Matematyka
Piotr Fija lkowski
Literatura
1. H. E. Kry´
nski, Matematyka dla ekonomist´
ow.
2. W. Krysicki, L. W lodarski, Analiza matematyczna w zadaniach.
3. M. Mat loka, B. Wojcieszyn, Matematyka z elementami zasto-
sowa´
n w ekonomii.
4. A. Ostoja-Ostaszewski, Matematyka w ekonomii.
5. M. Piszcza la, J. Piszcza la, B. Wojcieszyn, Matematyka z zada-
niami.
1
1
Elementy logiki i teorii zbior´
ow.
Zdanie w sensie logiki - wypowied´
z, kt´
orej mo˙zna przypisa´
c jedn
,
a z
dw´
och warto´sci logicznych: prawda (1) lub fa lsz (0).
Negacja zdania p: ∼ p - nieprawda, ˙ze p - zdanie prawdziwe wtedy
i tylko wtedy, gdy p jest fa lszywe.
Koniunkcja zda´
n p, q: p ∧ q - p i q - zdanie prawdziwe tylko wtedy,
gdy ka˙zde ze zda´
n sk ladowych jest prawdziwe.
Alternatywa zda´
n p, q: p ∨ q - p lub q - zdanie prawdziwe tylko
wtedy, gdy jedno ze zda´
n sk ladowych jest prawdziwe.
Implikacja z poprzednikiem p i nast
,
epnikiem q: p =⇒ q - z p wynika
q - fa lszywa tylko w przypadku, gdy poprzednik jest prawdziwy, a
nast
,
epnik fa lszywy.
R´
ownowa˙zno´s´
c zda´
n p, q: p ⇐⇒ q - p wtedy i tylko wtedy, gdy
q - prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania maj
,
a t
,
e sam
,
a warto´s´
c
logiczn
,
a.
Zbi´
or, element zbioru, relacja przynale˙zno´sci do zbioru s
,
a poj
,
eciami
pierwotnymi, tzn. takimi, kt´
orych si
,
e nie definiuje.
W oznaczeniu x ∈ A (A 3 x) x oznacza element zbioru A; x /
∈ A
oznacza, ˙ze x nie jest elementem zbioru A.
Zbi´
or pusty ∅ - zbi´or, do ktr´orego nie nale˙zy ˙zaden element.
{x
1
, x
2
, ...} -zbi´or sk ladaj
,
acy si
,
e z element´
ow x
1
, x
2
, ... .
Podzbi´
or zbioru: B jest podzbiorem zbioru A ( B zawiera si
,
e w A,
B ⊂ A, A ⊃ B), je´sli ka˙zdy element zbioru B jest elementem zbioru
A.
Oznaczenie {x ∈ A : f(x)} oznacza podzbi´or zbioru A z lo˙zony z
tych element´
ow x, kt´
ore spe lniaj
,
a warunek f (x).
Dzia lania na zbiorach:
A ∪ B = {x : x ∈ A lub x ∈ B}.
A ∩ B = {x : x ∈ A i x ∈ B}.
A \ B = {x : x ∈ A i x /
∈ B}.
2
Zbiory liczbowe:
N = {0, 1, 2, ...} - zbi´or liczb naturalnych.
Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} - zbi´or liczb ca lkowitych.
Q - zbi´or liczb wymiernych, tzn. takich, kt´ore dadz
,
a si
,
e zapisa´
c w
postaci u lamk´
ow zwyk lych.
R - zbi´or liczb rzeczywistych.
Kwantyfikatory:
W
x∈A
f (x) - istnieje element x zbioru A spe lniaj
,
acy warunek f (x).
V
x∈A
f (x) - dla ka˙zdego elementu x ze zbioru A jest spe lniony wa-
runek f (x).
Procenty.
Je´sli
a =
p
100
b,
to m´
owimy, ˙ze aa stanowi p procent (p%) liczby b.
Warto´
s´
c bezwzgl
,
edna (modu l) liczby rzeczywistej:
|x| =
x, gdy x ≥ 0
−x, gdy x < 0.
Suma (iloczyn) wi
,
ekszej ilo´
sci sk ladnik´
ow (czynnik´
ow):
n
X
i=m
a
i
= a
m
+ a
m+1
+ ... + a
n
,
n
Y
i=m
a
i
= a
m
a
m+1
...a
n
.
3
2
Algebra liniowa.
1. Wektory i macierze
Przestrzeni
,
a
R
n
, gdzie
R jest zbiorem liczb rzeczywistych nazy-
wamy iloczyn kartezja´
nski
R × R × ... × R (n razy), tzn. zbi´or postaci
{(x
1
, x
2
, ..., x
n
) : x
1
, x
2
, ..., x
n
∈ R}.
Element (x
1
, x
2
, ..., x
n
) (w innym zapisie [x
1
, x
2
, ..., x
n
]) przestrzeni
R
n
nazywamy wektorem. W pewnych sytuacjach wygodniej jest zapi-
sywa´
c go w postaci ”kolumnowej”:
x =
x
1
x
2
...
x
n
.
Przyjmujemy nast
,
epuj
,
ace definicje dzia la´
n na wektorach:
x
1
x
2
...
x
n
+
z
1
z
2
...
z
n
=
x
1
+ z
1
x
2
+ z
2
...
x
n
+ z
n
,
α
x
1
x
2
...
x
n
=
αx
1
αx
2
...
αx
n
.
Definicja. Liniow
,
a kombinacj
,
a wektor´
ow
x
(1)
, x
(2)
, ..., x
(k)
ze wsp´
o lczynnikami odpowiednio
α
1
, α
2
, ..., α
k
,
4
nazywamy wektor
α
1
x
(1)
+ α
2
x
(2)
+ ... + α
k
x
(k)
.
Definicja
Wektorem zerowym nazywamy wektor
θ =
0
0
...
0
,
Definicja. Wektory x
(1)
, x
(2)
, ... , x
(k)
nazywamy liniowo niezale˙znymi,
je´sli z r´
owno´sci
α
1
x
(1)
+ α
2
x
(2)
+ ... + α
k
x
(k)
= θ,
gdzie θ jest wektorem zerowym, wynika, ˙ze
α
1
= α
2
= ... = α
k
= 0,
a wi
,
ec, ˙ze jedyn
,
a ich kombinacj
,
a liniow
,
a o warto´sci θ jest kombinacja
o zerowych wsp´
o lczynnikach.
W przeciwnym razie wektory nazywamy liniowo zale˙znymi.
Przyk lad. Wektory
1
−2
i
3
4
s
,
a liniowo niezale˙zne.
Wektory
1
−2
i
3
−6
s
,
a liniowo zale˙zne.
Definicja. Macierz
,
a n × m (o n wierszach i m kolumnach) nazy-
wamy tablic
,
e liczb postaci
5
A =
a
11
a
12
... a
1m
a
21
a
22
... a
2m
...
a
n1
a
n2
... a
nm
,
Macierz mo˙zemy zapisa´
c kr´
ocej A = [a
ij
]
i=1,2,...n,j=1,2,...,m
.
Je´sli n = m, to m´
owimy, ˙ze macierz jest kwadratowa.
Definicje dzia la´
n na macierzach:
a
11
... a
1m
a
21
... a
2m
...
a
n1
... a
nm
+
b
11
... b
1m
b
21
... b
2m
...
b
n1
... b
nm
=
a
11
+ b
11
... a
1m
+ b
1m
a
21
+ b
21
... a
2m
+ b
2m
...
a
n1
+ b
n1
... a
nm
+ b
nm
,
α
a
11
a
12
... a
1m
a
21
a
22
... a
2m
...
a
n1
a
n2
... a
nm
=
αa
11
... αa
1m
αa
21
... αa
2m
...
αa
n1
... αa
nm
,
,
A =
a
11
a
12
... a
1m
a
21
a
22
... a
2m
...
a
n1
a
n2
... a
nm
b
11
b
12
... b
1k
b
21
b
22
... b
2k
...
b
m1
b
n2
... b
mk
=
c
11
c
12
... c
1k
c
21
c
22
... c
2k
...
c
n1
c
n2
... c
nk
,
gdzie wyraz c
ij
powstaje przez sumowanie iloczyn´
ow kolejnych ele-
ment´
ow i-tego wiersza pierwszej macierzy przez kolejne elementy j-ej
kolumny macierzy drugiej.
Macierz
,
a transponowan
,
a A
T
do macierzy A nazywamy macierz
powsta l
,
a z A przez zamian
,
e wierszy na kolumny.
