Matematyka

Cele kształcenia

1. Wiadomości i umiejętności matematyczne niezbędne do sprawnego funkcjonowania w życiu

codziennym współczesnego świata.

2. Umiejętność odpowiedzialnego myślenia, tj. wypowiadania sądów pewnych oraz ich

uzasadniania metodą dedukcji, krytycznej analizy informacji oraz obalania rozumowań błędnych
przez podawanie odpowiednich przykładów.

3. Umiejętność operowania najprostszymi obiektami abstrakcyjnymi (liczbami, zmiennymi,

funkcjami, figurami, zdarzeniami), budowania z ich użyciem prostych modeli matematycznych
różnorodnych sytuacji z życia codziennego oraz wykorzystania tych modeli do rozwiązywania
problemów praktycznych.

Szkoła podstawowa, klasy I–III

Treść kształcenia

1. Stosunki przestrzenne i czasowe

1.1. Klasyfikowanie przedmiotów według ustalonej cechy (np. wielkości, kształtu, koloru,

przeznaczenia).

1.2. Porządkowanie przedmiotów według wielkości lub kształtu.
1.3. Opisywanie stosunków przestrzennych – wzajemne położenie, kierunek ruchu, oddalenie.
1.4. Porządkowanie zdarzeń w czasie.

2. Liczenie

2.1. Zapisywanie i odczytywanie liczb.
2.2. Porównywanie liczb w zakresie 1000.
2.3. Użycie znaków =, <, >.
2.4. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb w zakresie do 1000.
2.5. Algorytm dodawania i odejmowania pisemnego.
2.6. Algorytm mnożenia pisemnego przez liczbę jednocyfrową.
2.7. Dzielenie liczb w zakresie tabliczki mnożenia.
2.8. Dzielenie z resztą liczby większej przez mniejszą w zakresie tabliczki mnożenia.
2.9. Sprawdzanie otrzymanego wyniku za pomocą działania odwrotnego.
2.10. Zmiana kolejności składników (czynników) i grupowanie składników (czynników)

w celu ułatwienia obliczeń.

2.11. Kolejność wykonywania działań, użycie nawiasów.

3. Pomiar w sytuacjach praktycznych

3.1. Mierzenie długości (szerokości, wysokości) konkretnych obiektów z użyciem różnych

jednostek (np. stopami, krokami) i różnych miarek (np. linijką, miarką metrową, taśmą
krawiecką).

3.2. Określanie rozmiarów konkretnych przedmiotów i obiektów przez wykonanie

odpowiednich pomiarów i obliczeń. Użycie jednostek: mm, cm, m, km (bez przeliczania
jednostek).

3.3. Mierzenie czasu: lata, miesiące, tygodnie, dni, godziny, minuty.

2

3.4. Obliczenia zegarowe w systemie 12- i 24-godzinnym.
3.5. Odczytywanie i zapisywanie znaków rzymskich zakresie od I do XII; stosowanie ich

w sytuacjach z życia codziennego – kalendarz, zegar.

3.6. Obliczenia pieniężne: złote i grosze; monety i banknoty (do 100 zł włącznie). Zamiana

złotych na grosze i groszy na złote. Wydawanie reszty.

3.7. Ważenie konkretnych przedmiotów; posługiwanie się w sytuacjach praktycznych

jednostkami: g, dag, kg, tona (bez przeliczania jednostek).

3.8. Odmierzanie ilości płynów za pomocą naczyń o pojemności 1 litra.
3.9. Mierzenie temperatury: odczytywanie wskazań termometrów (lekarskiego, pokojowego,

zaokiennego).

4. Obliczenia w sytuacjach praktycznych

4.1. Rozwiązywanie (bez użycia literowego symbolu niewiadomej) zadań w kontekście

naturalnym dla ucznia.

4.2. Porównywanie różnicowe i ilorazowe w sytuacjach praktycznych.

5. Podstawowe figury płaskie

5.1. Rozpoznawanie i rysowanie linii prostej, punktu, półprostej, odcinka.
5.2. Rozpoznawanie podstawowych figur geometrycznych: trójkąt, kwadrat, prostokąt, koło.
5.3. Posługiwanie się pojęciami: wierzchołek, bok, kąt.
5.4. Rozpoznawanie i rysowanie na papierze w kratkę kąta prostego.
5.5. Rysowanie na papierze w kratkę trójkątów, kwadratów, prostokątów.
5.6. Obliczanie liczby kwadratów jednostkowych w prostokącie narysowanym na papierze

w kratkę.

Wymagania

1. Stosunki przestrzenne i czasowe

1.1. Wskazać przedmioty tego samego rodzaju, kształtu, koloru.
1.2. Klasyfikować przedmioty z użyciem określeń: duży-mały, długi-krótki, szeroki-wąski,

wysoki-niski, gruby-cienki.

1.3. Porównywać przedmioty z użyciem określeń: większy-mniejszy, dłuższy-krótszy,

szerszy-węższy, wyższy-niższy, grubszy-cieńszy.

1.4. Określać swoje położenie w stosunku do obiektów lub innych osób.
1.5. Określać położenie jednego obiektu względem drugiego, używając określeń: nad, pod,

wewnątrz, na zewnątrz, przy, za, przed, obok, pomiędzy.

1.6. Określać kierunek ruchu: do przodu, do tyłu, w lewo, w prawo, poziomo, pionowo,

w górę, w dół.

1.7. Oceniać i porównywać odległości stosując określenia: daleko, dalej, blisko, bliżej.
1.8. Określać zależności czasowe z użyciem określeń: długo, dłużej, krótko, krócej, teraz,

przedtem, potem, najpierw, później, dzisiaj, jutro, wczoraj, rano, w południe, wieczorem.

2. Liczenie

2.1. Nazywać, czytać i zapisywać cyfry.
2.2. Zapisywać cyframi liczby w zakresie 10 000 i odczytywać je.
2.3. Wskazać w liczbie trzycyfrowej cyfrę jedności, cyfrę dziesiątek i cyfrę setek.
2.4. Zapisać liczbę trzycyfrową w postaci sumy setek, dziesiątek i jedności.
2.5. Porównywać liczby w zakresie do 1000; używa znaków <, =, >.
2.6. Zapisywać i porządkować chronologicznie daty.
2.7. Dodawać i odejmować w pamięci w zakresie do 100

(np. 15 + 18; 40 + 26, 30 – 8, 78 – 20).

2.8. Dodawać pisemnie w zakresie do 1000.
2.9. Odejmować pisemnie w zakresie do 1000 bez przekraczania progu dziesiątkowego.

