Laboratorium Podstaw Automatyki

Badanie właściwości dynamicznych

czujnika temperatury. Model obiektu

inercyjnego I-go rzędu z opóźnieniem

instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych

Copyright © ASIT 2007 (www.asit.pl)

1

CEL ĆWICZENIA

Zapoznanie z metodami identyfikacji właściwości dynamicznych obiektów oraz

modelowania obiektów inercyjnych wyższych rzędów. Wyznaczenie parametrów modelu

zastępczego przetwornika temperatury na podstawie analizy odpowiedzi na skok

jednostkowy.

WPROWADZENIE TEORETYCZNE

Właściwości dynamiczne obiektu

Kluczowym zagadnieniem w fazie projektowania układów pomiarowych oraz

regulacji jest analiza właściwości dynamicznych elementów składowych układu. Rozpatrzmy

znany każdemu przetwornik temperatury w postaci termometru cieczowego (rtęciowego),

którego schemat budowy przedstawiono na rys.1. Dla potrzeb analizy właściwości

statycznych oraz dynamicznych termometru możemy go rozpatrywać jako element (człon)

przetwarzający jedną wielkość fizyczną (temperaturę otoczenia T

ot

) na inną – w tym

przypadku na wysokość słupka cieczy w kapilarze h – rys.2.

m, c

T

c

T

ot

h

Rys.1. Schemat budowy typowego termometru

cieczowego

Rys.2. Model termometru w ujęciu przyczynowo–

skutkowym

W stanach ustalonych, tzn. gdy temperatura otoczenia T

ot

nie zmienia się lub upłynęło

dostatecznie dużo czasu od ostatniej zmiany (formalnie po czasie t

→∞

), układ termometr–

otoczenie jest w równowadze (T

c

=T

ot

) i zależność h(T

ot

) może być opisana wystarczająco

przez charakterystykę statyczną – rys.3.

termometr

cieczowy

T

ot

h

OBIEKT

x(t)

y(t)

Ogólnie:

2

Rys.3. Przykładowe charakterystyki statyczne termometru cieczowego

A co w przypadku gdy temperatura otoczenia termometru zmienia się gwałtownie?

Każdy zapewne używał lekarskiego termometru rtęciowego i pamięta, że należy go trzymać

pod pachą co najmniej kilka minut gdyż „musi naciągnąć”. Zatem jeśli temperatura otoczenia

(lub w ogólności wielkość wejściowa czy przyczynowa x) jest funkcją czasu x(t), to wysokość

słupka termometru (w ogólności wielkość wyjściowa czy skutek y) też jest funkcją czasu y(t).

Dlatego aby wyczerpująco scharakteryzować (zamodelować) działanie termometru (czy

innego elementu układu) należy określić jego właściwości dynamiczne.

Wyznaczanie właściwości dynamicznych. Obiekt inercyjny I-go rzędu

Właściwości dynamiczne obiektu można określić (wyznaczyć) dwiema różnymi

metodami:

na drodze analizy struktury wewnętrznej obiektu (układu) i zjawisk fizycznych nim

rządzących,

na podstawie analizy odpowiedzi czasowej (reakcji) obiektu na określony sygnał podany

na jego wejście.

W wyniku zastosowania pierwszej metody (zwanej podejściem teoretycznym lub

systemowym) otrzymuje się ogólne równanie wiążące wielkość wejściową do obiektu x,

wyjściową y oraz czas t. Dla przypadku idealnego termometru cieczowego z rys.1. będzie to

h

T

ot

charakterystyka

idealna

charakterystyka

rzeczywista

3

równanie opisujące transport ciepła przez sferę (bańkę szklaną) o powierzchni S i

współczynniku przekazywania ciepła

α

:

)

(

)

(

d

)

(

d

t

T

t

T

t

t

T

A

mc

ot

c

c

=

+

α

;

τ

α

≡

A

mc

)

(

)

(

d

)

(

d

t

T

t

T

t

t

T

ot

c

c

=

+

τ

lub ogólnie:

)

(

)

(

d

)

(

d

t

x

t

y

t

t

y

=

+

τ

(1)

(2)

gdzie c jest ciepłem właściwym cieczy o masie m, a wielkość

α

A

mc

jest parametrem

zależnym tylko od materiałów oraz konstrukcji termometru i nosi nazwę stałej czasowej

τ

.