6
Definicja. Wyznacznikiem macierzy A kwadratowej n × n nazy-
wamy liczb
,
e okre´slon
,
a nast
,
epuj
,
aco:
1. dla n = 1 det[a
11
] = a
11
,
2. dla n = 2
det
a
11
a
12
a
21
a
22
= a
11
a
22
− a
21
a
12
,
3. dla n > 2
det
a
11
a
12
... a
1n
...
a
i1
a
i2
... a
in
...
a
n1
a
n2
... a
nn
= (−1)
i+1
a
i1
W
i1
+(−1)
i+2
a
i2
W
i2
+...+(−1)
i+n
a
in
W
in
,
gdzie W
ij
jest wyznacznikiem macierzy (n − 1) × (n − 1) powsta lej
przez skre´slenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Definicja w punkcie 3. podaje tzw. rozwini
,
ecie Laplace’a wzgl
,
edem
i-tego wiersza.
Dowodzi si
,
e, ˙ze wyb´
or wiersza nie ma wp lywu na warto´s´
c wyznacz-
nika oraz, ˙za analogicznie mo˙zna obliczy´
c wyznacznik rozwijaj
,
ac go
wzgl
,
edem dowolnej kolumny.
Zamiast oznaczenia detA stosujemy cz
,
esto oznaczenie |A|.
Definicja. Liniow
,
a kombinacj
,
a wektor´
ow
x
(1)
, x
(2)
, ..., x
(k)
ze wsp´
o lczynnikami odpowiednio
α
1
, α
2
, ..., α
k
,
nazywamy wektor
α
1
x
(1)
+ α
2
x
(2)
+ ... + α
k
x
(k)
.
W lasno´
sci wyznacznik´
ow:
7
1. Wyznacznik macierzy nie zmieni si
,
e, je´sli do danego wiersza
(kolumny) doda´
c dowoln
,
a liniow
,
a kombinacj
,
e pozosta lych wierszy (ko-
lumn).
2. Wyznacznik macierzy, kt´
ora posiada wiersz lub kolumn
,
e z lo˙zon
,
a
z samych zer jest r´
owny zero.
3. Wyznacznik macierzy maj
,
acej dwa wiersze lub dwie kolumny
proporcjonalne do siebie r´
owna si
,
e zeru.
4. Zachodzi r´
owno´s´
c
detA
T
= detA.
5. Zachodzi r´
owno´s´
c
det(AB) = detA detB.
Przyk lad.
2 3 − 4
5 0
0
2 2 − 3
,
1 3 − 4
2 − 1 3
2 4 − 2
,
2 3 − 4
4 6 − 8
2 2 − 3
= 0
Definicja. Macierz
,
a jednostkow
,
a nazywamy macierz kwadratow
,
a
postaci:
I =
1 0 ... 0
0 1 ... 0
...
0 0 ... 1
,
8
kt´
orej wyrazy na tzw. g l´
ownej przek
,
atnej s
,
a r´
owne 1, a pozosta le 0.
Definicja. Macierz
,
a odwrotn
,
a do danej macierzy kwadratowej A
nazywamy macierz A
−1
dla kt´
orej
AA
−1
= A
−1
A = I,
gdzie I jest macierz
,
a jednostkow
,
a odpowiedniego wymiaru.
Twierdzenie.
Macierz kwadratowa posiada macierz odwrotn
,
a
wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest r´
o˙zny od zera. Nazy-
wamy j
,
a wtedy macierz
,
a nieosobliw
,
a.
Je´sli
A =
a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
...
a
n1
a
n2
... a
nn
,
detA 6= 0
i
A
−1
=
b
11
b
12
... b
1n
b
21
b
22
... b
2n
...
b
n1
b
n2
... b
nn
,
to
b
ij
=
(−1)
i+j
W
ji
detA
,
gdzie W
ji
jest wyznacznikiem powsta lym przez skre´slenie j-tego wier-
sza i i-tej kolumny.
Uk lady r´
owna´
n liniowych.
Uk ladem n r´
owna´
n liniowych z m niewiadomymi nazywamy uk lad:
(∗)
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ... + a
1m
x
m
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ... + a
2m
x
m
= b
2
...
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ ... + a
nm
x
m
= b
n
.
9
Uk lad ten r´
ownowa˙znie mo˙zna zapisa´
c jako
a
11
a
12
... a
1m
a
21
a
22
... a
2m
...
a
n1
a
n2
... a
nm
x
1
x
2
...
x
m
=
b
1
b
2
...
b
n
,
gdzie kolejne macierze nazywamy macierz
,
a wsp´
o lczynnik´
ow przy nie-
wiadomych lub macierz
,
a g l´
own
,
a uk ladu, wektorem niewiadomych oraz
wektorem wyraz´
ow wolnych.
Definicja. Rz
,
edem rzA macierzy A nazywamy maksymaln
,
a ilo´s´
c
wierszy lub kolumn liniowo niezale˙znych.
Twierdzenie. Rz
,
ad macierzy wynosi k, je´sli maksymalnym co do
wymiaru co do wymiaru minorem (tj. wyznacznikiem powsta lym ze
skre´slenia pewnej ilo´sci wierszy i kolumn) r´
o˙znym od zera jest minor
k × k.
Twierdzenie Kroneckera - Capelliego. Uk lad r´
owna´
n (*) po-
siada przynajmniej jedno rozwi
,
azanie wtedy i tylko wtedy, je´sli rz
,
ad
macierzy wsp´
o lczynnik´
ow jest r´
owny rz
,
edowi macierzy rozszerzonej,
tan. macierzy powsta lej przez do l
,
aczenie do macierzy ws´
o lczynnik´
ow
kolumny wyraz´
ow wolnych.
Wzory Cramera.
Je´sli n = m oraz wyznacznik W macierzy wsp´
o lczynnik´
ow jest
r´
o˙zny od zera, to uk lad (*) nazywamy cramerowskim. Uk lad crame-
rowski posiada dok ladnie jedno rozwi
,
azanie dane przez wzory Cra-
mera:
x
1
=
W
1
W
x
2
=
W
2
W
...
x
n
=
W
n
W
,
gdzie W
j
jest wyznacznikiem powsta lym z macierzy wsp´
o lczynnik´
ow
przy niewiadomych przez zast
,
apienie j-tej kolumny kolumn
,
a wyraz´
ow
wolnych.
10
Uk lady niecramerowskie mo˙zemy rozwi
,
aza´
c w nast
,
epuj
,
acy spos´
ob:
1. Sprawdzamy, czy spe lnione jest Twierdzenie Kroneckera - Ca-
pelliego - je´sli nie, to uk lad jest sprzeczny.
2.
Je´sli rz
,
ad macierzy wsp´
o lczynnik´
ow przy niewiadomych jest
r´
owny rz
,
edowi macierzy rozszerzonej, to pos lugujemy si
,
e maksymal-
nym co do wymiaru niezerowym minorem W macierzy wsp´
o lczynnik´
ow
przy niewiadomych.
a) Wykre´slamy r´
ownania, kt´
orych ˙zaden wsp´
o lczynnik nie jest obj
,
ety
minorem W .
b) Wyrazy ”nie obj
,
ete” minorem W przenosimy na praw
,
a stron
,
e
i odpowiednie niewiadome traktujemy jako parametry o dowolnych
warto´sciach.
c) Traktujemy tak przekszta lcony uk lad jako cramerowski z niewia-
domymi, kt´
ore pozosta ly po lewej stronie i rozwi
,
azujemy ten uk lad.
Przyk lady.
x
1
− 2x
2
= 1
3x
1
+ x
2
= 10
,
x
1
− 2x
3
= −5
3x
1
+ x
2
− x
3
= 2
6x
1
+ 2x
2
− 2x
3
= 4
,
x
1
− 2x
3
= −5
3x
1
+ x
2
− x
3
= 2
6x
1
+ 2x
2
− 2x
3
= 5
.
Przep lywy mi
,
edzyga l
,
eziowe
Za l´
o˙zmy, ˙ze produkcja dzieli si
,
e na n ga l
,
ezi. Niech
Q
i
- produkcja i-tej ga l
,
ezi w danej jednostce czasu (np. roczna),
q
ij
- ilo´s´
c produkcji i-tej ga l
,
ezi, kt´
ora zu˙zywana jest na cele pro-
dukcyjne j-tej ga l
,
ezi,
q
i
produkt ko´
ncowy i-tej ga l
,
ezi - ta cz
,
e´s´
c produkcji, kt´
ora nie jest
11
przeznaczona na bie˙z
,
ace cele produkcyjne, tylko na konsumpcj
,
e, eks-
port itp..
R´
ownania bilansowe produkcji:
Q
1
= q
11
+ q
12
+ ... + q
1n
+ q
1
Q
2
= q
21
+ q
22
+ ... + q
2n
+ q
2
...
Q
n
= q
n1
+ q
n2
+ ... + q
nn
+ q
n
.