3

2.10. Mnożyć pisemnie przez liczbę jednocyfrową w zakresie do 1000.
2.11. Mnożyć i dzielić z pomocą tabliczki mnożenia w zakresie do 100.
2.12. Wykonywać dzielenie z resztą liczby większej przez mniejszą z pomocą tabliczki

mnożenia, w zakresie do 100.

2.13. Sprawdzać wykonane odejmowanie i dzielenie za pomocą działania odwrotnego.
2.14. Zmieniać kolejność składników (czynników) lub grupować składniki (czynniki) w celu

uproszczenia obliczeń.

2.15. Stosować zasady dotyczące kolejności wykonywania działań.

3. Pomiar w sytuacjach praktycznych

3.1. Mierzyć wielkość (długość, szerokość, wysokość, grubość) obiektów, figur za pomocą

różnych miar i jednostek.

3.2. Obliczać obwód przedmiotów (obiektów, figur).
3.3. Posługiwać się wyrażeniami dwumianowanymi w obliczeniach długości

(np. 1 m 15 cm + 40 cm + 2 m 25 cm).

3.4. Posługiwać się nazwami dni tygodnia i miesięcy oraz zna ich kolejność.
3.5. Zapisywać i odczytywać czas zegarowy w systemie 12- i 24-godzinnym.
3.6. Wykonywać proste obliczenia kalendarzowe i zegarowe w zakresie pełnych godzin.
3.7. Posługiwać się pojęciami: pół godziny, kwadrans.
3.8. Znać monety i banknoty (do 100 zł włącznie). Wykonywać proste obliczenia pieniężne.

Posługiwać się wyrażeniami dwumianowanymi w obliczeniach pieniężnych (np. 3 zł 40
gr + 4 zł 80 gr).

3.9. Posługiwać się wyrażeniami dwumianowanymi w obliczeniach ciężaru

(np. 3 kg 20 dag – 2 kg 90 dag).

3.10. Używać pojęcia: pół kilograma.
3.11. Posługuje się jednostką pojemności: 1 litr.
3.12. Używać pojęć: pół i ćwierć litra.
3.13. Odczytywać wskazania termometrów (np. 3 stopnie poniżej zera, 5 stopni powyżej zera,

bez posługiwania się liczbami ujemnymi).

3.14. Posługiwać się jednostką temperatury: 1 stopień C.

4. Obliczenia w sytuacjach praktycznych

4.1. Rozwiązywać łatwe zadania umieszczone w naturalnym kontekście, wymagające

wykonania co najwyżej dwóch działań.

4.2. Rozwiązywać zadania dotyczące zależności między ilością, ceną i wartością.
4.3. Rozwiązywać zadania umieszczone w naturalnym kontekście, w których występuje

porównanie różnicowe lub ilorazowe.

5. Podstawowe figury płaskie

5.1. Rozpoznawać, nazywać i kreślić proste, półproste i odcinki.
5.2. Mierzyć długość odcinka.
5.3. Rozpoznawać i nazywać podstawowe figury geometryczne: trójkąt, kwadrat, prostokąt,

koło; określać podobieństwa i różnice między nimi.

5.4. Mierzyć długości boków i obliczać obwód trójkąta, prostokąta.
5.5. Rysować na papierze w kratkę figury trójkąty, kwadraty, prostokąty.
5.6. Rozpoznawać i nazywać kąt prosty w figurach geometrycznych.
5.7. Obliczać pole prostokąta narysowanego na papierze w kratkę.

4

Szkoła podstawowa, klasy IV-VI

Treść kształcenia

1. Liczby całkowite

1.1. Liczby całkowite dodatnie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym.
1.2. Zapis liczb w systemie rzymskim.
1.3. Podzielność liczb całkowitych dodatnich.
1.4. Cechy podzielności liczb przez 2, 3, 5, 10, 100.
1.5. Liczby pierwsze.
1.6. Liczby całkowite ujemne.
1.7. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie (w zakresie wykonalności) liczb

całkowitych.

1.8. Potęga liczby o wykładniku całkowitym dodatnim.

2. Ułamki zwykłe

2.1. Ułamek jako część całości: dzielenie całości na równe części (zginanie, składanie,

rozcinanie); opisywanie otrzymanych części ułamkami 1/2, 1/3, 1/4, 1/8; składanie
całości z równych części.

2.2. Ułamek jako iloraz liczb całkowitych. Skracanie i rozszerzanie ułamków.
2.3. Porównywanie ułamków.
2.4. Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.
2.5. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych.
2.6. Obliczanie ułamka z danej liczby.
2.7. Obliczanie liczby ze znajomości jej ułamka.

3. Ułamki dziesiętne

3.1. Zapis dziesiętny liczby. Przedstawienie skończonego ułamka dziesiętnego w postaci

sumy wielokrotności potęg liczby 10.

3.2. Ułamki dziesiętne na osi liczbowej; porównywanie ułamków dziesiętnych.
3.3. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych.
3.4. Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych.

4. Wyrażenia algebraiczne

4.1. Oznaczenia literowe wielkości liczbowych.
4.2. Wielokrotności zmiennej i sumy algebraiczne.
4.3. Obliczanie wartości liczbowej wyrażeń algebraicznych.

5. Równania i nierówności

5.1. Równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
5.2. Zadania dotyczące sytuacji praktycznych prowadzące do równań pierwszego stopnia z

jedną niewiadomą.

5.3. Nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

6. Elementy statystyki opisowej

6.1. Porządkowanie i graficzne przedstawianie danych z wykorzystaniem technologii

informacyjnej.

6.2. Gromadzenie danych z prostych doświadczeń.
6.3. Interpretowanie danych.

7. Figury płaskie

7.1. Proste i odcinki na płaszczyźnie.

5

7.2. Proste prostopadłe i równoległe.
7.3. Mierzenie kątów.
7.4. Porównywanie kątów.
7.5. Kąty przy prostych równoległych, przeciętych trzecią prostą.
7.6. Symetralna odcinka i dwusieczna kąta.
7.7. Trójkąty i ich własności.
7.8. Klasyfikacja i konstruowanie trójkątów.
7.9. Twierdzenie o sumie kątów w trójkącie.
7.10. Czworokąty: prostokąty, równoległoboki, trapezy i ich własności.
7.11. Obwód i pole wielokątów.
7.12. Koło i okrąg.
7.13. Wzajemne położenie prostej i okręgu.
7.14. Skala i plan.

