Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Zadanie dla poziomu rozszerzonego są wyróżnione kursywa.

Z

Z

A

A

D

D

A

A

N

N

I

I

A

A

D

D

O

O

P

P

O

O

W

W

T

T

A

A

R

R

Z

Z

A

A

N

N

I

I

A

A

P

P

R

R

Z

Z

E

E

D

D

M

M

A

A

T

T

U

U

R

R

Ą

Ą

Zestaw VIII Stereometria

Zadanie 1.
Dany jest graniastosłup prosty, którego podstawa jest sześciokątem foremnym i prosta k zawierają-
ca jedną z krawędzi podstawy danego graniastosłupa. Rozważamy zbiór wszystkich prostych, z któ-
rych każda zawiera krawędź podstawy lub krawędź boczną danego graniastosłupa. Policz, ile jest
wśród nich prostych:

a)

tworzących z prostą k parę prostych skośnych,

b)

prostopadłych do k,

c)

równoległych do k.

Zadanie 2.
Krawędź podstawy ABCD ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS ma długość 3 cm,
a krawędź boczna 4 cm. Od ostrosłupa odcięto naroże płaszczyzną przechodzącą przez środki kra-
wędzi AB, BC i BS. Narysuj siatkę wielościanu, który powstał z ostrosłupa po odcięciu naroża.

Zadanie 3.
Ostrosłup ma

)

4

(

≥

n

n

wierzchołków. Ile ścian i ile krawędzi ma ten ostrosłup?

Zadanie 4.
Krawędzie AB, BC i BB

′

prostopadłościanu ABCDA

′

B

′

C

′

D

′

mają odpowiednio długości 2 cm, 3 cm

i

3

2

cm. Oblicz, z dokładnością do

°

1

, miarę kąta nachylenia prostej BD

′

do płaszczyzny ściany

DCC

′

D

′

.

Zadanie 5.

Wysokość prawidłowego ostrosłupa trójkątnego jest równa

3

18

cm, a ściana boczna tego ostro-

słupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt

°

60 . Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość

ostrosłupa.

Zadanie 6.
Trójkąt równoramienny, którego ramię ma długość 6 cm, a kąt przy podstawie ma

°

30 , obraca się

dookoła prostej zawierającej ramię trójkąta. Oblicz objętość powstałej w ten sposób bryły.

Zadanie 7.
Oblicz pole przekroju prostopadłościanu

ABCDA

′

B

′

C

′

D

′

płaszczyzną przechodzącą przez środki

krawędzi

AB, BC i AA

′

, mając dane

AB = BC = 4 cm i CC

′

= 8 cm.

Zadanie 8.
Krawędź sześcianu ma długość

a. Oblicz pole powierzchni i objętość wielościanu, którego wierz-

chołkami są środki symetrii ścian sześcianu.

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Odpowiedzi:

1.

a) 8 b) 6 c) 4

3.

Ostrosłup ma

n ścian i 2n -2 krawędzi

4.

ok.

°

37

5.

3

2

17496

,

3

2916

cm

V

cm

S

c

=

=

6.

π

54

=

V

3

cm

7.

Przekrój jest sześciokątem (nieforemnym) o polu 36

2

cm

8.

6

,

3

3

2

a

V

a

S

=

=