Wielko´sci
a
ij
=
q
ij
Q
j
,
i, j = 1, 2, ..., n
nazywamy wsp´
o lczynnikami technicznymi produkcji; okre´slaj
,
a one jaka
ilo´s´
c jednostek i-tej ga l
,
ezi jest potrzebna do wytworzenia jednostki
produkcji j-tej ga l
,
ezi.
Macierz
A =
a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
...
a
n1
a
n2
... a
nn
,
nazywamy macierz
,
a techniki wytwarzania; jest sta la dla danej tech-
nologii. Mamy:
q
ij
= a
ij
Q
j
,
wi
,
ec r´
ownanie bilansowe mo˙zna zapisa´
c w postaci:
Q
1
= a
11
Q
1
+ a
12
Q
2
+ ... + a
1n
Q
n
+ q
1
Q
2
= a
21
Q
1
+ a
22
Q
2
+ ... + a
2n
Q
n
+ q
2
...
Q
n
= a
n1
Q
1
+ a
n2
Q
2
+ ... + a
nn
Q
n
+ q
n
12
lub w postaci macierzowej
Q
1
Q
2
...
Q
n
=
a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
...
a
n1
a
n2
... a
nn
Q
1
Q
2
...
Q
m
+
q
1
q
2
...
q
n
,
Oznaczamy
Q =
Q
1
Q
2
...
Q
n
traktujemy jako szukane,
q =
q
1
q
2
...
q
n
traktujemy jako dane.
Mamy
Q = AQ + q
Q − AQ = q
(I − A)Q = q
Q = (I − A)
−1
q.
13
3
Ci
,
agi.
Definicja. Ci
,
agiem nazywamy odwzorowanie zbioru liczb natural-
nych dodatnich (
N \ {0})w zbi´or liczb rzeczywistych R. Oznaczamy
a
1
, a
2
, ... , lub (a
j
)
j∈N\{0}
.
Przyk lad. Ci
,
ag mo˙zna okre´sli´
c przez podanie wzoru na j-ty wy-
raz, np. wz´
or
a
j
=
1
j
, j = 1, 2, ...
okre´sla ci
,
ag
1,
1
2
,
1
3
, ... .
Monotoniczno´
s´
c ci
,
agu. Ci
,
ag (a
j
)
j∈N\{0}
nazywamy:
rosn
,
acym, je´sli
V
j∈N\{0}
a
j+1
> a
j
,
malej
,
acym, je´sli
V
j∈N\{0}
a
j+1
< a
j
,
niemalej
,
acym, je´sli
V
j∈N\{0}
a
j+1
≥ a
j
,
nierosn
,
acym, je´sli
V
j∈N\{0}
a
j+1
≤ a
j
,
sta lym, je´sli
V
j∈N\{0}
a
j+1
= a
j
.
Ci
,
ag, kt´
ory spe lnia jeden z powy˙zszych warunk´
ow, nazywamy mo-
notonicznym.
Ograniczono´
s´
c ci
,
agu. Ci
,
ag (a
j
)
j∈N\{0}
nazywamy:
ograniczonym z do lu, je´sli dla pewnej liczby m
V
j∈N\{0}
m ≤ a
j
,
ograniczonym z g´
ory, je´sli dla pewnej liczby M
V
j∈N\{0}
a
j
≤ M,
ograniczonym, je´sli jest ograniczony z do lu i z g´
ory.
Ci
,
agi zbie ˙zne, granica ci
,
agu.
Ci
,
ag (a
j
)
j∈N\{0}
nazywamy zbie˙znym do a ∈ R, co zapisujemy
lim
j→∞
a
j
= a
wtedy i tylko wtedy, gdy
^
ε>0
_
N (ε)
^
j>N (ε)
|a
j
− a| < ε.
Ci
,
ag (a
j
)
j∈N\{0}
nazywamy rozbie˙znym (zbie˙znym) do +∞, co za-
pisujemy
lim
j→∞
a
j
= +∞
14
wtedy i tylko wtedy, gdy
^
M
_
N (M )
^
j>N (M )
a
j
> M .
Ci
,
ag (a
j
)
j∈N\{0}
nazywamy rozbie˙znym (zbie˙znym) do −∞, co za-
pisujemy
lim
j→∞
a
j
= −∞
wtedy i tylko wtedy, gdy
^
M
_
N (M )
^
j>N (M )
a
j
< M .
Wa ˙zne granice:
lim
j→∞
a
j
=
nie istnieje, gdy a ≤ −1
0, gdy |a| < 1
1, gdy a = 1
+∞, dla α > 1.
lim
j→∞
j
a
=
0, gdy a < 0,
1, gdy a = 0,
+∞, gdy a > 0.
lim
j→∞
a
1/j
= 1
lim
j→∞
j
1/j
= 1
lim
j→∞
(1 +
1
j
)
j
= e
gdzie
e ≈ 2, 7.
Twierdzenia o granicach
1. Ka˙zdy ci
,
ag zbie˙zny jest ograniczony.
2. Ka˙zdy ci
,
ag motoniczny i ograniczony jest zbie˙zny.
3. Twierdzenie o trzech ci
,
agach:
15
Je´sli
a
j
≤ b
j
≤ c
j
, j = 1, 2, ...
oraz
lim
j→∞
a
j
= lim
j→∞
c
j
,
to
lim
j→∞
a
j
= lim
j→∞
b
j
= lim
j→∞
c
j
,
4. Dzia lania na granicach:
lim
j→∞
(a
j
+ b
j
) = lim
j→∞
a
j
+ lim
j→∞
b
j
,
lim
j→∞
(a
j
b
j
) = lim
j→∞
a
j
lim
j→∞
b
j
,
lim
j→∞
a
j
b
j
=
lim
j→∞
a
j
lim
j→∞
b
j
,
je´sli b
j
6= 0 oraz lim
j→∞
b
j
.
Powy˙zsze r´
owno´sci zachodz
,
a, je´sli granice po prawej stronie istniej
,
a
i s
,
a sko´
nczone. Dla granic niew la´sciwych zachodz
,
a niekt´
ore r´
owno´sci,
symbolicznie:
16
a ± ∞ = ±∞
+∞ + ∞ = +∞
−∞ − ∞ = −∞
a(±∞) = ±∞, dla a > 0
a(±∞) = ∓∞, dla a < 0
(+∞)(+∞) = +∞
(+∞)(−∞) = −∞
(−∞)(−∞) = +∞
a
±∞
= 0
1
0
+
= +∞
1
0
−
= −∞
Powy˙zej symbol 0
+
oznacza zbie˙zno´s´
c do zera przez warto´sci do-
datnie, 0
−
- zbie˙zno´s´
c do zera przez warto´sci ujemne.
Niekt´
ore symbole nie maj
,
a warto´sci, gdy˙z zmienia si
,
e ona w zale˙zno´sci
od konkretnych ci
,
ag´
ow. Nazywamy je symbolami nieoznaczonymi:
∞
∞
, ∞ − ∞, ∞ · 0,
0
0
0
0
, ∞
0
, 1
∞
Przyk lad:
lim
j→∞
j
2
j
= lim
j→∞
j = +∞
lim
j→∞
j
j
= lim
j→∞
1 = 1
lim
j→∞
j
j
2
= lim
j→∞
1
j
= 0.
Wszystkie powy˙zsze ci
,
agi mog
,
a by´
c opisane symbolem
∞
∞
, a maj
,
a
r´
o˙zne granice. Dlatego symbol
∞
∞
jest nieoznaczony.
17
4
Funkcje jednej zmiennej.
Definicja. Funkcj
,
a f : D → Y nazywamy przyporz
,
adkowanie, kt´
ore
ka˙zdemu elementowi x ∈ D przyporz
,
adkowuje dok ladnie jeden ele-
ment y = f (x) ∈ Y .
D - dziedzina funkcji,
Y - przeciwdziedzina funkcji,
x ∈ D - argument funkcji,
f (x) - warto´s´
c funkcji dla argumentu x ∈ D.
Dalej zak ladamy, ˙ze D, Y ⊂ R. M´owimy w´owczas o funkcjach
jednej zmiennej rzeczywistej o warto´sciach rzeczywistych.
Monotoniczno´
s´
c funkcji. M´
owimy, ˙ze funkcja F : D → R jest
rosn
,
aca, je´sli
V
x
1
,x
2
∈D
x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) < f (x
2
),
malej
,
aca, je´sli
V
x
1
,x
2
∈D
x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) > f (x
2
),
niemalej
,
aca, je´sli
V
x
1
,x
2
∈D
x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) ≤ f(x
2
),
nierosn
,
aca, je´sli
V
x
1
,x
2
∈D
x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) ≥ f(x
2
),
Funkcj
,
e, kt´
ora spe lnia jeden z powy˙zszych warunk´
ow, nazywamy
monotoniczn
,
a.