8. Układ współrzędnych na płaszczyźnie

8.1. Prostokątny układ współrzędnych.
8.2. Współrzędne punktu na płaszczyźnie kartezjańskiej.

9. Bryły

9.1. Graniastosłupy proste i ostrosłupy.
9.2. Siatki graniastosłupów i ostrosłupów.
9.3. Pole powierzchni i objętość prostopadłościanów.
9.4. Walce, stożki i kule.

Wymagania

1. Liczby całkowite

1.1. Zapisywać i odczytywać liczby całkowite (co najwyżej dziesięciocyfrowe) w

dziesiątkowym systemie pozycyjnym.

1.2. Zapisywać i odczytywać liczby w systemie rzymskim (w zakresie do 3000).
1.3. Zapisywać w systemie dziesiątkowym liczby zapisane w systemie rzymskim (w zakresie

do 3000).

1.4. Znajdować dzielniki i wielokrotności danej liczby.
1.5. Znajdować wspólne dzielniki i wspólne wielokrotności danej pary liczb.
1.6. Wykorzystywać cechy podzielności liczb przez 2, 3, 5, 10, 100.
1.7. Sprawdzać, czy dana liczba (w zakresie do 100) jest pierwsza.
1.8. Zaznaczać i odczytywać liczby całkowite na praktycznym modelu osi liczbowej (osi

czasu, termometrze); porównuje liczby całkowite.

1.9. Wykonywać w pamięci działania typu 120 + 40; 55 – 20; (–13) ·2.
1.10. Wykonywać pisemnie dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

(dzielenie przez liczby co najwyżej dwucyfrowe).

1.11. Stosować w obliczeniach własności działań, zachowywać właściwą kolejność

wykonywania działań.

1.12. Obliczać potęgi liczb o wykładniku całkowitym dodatnim.

2. Ułamki zwykłe

2.1. Interpretować ułamek zwykły jako część całości.
2.2. Skracać i rozszerzać ułamki.
2.3. Porównywać ułamki. Zaznaczać ułamki na osi liczbowej.
2.4. Dodawać i odejmować ułamki zwykłe o jednakowych i różnych mianownikach.
2.5. Mnożyć i dzielić ułamki zwykłe przez liczby całkowite oraz ułamki.
2.5. Obliczać wskazany ułamek danej liczby.

6

2.7. Znajdować liczbę na podstawie danego jej ułamka; stosuje tę umiejętność w sytuacjach

praktycznych.

3. Ułamki dziesiętne

3.1. Zapisywać w postaci dziesiętnej liczbę odczytaną na osi liczbowej.
3.2. Zapisywać ułamek dziesiętny w postaci sumy wielokrotności potęg liczby 10.
3.3. Zapisywać wyrażenia dwumianowane w postaci dziesiętnej (np. 3 m 24 cm = 3,24 m).
3.4. Dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić ułamki dziesiętne (w szczególności mnożyć i

dzielić przez 10, 100, 1000).

3.5. Wykorzystywać kalkulator w obliczeniach dotyczących sytuacji praktycznych.
3.6. Zaokrąglać ułamek dziesiętny do danego miejsca po przecinku.
3.7. Zaznaczać niektóre ułamki dziesiętne (np. 0,5; 1,25) na osi liczbowej; porównywać

ułamki dziesiętne.

4. Wyrażenia algebraiczne

4.1. Posługiwać się oznaczeniami literowymi w zapisie wzorów (np. na pole prostokąta).
4.2. Zapisywać i odczytywać wyrażenia postaci x – 2; 3x; 2x + 4; 2(a + 3).
4.3. Obliczać wartość liczbową wyrażeń algebraicznych.
5.1. Rozwiązywać równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, postaci x – 6 = 10;

–3x = 12; 0,5 + x = 12.

5. Równania i nierówności

5.2. Rozwiązywać nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą postaci 10 + x < 2;

4x > 9.

5.3. Rozwiązywać zadania praktyczne za pomocą równań lub nierówności powyższych

typów.

6. Elementy statystyki opisowej

6.1. Odczytywać i interpretować dane przedstawione w tabeli, na wykresie, na diagramie

słupkowym.

6.2. Porządkować i przedstawiać dane w tabeli lub za pomocą diagramu słupkowego, także

z wykorzystaniem technologii informacyjnej.

7. Figury płaskie

7.1. Mierzyć odcinki; posługiwać się jednostkami długości w obliczeniach praktycznych.
7.2. Rozpoznawać oraz kreślić proste równoległe i prostopadłe.
7.3. Mierzyć kąty; posługiwać się miarą stopniową kąta w sytuacjach praktycznych.
7.4. Odkładać i porównywać kąty. Rozpoznawać kąt ostry, prosty, rozwarty, półpełny.
7.5. Wykorzystywać własności kątów wierzchołkowych i przyległych.
7.6. Konstruować symetralną odcinka oraz dwusieczną kąta.
7.7. Konstruować kąty o miarach 60

o

, 30

o

, 45

o

.

7.8. Stosować warunek istnienia trójkąta o zadanych bokach (nierówność trójkąta).
7.9. Konstruować trójkąt, wykorzystując cechy przystawania trójkątów: bbb, bkb oraz kbk.
7.10 Klasyfikować trójkąty ze względu na boki (równoboczne, równoramienne, różnoboczne)

i kąty (ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne).

7.11. Znać i stosować twierdzenie o sumie kątów w trójkącie.
7.12. Rozpoznawać i nazywać wierzchołki, boki, kąty, przekątne czworokątów.
7.13. Klasyfikować czworokąty ze względu na wzajemne położenie boków (trapezy,

równoległoboki, prostokąty).

7.14. Obliczać obwody wielokątów.
7.15. Konstruować wysokości w trójkątach i czworokątach.
7.16. Obliczać pole trójkątów, równoległoboków i trapezów; stosywać te obliczenia w

sytuacjach praktycznych.

7

7.17. Posługiwać się jednostkami miary długości (np. dm) oraz pola (również arem,

hektarem), zamienia jednostki miary pola.

7.18. Odróżniać okrąg od koła oraz wskazywać ich elementy: promień, średnicę, środek,

cięciwę.

7.19. Określać wzajemne położenie prostej i okręgu.
7.20. Posługiwać się planem, mapą i schematem w sytuacjach praktycznych.
7.21. Odczytywać i interpretować informacje przedstawione na planie i mapie.
7.22. Rysować proste figury geometryczne w skali.
7.23. Określać rzeczywiste wymiary figury narysowanej w skali.

8. Układ współrzędnych na płaszczyźnie

8.1. Wyznaczać współrzędne punktu płaszczyzny kartezjańskiej.
8.2. Zaznaczać na płaszczyźnie kartezjańskiej punkt o danych współrzędnych całkowitych.

