Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Zadania dla poziomu rozszerzonego są wyróżnione kursywą.

Z

Z

A

A

D

D

A

A

N

N

I

I

A

A

D

D

O

O

P

P

O

O

W

W

T

T

A

A

R

R

Z

Z

A

A

N

N

I

I

A

A

P

P

R

R

Z

Z

E

E

D

D

M

M

A

A

T

T

U

U

R

R

Ą

Ą

Zestaw IV Funkcje trygonometryczne

Zadanie 1.
Kąt spadku toru saneczkowego ma ok. 32

°

, a początek toru jest położony o 84 m wyżej niż jego

koniec. Oblicz, z dokładnością do 1 m, długość toru.

Zadnie 2.

Tangens rozwartego kąta

α

jest równy

5

5

2

−

. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycz-

nych kąta

α

.

Zadanie 3.

Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność

(

)

2

3

2

3

cos

sin

<

≤

−

x

.

Zadanie 4.
Naszkicuj wykres funkcji

( )

x

x

f

cos

2

1

+

=

,

π

π

2

2

≤

≤

−

x

, a następnie odczytaj z wykresu:

a)

miejsca zerowe funkcji f,

b)

zbiór wartości funkcji f,

c)

przedziały, w których funkcja f przyjmuje wartości ujemne.

Zadanie 5.
Znajdź najmniejszą wartość i największą wartość funkcji

( )

x

x

x

f

2

cos

sin

+

=

.

Zadanie 6.
Rozwiąż równanie

(

)

12

12

sin

sin

sin

π

π

+

=

+

x

x

.

Zadanie 7.

Znajdź dokładną wartość wyrażenia

( )

4

3

4

9

4

7

6

7

3

5

2

3

10

2

sin

ctg

tg

sin

12

cos

sin

π

π

π

π

π

π

⋅

⋅

−

−

+

.

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Odpowiedzi:

1.

ok. 159 m

2.

3

2

sin

=

α

,

3

5

cos

−

=

α

,

2

5

ctg

−

=

α

3.

Wskazówka: Skorzystaj z tego, że

1

cos

1

≤

≤

−

x

, dla każdego x oraz że

3

1

π

<

4.

Wykresem funkcji jest łuk cosinusoidy przesuniętej o połowę jednostki w górę.
a)

3

2

1

π

−

=

x

,

3

2

2

π

=

x

b)

2

3

2

1

,

−

c)

π

π

π

π

,

,

3

2

3

2

∪

−

−

5.

Największą wartością funkcji jest

9

8

, a najmniejszą (

−

2)

6.

π

π

π

k

x

k

x

2

lub

2

12

=

+

−

=

7.

5

2