Miejscem zerowym funkcji nazywamy warto´s´
c argumentu x
0
∈
D, dla kt´
orego funkcja przyjmuje warto´s´
c 0:
f (x
0
) = 0.
Przegl
,
ad funkcji elementarnych
a) funkcja liniowa:
f (x) = ax + b, D =
R.
Miejsce zerowe - dla a 6= 0
x
0
= −
b
a
a > 0
a < 0
a = 0
18
b) funkcja kwadratowa:
f (x) = ax
2
+ bx + c, a 6= 0, D = R.
Wyr´
o˙znik funkcji kwadratowej:
∆ = b
2
− 4ac.
Ilo´s´
c miejsc zerowych zale˙zy od ∆:
∆ < 0 - brak miejsc zerowych,
∆ = 0 - jedno miejsce zerowe:
x
0
=
−b
2a
,
∆ > 0 - dwa miejsca zerowe:
x
1
=
−b −
√
∆
2a
,
x
2
=
−b +
√
∆
2a
.
∆ < 0
∆ = 0
∆ > 0
a > 0
a < 0
19
c) wielomiany:
Wielomian stopnia n:
f (x) = a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ ... + a
1
x + a
0
, a
n
6= 0, D = R.
Twierdzenie Bezout: Wielomian f jest podzielny przez x−x
0
wtedy
i tylko wtedy, gdy f (x
0
) = 0 (tzn. x
0
jest miejscem zerowym, czyli
tzw. pierwiastkiem wielomianu f ).
d) funkcje wymierne:
f (x) =
W (x)
Q(x)
, W, Q − wielomiany
D = {x ∈ R : Q(x) 6= 0}.
e) funkcje pot
,
egowe;
f (x) = x
a
,
przy czym pot
,
eg
,
e definiujemy nast
,
epuj
,
aco:
x
n
= xx · ... · x n razy, dla n ∈ N oraz x ∈ R,
x
−n
=
1
x
n
dla n ∈ N oraz x 6= 0,
x
0
= 1 dla n ∈ N oraz x 6= 0,
x
1
n
=
n
√
x dla n ∈ N oraz x ≤ 0,
x
m
n
=
n
√
x
m
dla n ∈ N, m ∈ Z, oraz x > 0,
x
r
= lim
j→∞
x
r
j
, dla r ∈ R, oraz x > 0,
gdzie (r
j
)
j∈N\{0}
jest ci
,
agiem liczb wymiernych zbie˙znym do r.
D i wykres zale˙z
,
a od wyk ladnika a.
f) funkcja wyk ladnicza:
f (x) = a
x
, x 6= 1, a > 0, D = R.
a > 1
0 < a < 1
20
g) funkcja logarytmiczna:
f (x) = log
a
x, D = (0, ∞), a > 0, a 6= 1.
(log
a
b = c ⇔ a
c
= b, a > 0, a 6= 1, b > 0.)
a > 1
0 < a < 1
h) funkcje trygonometryczne:
f (x) = sin x, D =
R.
f (x) = cos x, D =
R.
21
f (x) = tg x, D =
R \ {
π
2
+ kπ, k ∈ Z}.
f (x) = ctg x, D =
R \ {kπ, k ∈ Z}.
Definicja funkcji r´
o ˙znowarto´
sciowej.
Funkcj
,
e f : D → R nazywamy r´o˙znowarto´sciow
,
a, je´sli z tego, ˙ze
x
1
6= x
2
wynika, ˙ze f (x
1
) 6= f(x
2
).
Definicja funkcji odwrotnej.
Je´sli funkcja f : D → Y jest r´o˙znowarto´sciowa i dla ka˙zdego y ∈ Y
istnieje x ∈ D taki, ˙ze f(x) = y, to funkcj
,
e f nazywamy odwracaln
,
a,
a funkcj
,
a odwrotn
,
a do f nazywamy funkcj
,
e f
−1
okre´slon
,
a warunkiem
f
−1
(y) = x ⇔ f(x) = y.
22
Funkcje cyklometryczne.
f (x) = arcsin x - odwrotna do funkcji sin w przedziale [−
π
2
,
π
2
] ,
to znaczy
arcsin x = y ⇔ sin y = x i y ∈ [−
π
2
,
π
2
], x ∈ [−1, 1]
f (x) = arccos x - odwrotna do funkcji cos w przedziale [0, π] ,
to znaczy
arccos x = y ⇔ cos y = x i y ∈ [0, π], x ∈ [−1, 1]
f (x) = arctg x - odwrotna do funkcji tg w przedziale −
π
2
,
π
2
,
to znaczy
arctg x = y ⇔ tg y = x i y ∈
−
π
2
,
π
2
,
23
f (x) = arcctg x - odwrotna do funkcji ctg w przedziale (0, π) ,
to znaczy
arcctg x = y ⇔ ctg y = x i y ∈ (0, π) ,
5
Rachunek r´
o ˙zniczkowy funkcji jednej zmiennej
Otoczenie i s
,
asiedztwo punktu na prostej
R.
Otoczeniem punktu x
0
∈ R nazywamy dowolny zbi´or zawieraj
,
acy
jakikolwiek przedzia l, w ´srodku kt´
orego znajduje si
,
e x
0
.
Je˙zeli U jest otoczeniem punktu x
0
, to U \ {x
0
} nazywamy jego
s
,
asiedztwem, zbi´
or {x ∈ U : x < x
0
} jego lewostronnym s
,
asiedztwem,
zbi´
or {x ∈ U : x > x
0
} jego prawostronnym s
,
asiedztwem,
Granice funkcji.
Za l´
o˙zmy, ˙ze dziedzina funkcji f : D → R zawiera pewne s
,
asiedztwo
punktu x
0
(punkt x
0
mo˙ze nale˙ze´
c lub nie do D).
M´
owimy, ˙ze granica funkcji f w punkcie x
0
wynosi g, co zapisujemy
lim
x→x
0
f (x) = g, je´sli
^
ε>0
_
δ>0
^
x∈D
|x − x
0
| < δ ⇒ |f(x) − g| < ε.
Przy za lo˙zeniu, ˙ze dziedzina funkcji zawiera lewostronne s
,
asiedztwo
punktu x
0
, mo˙zemy okre´sli´
c lewostronn
,
a granic
,
e lim
x→x
−
0
f (x) = g
funkcji f w punkcie x
0
ograniczaj
,
ac si
,
e w powy˙zszym warunku do
x < 0.
Analogicznie okre´slamy prawostronn
,
a granic
,
e lim
x→x
+
0
f (x) = g
funkcji f w punkcie x
0
.
24
Granica funkcji f w punkcie x
0
istnieje i wynosi g wtedy i tylko
wtedy, gdy istniej
,
a obie granice jednostronne r´
owne g.
Dla granic niew la´sciwych przyjmujemy nast
,
epuj
,
ace definicje:
lim
x→x
0
f (x) = +∞ ⇔
^
M
_
δ>0
^
x∈D
|x − x
0
| < δ ⇒ f(x) > M
lim
x→x
0
f (x) = −∞ ⇔
^
M
_
δ>0
^
x∈D
|x − x
0
| < δ ⇒ f(x) < M
Analogicznie rozumiemy granice jednostronne.
Dla funkcji, kt´
orej dziedzina zawiera przedzia l postaci (a, +∞) mo˙zemy
m´
owi´
c o granicy w +∞:
lim
x→+∞
f (x) = g ⇔
^
ε>0
_
N
^
x∈D
x > N ⇒ |f(x) − g| < ε.
lim
x→+∞
f (x) = +∞ ⇔
^
M
_
N
^
x∈D
x > N ⇒ f(x) > M.
lim
x→+∞
f (x) = −∞ ⇔
^
M
_
N
^
x∈D
x > N ⇒ f(x) < M.
Dla funkcji, kt´
orej dziedzina zawiera przedzia l postaci (−∞, a)
mo˙zemy m´
owi´
c o granicy w −∞:
lim
x→−∞
f (x) = g ⇔
^
ε>0
_
N
^
x∈D
x < M ⇒ |f(x) − g| < ε.
lim
x→−∞
f (x) = +∞ ⇔
^
M
_
N
^
x∈D
x < N ⇒ f(x) > M.
lim
x→−∞
f (x) = −∞ ⇔
^
M
_
N
^
x∈D
x < N ⇒ f(x) < M.
Powy˙zsze definicje nazywamy definicjami Cauchy’ego. R´
ownowa˙zne
im definicje Heinego odwo luj
,
a si
,
e do poj
,
ecia granicy ci
,
agu:
lim
x→x
0
f (x) = g wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ci
,
agu ar-
gument´
ow (x
j
)
j∈N\{0}
zbie˙znego do x
0
, ci
,
ag warto´sci funkcji (f (x
j
))
j∈N\{0}
jest zbie ˙ny do g.
