Egzamin z „Rachunku prawdopodobieństwa i Statystyki”; kierunek Informatyka; 01.02.2013

Zestaw A

Zad. 1. Dwie osoby umówiły się na spotkanie między godzinami 17-tą a 18-tą. Osoba, która przyjdzie pierwsza czeka
na drugą co najwyżej 40 minut, a potem odchodzi. Obliczyć prawdopodobieństwo, że spotkanie dojdzie do skutku.

Zad. 2. Do 4 pustych wagonów metra wsiadło losowo 6 osób. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden
wagon będzie pusty.

Zad. 3. Z talii 8 kart, wśród których są 4 króle i 4 asy, wybieramy losowo 2 karty. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
wśród wybranych kart będą 2 króle, jeśli wiadomo, że wybrano co najmniej jednego króla.

Zad. 4. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości

 
























tym.

poza

,

0

,

2

1

gdy

,

2

,

1

0

gdy

,

x

x

x

x

x

f

Obliczyć

















4

1

1

X

P

.

Zad. 5. Odporność na rozerwanie próbek pewnego materiału jest zmienną losową o rozkładzie normalnym,
ze średnią 6 i odchyleniem standardowym 2. Próbkę materiału uważa się za bardzo wytrzymałą, jeśli jej odporność
na rozerwanie przekracza 8. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że:
a) losowo wybrana próbka materiału będzie bardzo wytrzymała na rozerwanie,
b) przynajmniej jedna z trzech niezależnie wybranych próbek materiału będzie bardzo wytrzymała na rozerwanie.

Zad. 6. Wiadomo, że X ma standardowy rozkład normalny. Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość zm. losowej

X

Y





2

.

Zad. 7. Wiadomo, że zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem

0





oraz, że





27

/

26

3





X

P

.

Wyznaczyć: a) parametr



, b) wartość oczekiwaną zm. losowej

5

6





X

Y

, c) wariancję zm. losowej

5

6





X

Y

.

Zad. 8. Dwuwymiarowa zmienna losowa





Y

X ,

ma rozkład skokowy podany w tabeli:

X Y

- 2

0

3

2

3/11

1/11

2/11

5

1/11

3/11

1/11

Wyznaczyć: a) rozkład zmiennej losowej





2



X

Y

, b) wariancję zmiennej losowej





2



X

Y

.

Zad. 9. Wykonać następujące polecenia:
a) Niech

i

B

(

3

,

2

,

1



i

) oznacza zdarzenie, że w i-tym rzucie monetą otrzymamy reszkę. Za pomocą działań na

zdarzeniach

i

B

zapisać zdarzenie, że otrzymano dokładnie jedną reszkę w trzech rzutach monetą;

b) Dane są 3 zdarzenia:

C

B

A

,

,

. Wypisać wszystkie warunki, przy których zdarzenia

C

B

A

,

,

są niezależne;

c) Co nazywamy czwartym momentem zwykłym zmiennej losowej X ? Podać, jak obliczamy go dla zmiennej losowej
typu ciągłego przy danej gęstości f ;

d) Wiadomo, że X ma rozkład normalny o średniej 4 i odchyleniu standardowym 2 . Wyznaczyć





4



X

P

.

Odpowiedź uzasadnić;
e) Podać definicję poziomu istotności testu;
f) Wiadomo, że przy weryfikacji, na poziomie istotności 0,1, pewnej hipotezy zerowej H

0

, otrzymano p-wartość testu

równą 0,15. Zweryfikować na tej podstawie hipotezę H

0

. Odpowiedź uzasadnić;

g) Na podstawie wyników pomiarów pierwszej cechy dla 12 wybranych elementów pierwszej populacji i wyników
pomiarów drugiej cechy dla 10 wybranych elementów drugiej populacji, przeprowadzamy, na poziomie istotności
0,1, test na równość średnich tych cech, przy założeniu, że obie cechy mają w rozważanych populacjach rozkłady
normalne. Wyznaczyć wartość krytyczną tego testu;

h) Wyznaczyć p-wartość testu z pkt. g), jeśli wiadomo, że wartość statystyki testowej dla tego testu wyniosła 1,064.

