B

a

d

a

n

ie

z

m

ie

n

n

o

B

a

d

a

n

ie

z

m

ie

n

n

o

ś

ś

c

i

p

o

p

y

tu

c

i

p

o

p

y

tu

D

r

in

D

r

in

ż

ż

.

.

Iw

o

n

a

Iw

o

n

a

S

ta

n

ie

c

S

ta

n

ie

c

L

o

d

e

x

L

o

d

e

x

p

p

.

.

3

3

3

3

3

3

Ś

Ś

ro

d

a

ro

d

a

1

0

1

0

:

:

0

0

0

0

-

-

1

2

1

2

:

:

0

0

0

0

h

tp

p

h

tp

p

:/

/

:/

/

o

iz

e

t

o

iz

e

t

.

.

p

p

.

.

lo

d

z

lo

d

z

.

.

p

l

p

l

/

/

is

ta

n

is

ta

n

T

e

o

re

ty

c

z

n

e

r

o

z

k

T

e

o

re

ty

c

z

n

e

r

o

z

k

ł

ł

a

d

y

a

d

y

s

k

o

k

o

w

e

s

k

o

k

o

w

e

R

o

z

k

R

o

z

k

ł

ł

a

d

r

a

d

r

ó

ó

w

n

o

m

ie

rn

y

w

n

o

m

ie

rn

y

R

o

z

k

R

o

z

k

ł

ł

a

d

d

w

u

m

ia

n

o

w

y

a

d

d

w

u

m

ia

n

o

w

y

(

(

B

e

rn

o

u

lli

e

g

o

B

e

rn

o

u

lli

e

g

o

)

)

R

o

z

k

R

o

z

k

ł

ł

a

d

a

d

P

o

is

s

o

n

a

P

o

is

s

o

n

a

R

o

z

k

R

o

z

k

ł

ł

a

d

r

a

d

r

ó

ó

w

n

o

m

ie

rn

y

w

n

o

m

ie

rn

y

Z

m

ie

n

n

a

l

o

s

o

w

a

m

a

r

o

z

k

Z

m

ie

n

n

a

l

o

s

o

w

a

m

a

r

o

z

k

ł

ł

a

d

a

d

r

r

ó

ó

w

n

o

m

ie

rn

y

j

e

w

n

o

m

ie

rn

y

j

e

ż

ż

e

li

m

a

s

k

o

e

li

m

a

s

k

o

ń

ń

c

z

o

n

c

z

o

n

ą

ą

l

ic

z

b

l

ic

z

b

ę

ę

s

k

o

k

s

k

o

k

ó

ó

w

i

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

w

i

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

o

s

tw

o

w

y

s

t

w

y

s

t

ą

ą

p

ie

n

ia

k

a

p

ie

n

ia

k

a

ż

ż

d

e

g

o

z

e

s

k

o

k

d

e

g

o

z

e

s

k

o

k

ó

ó

w

j

e

s

t

w

j

e

s

t

id

e

n

ty

c

z

n

e

id

e

n

ty

c

z

n

e

.

.

R

o

z

k

R

o

z

k

ł

ł

a

d

d

w

u

m

ia

n

o

w

y

a

d

d

w

u

m

ia

n

o

w

y

R

o

z

k

R

o

z

k

ł

ł

a

d

d

w

u

m

ia

n

o

w

y

w

y

s

t

a

d

d

w

u

m

ia

n

o

w

y

w

y

s

t

ę

ę

p

u

je

w

p

u

je

w

ó

ó

w

c

z

a

s

w

c

z

a

s

,

,

g

d

y

p

rz

e

p

ro

w

a

d

z

a

m

y

g

d

y

p

rz

e

p

ro

w

a

d

z

a

m

y

n

n

je

d

n

a

k

o

w

y

c

h

je

d

n

a

k

o

w

y

c

h

d

o

d

o

ś

ś

w

ia

d

c

z

e

w

ia

d

c

z

e

ń

ń

,

,

z

k

t

z

k

t

ó

ó

ry

c

h

k

a

ry

c

h

k

a

ż

ż

d

e

m

o

d

e

m

o

ż

ż

e

e

z

a

k

o

z

a

k

o

ń

ń

c

z

y

c

z

y

ć

ć

s

i

s

i

ę

ę

je

d

n

y

m

z

je

d

n

y

m

z

d

w

d

w

ó

ó

c

h

w

y

n

ik

c

h

w

y

n

ik

ó

ó

w

w

:

:

„

„

s

u

k

c

e

s

e

m

s

u

k

c

e

s

e

m

”

”

z

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

z

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

e

m

s

tw

e

m

p

p

l

u

b

l

u

b

„

„

p

o

ra

p

o

ra

ż

ż

k

k

ą

ą

”

”

z

z

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

e

m

s

tw

e

m

1

1

-

-

p

p

.

.

Z

m

ie

n

n

Z

m

ie

n

n

ą

ą

l

o

s

o

w

l

o

s

o

w

ą

ą

X

X

w

t

y

m

e

k

s

p

e

ry

m

e

n

c

ie

j

e

s

t

w

t

y

m

e

k

s

p

e

ry

m

e

n

c

ie

j

e

s

t

lic

z

b

a

s

u

k

c

e

s

lic

z

b

a

s

u

k

c

e

s

ó

ó

w

w

w

w

n

n

p

r

p

r

ó

ó

b

a

c

h

b

a

c

h

.