W powy˙zszej definicji mo˙zna przyj
,
a´
c
x
0
= ±∞, g = ±∞.
25
Wa ˙zniejsze granice
lim
x→0
sin x
x
= 1,
lim
x→+∞
(1 +
1
x
)
x
= e,
lim
x→+∞
a
x
=
0, gdy 0 < a < 1,
+∞, gdy a > 0,
1, gdy a = 1,
lim
x→−∞
a
x
=
+∞, gdy 0 < a < 1,
0, gdy a > 0,
1, gdy a = 1,
lim
x→+∞
x
a
=
0, gdy a < 0,
+∞, gdy a > 0,
1, gdy a = 0,
Funkcje ci
,
ag le.
Funkcj
,
e f : D → R nazywamy ci
,
ag l
,
a w punkcie x
0
, je´sli x
0
∈ D
oraz lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
).
Funkcj
,
e nazywamy ci
,
ag l
,
a, je´sli jest ci
,
ag la dla ka˙zdego punktu D.
Pochodna funkcji.
Za l´
o˙zmy, ˙ze dziedzina funkcji f : D → R zawiera pewne otoczenie
punktu x
0
.
Wyra˙zenie
f (x
0
+ h) − f(x
0
)
h
nazywamy ilorazem r´
o˙znicowym funkcji f dla punktu x
0
i przyrostu
h.
Pochodn
,
a funkcji f w punkcie x
0
nazywamy granic
,
e ilorazu r´
o˙znicowego:
f
0
(x
0
) = lim
h→0
f (x
0
+ h) − f(x
0
)
h
.
26
Je´sli f posiada f
0
(x
0
), to m´
owimy, ˙ze jest r´
o˙zniczkowalna w punkcie
x
0
.
Pochodna funkcji wyra˙za szybko´s´
c zmian funkcji w pobli˙zu punktu
x
0
.
Interpretacja geometryczna pochodnej:
f
0
(x
0
) jest tangensem k
,
ata nachylenia stycznej do wykresu funkcji
w punkcie x
0
.
Przyk ladowa interpretacja fizyczna pochodnej:
Niech f (x) oznacza drog
,
e przbyt
,
a przez punkt w czasie x. Wtedy
iloraz r´
o˙znicowy
f (x
0
+ h) − f(x
0
)
h
wyra˙za ´sredni
,
a jego pr
,
edko´s´
c w przedziale czasowym [x
0
, x
0
+ h], a
pochodna f
0
(x
0
) pr
,
edko´s´
c chwilow
,
a w chwili x
0
.
Przyk ladowa interpretacja ekonomiczna pochodnej:
Niech f (x) oznacza ca lkowity koszt wyprodukowania x jednostek
produkcji. Wtedy iloraz r´
o˙znicowy
f (x
0
+ h) − f(x
0
)
h
wyra˙za ´sredni koszt wytworzenia ka˙zdej z h jednostek ponad x
0
, a
pochodna f
0
(x
0
) - w przybli˙zeniu koszt wytworzenia jednej jednostki
ponad x
0
. Nazywamy j
,
a kosztem kra´
ncowym x
0
jednostek produkcji.
Pochodn
,
a funkcji f nazywamy funkcj
,
e f
0
: D
0
→ R.
27
Podstawowe wzory rachunku r´
o ˙zniczkowego:
c
0
= 0
(x
a
)
0
= ax
a−1
(a
x
)
0
= a
x
ln a, gdzie ln x = log
e
x
(log
a
x)
0
=
1
xln a
(sin x)
0
= cos x
(cos x)
0
= −sin x
(tg x)
0
=
1
cos
2
x
(ctg x)
0
= −
1
sin
2
x
(arcsin x)
0
=
1
√
1−x
2
(arccos x)
0
= −
1
√
1−x
2
(arctg x)
0
=
1
1+x
2
(arcctg x)
0
= −
1
1+x
2
(cf (x))
0
= cf
0
(x)
(f (x) ± g(x))
0
= f
0
(x) ± g
0
(x)
(f (x)g(x))
0
= f
0
(x)g(x) + f (x)g
0
(x)
(
f (x)
g(x)
)
0
=
f
0
(x)g(x)−f(x)g
0
(x)
(g(x))
2
(f (g(x)))
0
= f
0
(g(x))g
0
(x).
Elastyczno´
s´
c funkcji.
Elastyczno´s´
c funkcji r´
o˙zniczkowalnej definiujemy jako
E
x
f =
x
f (x)
f
0
(x).
Zauwa˙zaj
,
ac, ˙ze
lim
h→0
f (x
0
+h)−f(x
0
)
f (x)
:
h
x
=
x
f (x)
lim
h→0
f (x
0
+h)−f(x
0
)
h
=
x
f (x)
f
0
(x) = E
x
f,
28
stwierdzamy, ˙ze elastyczno´s´
c funkcji podaje stosunek wzgl
,
ednego przy-
rostu funkcji do wzgl
,
ednego przyrostu argumentu w pobli˙zu punktu
x.
Regu ly de l’Hospitale’a:
Je˙zeli
lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
g(x) = 0 lub ± ∞,
to
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
,
przy za lo˙zeniu istnienia granicy po prawej stronie.
Monotoniczno´
s´
c funkcji r´
o ˙zniczkowalnej:
Je´sli f
0
(x) > 0 dla x ∈ (a, b), to f jest rosn
,
aca w (a, b).
Je´sli f
0
(x) < 0 dla x ∈ (a, b), to f jest malej
,
aca w (a, b).
Ekstrema.
M´
owimy, ˙ze f : D → R osi
,
aga w punkcie x
0
maksimum lokalne (lub
kr´
otko: maksimum), je´sli dla pewnego przedzia lu U = (x
0
− δ, x
0
+ δ)
f (x
0
) ≥ f(x), dla x ∈ U. M´owimy, ˙ze maksimum jest w la´sciwe, je´sli
f (x
0
) > f (x), dla x ∈ U \ {x
0
}.
Analogicznie - z nier´
owno´sci
,
a f (x
0
) ≤ f(x) - okre´slamy minimum
lokalne (minimum).
Wsp´
oln
,
a nazw
,
a na minimum i maksimum jest ekstremum.
maksimum
minimum
Warunek konieczny istnienia ekstremum:
Je´sli funkcja r´
o˙zniczkowalna ma w punkcie x
0
ekstremum, to f
0
(x
0
) =
0.
29
Warunek wystarczaj
,
acy istnienia ekstremum funkcji r´
o ˙znicz-
kowalnej:
Je´sli dla pewnego przedzia lu U = (x
0
− δ, x
0
+ δ)
f
0
(x) > 0 dla x ∈ U i x < x
0
oraz
f
0
(x) < 0 dla x ∈ U i x > x
0
to f osi
,
aga w punkcie x
0
maksimum w la´sciwe.
Je´sli
f
0
(x) < 0 dla x ∈ U i x < x
0
oraz
f
0
(x) > 0 dla x ∈ U i x > x
0
to f osi
,
aga w punkcie x
0
minimum w la´sciwe.
Pochodne wy ˙zszych rz
,
ed´
ow.
Pochodn
,
a pochodnej funkcji f nazywamy jej drug
,
a pochodn
,
a i
oznaczamy przez f
00
.
Analogicznie okre´slamy pochodne wy˙zszych rz
,
ed´
ow.
Wkl
,
es lo´
s´
c i wypuk lo´
s´
c funkcji:
wykres funkcji wkl
,
es lej
wykres funkcji wypuk lej
Punkt przegi
,
ecia x
0
- punkt, dla kt´
orego w pewnym przedziale (x
0
−
δ, x
0
) funkcja jest wypuk la, i wkl
,
es la w (x
0
, x
0
+ δ) lub odwrotnie.
Je´sli f
00
(x) > 0 dla x ∈ (a, b), to f jest wypuk la w (a, b).
Je´sli f
00
(x) < 0 dla x ∈ (a, b), to f jest wkl
,
es la w (a, b).
30
f
0
(x) > 0
f
0
(x) > 0
f
00
(x) > 0
f
00
(x) < 0
f
0
(x) < 0
f
0
(x) < 0
f
00
(x) > 0
f
00
(x) < 0
Warunek wystarczaj
,
acy istnienia ekstremum dla funkcji
dwukrotnie r´
o ˙zniczkowalnej:
Je´sli funkcja f : D → R jest dwukrotnie r´o˙zniczkowalna w otocze-
niu punktu x
0
i f
0
(x
0
) = 0 oraz
a) je´sli f
00
(x
0
) < 0, to f ma w punkcie x
0
maksimum w la´sciwe,
b) je´sli f
00
(x
0
) > 0, to f ma w punkcie x
0
minimum w la´sciwe.