Egzamin z „Rachunku prawdopodobieństwa i Statystyki”; kierunek Informatyka; 01.02.2013

Zestaw B

Zad. 1. Dwie osoby umówiły się na spotkanie między godzinami 18-tą a 19-tą. Osoba, która przyjdzie pierwsza czeka
na drugą co najwyżej 20 minut, a potem odchodzi. Obliczyć prawdopodobieństwo, że spotkanie dojdzie do skutku.

Zad. 2. Do 4 pustych wagonów metra wsiadło losowo 7 osób. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden
wagon będzie pusty.

Zad. 3. Z talii 8 kart, wśród których są 4 króle i 4 asy, wybieramy losowo 2 karty. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
wśród wybranych kart będą 2 króle, jeśli wiadomo, że wśród wybranych kart jest czarny król.

Zad. 4. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości

 


























tym.

poza

,

0

,

3

2

gdy

,

3

,

2

1

gdy

,

1

x

x

x

x

x

f

Obliczyć

















2

1

2

X

P

.

Zad. 5. Odporność na rozerwanie próbek pewnego materiału jest zmienną losową o rozkładzie normalnym,
ze średnią 7 i odchyleniem standardowym 4. Próbkę materiału uważa się za bardzo wytrzymałą, jeśli jej odporność
na rozerwanie przekracza 9. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że:
a) losowo wybrana próbka materiału będzie bardzo wytrzymała na rozerwanie,
b) przynajmniej jedna z trzech niezależnie wybranych próbek materiału będzie bardzo wytrzymała na rozerwanie.

Zad. 6. Wiadomo, że X ma standardowy rozkład normalny. Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość zm. losowej

X

Y





3

.

Zad. 7. Wiadomo, że zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem

0





oraz, że





4

/

3

2





X

P

.

Wyznaczyć: a) parametr



, b) wartość oczekiwaną zm. losowej

4

7





X

Y

, c) wariancję zm. losowej

4

7





X

Y

.

Zad. 8. Dwuwymiarowa zmienna losowa





Y

X ,

ma rozkład skokowy podany w tabeli:

X Y

- 4

0

2

3

2/11

2/11

1/11

4

1/11

3/11

2/11

Wyznaczyć: a) rozkład zmiennej losowej





4



X

Y

, b) wariancję zmiennej losowej





4



X

Y

.

Zad. 9. Wykonać następujące polecenia:
a) Niech

i

B

(

3

,

2

,

1



i

) oznacza zdarzenie, że w i-tym rzucie monetą otrzymamy reszkę. Za pomocą działań na

zdarzeniach

i

B

zapisać zdarzenie, że w trzech rzutach monetą liczba reszek jest większa od liczby orłów;

b) Podać definicję niezależności zdarzeń

B

A ,

oraz warunek niezależności, który z tej definicji wynika;

c) Co nazywamy trzecim momentem centralnym zmiennej losowej X ? Podać, jak obliczamy go dla zmiennej losowej
typu ciągłego przy danej gęstości f i wartości oczekiwanej m ;

d) Wiadomo, że X ma rozkład normalny o średniej 6 i odchyleniu standardowym 3 . Wyznaczyć





3



X

P

.

Odpowiedź uzasadnić;
e) Podać definicję mocy testu;
f) Wiadomo, że przy weryfikacji, na poziomie istotności 0,05, pewnej hipotezy zerowej H

0

, otrzymano p-wartość testu

równą 0,035. Zweryfikować na tej podstawie hipotezę H

0

. Odpowiedź uzasadnić;

g) Na podstawie wyników pomiarów pierwszej cechy dla 10 wybranych elementów pierwszej populacji i wyników
pomiarów drugiej cechy dla 14 wybranych elementów drugiej populacji, przeprowadzamy, na poziomie istotności
0,1, test na równość średnich tych cech, przy założeniu, że obie cechy mają w rozważanych populacjach rozkłady
normalne. Wyznaczyć wartość krytyczną tego testu;

h) Wyznaczyć p-wartość testu z pkt. g), jeśli wiadomo, że wartość statystyki testowej dla tego testu wyniosła 2,4055.