Zakładając liniowy i bezinercyjny charakter rozszerzalności cieplnej cieczy w termometrze

oraz przyjmując h(T

c

=0)=0 możemy obliczyć wysokość słupka cieczy w kapilarze:

c

c

c

T

B

V

T

h

λ

=

)

(

(3)

gdzie: V

c

jest objętością cieczy o temperaturze T

c

=0, B – pole przekroju poprzecznego

kapilary,

λ

– współczynnik rozszerzalności objętościowej cieczy termometru. Uwzględniając

zależności (1) oraz (3) otrzymujemy równanie wiążące wysokość słupka termometru

cieczowego h z temperaturą otoczenia T

ot

:

)

(

)

(

d

)

(

d

t

T

t

h

t

t

h

V

B

ot

c

=

+

λ

τ

;

1

τ

λ

τ

≡

c

V

B

)

(

)

(

d

)

(

d

1

t

T

t

h

t

t

h

ot

=

+

τ

(4)

Równanie ogólnej postaci (2) opisuje także inne zjawiska fizyczne, w których

strumień energii przepływający do elementu magazynującego energię jest proporcjonalny do

różnicy uogólnionych potencjałów, np. proces ładowania/rozładowywania kondensatora

elektrycznego o pojemności C przez opornik o rezystancji R:

4

)

(

)

(

d

)

(

d

t

U

t

U

t

t

U

RC

we

wy

wy

=

+

;

τ

≡

RC

Uogólniając, układy (obiekty), w których zależność pomiędzy wielkością wejściową i

wyjściową można opisać równaniem różniczkowym o generalnej postaci (2), nazywane są

obiektami inercyjnymi I-go rzędu.

Druga z przytoczonych technik określania właściwości dynamicznych (zwana

identyfikacją doświadczalną) polega na wygenerowaniu i podaniu na wejście obiektu

określonego przebiegu x(t) oraz zarejestrowaniu odpowiedzi (reakcji) obiektu y(t). Następnie

na podstawie charakteru (kształtu) odpowiedzi y(t) przyporządkowuje się badany obiekt do

jednego z uprzednio sklasyfikowanych i opisanych teoretycznie typów obiektów

dynamicznych (np. obiekt inercyjny I-ego rzędu, obiekt całkujący, proporcjonalny).

Parametry (stałe) w ogólnym równaniu opisującym badany obiekt wyznacza się także na

podstawie zarejestrowanej odpowiedzi y(t).

W praktyce, w identyfikacji doświadczalnej właściwości dynamicznych obiektów,

stosuje się wymuszenie skokowe:

x(t) = A 1(t),

(5)

gdzie: 1(t) jest tzw. skokiem jednostkowym, A jest amplitudą wymuszenia (rys.4.).

U

wy

U

we

R

C

OBIEKT

U

we

(t)

U

wy

(t)

5

Rys.4. Wymuszenie skokowe o amplitudzie A

Rozwiązaniem równania (2) opisującego model idealnego termometru cieczowego (w

ogólności obiekty inercyjne I-go rzędu) na wymuszenie skokowe (5) jest:

)

1

(

)

(

τ

t

e

kA

t

y

−

−

=

(6)

gdzie: k jest współczynnikiem wzmocnienia obiektu (termometru),

τ

jego stałą czasową.

Przebiegi czasowe wymuszenia skokowego i odpowiedzi obiektu inercyjnego I-go rzędu

zostały przedstawione na rys.5.

