Kolokwium nr 2 z „Rachunku prawdopodobieństwa i Statystyki”; kierunek Informatyka; 25.01.2013; Zestaw A

Zad. 1. Dana jest funkcja





























.

p.p

w

,

0

,

2

0

,

1

0

gdy

,

6

,

2

y

x

y

x

xy

c

y

x

f

Wykonać następujące polecenia:

a) znaleźć wartość c , dla której funkcja f jest gęstością pewnej dwuwymiarowej zmiennej losowej





Y

X ,

, b) wyznaczyć

gęstości brzegowe (tzn. gęstość dla X oraz gęstość dla Y ), c) pokazać, że zmienne losowe X i Y są niezależne.

Zad. 2. Niech

Y

X

,

będą niezależnymi zm. losowymi, takimi, że:





3

2

3





X

P

,





3

1

6





X

P

,





4

3

2





Y

P

,





4

1

4





Y

P

.

Wyznaczyć: a) rozkład, b) wartość oczekiwaną, c) drugi moment zwykły, d) wariancję, zmiennej losowej





Y

X

Z

,

min



.

Zad. 3. Wykonać następujące polecenia:
a) korzystając z Tw. de Moivre’a-Laplace’a, obliczyć prawdopodobieństwo, że rzucając 900 razy niesymetryczną monetą,
dla której prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi 4/5, liczba uzyskanych orłów przekroczy 708 i nie przekroczy 732,
b) korzystając z nierówności Czebyszewa, oszacować prawdopodobieństwo, że w 20 000 rzutów symetryczną monetą
liczba orłów będzie różnić się od 10 000 o co najmniej 200.
Zad. 4. Zanotowano masy 17 losowo wybranych roślin pewnej odmiany jęczmienia. Uzyskane dane zapisano w postaci:

64

,

0

)

(

,

4

,

20

2

17

1

_

17

1















i

i

i

i

x

x

x

. Zakładając, że rozkład masy roślin badanej odmiany jęczmienia jest normalny:

a) oszacować przedziałowo – na poziomie ufności 0,9 – nieznaną średnią masę roślin badanej odmiany jęczmienia,
b) ustalić, czy na podstawie uzyskanej w pkt. a) realizacji przedziału ufności można uznać, że nieznana średnia masa roślin
badanej odmiany jęczmienia wynosi 1,4 (odpowiedź uzasadnić).
Zad. 5. Stwierdzono, że na 250 przebadanych studentów 150 zdało egzamin ze statystyki, a na 150 studentek egzamin ten
zdało 105. Ustalić, czy na poziomie istotności 0,05 można sądzić, że wynik egzaminu nie zależy od płci zdającego.
Zad. 6.

W pewnej sieci sklepów sprzedawane są szale w kolorach: białym, brązowym, czarnym, niebieskim, zielonym.

Właściciel sklepów przypuszcza, że sprzedaż poszczególnych kolorów szali wyrażają stosunki 1:2:2:4:1. Aby to sprawdzić,
zbadał sprzedaż na wybranej grupie 100 klientów, uzyskując wyniki dla poszczególnych kolorów:

biały - 15, brązowy - 20,

czarny - 25, niebieski - 30, zielony - 10. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować słuszność przypuszczeń właściciela.

____________________________________________________________________________________________

Kolokwium nr 2 z „Rachunku prawdopodobieństwa i Statystyki”; kierunek Informatyka; 25.01.2013; Zestaw B

Zad. 1. Dana jest funkcja





























.

p.p

w

,

0

,

1

0

,

3

0

gdy

,

4

,

2

y

x

y

x

xy

c

y

x

f

Wykonać następujące polecenia:

a) znaleźć wartość c , dla której funkcja f jest gęstością pewnej dwuwymiarowej zmiennej losowej





Y

X ,

, b) wyznaczyć

gęstości brzegowe (tzn. gęstość dla X oraz gęstość dla Y ), c) pokazać, że zmienne losowe X i Y są niezależne.

Zad. 2. Niech

Y

X

,

będą niezależnymi zm. losowymi, takimi, że:





4

1

1





X

P

,





4

3

4





X

P

,





3

2

2





Y

P

,





3

1

5





Y

P

.

Wyznaczyć: a) rozkład, b) wartość oczekiwaną, c) drugi moment zwykły, d) wariancję, zmiennej losowej





Y

X

Z

,

max



.

Zad. 3. Wykonać następujące polecenia:
a) korzystając z Tw. de Moivre’a-Laplace’a, obliczyć prawdopodobieństwo, że rzucając 400 razy niesymetryczną monetą,
dla której prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi 4/5, liczba uzyskanych orłów przekroczy 316 i nie przekroczy 324,
b) korzystając z nierówności Czebyszewa, oszacować prawdopodobieństwo, że w 30 000 rzutów symetryczną monetą
liczba orłów będzie różnić się od 15 000 o co najmniej 300.

Zad. 4.

Wśród 10 losowo wybranych pracowników pewnego zakładu przeprowadzono ankietę na temat ich czasu dojazdu

do pracy, uzyskując dane:

6266

,

250

10

1

2

10

1













i

i

i

i

x

x

. Zakładając, że rozkład czasu dojazdu do pracy jest normalny:

a) oszacować przedziałowo – na poziomie ufności 0,9 – nieznany średni czas dojazdu do pracy pracowników zakładu,
b) ustalić, czy na podstawie uzyskanej w pkt. a) realizacji przedziału ufności można uznać, że nieznany średni czas dojazdu
do pracy pracowników zakładu wynosi 27 (odpowiedź uzasadnić).
Zad. 5.

Na 140 wybranych studentek pewnej uczelni 42 przyznało, że pali papierosy, a na 160 wybranych studentów

przyznało się do tego 80. Ustalić, czy na poziomie istotności 0,1 można sądzić, ze popularność nałogu nie zależy od płci.
Zad. 6.

Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę o niezależności płci (cecha X) i typu preferowanego programu

TV (cecha Y), jeśli wiadomo, że odpowiednia ankieta przeprowadzona na losowej próbie 100 telewidzów dała wyniki:

Klasy X Klasy Y

Kabarety

Festiwale

Mężczyzna

40

10

Kobieta

20

30