9. Bryły

9.1. Rozpoznawać i szkicować graniastosłup prosty oraz ostrosłup.
9.2. Wskazywać wierzchołki, ściany i krawędzie graniastosłupów i ostrosłupów.
9.3. Rozpoznaje i rysować siatkę graniastosłupa i ostrosłupa oraz wykorzystywać ją w

zastosowaniach praktycznych (np. do sporządzenia modelu, obliczenia pola powierzchni
bryły).

9.4. Obliczać pole powierzchni i objętość prostopadłościanu.
9.5. Posługiwać się jednostkami objętości i pojemności; zamieniać jednostki objętości i

pojemności.

9.6. Rozpoznawać i szkicować walce, stożki i kule; wskazywać podstawy, wysokości i

powierzchnie boczne walców i stożków.

9.7. Wskazywać elementy kuli: środek, promień i średnicę.

Gimnazjum

Treść kształcenia

1. Liczby wymierne

1.1. Pojęcie liczby wymiernej.
1.2. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb wymiernych.
1.3. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych.
1.4. Ułamki dziesiętne okresowe.

2. Potęgi o wykładniku całkowitym

2.1 Pojęcie potęgi o wykładniku całkowitym (także ujemnym).
2.2. Własności potęg o wykładniku całkowitym:

2.2.1. mnożenie i dzielenie potęg o jednakowych podstawach;
2.2.2. mnożenie i dzielenie potęg o jednakowych wykładnikach;
2.2.3. potęgowanie potęg.

2.3. Zapis liczb w notacji wykładniczej, tzn. w postaci

,

10

k

a

⋅

gdzie k jest liczbą całkowitą

oraz 1 ≤ a < 10.

3. Pierwiastki

3.1. Pojęcie pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej. Pojęcie pierwiastka sześciennego

z dowolnej liczby.

3.2. Pojęcie pierwiastka stopnia n.

8

3.3. Własności pierwiastkowania:

3.3.1. mnożenie i dzielenie pierwiastków tego samego stopnia,
3.3.2. podnoszenie pierwiastka do potęgi równej stopniowi pierwiastka.

3.4. Przykłady liczb niewymiernych.
3.5. Szacowanie wyników działań, w których występują liczby niewymierne.

4. Procenty

4.1. Obliczenia procentowe.
4.2. Praktyczne zastosowania procentów.
4.3. Promile.

5. Wyrażenia algebraiczne

5.1. Budowanie wyrażeń algebraicznych.
5.2. Podstawianie liczb do wyrażeń algebraicznych i obliczanie wartości wyrażeń.
5.3. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wyrażeń algebraicznych.
5.4. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

6. Równania i nierówności

6.1. Równania i nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
6.2. Zapisywanie i rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia z dwiema

niewiadomymi.

6.3. Zastosowanie równań stopnia pierwszego z jedną niewiadomą oraz układów równań

pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi do rozwiązywania zadań w kontekście
praktycznym.

7. Statystyka opisowa

7.1. Zbieranie, porządkowanie i przedstawianie danych (w tabeli, za pomocą diagramów), z

wykorzystaniem technologii informacyjnej.

8. Wykresy funkcji

8.1. Funkcja liczbowa i jej wykres.
8.2. Przedstawianie danych za pomocą wykresu funkcji w układzie współrzędnych.
8.3. Przykłady zależności funkcyjnych występujących w przyrodzie, gospodarce i życiu

codziennym.

8.4. Proporcjonalność prosta i jej przedstawienie wykresem.
8.5. Odczytywanie informacji z wykresu funkcji opisującej sytuację praktyczną.

9. Elementy teorii prawdopodobieństwa

9.1 Przykłady prostych doświadczeń losowych (np. rzut kostką, rzut monetą, wyciąganie

losu).

10. Figury płaskie

10.1. Długość okręgu. Pole koła.
10.2. Okrąg opisany na trójkącie. Okrąg wpisany w trójkąt.
10.3. Kąt wpisany w okrąg. Kąt środkowy.
10.4. Twierdzenie Pitagorasa i jego zastosowania.
10.5. Cechy przystawania trójkątów.
10.6. Oś symetrii figury. Środek symetrii figury.

11. Bryły

11.1 Graniastosłupy. Ostrosłupy. Bryły obrotowe.
11.2. Pola powierzchni i objętości brył.

9

Wymagania

1. Liczby wymierne

1.1. Obliczać wartości niezbyt skomplikowanych wyrażeń arytmetycznych, w których

występują liczby wymierne.

1.2. Zamieniać ułamek zwykły na dziesiętny (skończony lub okresowy).

2. Potęgi o wykładniku całkowitym

2.1. Obliczać potęgę liczby wymiernej o wykładniku całkowitym.
2.2. Stosować w obliczeniach własności potęgowania (dla wykładników całkowitych)
2.3. Odczytywać i zapisywać liczby w notacji wykładniczej.
2.4. Używać notacji wykładniczej do szacowania i porównywania liczb.

3. Pierwiastki

3.1. Stosować w obliczeniach własności pierwiastkowania:

3.1.1. mnożyć i dzielić pierwiastki tego samego stopnia,
3.1.2. podnosić pierwiastek do potęgi równej stopniowi pierwiastka.

3.2. Wyłączać czynnik przed znak pierwiastka: (np.

3

3

2

2

16

,

3

2

9

4

,

3

5

75

−

=

−

=

=

).

3.3. Szacować niektóre liczby niewymierne (np.

2

,

3

−

,

π) i wyniki działań na takich

liczbach (np.

3

2

−

).

4. Procenty

4.1. Obliczać:

4.1.1. podany procent danej liczby;
4.1.2. liczbę na podstawie jej procentu;
4.1.3. jakim procentem jednej liczby jest druga liczba.

4.2. Wykorzystywać powyższe rodzaje obliczeń do rozwiązywania prostych zadań

praktycznych (np. obniżka cen, stopy metali, stężenia roztworów).

5. Wyrażenia algebraiczne

5.1. Budować proste wyrażenia algebraiczne (także opisujące zależności wyrażone w

zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym).

5.2. Obliczać wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych.
5.3. Dodawać i odejmować sumy algebraiczne.
5.4. Mnożyć sumy algebraiczne przez jednomian.
5.5. Wyłączać przed nawias liczbę lub jednomian.
5.6. Przekształcać proste wzory (typu

abc

V

b

a

L

3

1

,

2

2

=

+

=

).