.

Ł

Ł

a

tw

o

a

tw

o

z

a

u

w

a

z

a

u

w

a

ż

ż

y

y

ć

ć

,

,

ż

ż

e

m

o

e

m

o

ż

ż

e

o

n

a

p

rz

y

jm

o

w

a

e

o

n

a

p

rz

y

jm

o

w

a

ć

ć

w

a

rt

o

w

a

rt

o

ś

ś

c

i

c

i

z

p

rz

e

d

z

ia

z

p

rz

e

d

z

ia

ł

ł

u

u

<

<

0

0

,

,

n

n

>

>

.

.

F

u

n

k

c

ja

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

F

u

n

k

c

ja

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

a

s

tw

a

w

r

o

z

k

w

r

o

z

k

ł

ł

a

d

z

ie

a

d

z

ie

B

e

rn

o

u

lli

e

g

o

B

e

rn

o

u

lli

e

g

o

j

e

s

t

j

e

s

t

o

k

re

o

k

re

ś

ś

lo

n

a

w

z

o

re

m

lo

n

a

w

z

o

re

m

:

:

n

k

p

p

k

n
k

n

k

X
P

k
n

k

,...,

2,

1,

0

dla

)

1(

)!

(!

!

)

(

=

−

−

=

=

−

np

X
E

=

)
(

)

1(

)
(

2

p

np

X

D

−

=

P

rz

y

k

P

rz

y

k

ł

ł

a

d

a

d

P

e

w

ie

n

a

k

w

iz

y

to

r

p

ro

w

a

d

z

P

e

w

ie

n

a

k

w

iz

y

to

r

p

ro

w

a

d

z

ą

ą

c

y

s

p

rz

e

d

a

c

y

s

p

rz

e

d

a

ż

ż

k

a

lk

u

la

to

r

k

a

lk

u

la

to

r

ó

ó

w

k

o

n

ta

k

tu

je

s

i

w

k

o

n

ta

k

tu

je

s

i

ę

ę

z

z

1

0

1

0

k

lie

n

ta

m

i

d

z

ie

n

n

ie

k

lie

n

ta

m

i

d

z

ie

n

n

ie

.

.

Z

d

o

Z

d

o

ś

ś

w

ia

d

c

z

e

n

ia

w

ia

d

c

z

e

n

ia

w

ia

d

o

m

o

w

ia

d

o

m

o

,

,

ż

ż

e

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

e

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

o

s

tw

o

z

a

k

u

p

u

k

a

lk

u

la

to

ra

p

rz

e

z

k

lie

n

ta

w

y

n

o

s

i

z

a

k

u

p

u

k

a

lk

u

la

to

ra

p

rz

e

z

k

lie

n

ta

w

y

n

o

s

i

0

0

,

,

2

2

.

.

J

a

k

i

je

s

t

ro

z

k

J

a

k

i

je

s

t

ro

z

k

ł

ł

a

d

a

d

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

a

l

ic

z

b

y

s

tw

a

l

ic

z

b

y

s

p

rz

e

d

a

n

y

c

h

k

a

lk

u

la

to

r

s

p

rz

e

d

a

n

y

c

h

k

a

lk

u

la

to

r

ó

ó

w

w

?

?

O

b

lic

z

y

O

b

lic

z

y

ć

ć

je

g

o

p

a

ra

m

e

tr

y

je

g

o

p

a

ra

m

e

tr

y

0

0

,0

5

0

,1

0

,1

5

0

,2

0

,2

5

0

,3

0

,3

5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

1

1

L

ic

z

b

a

s

u

kc

e

s

ó

w

(

s

p

rz

e

d

a

n

y

c

h

s

z

tu

k)

Pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

tw

o

R

o

z

k

R

o

z

k

ł

ł

a

d

a

d

P

o

is

s

o

n

a

P

o

is

s

o

n

a

je

s

t

ro

z

k

je

s

t

ro

z

k

ł

ł

a

d

e

m

z

m

ie

n

n

e

j

a

d

e

m

z

m

ie

n

n

e

j

lo

s

o

w

e

j

s

k

o

k

o

w

e

j

lo

s

o

w

e

j

s

k

o

k

o

w

e

j

,

,

z

k

t

z

k

t

ó

ó

ry

m

m

a

m

y

d

o

ry

m

m

a

m

y

d

o

c

z

y

n

ie

n

ia

w

c

z

y

n

ie

n

ia

w

p

rz

y

p

a

d

k

u

o

k

re

p

rz

y

p

a

d

k

u

o

k

re

ś

ś

la

n

ia

la

n

ia

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

a

z

a

j

s

tw

a

z

a

j

ś

ś

c

ia

z

d

a

rz

e

c

ia

z

d

a

rz

e

ń

ń

s

to

s

u

n

k

o

w

o

rz

a

d

k

ic

h

s

to

s

u

n

k

o

w

o

rz

a

d

k

ic

h

,

,

ta

k

ic

h

ja

k

lic

z

b

a

ta

k

ic

h

ja

k

lic

z

b

a

u

s

te

re

k

w

p

ro

d

u

k

o

w

a

n

e

j

p

a

rt

ii

m

a

te

ri

a

u

s

te

re

k

w

p

ro

d

u

k

o

w

a

n

e

j

p

a

rt

ii

m

a

te

ri

a

ł

ł

u

u

,

,

lic

z

b

a

z

g

lic

z

b

a

z

g

ł

ł

o

s

z

e

o

s

z

e

ń

ń

s

z

k

s

z

k

ó

ó

d

d

,

,

lic

z

b

a

c

z

lic

z

b

a

c

z

ą

ą

s

te

c

z

e

k

s

te

c

z

e

k

ra

d

io

a

k

ty

w

n

y

c

h

e

m

it

o

w

a

n

y

c

h

p

rz

e

z

ra

d

io

a

k

ty

w

n

y

c

h

e

m

it

o

w

a

n

y

c

h

p

rz

e

z

s

u

b

s

ta

n

c

j

s

u

b

s

ta

n

c

j

ę

ę

w

w

k

r

k

r

ó

ó

tk

im

o

k

re

s

ie

i

tp

tk

im

o

k

re

s

ie

i

tp

.

.

R

o

z

k

ła

d

P

o

is

s

o

n

a

R

o

z

k

R

o

z

k

ł

ł

a

d

a

d

P

o

is

s

o

n

a

P

o

is

s

o

n

a

,...

2,

1,

0

dla

!

)

(

=

=

=

−

k

e

k

k

X
P

k

λ

λ

λ

=

=

)
(

)
(

2

X

D

X
E

P

rz

y

k

P

rz

y

k

ł

ł

a

d

a

d

W

z

a

k

W

z

a

k

ł

ł

a

d

z

ie

w

y

tw

a

rz

a

j

a

d

z

ie

w

y

tw

a

rz

a

j

ą

ą

c

y

m

c

y

m

ż

ż

a

r

a

r

ó

ó

w

k

i

w

k

i

w

a

d

liw

o

w

a

d

liw

o

ść

ść

p

ro

d

u

k

c

ji

w

y

n

o

s

i

p

ro

d

u

k

c

ji

w

y

n

o

s

i

4

4

%

%

.

.

ś

ś

a

r

a

r

ó

ó

w

k

i

w

k

i

p

a

k

o

w

a

n

e

s

p

a

k

o

w

a

n

e

s

ą

ą

w

p

a

c

z

k

i

p

o

w

p

a

c

z

k

i

p

o

5

0

5

0

s

z

tu

k

s

z

tu

k

.

.

W

y

z

n

a

c

z

y

W

y

z

n

a

c

z

y

ć

ć

r

o

z

k

r

o

z

k

ł

ł

a

d

l

ic

z

b

y

w

a

d

liw

y

c

h

a

d

l

ic

z

b

y

w

a

d

liw

y

c

h

ż

ż

a

r

a

r

ó

ó

w

e

k

w

w

e

k

w

p

a

c

z

c

e

p

a

c

z

c

e

.

.

0

0

,0

5

0

,1

0

,1

5

0

,2

0

,2

5

0

,3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

1

1

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

1

7

1

8

1

9

2

0

L

ic

z

b

a

w

a

d

liw

y

c

h

ż

a

ró

w

e

k

w

p

a

c

z

c

e

Pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

wo

R

o

z

k

R

o

z

k

ł

ł

a

d

w

y

k

a

d

w

y

k

ł

ł

a

d

n

ic

z

y

a

d

n

ic

z

y

O

z

m

ie

n

n

e

j

lo

s

o

w

e

j

O

z

m

ie

n

n

e

j

lo

s

o

w

e

j

X

X

m

m

ó

ó

w

im

y

w

im

y

,

,

ż

ż

e

m

a

e

m

a

ro

z

k

ro

z

k

ł

ł

a

d

w

y

k

a

d

w

y

k

ł

ł

a

d

n

ic

z

y

a

d

n

ic

z

y

z

p

a

ra

m

e

tr

e

m

z

p

a

ra

m

e

tr

e

m

>

>

0

0

,

,

je

je

ż

ż

e

li

je

j

fu

n

k

c

j

e

li

je

j

fu

n

k

c

j

ę

ę

g

g

ę

ę

s

to

s

to

ś

ś

c

i

m

o

c

i

m

o

ż

ż

n

a

n

a

p

rz

e

d

s

ta

w

i

p

rz

e

d

s

ta

w

i

ć

ć

j

a

k

o

j

a

k

o

:

:

λ

)







∞

+

∈

−∞
∈

=

−

,

0

,

)

0,

(

,

0

)
,

(

x

e

x

x
f

x

λ

λ

λ

J

e

s

t

to

r

o

z

k

J

e

s

t

to

r

o

z

k

ł

ł

a

d

c

h

a

ra

k

te

ry

z

u

j

a

d

c

h

a

ra

k

te

ry

z

u

j

ą

ą

c

y

c

z

c

y

c

z

ę

ę

s

to

s

to

ro

z

k

ro

z

k

ł

ł

a

d

i

lo

a

d

i

lo

ś

ś

c

i

c

z

a

s

u

o

c

z

e

k

iw

a

n

ia

n

a

c

i

c

z

a

s

u

o

c

z

e

k

iw

a

n

ia

n

a

z

d

a

rz

e

n

ie

z

d

a

rz

e

n

ie

,

,

k

t

k

t

ó

ó

re

t

e

o

re

ty

c

z

n

ie

m

o

re

t

e

o

re

ty

c

z

n

ie

m

o

ż

ż

e

z

a

j

e

z

a

j

ś

ć

ś

ć

w

w

d

o

w

o

ln

e

j

c

h

w

ili

d

o

w

o

ln

e

j

c

h

w

ili

(

(

a

le

r

a

le

r

ó

ó

w

n

ie

w

n

ie

ż

ż

c

z

a

s

t

e

n

m

o

c

z

a

s

t

e

n

m

o

ż

ż

e

e

b

y

b

y

ć

ć

d

o

w

o

ln

ie

d

d

o

w

o

ln

ie

d

ł

ł

u

g

i

u

g

i

)