Rys.5. Wymuszenie skokowe i odpowiedź obiektu o charakterystyce inercyjnej I-go rzędu

t

x(t)

0

A

0

τ

t

x(t)

0

A

0

y(t)

y

k

= kA

y( ) =

0,632

y

k

x(t)

y(t)

M

τ

N

6

Na podstawie eksperymentalnie zarejestrowanej odpowiedzi y(t) łatwo wyznaczyć

parametry modelu obiektu, tj. współczynnik wzmocnienia k oraz stałą czasową

τ

. W tym celu

należy wykreślić asymptotę y(t) = y

k

, do której dąży wartość odpowiedzi:

)

(

lim

t

y

y

t

k

∞

→

=

(7)

Współczynnik wzmocnienia obiektu k można obliczyć z zależności:

k = y

k

/

A

W celu wyznaczenia stałej czasowej

τ

należy poprowadzić linię styczną do krzywej

y(t) w chwili t = 0 i odnaleźć punkt przecięcia M z asymptotą odpowiedzi y(t) = y

k

– rys.5.

Współrzędna czasowa punktu M (czas dzielący punkt M od chwili t = 0) jest równy stałej

czasowej obiektu

τ

.

Warto zauważyć, że wartość odpowiedzi w chwili t =

τ

, tj. y

1

= y(

τ

) wynosi:

kA

e

kA

e

kA

y

y

⋅

≈

−

=

−

=

=

−

−

632

,

0

)

1

(

)

1

(

)

(

1

1

τ

τ

τ

(8)

Zatem odcięta punktu N, będącego punktem przecięcia krzywej odpowiedzi z prostą y(t) = y

1

,

jest równa poszukiwanej stałej czasowej

τ

– rys.5.

Obiekty inercyjne wyższych rzędów

W rzeczywistości tylko obiekty o nieskomplikowanej strukturze dają się ściśle opisać

modelem inercyjnym I-go rzędu (2). W praktyce nie da się zbudować idealnego termometru

cieczowego (a także o innej konstrukcji), chociażby z powodu istnienia niezerowej

pojemności cieplnej „bańki” otaczającej ciecz, gradientu temperatury w cieczy termometru –

a stąd transportu ciepła w objętości cieczy, czy z powodu nieliniowego charakteru

rozszerzalności termicznej cieczy.

Typowa odpowiedź rzeczywistego (nieidealnego) czujnika temperatury na

wymuszenie skokowe przedstawiona została na rys.6. i w stosunku do krzywej z rys.5.

charakteryzuje się występowaniem punktu przegięcia P.

7

W celu uproszczenia opisu matematycznego rzeczywistych obiektów, których

odpowiedź na wymuszenie skokowe ma charakter krzywej z rys.6. (obiektów inercyjnych

wyższych rzędów), aproksymuje się je modelem obiektu inercyjnego I-go rzędu z

opóźnieniem, tj. dwóch łańcuchowo połączonych elementów o charakterystyce opóźniającej i

inercyjnej I-go rzędu – rys.7.

Parametrami tego modelu są opisane już wcześniej współczynnik wzmocnienia k i

stała czasową

τ

oraz dodatkowo czas opóźnienia

τ

op

. Metodę wyznaczania tych stałych na

podstawie odpowiedzi na skok jednostkowy ilustruje rys.8. Prosta S jest linią styczną do

krzywej y(t) przeprowadzoną przez punkt przegięcia P. Wyznaczone w ten sposób stałe

τ

oraz

τ

op

nazywane są odpowiednio zastępczą stałą czasową oraz zastępczym czasem opóźnienia.

Rys.6. Wymuszenie skokowe i odpowiedź rzeczywistego (nieidealnego) czujnika temperatury

t

x(t)

0

A

0

y(t)

y

k

= kA

x(t)

y(t)

P

8

Rys.7. Schemat blokowy obiektu inercyjnego I-go rzędu z opóźnieniem oraz jego odpowiedź na

wymuszenie skokowe

Rys.8. Sposób wyznaczania parametrów (k ,

τ

,

τ

op

) modelu zastępczego w postaci obiektu

inercyjnego I-go rzędu z opóźnieniem na podstawie odpowiedzi na skok jednostkowy

t

x(t)