6. Równania i nierówności

6.1. Rozwiązywać równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą (w tym także równania

zapisane w postaci proporcji).

6.2. Rozwiązywać zadania w praktycznym kontekście, prowadzące do równania stopnia

pierwszego z jedną niewiadomą.

6.3. Rozwiązywać układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi (metodą

podstawiania i przeciwnych współczynników).

6.4. Rozwiązywać zadania w praktycznym kontekście, prowadzące do układu dwóch równań

liniowych z dwiema niewiadomymi.

10

7. Statystyka opisowa

7.1. Zbierać, porządkować dane statystyczne i przedstawiać je w tabeli lub za pomocą

diagramów słupkowych z wykorzystaniem technologii informacyjnej.

7.2. Odczytywać i interpretować dane statystyczne przedstawione w tabeli lub za pomocą

diagramów różnych typów.

7.3. Łączyć i interpretować informacje pochodzące z kilku źródeł.

8. Wykresy funkcji

8.1. Sporządzać wykres funkcji zadanej tabelką.
8.2. Budować tabelkę wartości funkcji opisującej sytuację praktyczną i szkicywać jej wykres.
8.3. Reprezentować wykresem proporcjonalność prostą w sytuacjach praktycznych.
8.4. Odczytywać z wykresu wartość funkcji dla danego argumentu.
8.5. Odczytywać z wykresu najmniejszą i największą wartość funkcji.
8.6. Wskazywać argumenty, dla których przyjmowana jest dana wartość; wskazywać miejsca

zerowe funkcji.

8.7. Wskazywać argumenty, dla których funkcja przyjmywać wartości dodatnie (ujemne).

9. Elementy teorii prawdopodobieństwa

9.1. Oceniać, które z danych (prostych) zdarzeń losowych jest bardziej prawdopodobne.

10. Figury płaskie

10.1. Obliczać długość okręgu i pole koła.
10.2. Stosować własności okręgu wpisanego w trójkąt oraz okręgu opisanego na trójkącie.
10.3. Konstruować okrąg opisany na trójkącie oraz okrąg wpisany w trójkąt.
10.4. Rozwiązywać proste zadania dotyczące kątów środkowych i wpisanych w okrąg oraz

związków między nimi.

10.5. Stosować twierdzenie Pitagorasa do obliczania długości odcinków.
10.6. Obliczać obwody i pola figur (również z zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa).
10.7. Rozpoznawać trójkąty przystające.
10.8. Stosować cechy przystawania trójkątów w prostych zadaniach o kontekście

praktycznym.

10.9. Rozpoznawać figury osiowo- i środkowo-symetryczne.
10.10. Znajdować osie symetrii lub środek symetrii takich figur.

11. Bryły

11.1. Rozpoznawać i rysować graniastosłupy proste, ostrosłupy, walce i stożki.
11.2. Wskazywać niektóre odcinki (krawędzie, wysokości, przekątne) w graniastosłupach

prostych i ostrosłupach prawidłowych.

11.3. Obliczać długości krawędzi, wysokości, przekątnych w graniastosłupach prostych

i w ostrosłupach (w tym z zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa).

11.4. Obliczać pola powierzchni i objętości graniastosłupów prostych, ostrosłupów

prawidłowych, walców, stożków i kul.

Szkoła średnia kończąca się maturą

Treść i wymagania w zakresie podstawowym są podzbiorem zakresu rozszerzonego. Zagadnienia
poprzedzone gwiazdką należą do zakresu rozszerzonego.

Treść kształcenia

1. Liczby rzeczywiste

11

1.1. *Liczby naturalne. NWD i NWW liczb naturalnych.
1.2. *Twierdzenie o rozkładzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze.
1.3. *Liczby całkowite.
1.4. Liczby wymierne. Rozwinięcia dziesiętne.
1.5. Liczby niewymierne; liczby rzeczywiste.
1.6. Oś liczbowa. Przedziały osi liczbowej.
1.7. Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej.
1.8. Pojęcie błędu przybliżenia. Szacowanie wartości liczbowych.
1.9. Pierwiastki (w tym pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych).
1.10. Potęgi liczb nieujemnych o wykładniku wymiernym.
1.11. Logarytmy.

2. Wyrażenia algebraiczne

2.1. Wzory skróconego mnożenia: (a ± b)

2

; a

2

– b

2

.

2.2. *Wzór (a – 1)(1 + a + .+ a

n-1

) = a

n

– 1.

2.3. *Dwumian Newtona
2.4. Wielomiany jednej zmiennej.
2.5. Przekształcanie wielomianów.
2.6. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie wielomianów.
2.7. *Dzielenie wielomianów.
2.8. *Twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x – a.
2.9. Wyrażenia wymierne jednej zmiennej.
2.10. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych.

3. Równania i nierówności

3.1. Równania kwadratowe z jedną niewiadomą.
3.2. Nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą.
3.3. Proste równania i nierówności wielomianowe.
3.4. *Twierdzenie Bézouta o postaci wymiernych pierwiastków wielomianu o

współczynnikach całkowitych.

3.5. Proste równania i nierówności wymierne.

4. Funkcje

4.1. Różne sposoby określania funkcji.
4.2. Odczytywanie z wykresu własności funkcji liczbowych.
4.3. Przekształcenia wykresów funkcji liczbowych.
4.4. Funkcja liniowa.
4.5. Funkcja kwadratowa.
4.6. *Wzory Viete’a.
4.7. Funkcja potęgowa.
4.8. Funkcje wielomianowe.
4.9. *Potęga liczby dodatniej o wykładniku rzeczywistym.
4.10. Funkcja wykładnicza.
4.11. *Funkcja logarytmiczna.

5. Ciągi

5.1. Pojęcie ciągu.
5.2. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.
5.3. *Szereg geometryczny.
5.4. *Granica ciągu.

6. Funkcje trygonometryczne

6.1. Funkcje sinus, cosinus i tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

12

6.2. Związki między funkcjami trygonometrycznymi.
6.3. *Miara łukowa kąta.
6.4. *Funkcje trygonometryczne argumentu rzeczywistego.
6.5. *Proste równania i nierówności trygonometryczne.

7. *Ciągłość i różniczkowalność

7.1. *Granica funkcji w punkcie (wg Heinego). Pojęcie funkcji ciągłej.
7.2. *Pochodna funkcji.
7.3. *Wzory na pochodną sumy, różnicy, iloczynu funkcji. Pochodna funkcji wielomianowej.
7.4. *Zastosowania pochodnej do badania funkcji.
7.5. *Związek znaku pochodnej z monotonicznością funkcji w przedziale.
7.6. *Warunek konieczny i dostateczny na istnienie ekstremum.