)

lu

b

r

o

z

k

lu

b

r

o

z

k

ł

ł

a

d

c

z

a

s

u

a

d

c

z

a

s

u

p

o

m

i

p

o

m

i

ę

ę

d

z

y

d

w

o

m

a

k

o

le

jn

y

m

i

z

a

j

d

z

y

d

w

o

m

a

k

o

le

jn

y

m

i

z

a

j

ś

ś

c

ia

m

i

c

ia

m

i

p

e

w

n

e

g

o

z

d

a

rz

e

n

ia

p

e

w

n

e

g

o

z

d

a

rz

e

n

ia

,

,

n

p

n

p

.

.

c

z

a

s

b

e

z

a

w

a

ry

jn

e

j

c

z

a

s

b

e

z

a

w

a

ry

jn

e

j

p

ra

c

y

m

i

p

ra

c

y

m

i

ę

ę

d

z

y

d

w

o

m

a

k

o

le

jn

y

m

i

a

w

a

ri

a

m

i

d

z

y

d

w

o

m

a

k

o

le

jn

y

m

i

a

w

a

ri

a

m

i

.

.

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

a

c

o

ra

z

w

i

s

tw

a

c

o

ra

z

w

i

ę

ę

k

s

z

y

c

h

k

s

z

y

c

h

w

a

rt

o

w

a

rt

o

ś

ś

c

i

c

i

(

(

p

rz

e

d

z

ia

p

rz

e

d

z

ia

ł

ł

ó

ó

w

w

)

)

te

j

z

m

ie

n

n

e

j

s

te

j

z

m

ie

n

n

e

j

s

ą

ą

c

o

ra

z

c

o

ra

z

m

n

ie

js

z

e

m

n

ie

js

z

e

.

.

W

y

k

re

s

f

u

n

k

c

ji

g

W

y

k

re

s

f

u

n

k

c

ji

g

ę

ę

s

to

s

to

ś

ś

c

i

z

m

ie

n

n

e

j

c

i

z

m

ie

n

n

e

j

lo

s

o

w

e

j

o

r

o

z

k

lo

s

o

w

e

j

o

r

o

z

k

ł

ł

a

d

z

ie

a

d

z

ie

w

y

k

w

y

k

ł

ł

a

d

n

ic

z

y

m

a

d

n

ic

z

y

m

.

.

λ

D

y

s

tr

y

b

u

a

n

ta

z

m

ie

n

n

e

j

lo

s

o

w

e

j

o

D

y

s

tr

y

b

u

a

n

ta

z

m

ie

n

n

e

j

lo

s

o

w

e

j

o

ro

z

k

ro

z

k

ł

ł

a

d

z

ie

w

y

k

a

d

z

ie

w

y

k

ł

ł

a

d

n

ic

z

y

m

w

y

ra

a

d

n

ic

z

y

m

w

y

ra

ż

ż

a

a

s

i

s

i

ę

ę

w

z

o

re

m

w

z

o

re

m

:

:







≥

−

<

=

0

dla

e
1

0

dla

0

)

(

x

-

x

x

x
F

λ

W

a

rt

o

W

a

rt

o

ś

ć

ś

ć

o

c

z

e

k

iw

a

n

a

i

w

a

ri

a

n

c

ja

o

c

z

e

k

iw

a

n

a

i

w

a

ri

a

n

c

ja

z

m

ie

n

n

e

j

z

m

ie

n

n

e

j

∫

+∞

∞

−

=

=

λ

1

)

(

)
(

x

xf

X
E

2

2

1

)
(

λ

=
X

D

R

o

z

k

R

o

z

k

ł

ł

a

d

n

o

rm

a

ln

y

a

d

n

o

rm

a

ln

y

N

a

jc

z

N

a

jc

z

ęś

ęś

c

ie

j

s

p

o

ty

k

a

n

y

m

w

n

a

tu

rz

e

c

ie

j

s

p

o

ty

k

a

n

y

m

w

n

a

tu

rz

e

ro

z

k

ro

z

k

ł

ł

a

d

e

m

z

m

ie

n

n

e

j

lo

s

o

w

e

j

c

i

a

d

e

m

z

m

ie

n

n

e

j

lo

s

o

w

e

j

c

i

ą

ą

g

g

ł

ł

e

j

je

s

t

e

j

je

s

t

ro

z

k

ro

z

k

ł

ł

a

d

n

o

rm

a

ln

y

a

d

n

o

rm

a

ln

y

,

,

z

w

a

n

y

r

o

z

k

z

w

a

n

y

r

o

z

k

ł

ł

a

d

e

m

a

d

e

m

G

a

u

s

s

a

G

a

u

s

s

a

-

-

L

a

p

la

c

e

L

a

p

la

c

e

'

'

a

a

.

