P

O

LI

TE

CH

NIKA

Ś

L

Ą

S

K

A

W

Y

D

ZIA

Ł TRANSP

O

R

T

U

Temat

ć

wiczenia

Analiza cz

ę

stotliwo

ś

ciowa

Analiza cz

ę

stotliwo

ś

ciowa sygnałów

1. Wprowadzenie

Analiz

ę

cz

ę

stotliwo

ś

ciow

ą

stosuje si

ę

powszechnie w wielu dziedzinach

techniki. Umo

ż

liwia ona okre

ś

lenie cz

ę

stotliwo

ś

ci składowych zawartych w

przebiegu czasowym funkcji. Je

ż

eli funkcja jest okresowa, to korzystaj

ą

c z

przekształcenia Fouriera mo

ż

na okre

ś

li

ć

warto

ś

ci amplitud cz

ę

stotliwo

ś

ci

podstawowej i harmonicznych. Z tego powodu analiza cz

ę

stotliwo

ś

ciowa bywa

równie

ż

nazywana analiz

ą

harmoniczn

ą

. Analiza cz

ę

stotliwo

ś

ciowa mo

ż

e by

ć

równie

ż

stosowana

do

funkcji

nieokresowych.

Stosuje

si

ę

wówczas

przekształcenie całkowe Fouriera.

Szeregi Fouriera stosuje si

ę

jedynie w odniesieniu do funkcji okresowych.

Szczególn

ą

cech

ą

przebiegu okresowego jest jego powtarzalno

ść

:

T

f

n

nT

t

x

t

x

1

2

....;

2

,

1

,

0

);

(

)

(

0

0

=

=

=

±

=

π

ω

Szereg Fouriera funkcji okresowej ma posta

ć

:

)

sin

cos

(

2

)

(

1

1

1

0

∑

=

+

+

=

n

k

k

k

t

k

b

t

k

a

a

t

x

ω

ω

gdzie:

∫

∫

∫

−

−

−

=

=

=

2

2

2

2

2

2

1

1

0

sin

)

(

2

;

cos

)

(

2

;

)

(

1

T

T

T

T

T

T

k

k

tdt

k

t

x

T

b

tdt

k

t

x

T

a

dt

t

x

T

a

ω

ω

Wykres współczynników Fouriera przedstawiaj

ą

c udział poszczególnych

harmonicznych w przebiegu x(t) daje obraz rozkładu jego cz

ę

stotliwo

ś

ci. Wykres

ten

jest

nazywany

widmem

cz

ę

stotliwo

ś

ciowym.

Podczas

pomiaru

współczynników Fouriera za pomoc

ą

analizatora harmonicznego okre

ś

la si

ę

warto

ś

ci c

k

2

=a

k

2

+b

k

2

. Warto

ś

ci te s

ą

przedstawiane jako widmo funkcji okresowej.

2. Przebieg

ć

wiczenia

W trakcie

ć

wiczenia nale

ż

y okre

ś

li

ć

widma cz

ę

stotliwo

ś

ciowe dla przebiegów:

- sinusoidalnego

- prostok

ą

tnego

- trójk

ą

tnego

- zmodulowanego.

2.1. Analiza sygnałów niemodulowanych

Porówna

ć

wyniki analizy cz

ę

stotliwo

ś

ciowej z szeregiem Fouriera i wykre

ś

li

ć

widma cz

ę

stotliwo

ś

ciowe.

Szeregi Fouriera dla przebiegu:

prostok

ą

tnego

....)

5

sin

5

1

3

sin

3

1

(sin

4

)

(

1

1

1

+

+

+

=

t

t

t

A

t

x

ω

ω

ω

π

trójk

ą

tnego

....)