8. Elementy statystyki opisowej

8.1. Parametry rozkładów (z próby): średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana,

odchylenie standardowe.

9. Teoria prawdopodobieństwa

9.1. Pojęcie prawdopodobieństwa w skończonej przestrzeni probabilistycznej.
9.2. *Elementy kombinatoryki.

10. Planimetria

10.1. Czworokąty wpisane w koło i czworokąty opisane na kole.
10.2. Twierdzenie Talesa.
10.3. Cechy podobieństwa trójkątów.
10.4. Figury podobne.
10.5. Zastosowania trygonometrii w planimetrii.
10.6. *Twierdzenie sinusów.
10.7. *Twierdzenie cosinusów.

11. Planimetria na płaszczyźnie kartezjańskiej

11.1. Równanie prostej na płaszczyźnie.
11.2. *Opis półpłaszczyzny nierównością liniową.
11.3. Odległość punktów w układzie współrzędnych.
11.4. Równanie okręgu.
11.5. Wektory na płaszczyźnie kartezjańskiej.
11.6. Dodawanie wektorów: [a

1

, a

2

] ± [b

1

, b

2

]= [a

1

± b

1

, a

2

± b

2

] i mnożenie wektora przez

liczbę:

α

[a

1

, a

2

] = [

α

a

1

,

α

a

2

].

11.7. Przykłady izometrii płaszczyzny:

11.7.1. przesunięcie równoległe,
11.7.2. symetrie osiowe i środkowe.

11.8. *Przykłady podobieństw: jednokładność.

12. Stereometria

12.1. Kąty w graniastosłupach i ostrosłupach.
12.2. Równoległość i prostopadłość w przestrzeni.
12.3. Zastosowania trygonometrii w stereometrii.

Wymagania

1. Liczby rzeczywiste

1.1. *Stosować twierdzenie o rozkładzie liczby na czynniki pierwsze.

13

1.2. Wykonywać działania na liczbach wymiernych w sytuacjach praktycznych (np.

obliczenia procentowe związane z kredytami, lokatami, rabatami).

1.3. Zamieniać ułamki dziesiętne (skończone i *nieskończone okresowe) na ułamki zwykłe i

na odwrót.

1.4. Stosować liczby rzeczywiste w sytuacjach praktycznych.
1.5. *Dowodzić niewymierność niektórych liczb (np.

2

).

1.6. Wyznaczać wartość bezwzględną liczby i interpretować ją na osi liczbowej.
1.7. Zaznaczać na osi liczbowej przedziały liczbowe; opisywać nierównościami przedziały

liczbowe.

1.8. *Rozwiązywać równania i nierówności z wartością bezwzględną typu |x + 4| < 6; |x – 1| >

8.

1.9. *Rozwiązywać równania i nierówności z wartością bezwzględną typu |ax + b| < c.
1.10. Porównywać, przybliżać i szacować wartości liczbowe.
1.11. Przekształcać wyrażenia w których występuje pierwiastek kwadratowy (usuwać

niewymierność z mianownika).

1.12. Wykonywać działania na potęgach o wykładnikach wymiernych.
1.13. Obliczać logarytmy liczb, stosować w obliczeniach podstawowe własności logarytmów.
1.14. *Uzasadnić podstawowe własności logarytmów.

2. Wyrażenia algebraiczne

2.1. Stosować wzory skróconego mnożenia do rozwiązywania równań kwadratowych

zupełnych i niezupełnych.

2.2. *Stosować wzory skróconego mnożenia do przekształcania wyrażeń algebraicznych.
2.3. *Stosować dwumian Newtona w wyrażeniach algebraicznych.
2.4. Rozkładać wielomian na czynniki przez wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias,

grupować wyrazy, stosować wzory skróconego mnożenia.

2.5. Dodawać, odejmować i mnożyć wielomiany.
2.6. *Wykonywać dzielenie wielomianów z resztą; badać podzielność wielomianów.
2.7. Określać dziedzinę wyrażenia wymiernego.
2.8. Obliczać wartość wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej.
2.9. Dodawać i odejmować wyrażenia postaci (ax + b) / (cx + d).
2.10. Dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić wyrażenia wymierne.
2.11. Skracać wyrażenia wymierne.

3. Równania i nierówności

3.1. Rozwiązywać równania i nierówności kwadratowe.
3.2. Rozwiązywać zadania umieszczone w kontekście praktycznym, prowadzące do równań

i nierówności kwadratowych.

3.3. *Rozwiązywać równanie kwadratowe z parametrem.
3.4. Rozwiązywać równania (*i nierówności) wielomianowe metodą rozkładu na czynniki.
3.5. *Stosować twierdzenie Bézouta do znajdowania wymiernych pierwiastków wielomianu

o współczynnikach całkowitych.

3.6. Rozwiązywać proste równania i nierówności wymierne.
3.7. Rozwiązywać zadania umieszczone w kontekście praktycznym, prowadzące do prostych

równań i nierówności wymiernych.

4. Funkcje

4.1. Odczytywać z wykresu funkcji:

4.1.1. dziedzinę i zbiór wartości,
4.1.2. miejsca zerowe,
4.1.3. przedziały w których funkcja rośnie, maleje, ma stały znak.

14

4.2. Na podstawie wykresu funkcji y = f(x) naszkicować wykresy funkcji y = f (x + a),

y = f (x) + a.

4.3. * Naszkicować wykresy y = cf (x), y = f (dx), |f (x)|.
4.4. *Naszkicować wykres będący efektem wykonania kilku operacji, np. |sin(3x + 2)|.
4.5. Sporządzać wykresy funkcji liniowych.
4.6. Wyznaczyć wzór funkcji liniowej na podstawie jej własności.
4.7. Wykorzystywać interpretację współczynnika kierunkowego i wyrazu wolnego wzoru

funkcji liniowej.

4.8. Sporządzać wykresy funkcji kwadratowych.
4.9. Wyznaczać miejsca zerowe funkcji kwadratowej.
4.10. Wyznaczać wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w

przedziale.

4.11. Rozwiązywać zadania w praktycznym kontekście, prowadzące do wyznaczania

najmniejszej lub największej wartości funkcji kwadratowej w przedziale.

4.12. *Wyprowadzić i stosować wzory Viete’a.
4.13. Znać przebieg wykresu funkcji y = x

n

, n

≥ 2.

4.14. *Określić zachowanie funkcji wielomianowej gdy x→ +∞ oraz x→ –∞ na podstawie jej

wzoru.