.

C

i

C

i

ą

ą

g

g

ł

ł

a

z

m

ie

n

n

a

a

z

m

ie

n

n

a

lo

s

o

w

a

lo

s

o

w

a

X

X

m

a

r

o

z

k

m

a

r

o

z

k

ł

ł

a

d

n

o

rm

a

ln

y

a

d

n

o

rm

a

ln

y

(

(

c

o

c

o

o

z

n

a

c

z

a

m

y

o

z

n

a

c

z

a

m

y

)

)

,

,

je

je

ś

ś

li

je

j

fu

n

k

c

ja

g

li

je

j

fu

n

k

c

ja

g

ę

ę

s

to

s

to

ś

ś

c

i

c

i

-

-

:

:

(

)

















−

−

=

2

2

2

2

1

)

(

σ

µ

π

σ

x

e

x
f

0

0

,5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

N

(0

,1

)

N

(3

,1

)

N

(0

,2

)

N

(3

,2

)

F

u

n

k

c

ja

m

a

n

a

s

t

F

u

n

k

c

ja

m

a

n

a

s

t

ę

ę

p

u

j

p

u

j

ą

ą

c

e

c

e

w

w

ł

ł

a

s

n

o

a

s

n

o

ś

ś

c

i

c

i

:

:

w

w

ł

ł

a

s

n

o

a

s

n

o

ść

ść

s

y

m

e

tr

y

c

z

n

o

s

y

m

e

tr

y

c

z

n

o

ś

ś

c

i

c

i

-

-

je

s

t

je

s

t

s

y

m

e

tr

y

c

z

n

a

w

z

g

l

s

y

m

e

tr

y

c

z

n

a

w

z

g

l

ę

ę

d

e

m

p

ro

s

te

j

d

e

m

p

ro

s

te

j

x

x

=

=

µ

µ

,

,

c

o

c

o

o

z

n

a

c

z

a

o

z

n

a

c

z

a

,

,

ż

ż

e

s

p

e

e

s

p

e

ł

ł

n

io

n

a

j

e

s

t

z

a

le

n

io

n

a

j

e

s

t

z

a

le

ż

ż

n

o

n

o

ść

ść

:

:

w

w

ł

ł

a

s

n

o

a

s

n

o

ść

ść

je

d

n

o

m

o

d

a

ln

o

je

d

n

o

m

o

d

a

ln

o

ś

ś

c

i

c

i

-

-

w

p

u

n

k

c

ie

w

p

u

n

k

c

ie

x

x

=

=

µ

µ

o

s

i

o

s

i

ą

ą

g

a

w

a

rt

o

g

a

w

a

rt

o

ść

ść

m

a

k

s

y

m

a

ln

m

a

k

s

y

m

a

ln

ą

ą

,

,

k

t

k

t

ó

ó

ra

ra

w

y

n

o

s

i

w

y

n

o

s

i

:

:

(

)

(

)

5.

0

=

<

=

>

µ

µ

X
P

X
P

(

)

π

σ

2

1

=
x

f

w

w

ł

ł

a

s

n

o

a

s

n

o

ść

ść

z

m

ie

n

n

o

z

m

ie

n

n

o

ś

ś

c

i

c

i

-

-

ra

m

io

n

a

ra

m

io

n

a

f

f

(

(

x

x

)

)

m

a

j

m

a

j

ą

ą

p

u

n

k

ty

p

rz

e

g

i

p

u

n

k

ty

p

rz

e

g

i

ę

ę

c

ia

d

la

c

ia

d

la

.

.

W

W

ł

ł

a

s

n

o

a

s

n

o

ść

ść

t

a

t

a

w

i

w

i

ąż

ąż

e

s

i

e

s

i

ę

ę

z

t

z

w

z

t

z

w

.

.

re

g

u

re

g

u

łą

łą

t

rz

e

c

h

s

ig

m

t

rz

e

c

h

s

ig

m

,

,

w

g

w

g

k

t

k

t

ó

ó

re

j

p

rz

y

jm

u

je

s

i

re

j

p

rz

y

jm

u

je

s

i

ę

ę

,

,

ż

ż

e

r

e

a

liz

a

c

je

e

r

e

a

liz

a

c

je

z

m

ie

n

n

e

j

lo

s

o

w

e

j

c

i

z

m

ie

n

n

e

j

lo

s

o

w

e

j

c

i

ą

ą

g

g

ł

ł

e

j

e

j

X

X

n

ie

b

n

ie

b

ę

ę

d

d

ą

ą

s

i

s

i

ę

ę

r

r

ó

ó

ż

ż

n

i

n

i

ł

ł

y

y

(

(

i

i

n

p

lu

s

n

p

lu

s

,

,

in

in

m

in

u

s

m

in

u

s

)

)

o

d

w

a

rt

o

o

d

w

a

rt

o

ś

ś

c

i

c

i

o

c

z

e

k

iw

a

n

e

j

w

i

o

c

z

e

k

iw

a

n

e

j

w

i

ę

ę

c

e

j

n

i

c

e

j

n

i

ż

ż

o

o

tr

z

y

o

d

c

h

y

le

n

ia

tr

z

y

o

d

c

h

y

le

n

ia

s

ta

n

d

a

rd

o

w

e

w

y

n

o

s

i

w

p

rz

y

b

li

s

ta

n

d

a

rd

o

w

e

w

y

n

o

s

i

w

p

rz

y

b

li

ż

ż

e

n

iu

e

n

iu

1

1

,

,

c

z

y

li

c

z

y

li

:

:

{

}

1

9973.