ODPOWIEDZI DO ZADAŃ

Odpowiedzi do zadań z zestawu A:

Zad. 1:

9

8

; Zad. 2:

6

6

6

4

1

4

4

2

6

4

3

4















































; Zad. 3:

 

11

3



B

A

P

; Zad. 4:

16

7

; Zad. 5: a)

 

16

,

0

1

1







, b)

 

4

,

0

84

,

0

1

3





;

Zad. 6:

 

































,

0

gdy

,

1

2

2

,

0

gdy

,

0

t

t

t

t

F

Y

 



















;

0

gdy

,

2

1

,

0

gdy

,

0

4

/

2

t

e

t

t

f

t

Y



Zad. 7: a)

3

ln





, b)

5

3

ln

6





EY

, c)

 

2

2

3

ln

36



Y

D

;

Zad. 8: a)

j

y

2



0

3





2





X

y

Y

P

j

2

/

1

6

/

1

3

/

1

b)



 











5

0

5

2

2

2

2

2

2

2























X

y

Y

E

X

y

Y

E

X

y

Y

D

j

j

j

;

Zad. 9: a)



 

 



3

'

2

'

1

'

3

2

'

1

'

3

'

2

1

B

B

B

B

B

B

B

B

B

















,

b)



    

B

P

A

P

B

A

P





,



    

C

P

A

P

C

A

P





,



    

C

P

B

P

C

B

P





,



      

C

P

B

P

A

P

C

B

A

P







,

c)

4

EX

- czwarty moment zwykły zmiennej losowej X ; dla zmiennej losowej typu ciągłego

 

dx

x

f

x

EX











4

4

,

d)





0

4





X

P

, bo rozkład normalny jest rozkładem ciągłym, a dla rozkładów ciągłych





0





c

X

P

, gdy c - stała,

e) trzeba zajrzeć do wykładu, f) p-wartość = 0,15 > 0,1 = poziom istotności



nie ma podstaw do odrzucenia H

0

,

g)

7247

,

1

20

;

1

,

0



t

, h) p-wartość = 0,3, bo

20

;

3

,

0

064

,

1

t

t

emp





.

Odpowiedzi do zadań z zestawu B:

Zad. 1:

9

5

; Zad. 2:

7

7

7

4

1

4

4

2

6

4

3

4















































; Zad. 3:

 

7

3



B

A

P

; Zad. 4:

4

3

; Zad. 5: a)

31

,

0

2

1

1



















, b)

 

67

,

0

69

,

0

1

3





;

Zad. 6:

 

































,

0

gdy

,

1

3

2

,

0

gdy

,

0

t

t

t

t

F

Y

 



















;

0

gdy

,

2

3

2

,

0

gdy

,

0

18

/

2

t

e

t

t

f

t

Y



Zad. 7: a)

2

ln





, b)

4

2

ln

7





EY

, c)

 

2

2

2

ln

49



Y

D

;

Zad. 8: a)

j

y

4



0

2





4





X

y

Y

P

j

6

/

1

2

/

1

3

/

1

b)



 











4

0

4

4

4

4

2

2

2

2























X

y

Y

E

X

y

Y

E

X

y

Y

D

j

j

j

;

Zad. 9: a)







 

 



3

2

'

1

3

'

2

1

'

3

2

1

3

2

1

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B























,

b)

 

 

B

P

B

A

P







    

B

P

A

P

B

A

P





, gdy

 

0



B

P

,

c)





3

m

X

E



(gdzie

EX

m



) - trzeci moment centralny zm. los. X ; dla zm. los. typu ciągłego







  

dx

x

f

m

x

m

X

E















3

3

,

d)





0

3





X

P

, bo rozkład normalny jest rozkładem ciągłym, a dla rozkładów ciągłych





0





c

X

P

, gdy c - stała,

e) trzeba zajrzeć do wykładu, f) p-wartość = 0,035 < 0,05 = poziom istotności



odrzucamy H

0

,

g)

7171

,

1

22

;

1

,

0



t

, h) p-wartość = 0,025, bo

22

;

025

,

0

4055

,

2

t

t

emp





.