Wz´
or Taylora.
Je´sli x
0
∈ (a, b) ⊂ D i f : D → R ma ci
,
ag l
,
a pochodn
,
a rz
,
edu n, to
dla h : x
0
+ h ∈ (a, b) zachodzi nast
,
epuj
,
acy wz´
or Taylora:
f (x
0
+ h) = f (x
0
) +
f
0
(x
0
)
1!
h +
f
00
(x
0
)
2!
h
2
+ ...
+
f
(n−1)
(x
0
)
(n−1)!
h
n−1
+
f
(n)
(x
0
+θh)
n!
h
n
dla pewnej liczby θ ∈ (0, 1).
31
k! = 1 · 2 · ... · k, 0! = 1.
Je´sli reszta (ostatni sk ladnik) we wzorze Taylora zbiega do zera
przy n → ∞ (dla funkcji niesko´nczenie wiele razy r´o˙zniczkowalnej), to
f (x
0
+ h) =
∞
X
j=0
f
(j)
(x
0
)
j!
h
j
= lim
n→∞
n
X
j=1
f
(j)
(x
0
)
j!
h
j
.
(rozwini
,
ecie funkcji f w szereg Taylora w otoczeniu punktu x
0
).
Asymptoty
Asymptotami nazywamy proste, do kt´
orych zbli˙za si
,
e wykres funk-
cji.
a) Asymptoty pionowe - proste postaci
x = x
0
w sytuacji, kiedy
lim
x→x
±
0
f (x) = ±∞.
b) asymptoty uko´sne
lewostronna (w −∞ )
prawostronna ( w +∞)
32
Asymptota uko´sna jest postaci: y = ax + b, gdzie
a = lim
x→−∞
f (x)
x
, b = lim
x→−∞
(f (x) − ax),
(dla asymptoty w −∞)
lub
a = lim
x→+∞
f (x)
x
, b = lim
x→+∞
(f (x) − ax),
(dla asymptoty w +∞)
33
Badanie funkcji.
Og´
olny plan badania funkcji:
1. Wyznaczenie dziedziny funkcji.
2. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
3. Wyznaczenie granic funkcji na ko´
ncach przedzia l´
ow okre´slono´sci.
4. Wyznaczenie asymptot funkcji.
5. Wyznaczenie pochodnej funkcji, jej dziedziny, miejsc zerowych
pochodnej i przedzia l´
ow, w kt´
orych jest ujemna/dodatnia.
6. Wyznaczenie drugiej pochodnej funkcji, jej dziedziny, miejsc ze-
rowych drugiej pochodnej i przedzia l´
ow, w kt´
orych jest ujemna/dodatnia.
7. Sporz
,
adzenie tabeli zmienno´sci funkcji.
x
warto´sci charakterystyczne x i przedzia ly mi
,
edzy nimi
f’(x)
miejsca zerowe i znaki
f”(x)
miejsca zerowe i znaki
f(x)
warto´sci funkcji lub granic; charakter wykresu
8. Narysowanie wykresu funkcji.
Przyk lad.
Zbada´
c funkcj
,
e f (x) =
x
2
x−1
.
34
6
Rachunek ca lkowy funkcji jednej zmiennej.
Definicja funkcji pierwotnej.
Funkcj
,
a pierwotn
,
a dla danej funkcji f : (a, b) → R nazywamy tak
,
a
funkcj
,
e F : (a, b) → R, dla kt´orej
F
0
(x) = f (x), x ∈ (a, b).
Twierdzenie.
a) Ka˙zda funkcja ci
,
ag la f : (a, b) → R posiada funkcj
,
e pierwotn
,
a.
b) Je´sli F jest funkcj
,
a pierwotn
,
a dla f : (a, b) → R, to ka˙zda funkcja
postaci F (x) + C, gdze C jest sta l
,
a, jest r´
ownie˙z funkcj
,
a pierwotn
,
a
dla f .
Funkcje tej postaci s
,
a wszystkimi funkcjami pierwotnymi dla f .
Definicja ca lki nieoznaczonej.
Ca lk
,
a nieoznaczon
,
a funkcji f : (a, b) → R nazywamy rodzin
,
e
wszystkich jej funkcji pierwotnych i oznaczamy przez
Z
f (x) dx.
Zgodnie z poprzednim twierdzeniem
Z
f (x)dx = F (x) + C,
gdzie F jest pewn
,
a funkcj
,
a pierwotn
,
a dla f , a C dowoln
,
a sta l
,
a.
Podstawowe wzory rachunku ca lkowego:
35
R
c dx = cx + C
R
x
a
dx =
1
a+1
x
a+1
+ C, dla a 6= −1
R
1
x
dx = ln|x| + C
R
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C, dla a > 0, a 6= 1
R
sin x dx = −cos x + C
R
cos xdx = sin x + C
R
1
√
1−x
2
dx = arcsin x + C
R
1
1+x
2
dx = arctg x + C
R
cf (x) dx = c
R
f (x) dx
R
(f (x) ± g(x)) dx =
R
f (x) dx ±
R
g(x) dx
R
f (x)g
0
(x) dx = f (x)g(x) −
R
f
0
(x)g(x) dx
(ca lkowanie przez cz
,
e´sci)
R
f (g(x))g
0
(x) dx =
R
f (t) dt, t = g(x)
(ca lkowanie przez podstawienie)
Definicja ca lki oznaczonej.
Ca lk
,
a oznaczon
,
a na przedziale [a, b] funkcji ci
,
ag lej f : [a, b] → R
nazywamy liczb
,
e
Z
b
a
f (x) dx = F (b) − F (a),
gdzie F jest jedn
,
a z funkcji pierwotnych dla f (dowoln
,
a). Ostatnie
wyra˙zenie piszemy cz
,
esto jako
[F (x)]
b
a
= F (b) − F (a).
W lasno´
sci ca lki oznaczonej:
Z
b
a
cf (x) dx = c
Z
b
a
f (x) dx,
36
Z
b
a
(f (x) + g(x)) dx =
Z
b
a
f (x) dx +
Z
b
a
g(x) dx
Z
b
a
f (x) dx =
Z
c
a
f (x) dx +
Z
b
c
f (x) dx, dla c ∈ (a, b).
Interpretacja geometryczna:
Dla funkcji nieujemnej f : [a, b] → R (f(x) ≥ 0, x ∈ [a, b]) ca lka
oznaczona
R
b
a
f (x) dx wyra˙za pole figury mi
,
edzy wykresem funkcjif ,
osi
,
a OX i prostymi x = a, x = b
P =
R
b
a
f (x) dx
Dla funkcji niedodatniej f : [a, b] → R (f(x) ≤ 0, x ∈ [a, b]) ca lka
oznaczona
R
b
a
f (x) dx wyra˙za liczb
,
e przeciwn
,
a do pola figury mi
,
edzy
wykresem funkcjif , osi
,
a OX i prostymi x = a, x = b
P = −
R
b
a
f (x) dx
Dla funkcji f : [a, b] → R zmieniaj
,
acej znak w przedziale ([a, b] ca lka
oznaczona
R
b
a
f (x) dx wyra˙za sum
,
e odpowiednich p´
ol z odpowiednimi
37
znakami.
R
b
a
f (x) dx = P
1
− P
2
+ P
3
− P
4
.
Przyk lad.
Obliczy´
c pole figury zawartej mi
,
edzy wykresami funkcji f (x) = x
2
,
g(x) = x
2
− 4x + 4 a osi
,
a OX.
Ca lki niew la´
sciwe.
a) Funkcja f jest ci
,
ag la tylko w przedziale (a, b]. Przyjmujemy
wtedy
Z
b
a
f (x) dx = lim
α→a
+
Z
b
α
f (x) dx
Je´sli powy˙zsza granica istnieje i jest sko´
nczona, ca lk
,
e nazywamy
zbie˙zn
,
a.
b) Funkcja f jest ci
,
ag la tylko w przedziale [a, b). Przyjmujemy
wtedy
Z
b
a
f (x) dx = lim
β→b
−
Z
β
a
f (x) dx
Je´sli powy˙zsza granica istnieje i jest sko´
nczona, ca lk
,
e nazywamy
zbie˙zn
,
a.
c) Funkcja f jest ci
,
ag la tylko w przedziale [a, c) ∪ (c, b]. Przyjmu-
jemy wtedy
Z
b
a
f (x) dx =
Z
c
a
f (x) dx +
Z
b
c
f (x) dx,
38
przy czym ca lki po prawej stronie s
,
a zdefiniowane w a) i b).
d)
Z
b
−∞
f (x) dx = lim
a→−∞
Z
b
a
f (x) dx
Z
+∞
a
f (x) dx = lim
b→∞
Z
b
a
f (x) dx
Ca lk
,
e
Z
+∞
−∞
f (x) dx
sprowadzamy do poprzednich przypadk´
ow trakuj
,
ac jako
Z
c
−∞
f (x) dx +
Z
+∞
c
f (x) dx.