4.15. *Sporządzać wykresy funkcji wykładniczych i na ich podstawie badać własności tych

funkcji.

4.16. *Rozwiązywać równania i nierówności wykładnicze typu a

x

= b; a

x

> b; at

2

+ bt + c = 0,

gdzie t =

α

x

.

4.17. *Sporządzać wykresy funkcji logarytmicznych i na ich podstawie badać własności tych

funkcji.

4.18. *Rozwiązywać najprostsze równania i nierówności logarytmiczne.

5. Ciągi

5.1. Wyznaczać wyrazy ciągu określonego wzorem jawnym.
5.2. *Wyznaczać wyrazy ciągu określonego wzorem rekurencyjnym.
5.3. Stosować wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

i geometrycznego.

5.4. Obliczać oprocentowanie lokat i kredytów procentem składanym.
5.5. *Badać zbieżność szeregów geometrycznych i obliczać ich sumy.
5.6. *Wyznaczać granice ciągów typu 1/n; (n + 1)/(n + 2); (2n

2

+ 1)/(5n –1), (3n

2

+ n)/(2n

2

+1).

6. Funkcje trygonometryczne

6.1. Znajdować wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych w trójkącie

prostokątnym.

6.2. Rozwiązywać równania typu sin x = a, cos x = a, tg x=a, 0

o

< x < 90

o

.

6.3. Stosować związki sin

2

α

+ cos

2

α

= 1, tg

α

= sin

α

/cos

α

do przekształcania wyrażeń

trygonometrycznych.

6.4. *Stosować związki sin

2

α

+ cos

2

α

=1, tg

α

= sin

α

/cos

α

w dowodach tożsamości

trygonometrycznych.

6.5. *Zamieniać miarę stopniową kąta na miarę łukową i odwrotnie.
6.6. *Sporządzać wykresy funkcji trygonometrycznych y = sin x; y = cos x, y = tg x.
6.7. *Rozwiązywać równania trygonometryczne typu sin x= ½; sin

2

x + cos x = 1.

6.8. *Posługiwać się wykresami funkcji trygonometrycznych przy rozwiązywaniu

nierówności trygonometrycznych typu sin x > a, cos x > a, tg x > a.

7. *Ciągłość i różniczkowalność

7.1. *Rozpoznawać na wykresie funkcji punkty nieciągłości.
7.2. *Wyznaczać pochodne funkcji wielomianowych.
7.3. *Interpretować geometrycznie i fizycznie pochodną funkcji w punkcie.

15

7.4. *Stosować pochodną do znajdowania przedziałów monotoniczności funkcji.
7.5. *Wyznaczać ekstrema funkcji wymiernych w oparciu o warunki konieczny i dostateczny

istnienia ekstremum.

7.6. *Rozwiązywać zadania w praktycznym kontekście, prowadzące do badania ekstremum

funkcji różniczkowalnej.

8. Elementy statystyki opisowej

8.1. Przedstawiać dane empiryczne w postaci tabel, diagramów i wykresów.
8.2. Obliczać średnie arytmetyczne i ważone danych liczbowych.
8.3. Wyznaczać medianę i odchylenie standardowe. Wyciągać wnioski z obliczonych

parametrów rozkładu.

9. Teoria prawdopodobieństwa

9.1. Stosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa do wyznaczania prawdopodobieństw

zdarzeń losowych.

9.2. *Stosować pojęcie silni i symbol Newtona.
9.3. *Rozwiązywać proste zadania kombinatoryczne, obejmujące pojęcia permutacji i

kombinacji elementów skończonego zbioru.

10. Planimetria

10.1. Stosować własności czworokąta wpisanego w okrąg i czworokąta opisanego na okręgu.
10.2. *Prowadzić proste rozumowania dedukcyjne wykorzystujące własności czworokątów

wpisanych i opisanych na okręgu.

10.3. Określać podobieństwo trójkątów na podstawie cech podobieństwa.
10.4. Stosować cechy podobieństwa trójkątów.
10.5. Stosować twierdzenie Talesa i jego związek z podobieństwem.
10.6. *Prowadzić proste rozumowania dedukcyjne wykorzystujące podobieństwo figur.
10.7. *Obliczać wymiary i pola figur podobnych w podanej skali.
10.8. *Stosować funkcje trygonometryczne w zadaniach geometrycznych.
10.9. *Rozwiązywać trójkąty z zastosowaniem twierdzeń sinusów i cosinusów.

11. Planimetria w układzie współrzędnych

11.1. Podać równanie kierunkowe prostej, mając dane dwa jej punkty, jeden punkt i

współczynnik kierunkowy.

11.2. Badać równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych.
11.3. Interpretować geometrycznie układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.
11.4. *Interpretować geometrycznie na płaszczyźnie układy nierówności liniowych.
11.5. Obliczać odległości punktów na płaszczyźnie kartezjańskiej, wyznacza współrzędne

środka odcinka.

11.6. Stosować równanie okręgu (x – a)

2

+ (y – b)

2

= r

2

.

11.7. Rozwiązywać zadania o położeniu prostych i okręgów na płaszczyźnie kartezjańskiej.
11.8. *Opisywać nierównościami obszary na płaszczyźnie ograniczone prostymi lub łukami

okręgów.

11.9. Dodawać i odejmować wektory oraz mnoży je przez liczbę.
11.10. Interpretować geometrycznie działania na wektorach.
11.11. *Stosować wektory do dowodzenia własności figur (np. że środkowe trójkąta dzielą się

w stosunku 1:2).

11.12. Rysować obrazy prostych figur w symetrii osiowej.
11.13. Podać współrzędne obrazów punktów w symetrii względem prostych równoległych do

osi OX i OY.

11.14. Rysować obrazy prostych figur w symetrii środkowej.
11.15. Podać współrzędne obrazów punktów w symetrii względem punktu (0,0).
11.16. Rysować obrazy prostych figur w przesunięciu równoległym.

16

11.17. Podać współrzędne obrazu punktu w przesunięciu o dany wektor.
11.18. Podać współrzędne wektora przesunięcia, mając współrzędne punktu i jego obrazu.
11.19. *Rysować obrazy prostych figur w jednokładności.
11.20. *Podać przykłady figur jednokładnych.
11.21. *Znajdować współrzędne obrazów punktów w jednokładności o środku (0,0).

12. Stereometria

12.1. Wskazywać krawędzie, wysokości i przekątne w graniastosłupach i ostrosłupach.
12.2. Wskazywać i oblicza kąty nachylenia: przekątnej lub krawędzi do podstawy, ściany

bocznej do podstawy.