0

A

0

y(t)

y

k

= kA

x(t)

y(t)

P

S

τ

τ

op

t

x(t)

0

A

0

y(t)

y

k

= kA

x(t)

y(t)

człon inercyjny

I-go rz

ę

du

człon

opó

ź

niaj

ą

cy

x(t)

y(t)

τ

τ

op

9

LITERATURA

Ryszard Gessing: Teoria sterowania

Zenon Jędrzykiewicz: Teoria sterowania układów jednowymiarowych

Tadeusz Kaczorek: Teoria sterowania i systemów

Tadeusz Kaczorek: Teoria układów regulacji automatycznej

Tadeusz Stefański: Teoria sterowania cz. I. Układy liniowe

10

OPIS STANOWISKA LABORATORYJNEGO

Schemat poglądowy stanowiska laboratoryjnego do wyznaczania właściwości

dynamicznych czujnika temperatury przedstawiony został na rys.9.

Rys.9. Schemat poglądowy stanowiska laboratoryjnego do identyfikacji właściwości dynamicznych

czujników temperatury

Obiektem badania jest przemysłowy czujnik temperatury (5) typu TP-405 w kształcie

stalowej walcowej sondy z głowicą przyłączeniową, przeznaczony do pomiarów temperatur

cieczy i gazów w rurociągach, kanałach wentylacyjnych itp. Bezpośrednim elementem

przetwarzającym jest standardowy termorezystor Pt100 (rezystor platynowy, R

0oC

=100

Ω

)

zabudowany wewnątrz sondy. Czujnik (5) współpracuje z cyfrowym miernikiem temperatury

(7) umożliwiającym odczyt wyników pomiarów z rozdzielczością 0.1

O

C. Czujnik (5)

wyposażony jest w dodatkowy (demontowany) płaszcz ochronny (6) osłaniający sondę.

Do wymuszenia skokowej zmiany temperatury otoczenia wykorzystywana jest ciecz

(woda destylowana lub wodny roztwór glikolu), której temperatura jest stabilizowana w

naczyniu z grzałką elektryczną (2). Rolę termostatu pełni regulator cyfrowy (3), na

wyświetlaczu którego można także monitorować bieżącą temperaturę cieczy.

N15

7

230V

O

C

24V

µ

P

A

C

RE21

2

3

A

C

O

C

5

1 – wył

ą

cznik zasilania sieciowego

2 – zbiornik z ciecz

ą

3 – regulator temperatury cieczy

4 – wył

ą

cznik regulatora temp . cieczy

5 – czujnik temperatury (sonda)

6 – płaszcz ochronny sondy temp .

7 – cyfrowy miernik temperatury

11

PRZEBIEG ĆWICZENIA

UWAGA! Przed przystąpieniem do realizacji ćwiczenia:

koniecznie zapoznaj się z budową stanowiska laboratoryjnego,

zidentyfikuj elementy składowe stanowiska – wskaż wszystkie urządzenia przedstawione

na schemacie,

powiadom osobę prowadzącą zajęcia o zauważonych uszkodzeniach aparatury (np.

obluzowane lub przetarte przewody elektryczne),

zapoznaj się z całą procedurą przebiegu ćwiczenia podaną poniżej.

Ć

wiczenie polega na doświadczalnym wyznaczeniu wzmocnienia, zastępczego czasu

opóźnienia oraz zastępczej stałej czasowej dla czujnika temperatury w postaci metalowej

sondy.

1. Sprawdź ilość cieczy w naczyniu (2) – prawidłowy poziom wynosi od ½ do ¾ wysokości

naczynia. Uzupełnij ilość cieczy jeśli potrzeba – nie przekraczaj ¾ wysokości. Stosuj

tylko wodę destylowaną lub roztwór glikolu!

2. Odkręć płaszcz ochronny (6) z czujnika temperatury (5). Odłóż czujnik na przeznaczony

do tego celu wieszak. Od tej chwili staraj się nie dotykać sondy temperatury ani płaszcza

ochronnego gdyż ich temperatury muszą wyrównać się z temperaturą panującą w

pomieszczeniu.