5

sin

25

1

3

sin

9

1

(sin

8

)

(

1

1

1

2

−

+

−

=

t

t

t

A

t

x

ω

ω

ω

π

Schemat blokowy układu pomiarowego w przypadku sygnałów niezmodulowanych:

GENERATOR

FUNKCYJNY

ANALIZATOR

NANOWOLTOMIER
Z SELEKTYWNY

OSCYLOSKOP

2.2. Analiza sygnałów zmodulowanych

Proces oddziaływania jednego sygnału zwanego sygnałem moduluj

ą

cym

x(t)=X

m

cos

ω

t na inny sygnał zwany no

ś

nym i

c

=I

cm

cos

Ω

0

t nazywa si

ę

modulacj

ą

.

Sygnał zmodulowany ma nast

ę

puj

ą

cy przebieg:

( )

t

m

I

t

m

I

t

I

t

cm

cm

cm

)

cos(

2

)

cos(

2

cos

0

0

0

ω

ω

ϕ

−

Ω

+

+

Ω

+

Ω

=

gł

ę

boko

ść

modulacji okre

ś

lana jest nast

ę

puj

ą

co:

1

0

;

≤

≤

=

m

I

X

m

cm

m

Widmo sygnału zmodulowanego zawiera składow

ą

o cz

ę

sto

ś

ci

Ω

0

oraz du

ż

e

składowe boczne

Ω

0

±

ω

.

Schemat blokowy układu pomiarowego dla sygnałów modulowanych:

3. Wytyczne do sprawozdania

1. wykre

ś

li

ć

widma analizowanych sygnałów niemodulowanych

2. wykre

ś

li

ć

widma analizowanych sygnałów zmodulowanych

3. wyznaczy

ć

widma teoretyczne analizowanych sygnałów

GENERATOR

SYGNAŁU

NOŚNEGO

MODULATOR

ANALIZATOR

NANOWOLTOMIER
Z SELEKTYWNY

OSCYLOSKOP

Tabela pomiarowa 1

warto

ś

ci kolejnych amplitud harmonicznych sygnałów

niemodulowanych

przebieg

I

II

III

IV

V

uwagi

A=

T=

A=

T=

A=

T=

A=

T=

A=

T=

A=

T=

Tabela pomiarowa 2

warto

ś

ci amplitud składowych sygnału

zmodulowanego

gł

ę

boko

ść

modulacji

m

Ω

0

=

ω

=

Ω

0

+

ω

Ω

0

-

ω

uwagi

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

Analiza częstotliwościowa z wykorzystaniem programu MatLab.

Widok programu po otwarciu.

W oknie Workspace wyświetlane są informacje dotyczące danych (wektorów macierzy ). Za
pomocą komend File- Open otworzyć pliki z sygnałami do analizy ( .mat)

Analizę częstotliwościową w środowisku Matlab umożliwia dodatek o nazwie Signal
Procesing Toolbox . Uruchomienie toolboxa polega na wpisaniu komendy sptool w wierszu
okna komend Matlaba i zatwierdzeniu enter-em.

Za pomocą komendy File-Import w oknie SPtool wprowadzić sygnały. Wpisać każdorazowo
częstotliwość próbkowania (sampling frequency) 5000.

Po zatwierdzeniu (ok) pojawi się zaimportowany sygnał w podoknie Signals okna SPtool.
Oznaczyć zaimportowany sygnał i wyświetlić (View).

Aby wyznaczyć FFT sygnału czasowego (szybką transformate Fouriera) w oknie SPtool
nacisnąć Create pod zakładką Spectrum.

W opcjach metod wybrać FFT, w okienku Nfft wpisać liczbę próbek (długość sygnału). Z
menu Options wybrać Magnitude Scale i zmienić na Linear.

Za pomocą markerów przesuwanych myszką wyznaczyć wartości częstotliwości
charakterystycznych sygnału (x- położenie na osi częstotliwości, y – wartość amplitudy ) i
wpisać wyniki na kartę pomiarową.

Przebieg ćwiczenia:

Wykonać analizy FFT dla wskazanych przez prowadzącego sygnałów (sinusoida , fala
prostokątną trójkatna itd.)