0

3

3

≈

=

+
<

<

−

σ

µ

σ

µ

X

P

−

5

σ

−

4

σ

−

3

σ

−

2

σ

−

σ

µ

σ

2

σ

3

σ

4

σ

5

σ

R

y

s.

1

.1

0

I

lu

st

ra

cj

a

g

ra

fi

cz

n

a

re

g

u

ły

t

rz

ec

h

s

ig

m

6

8

%

R

y

s.

1

.1

0

I

lu

st

ra

cj

a

g

ra

fi

cz

n

a

re

g

u

ły

t

rz

ec

h

s

ig

m

−

5

σ

−

4

σ

−

3

σ

−

2

σ

−

σ

µ

σ

2

σ

3

σ

4

σ

5

σ

9

5

%

R

y

s.

1

.1

0

I

lu

st

ra

cj

a

g

ra

fi

cz

n

a

re

g

u

ły

t

rz

ec

h

s

ig

m

−

5

σ

−

4

σ

−

3

σ

−

2

σ

−

σ

µ

σ

2

σ

3

σ

4

σ

5

σ

9

9

%

w

w

ł

ł

a

s

n

o

a

s

n

o

ść

ść

o

k

re

o

k

re

ś

ś

lo

n

o

lo

n

o

ś

ś

c

i

c

i

-

-

k

s

z

ta

k

s

z

ta

ł

ł

t

fu

n

k

c

ji

t

fu

n

k

c

ji

g

g

ę

ę

s

to

s

to

ś

ś

c

i

z

a

le

c

i

z

a

le

ż

ż

y

o

d

w

a

rt

o

y

o

d

w

a

rt

o

ś

ś

c

i

d

w

c

i

d

w

ó

ó

c

h

c

h

p

a

ra

m

e

tr

p

a

ra

m

e

tr

ó

ó

w

w

:

:

µ

µ

i

i

.

.

P

a

ra

m

e

tr

P

a

ra

m

e

tr

µ

µ

d

e

c

y

d

u

je

o

p

rz

e

s

u

n

i

d

e

c

y

d

u

je

o

p

rz

e

s

u

n

i

ę

ę

c

iu

k

rz

y

w

e

j

c

iu

k

rz

y

w

e

j

,

,

n

a

to

m

ia

s

t

p

a

ra

m

e

tr

d

e

c

y

d

u

je

o

n

a

to

m

ia

s

t

p

a

ra

m

e

tr

d

e

c

y

d

u

je

o

„

„

s

m

u

k

s

m

u

k

ł

ł

o

o

ś

ś

c

i

c

i

”

”

k

rz

y

w

e

j

k

rz

y

w

e

j

.

.

σ

σ

P

rz

y

w

y

k

o

rz

y

s

ta

n

iu

k

rz

y

w

e

j

n

o

rm

a

ln

e

j

w

P

rz

y

w

y

k

o

rz

y

s

ta

n

iu

k

rz

y

w

e

j

n

o

rm

a

ln

e

j

w

p

ro

c

e

d

u

rz

e

w

n

io

s

k

o

w

a

n

ia

s

ta

ty

s

ty

c

z

n

e

g

o

p

ro

c

e

d

u

rz

e

w

n

io

s

k

o

w

a

n

ia

s

ta

ty

s

ty

c

z

n

e

g

o

c

e

lo

w

e

j

e

s

t

ta

k

ie

p

rz

e

k

s

z

ta

c

e

lo

w

e

j

e

s

t

ta

k

ie

p

rz

e

k

s

z

ta

ł

ł

c

e

n

ie

je

j

c

e

n

ie

je

j

r

r

ó

ó

w

n

a

n

ia

w

n

a

n

ia

,

,

a

b

y

b

y

a

b

y

b

y

ł

ł

a

o

n

a

n

ie

z

a

le

a

o

n

a

n

ie

z

a

le

ż

ż

n

a

o

d

n

a

o

d

p

a

ra

m

e

tr

p

a

ra

m

e

tr

ó

ó

w

w

.

.

N

a

le

N

a

le

ż

ż

y

w

i

y

w

i

ę

ę

c

p

rz

y

j

c

p

rz

y

j

ąć

ąć

,

,

ż

ż

e

z

a

m

ia

s

t

e

z

a

m

ia

s

t

o

b

s

e

rw

o

w

a

n

e

j

z

m

ie

n

n

e

j

lo

s

o

w

e

j

c

i

o

b

s

e

rw

o

w

a

n

e

j

z

m

ie

n

n

e

j

lo

s

o

w

e

j

c

i

ą

ą

g

g

ł

ł

e

j

X

e

j

X

w

p

ro

w

a

d

z

a

m

y

t

z

w

w

p

ro

w

a

d

z

a

m

y

t

z

w

.