3. Włącz zasilanie stanowiska wyłącznikiem sieciowym (1).

4. Włącz zasilanie regulatora temperatury wyłącznikiem (4).

5. Naciśnij jeden raz przycisk regulatora (3) oznaczony ⇑ lub ⇓. Powinna zaświecić się

dioda obok napisu SP co oznacza, że na wyświetlaczu widnieje wartość zadana dla

temperatury cieczy (z ang. Set Point). Używając przycisków ⇑ oraz ⇓ ustaw wartość

zadaną na 55.0

O

C. Nie naciskaj innych przycisków regulatora! Po ok. 30 sekundach

regulator powróci do wyświetlania bieżącej temperatury w naczyniu.

6. Podgrzewanie cieczy od temperatury pokojowej do zadanej potrwa co najmniej 15min. W

tym czasie zapoznaj się z obsługą stopera elektronicznego oraz przygotuj cztery tabele dla

dokumentowania wyników doświadczenia:

12

Numer eksperymentu:

Data:

Typ czujnika:

Warunki eksperymentu

Rezultaty obliczeń

Zainstalowany płaszcz
ochronny:

NIE / TAK

Wskazanie końcowe czujnika
(asymptota) T

2

:

Czynnik wymuszający
(medium):

woda / powietrze

Amplituda odpowiedzi

kA = T

2

–T

0

:

Wskazanie początkowe
czujnika T

0

:

Współczynnik wzmocnienia
czujnika k :

Temperatura medium T

1

:

Zastępcze opóźnienie

τ

op

:

Amplituda wymuszenia

A = T

1

–T

0

:

Zastępcza stała czasowa

τ

:

Wyniki pomiarów

Wyniki pomiarów c.d.

Czas t [s]

Wskazanie czujnika [

O

C]

Czas t [s]

Wskazanie czujnika [

O

C]

0

(T

0

)

5

10

15

20

...

7. Jeżeli temperatura cieczy w zbiorniku ustabilizowała się (oscyluje

±

0,5

O

C wokół

temperatury zadanej) możesz przystąpić do eksperymentu nr 1, tj. wygenerować pierwsze

wymuszenie skokowe: temp. otoczenia

→

temp. cieczy.

8. Zapisz temperaturę początkową wskazywaną przez czujnik T

0

. Wyzeruj stoper.

9. Zdecydowanym ruchem zanurz czujnik temperatury w cieczy jednocześnie uruchamiając

stoper. Notuj wskazania czujnika w tabeli wyników co 5s w pierwszej minucie i co 10s w

drugiej. Z upływem czasu możesz zmniejszać odstępy między pomiarami.

10. Zakończ rejestrację pomiarów jeżeli wskazania czujnika temperatury zmieniają się

wolniej niż ok. 0,1

O

C/30s. Pozostaw czujnik zanurzony w cieczy.

11. Przygotuj drugą tabelę, w której zanotujesz przebieg eksperymentu nr 2 – ochładzania

czujnika od temp. cieczy do temp. otoczenia.

13

12. Przygotuj chusteczkę higieniczną, serwetkę lub suchą szmatkę – będzie potrzebna do

osuszenia sondy czujnika.

13. Zapisz temperaturę początkową wskazywaną przez czujnik T

0

(czujnik zanurzony w

cieczy). Wyzeruj stoper.

14. Zdecydowanym ruchem wyjmij czujnik z cieczy jednocześnie uruchamiając stoper.

Szybko osusz sondę z cieczy przy użyciu chusteczki (parująca z powierzchni czujnika

ciecz gwałtownie odbiera od niego ciepło) i odłóż czujnik na uchwyt.

15. Notuj wskazania czujnika w tabeli wyników co 5s w pierwszej minucie i co 10s w

drugiej. Z upływem czasu możesz zmniejszać odstępy między pomiarami.

16. Zakończ rejestrację pomiarów jeżeli wskazania czujnika temperatury zmieniają się

wolniej niż ok. 0,1

O

C/60s. Pozostaw czujnik w uchwycie.