Przyk lady:
Z
1
0
1
√
x
dx.
Z
1
0
1
x
2
dx.
Z
∞
1
1
x
2
dx.
39
7
Rachunek r´
o ˙zniczkowy funkcji wielu zmiennych.
Metryka pitagorejska w
R
n
.
Ka˙zdej parze punkt´
ow x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
), y = (y
1
, y
2
, ..., y
n
) przy-
porz
,
adkowujemy liczb
,
e
ρ(x, y) =
v
u
u
t
n
X
i=1
(x
i
− y
i
)
2
zwan
,
a odleg lo´sci
,
a punkt´
ow x i y.
Funkcj
,
e
ρ :
R
n
× R
n
→ R
nazywamy metryk
,
a lub odleg lo´sci
,
a pitagorejsk
,
a.
Spe lnia ona warunki:
a) ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y,
b) ρ(x, y) = ρ(y, x),
c) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(x, y).
Kul
,
a o ´srodku x i promieniu r w przestrzeni
R
n
nazywamy zbi´
or
B(x, r) = {y ∈ R
n
: ρ(x, y) < r}.
Otoczeniem punktu w przestrzeni
R nazywamy dowolny zbi´or
zawieraj
,
acy pewn
,
a kul
,
e o ´srodku w tym punkcie.
Je´sli A jest otoczeniem punktu x, to A\{x} nazywamy jego s
,
asiedztwem.
M´
owimy, ˙ze podzbi´
or A przestrzeni
R jest otwarty, je´sli dla ka˙zdego
punktu tego zbioru istnieje kula o ´srodku w tym punkcie zawarta w
A.
M´
owimy, ˙ze podzbi´
or A przestrzeni
R jest domkni
,
ety, je´sli zbi´
or
R \ A jest otwarty.
Podzbi´
or A przestrzeni
R
n
nazywamy ograniczonym, je´sli jest
zawarty w pewnej kuli.
Ci
,
ag (x
(j)
)
j∈N\{0}
o wyrazach z
R
n
nazywamy zbie˙znym do granicy
x
(0)
, co zapisujemy
lim
j→∞
x
(j)
= x
(0)
,
40
je´sli
lim
j→∞
ρ(x
(j)
, x
(0)
) = 0.
Twierdzenie.
Ci
,
ag (x
(j)
)
j∈N\{0}
= (x
(j)
1
, x
(j)
2
, ..., x
(j)
n
)
j∈N\{0}
jest
zbie˙zny do x
(0)
= (x
(0)
1
, x
(0)
2
, ..., x
(0)
n
) wtedy i tylko wtedy, gdy dla
ka˙zdego i = 1, 2, ..., n
lim
j→∞
x
(j)
i
= x
(0)
i
.
Funkcje wielu zmiennych.
Definicja.
Funkcj
,
a n zmiennych nazywamy funkcj
,
e, kt´
orej dziedzin
,
a jest pod-
zbi´
or przestrzeni
R
n
.
Granica funkcji wielu zmiennych.
Niech f : D → R i D jest zbiorem zawieraj
,
acym pewne s
,
asiedztwo
punktu x
(0)
(punkt x
(0)
mo˙ze, ale nie musi nale˙ze´
c do D).
M´
owimy, ˙ze granica funkcji f w punkcie x
(0)
wynosi g, co zapisu-
jemy lim
x→x
(0)
f (x) = g, je´sli
^
ε>0
_
δ>0
^
x∈D
ρ(x, x
(0)
) < δ ⇒ |f(x) − g| < ε.
Funkcje ci
,
ag le.
Funkcj
,
e f : D → R nazywamy ci
,
ag l
,
a w punkcie x
(0)
, je´sli x
(0)
∈ D
oraz lim
x→x
(0)
f (x) = f (x
(0)
).
Funkcj
,
e nazywamy ci
,
ag l
,
a, je´sli jest ci
,
ag la dla ka˙zdego punktu D.
Pochodne cz
,
astkowe.
Niech f : D → R b
,
edzie funkcj
,
a okre´slon
,
a w otwartym zbiorze
D ⊂ R
n
. Pochodn
,
a cz
,
astkow
,
a wzgl
,
edem zmiennej x
i
w punkcie x
(0)
nazywamy pochodn
,
a w punkcie x
(0)
i
funkcji jednej zmiennej, kt´
ora
powstaje przez ustalenie warto´sci pozosta lych zmiennych na x
(0)
1
, ... ,
x
(0)
i−1
, x
(0)
i+1
, x
(0)
n
.
Oznaczamy j
,
a przez
∂f
∂x
i
(x
(0)
), f
0
x
i
(x
(0)
), f
x
i
(x
(0)
), f
0
i
(x
(0)
), f
i
(x
(0)
).
Pochodn
,
a cz
,
astkow
,
a wzgl
,
edem zmiennej x
i
nazywamy funkcj
,
e f
0
x
i
:
D
0
i
→ R.
41
Pochodn
,
a cz
,
astkow
,
a drugiego rz
,
edu wzgl
,
edem zmiennych x
i
, x
j
nazywamy pochodn
,
a cz
,
astkow
,
a wzgl
,
edem x
j
pochodnej cz
,
astkowej
wzgl
,
edem x
i
. Oznaczamy j
,
a
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
, f
00
x
i
x
j
, f
x
i
x
j
, f
00
ij
, f
ij
.
Analogicznie okre´slamy pochodne cz
,
astkowe wy˙zszych rz
,
ed´
ow.
Twierdzenie.
Je˙zeli ma pochodne cz
,
astkowe r´
o˙zni
,
ace si
,
e tylko kolejno´sci
,
a zmien-
nych ci
,
ag le, to s
,
a one r´
owne.
Macierz
,
a Hessego (hesjanem) funkcji f n zmiennych posia-
daj
,
acej pochodne cz
,
astkowe drugiego rz
,
edu nazywamy macierz
f
00
11
f
00
12
... f
00
1n
f
00
21
f
00
22
... f
00
2n
...
f
00
n1
f
00
n2
... f
00
nn
.
Ekstrema.
M´
owimy, ˙ze f : D → R okre´slona w otwartym zbiorze D osi
,
aga
w punkcie x
(0)
∈ D maksimum lokalne (lub kr´otko: maksimum), je´sli
dla pewnego otoczenia U ⊂ D tego punktu f(x
(0)
) ≥ f(x), dla x ∈ U.
M´
owimy, ˙ze maksimum jest w la´sciwe, je´sli f (x
(0)
) > f (x), dla x ∈
U \ {x
(0)
}.
Analogicznie - z nier´
owno´sci
,
a f (x
(0)
) ≤ f(x) - okre´slamy minimum
lokalne (minimum).
Wsp´
oln
,
a nazw
,
a na minimum i maksimum jest ekstremum.
Warunek konieczny istnienia ekstremum.
Je´sli funkcja f : D → R maj
,
aca pochodne cz
,
astkowe pierwszego
rz
,
edu ma w punkcie x
(0)
ekstremum, to pochodne te zeruj
,
a si
,
e w punk-
cie x
(0)
.
Warunek wystarczaj
,
acy istnienia ekstremum.
Za l´
o˙zmy, ˙ze funkcja f : D → R okre´slona w otwartym zbiorze
D posiada pochodne cz
,
astkowe pierwszego i drugiego rz
,
edu ci
,
ag le.
Za l´
o˙zmy, ˙ze w punkcie x
0
wszystkie pochodne cz
,
astkowe pierwszego
rz
,
edu zeruj
,
a si
,
e.
Niech W
i
, i = 1, 2, ..., n oznacza wyznacznik macierzy powsta lej
42
z macierzy Hessego w punkcie x
(0)
przez wykre´slenie i + 1-szego i
dalszych wierszy oraz i + 1-szej i dalszych kolumn.
Wtedy, je´sli:
a) W
1
< 0, W
2
> 0, W
1
< 0, ... to f ma w punkcie x
(0)
maksimum
lokalne w la´sciwe,
b) W
1
> 0, W
2
> 0, W
1
> 0, ... to f ma w punkcie x
(0)
minimum
lokalne w la´sciwe.
c) Je´sli w punkcie a) lub b) pewne znaki
00
<
00
,
00
>
00
zmieniaj
,
a si
,
e
w
00
=
00
, to w punkcie x
(0)
mo˙ze by´
c odpowiednie ekstremum, ale nie
musi.
d) Przy innym uk ladzie warto´sci W
1
, W
2
, ... ,W
n
ni˙z opisane w
punktach a), b), c) funkcja f nie ma w punkcie x
(0)
ekstremum lokal-
nego.