.

z

m

ie

n

n

z

m

ie

n

n

ą

ą

s

ta

n

d

a

ry

z

o

w

a

n

s

ta

n

d

a

ry

z

o

w

a

n

ą

ą

,

,

k

t

k

t

ó

ó

ra

j

e

s

t

z

d

e

fi

n

io

w

a

n

a

ja

k

o

ra

j

e

s

t

z

d

e

fi

n

io

w

a

n

a

ja

k

o

:

:

σ

µ

−

=

x

u

(

)

1,

0

~

N

U

W

e

ry

fi

k

a

c

ja

h

ip

o

te

z

W

e

ry

fi

k

a

c

ja

h

ip

o

te

z

W

p

ro

c

e

s

ie

w

e

ry

fi

k

a

c

ji

h

ip

o

te

z

s

ta

ty

s

ty

c

z

n

y

c

h

m

o

W

p

ro

c

e

s

ie

w

e

ry

fi

k

a

c

ji

h

ip

o

te

z

s

ta

ty

s

ty

c

z

n

y

c

h

m

o

ż

ż

n

a

n

a

w

y

r

w

y

r

ó

ó

ż

ż

n

i

n

i

ć

ć

k

ilk

a

e

ta

p

k

ilk

a

e

ta

p

ó

ó

w

w

:

:

s

fo

rm

u

s

fo

rm

u

ł

ł

o

w

a

n

ie

h

ip

o

te

z

y

z

e

ro

w

e

j

o

w

a

n

ie

h

ip

o

te

z

y

z

e

ro

w

e

j

(

(

H

H

0

0

)

)

o

ra

z

h

ip

o

te

z

y

o

ra

z

h

ip

o

te

z

y

a

lt

e

rn

a

ty

w

n

e

j

a

lt

e

rn

a

ty

w

n

e

j

(

(

H

H

1

1

)

)

,

,

w

y

b

w

y

b

ó

ó

r

te

s

tu

s

ta

ty

s

ty

c

z

n

e

g

o

s

r

te

s

tu

s

ta

ty

s

ty

c

z

n

e

g

o

s

ł

ł

u

u

ż

ą

ż

ą

c

e

g

o

d

o

w

e

ry

fi

k

a

c

ji

c

e

g

o

d

o

w

e

ry

fi

k

a

c

ji

h

ip

o

te

z

y

z

e

ro

w

e

j

h

ip

o

te

z

y

z

e

ro

w

e

j

,

,

w

y

z

n

a

c

z

e

n

ie

w

a

rt

o

w

y

z

n

a

c

z

e

n

ie

w

a

rt

o

ś

ś

c

i

s

p

ra

w

d

z

ia

n

u

t

e

s

tu

c

i

s

p

ra

w

d

z

ia

n

u

t

e

s

tu

,

,

u

s

ta

le

n

ie

p

o

z

io

m

u

i

s

to

tn

o

u

s

ta

le

n

ie

p

o

z

io

m

u

i

s

to

tn

o

ś

ś

c

i

c

i

(

(

α

α

)

)

o

ra

z

w

y

z

n

a

c

z

e

n

ie

o

ra

z

w

y

z

n

a

c

z

e

n

ie

o

b

s

z

a

ru

o

d

rz

u

c

e

n

ia

h

ip

o

te

z

y

z

e

ro

w

e

j

lu

b

m

in

im

a

ln

e

j

o

b

s

z

a

ru

o

d

rz

u

c

e

n

ia

h

ip

o

te

z

y

z

e

ro

w

e

j

lu

b

m

in

im

a

ln

e

j

w

a

rt

o

w

a

rt

o

ś

ś

c

i

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

c

i

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

a

p

s

tw

a

p

,

,

p

o

d

j

p

o

d

j

ę

ę

c

ie

d

e

c

y

z

ji

c

ie

d

e

c

y

z

ji

z

z

o

k

re

o

k

re

ś

ś

lo

n

y

m

lo

n

y

m

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

e

m

b

s

tw

e

m

b

łę

łę

d

u

d

u

,

,

je

je

ż

ż

e

li

p

e

li

p

<

<

α

α

o

d

rz

u

c

a

m

y

o

d

rz

u

c

a

m

y

H

H

0

0

.

.

T

e

s

t

z

g

o

d

n

o

T

e

s

t

z

g

o

d

n

o

ś

ś

c

i

ro

z

k

c

i

ro

z

k

ł

ł

a

d

u

a

d

u

H

H

0

0

:

:

F

F

(

(

x

x

)=

)=

F

F

0

0

(

(

x

x

)

)

,

,

c

z

y

li

c

z

y

li

ż

ż

e

r

o

z

k

e

r

o

z

k

ł

ł

a

d

a

d

e

m

p

ir

y

c

z

n

y

b

a

d

a

n

e

j

p

o

p

u

la

c

ji

e

m

p

ir

y

c

z

n

y

b

a

d

a

n

e

j

p

o

p

u

la

c

ji

F

F

(

(

x

x

)

)

p

o

k

ry

w

a

s

i

p

o

k

ry

w

a

s

i

ę

ę

z

z

p

e

w

n

y

m

p

e

w

n

y

m

r

o

z

k

r

o

z

k

ł

ł

a

d

e

m

a

d

e

m

te

o

re

ty

c

z

n

y

m

te

o

re

ty

c

z

n

y

m

F

F

0

0

(

(

x

x

)