17. Narysuj wykresy odpowiedzi czujnika na wygenerowane wymuszenia skokowe. Na

podstawie wykresów wyznacz parametry (k ,

τ

,

τ

op

) modelu zastępczego w postaci

obiektu inercyjnego I-go rzędu z opóźnieniem. Wyniki obliczeń zapisz w tabelach.

18. Powtórz całą procedurę (kroki 7

÷

17) dla czujnika temperatury z zamontowanym

płaszczem ochronnym (eksperymenty nr 3 i 4). Rejestrację wyników w fazie ochładzania

czujnika w powietrzu (eksperyment nr 4) możesz zakończyć gdy wskazania czujnika

„zbliżą się” na klika stopni Celsjusza do wskazania w temperaturze otoczenia – czyli

wskazania temperatury czujnika T

0

z początku eksperymentu nr 3. Tą samą temperaturę T

0

przyjmij jako końcowe wskazanie czujnika T

2

w eksperymencie nr 4.

19. Porównaj i przeanalizuj wartości parametrów modeli wyznaczonych w czterech

eksperymentach. Odpowiedz na pytania:

a) Jak wyjaśnić istotną różnicę w wartościach zastępczych stałych czasowych dla tego

samego czujnika w otoczeniu powietrza oraz wody (eksperymenty 1 i 2 oraz

eksperymenty 3 i 4)? Wskazówka: należy rozpatrywać cały układ czujnik–medium

otaczające czujnik temperatury.

b) Czym spowodowane są różnice w wartościach zastępczych stałych czasowych dla

czujnika bez płaszcza ochronnego oraz z płaszczem (eksperymenty 1 i 3 oraz

eksperymenty 2 i 4)?

14

SPRAWOZDANIE

Sprawozdanie z wykonania ćwiczenia powinno zawierać w szczególności:

nazwę ćwiczenia, datę wykonania oraz nazwiska osób wykonujących doświadczenie,

cel i zakres doświadczenia,

tabele z danymi zarejestrowanymi w trakcie przebiegu ćwiczenia,

wykresy krzywych odpowiedzi czujnika temperatury z naniesionymi prostymi, na

podstawie których wyznaczono parametry modeli,

obliczenia i wartości poszukiwanych parametrów modeli,

wnioski.

PYTANIA KONTROLNE

1. Co to jest skok jednostkowy? Narysuj wykres sygnału wymuszenia skokowego o

amplitudzie 26

O

C.

2. Jakiego typu układy fizyczne klasyfikowane są jako obiekty inercyjne I-go rzędu? Jakie

mają cechy wspólne?

3. Podaj ogólne równanie i narysuj odpowiedź układu inercyjnego I-go rzędu (k = 3,

τ

= 7s)

na wymuszenie w postaci skoku jednostkowego.

4. Czy stała czasowa obiektu inercyjnego I-go rzędu zależy od kształtu sygnału podanego na

jego wejście? Uzasadnij odpowiedź.

5. Odpowiedź obiektu inercyjnego I-go rzędu na wymuszenie skokowe wyniosła y(t=0)=0

oraz y(t

→∞

)=2. Oblicz wartość odpowiedzi po czasie równym stałej czasowej obiektu

y(

τ

), y(2

τ

) oraz y(5

τ

).

6. Omów doświadczalną metodę identyfikacji właściwości dynamicznych obiektów oraz w

jaki sposób wyznaczyć stałą czasową obiektu na podstawie jego odpowiedzi na

wymuszenie.

7. Jakim modelem dynamicznym aproksymowane są najczęściej obiekty inercyjne wyższych

rzędów? Narysuj schemat blokowy modelu i objaśnij znaczenie parametrów modelu.

8. Wyjaśnij jak na podstawie wykresu odpowiedzi obiektu inercyjnego II-go (lub wyższego)

rzędu na wymuszenie skokowe wyznaczyć parametry modelu zastępczego w postaci

obiektu inercyjnego I-go rzędu z opóźnieniem.