f[x],g[x]},{x,0,20}] programu Ma-
thematica.

5. Poka˙z, ˙ze dla dowolnego naturalnego k ≥ 1 mamy

n

k

= O(2

n

)

Zadanie 93 — Dla funkcji f, g : N → R okre´slamy

f = o(g) ≡ lim

n→∞






f (n)

g(n)






= 0

Zapami˛etaj równie˙z t˛e definicj˛e - równie˙z z tego poj˛ecia b˛e-
dziesz korzysta´c na kursach z analizy algorytmów.

8

Poka˙z, ˙ze je´sli f = o(g) to f = O(g).

Zadanie 94 — Dla f, g : N → R okre´slamy f  g ≡
f = o(g). Uporz ˛

adkuj według relacji  nastepuj ˛

ace ci ˛

agi:

a

n

= n,b

n

=

√

n, c

n

= n

n

, d

n

= n

ln(n)

, e

n

= n

2

, f

n

= 2

n

,

g

n

= ln(n), h

n

= (ln(n))

n

, i

n

= (ln(n))

ln n

, j

n

= (ln(n))

2

.

Zadanie 95 — Bezpo´srednio z definicji całki Riemana poka˙z,

˙ze je´sli a < b oraz c jest ustalon ˛

a liczb ˛

a rzeczywist ˛

a to

R

b

a

cdx = c · (b − a).

Zadanie 96 — Sprawd´z rachunki z alpetu o nazwie “Całka
Riemana” ze strony http://im.pwr.wroc.pl/StudenciPWr.php.
Zmodyfkuj je tak aby samodzielnie pokaza´c, ˙ze

R

1

0

xdx =

1
2

.

Zadanie 97 — Uogólnij rachunki z alpetu o nazwie “Całka
Riemana” ze strony http://im.pwr.wroc.pl/StudenciPWr.php
tak aby obliczy´c

R

a

0

x

2

dx, gdzie a jest ustalon ˛

a liczb ˛

a dodat-

ni ˛

a.

Zadanie 98 — Niech F (t) =

R

t

0

x

2

dx. Korzystaj ˛

ac z wyniku

poprzedniego zadania oblicz pochodn ˛

a F

0

(t) funkcji F .

Zadanie 99 — Korzystaj ˛

ac

z

interpretacji

geometrycznej

całki Riemana wyznacz pole obszaru

A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ x

2

≤ y ≤

√

x} .

Wskazówka: Zrób rysunek obszaru A. Zauwa˙z, ˙ze

√

x jest

funkcj ˛

a odwrotn ˛

a do funkcji y = x

2

.

Zadania dodatkowe

* Zadanie — Poka˙z, ˙ze dla dowolnych ci ˛

agów f, g : N → R

nast˛epuj ˛

ace zdania s ˛

a równowa˙zne:

1.f = O(g)

2.lim sup

n→∞





f (n)
g(n)





< ∞

Zadanie — Poka˙z, ˙ze dla dowolnego ci ˛

agu f : N → R naste-

puj ˛

ace zdania s ˛

a równowa˙zne:

1.f = O(1)

2.f jest ci ˛

agiem ograniczonym

Zadanie — Niech f, g, h : N → R. Poka˙z, ˙ze f = O(f ) oraz,

˙ze z tego, ˙ze f = O(g) i g = O(h) wynika, ˙ze f = O(h).

Zadanie — Poka˙z, ˙ze funkcja funkcja Dirichleta zdefiniowana
w grupie zada´n C2 nie jest całkowalana na ˙zadnym przedziale
[a, b] takim, ˙ze a < b.

Zadanie — Poka˙z, ˙ze je´sli funkcja f : [a, b] → R jest mono-
toniczna to jest całkowalna.

* Zadanie — Niech σ b˛edzie podziałem odcinka [a, b], niech
b ∈ [a, b] oraz niech η = σ ∪ {b}. Niech f : [a, b] → R.

1. Poka˙z, ˙ze s(f ; σ) ≤ s(f ; η).

2. Poka˙z, ˙ze S(f ; η) ≤ S(f ; σ).

3. Wywnioskuj z tego, ˙ze dla dowolnych dwóch podzia-

łów σ

1

, σ

2

odcinka [a, b] mamy s(f ; σ

1

) ≤ S(f ; σ

2

).

Zadanie 100 — Poka˙z, ˙ze je´sli a < b < c oraz obie całki
R

b

a

f (x)dx,

R

d

c

f (x)dx istniej ˛

a, to funkcja f jest całkowalna na

przedziale [a, c] oraz

Z

c

a

f (x)dx =

Z

b

a

f (x)dx +

Z

c

b

f (x)dx.

* Zadanie — Poka˙z, ˙ze je´sli f : [a, b] → R, a = a

0

< a

1

<

a

2

< . . . < a

k−1

< a

k

= b oraz na ka˙zdym przedziale po-

staci (a

i

, a

i+1

) funkcja f jest ci ˛

agła i ograniczona, to f jest

całkowalna na [a, b].