)

,

,

w

o

b

e

c

h

ip

o

te

z

y

a

lt

e

rn

a

ty

w

n

e

j

w

o

b

e

c

h

ip

o

te

z

y

a

lt

e

rn

a

ty

w

n

e

j

H

H

1

1

:

:

F

F

(

(

x

x

)

)

≠

≠

F

F

0

0

(

(

x

x

)

)

,

,

c

z

y

li

c

z

y

li

ż

ż

e

r

o

z

k

e

r

o

z

k

ł

ł

a

d

a

d

e

m

p

ir

y

c

z

n

y

b

a

d

a

n

e

j

p

o

p

u

la

c

ji

e

m

p

ir

y

c

z

n

y

b

a

d

a

n

e

j

p

o

p

u

la

c

ji

F

F

(

(

x

x

)

)

je

s

t

je

s

t

r

r

ó

ó

ż

ż

n

y

o

d

r

o

z

k

n

y

o

d

r

o

z

k

ł

ł

a

d

u

t

e

o

re

ty

c

z

n

e

g

o

a

d

u

t

e

o

re

ty

c

z

n

e

g

o

F

F

0

0

(

(

x

x

)

)

,

,

χ

2

C

e

le

m

s

p

ra

w

d

z

e

n

ia

h

ip

o

te

z

y

C

e

le

m

s

p

ra

w

d

z

e

n

ia

h

ip

o

te

z

y

z

e

ro

w

e

j

H

z

e

ro

w

e

j

H

0

0

n

a

le

n

a

le

ż

ż

y

y

p

o

d

z

ie

li

p

o

d

z

ie

li

ć

ć

w

y

n

ik

i

p

r

w

y

n

ik

i

p

r

ó

ó

b

y

n

a

b

y

n

a

r

r

r

o

z

r

o

z

łą

łą

c

z

n

y

c

h

k

la

s

c

z

n

y

c

h

k

la

s

o

o

lic

z

e

b

n

o

lic

z

e

b

n

o

ś

ś

c

ia

c

h

c

ia

c

h

n

i

n

i

(

(

i

i

=

=

1

1

,

,

2

2

,

,

3

3

,

,

..

..

,

,

r

r

)

)

w

w

k

a

k

a

ż

ż

d

e

j

d

e

j

k

la

s

ie

k

la

s

ie

,

,

p

rz

y

c

z

y

m

p

rz

y

c

z

y

m

,

,

o

b

lic

z

y

o

b

lic

z

y

ć

ć

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

ń

s

tw

o

s

tw

o

p

i

p

i

t

e

g

o

t

e

g

o

,

,

ż

ż

e

z

m

ie

n

n

a

l

o

s

o

w

a

e

z

m

ie

n

n

a

l

o

s

o

w

a

o

o

d

y

s

tr

y

b

u

a

n

c

ie

d

y

s

tr

y

b

u

a

n

c

ie

F

F

0

0

(

(

x

x

)

)

p

rz

y

jm

ie

w

a

rt

o

p

rz

y

jm

ie

w

a

rt

o

ś

ś

c

i

n

a

le

c

i

n

a

le

ż

ą

ż

ą

c

e

d

o

c

e

d

o

i

i

-

-

te

j

te

j

k

la

s

y

k

la

s

y

(

(

i

i

=

=

1

1

,

,

2

2

,

,

..

.

..

.

r

r

)

)

,

,

g

d

z

ie

g

d

z

ie

:

:

o

b

lic

z

y

o

b

lic

z

y

ć

ć

s

ta

ty

s

ty

k

s

ta

ty

s

ty

k

ę

ę

J

e

J

e

ż

ż

e

li

w

e

ry

fi

k

o

w

a

n

a

h

ip

o

te

z

a

j

e

s

t

p

ra

w

d

z

iw

a

e

li

w

e

ry

fi

k

o

w

a

n

a

h

ip

o

te

z

a

j

e

s

t

p

ra

w

d

z

iw

a

,

,

to

s

ta

ty

s

ty

k

a

to

s

ta

ty

s

ty

k

a

m

a

p

rz

y

m

a

p

rz

y

n

n

r

o

z

k

r

o

z

k

ł

ł

a

d

o

a

d

o

(

(

r

r

-

-

s

s

-

-

1

1

)

)

s

to

p

n

ia

c

h

s

w

o

b

o

d

y

s

to

p

n

ia

c

h

s

w

o

b

o

d

y

,

,

g

d

z

ie

g

d

z

ie

s

s

j

e

s

t

j

e

s

t

lic

z

b

lic

z

b

ą

ą

s

z

a

c

o

w

a

n

y

c

h

p

a

ra

m

e

tr

s

z

a

c

o

w

a

n

y

c

h

p

a

ra

m

e

tr

ó

ó

w

r

o

z

k

w

r

o

z

k

ł

ł

a

d

u

a

d

u

z

z

p

r

p

r

ó

ó

b

y

b

y

.

.

p

p

p

r

1

2

1

+

+

+

=

..

.

(

)

χ

2

2

1

=

−

=

∑

n

n

p

n

p

i

i

i

i

r

χ

2