Funkcje uwik lane jednej zmiennej
Poniewa˙z b
,
edziemy rozpatrywa´
c funkcje dw´
och zmiennych przyj-
miemy oznaczenia zmiennych x, y zamiast x
1
, x
2
.
Definicja. Niech F b
,
edzie funkcj
,
a dw´
och zmiennych okre´slon
,
a w
otwartym podzbiorze D przestrzeni
R
2
. Funkcj
,
a uwik lan
,
a zmiennej x
okre´slon
,
a r´
ownaniem
F (x, y) = 0
nazywamy dowoln
,
a funkcj
,
e f okre´slon
,
a w pewnym przedziale, dla
kt´
orej
F (x, f (x)) = 0.
Twierdzenie o funkcji uwik lanej. Je˙zeli dla pewnego punktu
(x
0
, y
0
) ∈ D
a) F (x
0
, y
0
) = 0,
b) F jest ci
,
ag la w pewnym otoczeniu punktu (x
0
, y
0
),
c) F ma w otoczeniu (x
0
, y
0
) ci
,
ag l
,
a pochodn
,
a cz
,
astkow
,
a F
0
y
r´
o˙zn
,
a
od zera w (x
0
, y
0
)
to w pewnym otoczeniu punktu x
0
istnieje dok ladnie jedna funkcja
spe lniaj
,
aca warunki
y
0
= f (x
0
), F (x, f (x)) = 0
dla ka˙zdego x z tego otoczenia.
43
Je´sli ponadto istnieje pochodna cz
,
astkowa F
0
x
ci
,
ag la w otoczeniu
punktu (x
0
, y
0
), to funkcja uwik lana f ma w pewnym otoczeniu punktu
x
0
ci
,
ag l
,
a pochodn
,
a
f
0
(x) = −
F
0
x
(x, f (x))
F
0
y
(x, f (x))
.
R´
o˙zniczkuj
,
ac powy˙zsz
,
a r´
owno´s´
c (o ile odpowiednie pochodne ist-
niej
,
a) otrzymamy drug
,
a pochodn
,
a funkcji uwik lanej. Podobnie jak
zwyk l
,
a funkcj
,
e jednej zmiennej, mo˙zna bada´
c funkcj
,
e uwik lan
,
a.
Przyk lad. Wyznaczy´
c ekstrema funkcji uwik lanej danej r´
ownaniem:
y
3
+ 2xy + x
2
= 0.
Ekstrema warunkowe (zwi
,
azane).
Niech F, G : D → R b
,
ed
,
a funkcjami dw´
och zmiennych. Oznaczmy
W = {(x, y) ∈ D : G(x, y) = 0}.
M´
owimy, ˙ze funkcja F osi
,
aga w punkcie (x
0
, y
0
) maksimum warun-
kowe przy warunku (zwi
,
azane warunkiem)
G(x, y) = 0
je´sli w pewnym otoczeniu tego punktu dla punkt´
ow spe lniaj
,
acych
powy˙zszy warunek
F (x
0
, y
0
) ≥ F (x, y).
Analogicznie okre´slamy minimum warunkowe i - podobnie jak dla
ekstrem´
ow bezwarunkowych - ekstrema warunkowe w la´sciwe.
Je´sli funkcja G spe lnia twierdzenie o funkcji uwik lanej, to wyznacze-
nie ekstrem´
ow warunkowych sprowadza si
,
e do wyznaczenia ekstrem´
ow
funkcji
f (x) = F (x, g(x)),
gdzie g jest funkcj
,
a uwik lan
,
a okre´slon
,
a przez warunek.
Przyk lad. Wyznaczy´
c ekstrema warunkowe funkcji
F (x, y) = x
2
+ y
2
przy warunku
xy − 1 = 0.
44
8
Elementy matematyki finansowej.
Gromadzenie funduszu.
p - roczna stopa procentowa
K
0
- warto´s´
c pocz
,
atkowa funduszu
K
n
- warto´s´
c funduszu po n latach
a) oprocentowanie proste (do l
,
aczane odsetki nie s
,
a oprocentowane):
K
n
= K
0
+ K
0
np = K
0
(1 + np)
b) odsetki sk ladane - akumulacja roczna:
K
n
= K
0
(1 + p)
n
c) odsetki sk ladane - akumulacja okresowa po
1
m
roku:
K
n
= K
0
(1 +
p
m
)
mn
d) oprocentowanie ci
,
ag le:
K
n
= K
0
e
np
(K
n
= lim
m→∞
K
0
(1 +
p
m
)
mn
= lim
m→∞
K
0
(1 +
p
m
)
m
p
np
= K
0
e
np
).
e) wk lad okresowy - wp lacamy do banku na pocz
,
atku roku sta l
,
a
kwot
,
e K
0
. Zak ladamy roczn
,
a akumulacj
,
e.
Warto´s´
c funduszu po n latach wynosi:
A = K
0
(1 + p)
n
+ K
0
(1 + p)
n−1
+ ... + K
0
(1 + p).
Ze wzoru na sum
,
e n wyraz´
ow ci
,
agu geometrycznego o ilorazie q =
1 + p i pierwszym wyrazie K
0
(1 + p):
A = K
0
(1 + p)
1 − (1 + p)
n
1 − (1 + p)
= K
0
(1 + p)
(1 + p)
n
− 1
p
Dyskontowanie.
45
- obliczanie warto´sci pocz
,
atkowej funduszu na podstawie jego warto´sci
ko´
ncowej, tzn. obliczanie K
0
w punktach a), b), c), d).
D = K
n
− K
0
- dyskonto.
Sp lacanie po ˙zyczek.
K - wysoko´s´
c po˙zyczki, kt´
or
,
a sp lacamy w ratach. Je´sli ka˙zd
,
a rat
,
e
zdyskontujemy do czasu, w kt´
orym zosta la udzielona po˙zyczka, to
suma zduskontowanych rat powinna wynosi´
c K. Na og´
o l banki stosuj
,
a
dwa schematy planu sp laty kredytu:
a) Plan sp laty w r´
ownych ratach kapita lowo-odsetkowych.
Po˙zyczk
,
e K sp lacamy w ratach wysoko´sci R przez n lat, ka˙zda
rata p latna co
1
m
roku; pierwsza p latna po
1
m
roku; p - roczna stopa
procentowa.
K =
R
1 +
p
m
+
R
(1 +
p
m
)
2
+ ... +
R
(1 +
p
m
)
mn
.
Ze wzoru na sum
,
e cz
,
e´sciow
,
a ci
,
agu geometrycznego o pierwszym
wyrazie
R
1 +
p
m
i ilorazie
q =
1
1 +
p
m
=
m
m + p
obliczamy
K =
R
1 +
p
m
·
1 − (
m
m+p
)
mn
1 −
m
m+p
K =
Rm
m + p
·
1 − (
m
m+p
)
mn
m+p−m
m+p
K =
Rm
p
1 − (
m
m + p
)
mn
.
St
,
ad
R =
Kp
m
1 − (
m
m+p
)
mn
.
46
b) Plan sp laty w r´
ownych ratach kapita lowych + odsetki od pozo-
sta lego d lugu.
Po˙zyczk
,
e K sp lacamy przez n lat, ka˙zda rata p latna co
1
m
roku; p
- roczna stopa procentowa. Na rat
,
e sk lada si
,
e rata kapita lowa
K
mn
+
odsetki od pozosta lego d lugu. Kolejne raty wynosz
,
a wi
,
ec:
R
1
=
K
mn
+
p
m
K,
R
2
=
K
mn
+
p
m
(K −
K
mn
) =
K
mn
+
pK
m
(1 −
1
mn
),
R
3
=
K
mn
+
pK
m
(1 −
2
mn
)
...
R
j
=
K
mn
+
pK
m
(1 −
j − 1
mn
).
47
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
matematyka 1(4) id 284045 Nieznany
Matematyka 4 id 283195 Nieznany
Matematyka 5 id 283204 Nieznany
Edukacja matematyczna 4 id 1503 Nieznany
matematyka3lo id 284120 Nieznany
MATEMATYKAA3 id 284122 Nieznany
Matematyka 7 id 283208 Nieznany
Matematyka 6 id 283207 Nieznany
matematyka 3 id 284119 Nieznany
Analiza matematyczna 2 id 60894 Nieznany
Edukacja matematyczna 5 id 1503 Nieznany
E2Podstawy matematyczne id 1493 Nieznany
logika matematyczna id 272142 Nieznany
Matematyka 3 id 283182 Nieznany
Matematyka 9 id 283210 Nieznany
Analiza matematyczna 2 id 60815 Nieznany (2)
matematyka2 id 284101 Nieznany
więcej podobnych podstron