C11

Całkowanie

Zadanie 101 — Oblicz całk˛e nieoznaczon ˛

a

R (1+2x+3x

2

)dx

i nast˛epnie cał˛e oznaczon ˛

a

R

1

0

(1 + 2x + 3x

2

)dx.

Zadanie 102 — Oblicz całk˛e

R

2π

0

sin(x)dx i nast˛epnie wy-

znacz pole obszaru D = {(x, y) : x ∈ [0, π] ∧ 0 ≤ sin(x)}
∪ {(x, y) : x ∈ [π, 2π] ∧ sin(x) ≤ y ≤ 0}.

Zadanie 103 — Wyznacz pole obszaru

D = {(x, y) : x ∈ [−1, 1] ∧ 0 ≤ y ≤ 1 −

p|x|} .

Zadanie 104 — Wyznacz stosuj ˛

ac metod˛e całkowania przez

cz˛e´sci nast˛epuj ˛

ace całki nieoznaczone:

1.

R x cos(x)dx,

R x

2

cos(x)dx,

R x

3

cos(x)dx

2.

R x sin(x)dx,

R x

2

sin(x)dx,

R x

3

sin(x)dx

3.

R xe

x

dx,

R x

2

e

x

dx,

R x

3

e

x

dx

4.

R x ln xdx, R x

2

ln xdx,

R x

3

ln xdx.

Zadanie 105 — Oblicz całk˛e

R (1 + 2x)

3

dx rozwijaj ˛

ac wyra-

˙zenie (1 + 2x)

3

= 1 + 3(2x) + 3(2x)

2

+ (2x)

3

i nast˛epnie

oblicz t˛e sam ˛

a całk˛e stosuj ˛

ac podstawienie u = 1 + 2x.

Zadanie 106 — Wyznacz stosuj ˛

ac metod˛e całkowania przez

podstawienie nast˛epuj ˛

ace całki nieoznaczone:

1.

R sin(3x + 1)dx

2.

R

x

x+1

dx

9

3.

R x

√

1 + x

2

dx

(podstaw t = 1 + x

2

)

4.

R

1

1+2x

2

dx

5.

R

1

√

1−3x

2

dx

6.

R

√

1 − x

2

dx

(podstaw u = sin(x))

7.

R xe

−x

2

dx

8.

R sin(ln x)dx

(podstaw u = ln x, zastosuj dwukrotnie

całkowanie przez cz˛e´sci)

9.

R tan xdx

Zadanie 107 — Załó˙zmy, ˙ze a 6= b. Znajd´z takie liczby A i
B, ˙ze

1

(x − a)(x − b)

=

A

x − 1

+

B

x − b

.

Zadanie 108 — Oblicz nast˛epuj ˛

ace całki nieoznaczone z na-

st˛epuj ˛

acych funkcji wymiernych:

1.

1

x+x

2

Wskazówka: Znajd´z liczby a i b takie, ˙ze

1

x+x

2

=

a
x

+

b

1+x

.

2.

2x+3

(x−2)(x+5)

3.

1

x

3

+x

4.

1

1+x

2

5.

1

(1+x

2

)

2

6.

1

(1+x

2

)

3

Uwaga: w wielu przypadkach polecenie Apart programu Ma-
thematica mo˙ze znale´z´c rozkład funkcji wymiernej na ułamki
proste.

Zadanie 109 — Wyznacz pole nast˛epuj ˛

acych obszarów:

1.A = {(x, y) ∈ R

2

: 0 ≤ x ≤ 1 ∧ x

2

≤ y ≤

√

x}

2.B = {(x, y) ∈ R

2

: 0 ≤ x ≤ π ∧ |y| ≤ sin x}

3.C = {(x, y) ∈ R

2

: |x| ≤ 1 ∧ |y| < e

−x

}

4.Obszar ograniczony parabol ˛

a o równaniu y = 2x

2

− 6x i

osi ˛

a OX

Zadanie 110 — Wyznacz pole mniejszego z obszarów ogra-
niczonego przez okr ˛

ag x

2

+ y

2

= 1 oraz wykresem funkcji

y = |x|.

Zadania dodatkowe

Zadanie — Niech n b˛edzie liczb ˛

a naturaln ˛

a. Wyznacz nast˛e-

puj ˛

ace całki nieoznaczone

(a)

R x

n

cos(x)dx (b)

R x

n

sin(x)dx (c)

R x

n

e

x

dx (d)

R x

n

ln xdx.

Zadanie — Niech a > 1. Poka˙z, ˙ze

lim

n→∞

1

a

+ 2

a

+ . . . + n

a

n

a+1

=

1

a + 1

.

Porównaj ten wzór z dokładnymi wzorami na 1

a

+2

a

+. . .+n

a

dla a = 1, 2, 3.

Zadanie — Załó˙zmy, ˙ze f jest funkcj ˛

a ró˙zniczkowalna oraz,

˙ze g jest funkcj ˛

a ci ˛

agł ˛

a. Niech

F (x) =

Z

f (x)

a

g(t)dt .

Wyznacz F

0

(x).

10