12.3. Stosować trygonometrię w zadaniach ze stereometrii do obliczania pól powierzchni

i objętości graniastosłupów, ostrosłupów oraz brył obrotowych (walców, stożków, kul).

12.4. *Wyznaczać przekroje znanych brył i oblicza ich pola powierzchni.

Zasadnicza szkoła zawodowa

1. Liczby

1.1. Działania na liczbach rzeczywistych.
1.2. Porównywanie liczb rzeczywistych.
1.3. Procenty i promile.

2. Algebra

2.1. Wielomiany
2.2. Wzory skróconego mnożenia
2.3. Równania i nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą
2.4. Układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi
2.5. Proporcje
2.6. Równania kwadratowe

3. Funkcje

3.1. układ współrzędnych na płaszczyźnie
3.2. funkcje liczbowe
3.3. funkcja liniowa i jej podstawowe własności

4. Planimetria

4.1. Kąty.
4.2. Wielokąty.
4.3. Okrąg, koło.
4.4. Okrąg wpisany w trójkąt i opisany na trójkącie.
4.5. Twierdzenia Talesa.
4.6. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.
4.7. Figury symetryczne osiowo i środkowo.
4.8. Twierdzenie Pitagorasa.
4.9. Skala i plan.

5. Stereometria

5.1. Graniastosłupy.
5.2. Ostrosłupy.
5.3. Bryły obrotowe.

6. Statystyka

17

6. 1. Zbieranie, interpretowanie, odczytywanie i przedstawianie danych
6. 2. Średnia arytmetyczna.

Wymagania

1. Liczby

1.1. Wykorzystywać w obliczeniach cechy podzielności liczb przez 2, 3, 5, 9, 10, 25, 100.
1.2. Zaznaczać na osi liczbowej liczby całkowite, ułamki o mianowniku nie większym niż 10,

liczby dziesiętne posiadające co najwyżej jedną cyfrę po przecinku.

1.3. Podać przybliżenia liczb z określoną dokładnością; szacować wyniki.
1.4. Posługiwać się w obliczeniach liczbą

π .

1.5. Wskazywać liczbę największą i najmniejszą w zbiorze skończonym, ustawiać elementy

zbioru skończonego w określonym porządku.

1.6. Dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić liczby, również za pomocą kalkulatora .
1.7. Obliczać potęgi o wykładnikach całkowitych i wykorzystywać w obliczeniach własności

tych potęg

1.8. Zapisywać i odczytywać liczby w notacji wykładniczej.
1.9. Obliczać pierwiastki stopnia drugiego i trzeciego (w tym pierwiastki stopnia trzeciego z

liczb ujemnych) lub określać ich wartość przybliżoną; wykorzystywać własności tych
pierwiastków w obliczeniach.

1.10. Stosować w obliczeniach własności działań i kolejność wykonywania działań.
1.11. Wykorzystywać procenty i promile w sytuacjach praktycznych.

2. Algebra

2.1. Zapisywać i odczytywać wyrażenia algebraiczne typu: x + 3, 2x, x

2

– 4.

2.2. Obliczać wartość liczbową wyrażenia algebraicznego.
2.3. Zapisywać wielomian w prostszej postaci, redukując wyrazy podobne .
2.4. Dodawać i odejmować wielomiany; mnożyć wielomian przez jednomian .
2.5. Wykorzystywać wzory na kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnicę kwadratów.
2.6. Rozkładać na czynniki: wielomian typu x

2

+ 4x + 4 z wykorzystaniem wzorów

skróconego mnożenia, wielomian typu: 2x

2

– 4x z wyłączeniem wspólnego czynnika

przed nawias .

2.7. Rozwiązywać równania i nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
2.8. Rozwiązywać układy dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
2.9. Podać interpretację geometryczną układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema

niewiadomymi .

2.10. Rozwiązywać równia kwadratowe z wykorzystaniem rozkładu na czynniki .
2.11. Wykorzystywać proporcje w sytuacjach praktycznych .

3. Funkcje

3.1. Obliczać odległość punktów w układzie współrzędnych.
3.2. Określać własności funkcji na podstawie jej wykresu (wartość najmniejszą, największą,

miejsca zerowe, wartość funkcji dla danego argumentu, znajdować argument dla którego
funkcja przyjmuje określoną wartość, argumenty, dla których funkcja rośnie, maleje lub
jest stała, argumenty dla których wartości funkcji są dodatnie lub ujemne) .

3.3. Zapisywać równanie prostej spełniającej określone warunki (np. równoległej do osi y i

przechodzącej przez dany punkt; o danym współczynniku kierunkowym i przecinającej
oś y w danym punkcie) w postaci x = a lub y = ax + b.

3.4. Znajdować równanie prostej przechodzącej przez punkt o znanych współrzędnych

równoległej do prostej danej wzorem .

3.5. Znajdować równanie prostej przechodzącej przez punkt o znanych współrzędnych

prostopadłej do prostej danej wzorem .

18

4. Planimetria

4.1. Rysować, mierzyć i porównywać kąty.
4.2. Wykorzystywać własności kątów wierzchołkowych, przyległych, naprzemianległych

i odpowiadających w zastosowaniach praktycznych.

4.3. Wykorzystywać własności kątów środkowych i wpisanych w koło.
4.4. Obliczać obwody i pola wielokątów.
4.5. Określać wzajemne położenie prostej i okręgu.
4.6. Obliczać pole koła i obwód okręgu.
4.7. Opisywać okrąg na trójkącie.
4.8. Wpisywać okręgu w trójkąt.
4.9. Stosować twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie odwrotne.
4.10. Dzielić odcinek na równe części.
4.11. Sprawdzać, czy proste przecinające ramiona kąta są równoległe.
4.12. Wykorzystywać własności figur podobnych.
4.13. Wykorzystywać cechy przystawania trójkątów.
4.14. Obliczać długości odcinków z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych kąta

ostrego w trójkącie prostokątnym.

4.15. Wykorzystywać własności figur symetrycznych osiowo i środkowo.
4.16. Określać rzeczywiste wymiary figury narysowanej w skali.
4.17. Rysować figurę w danej skali.
4.18. Ustalać skalę planu i szkicować plan danego obiektu.
4.19. Odczytywać informacje z planu i mapy.

5. Stereometria

5.1. Określać położenie krawędzi i ścian w graniastosłupach i ostrosłupach .
5.2. Określać kąt nachylenia krawędzi do podstawy oraz kąt nachylenia ściany bocznej do

podstawy w ostrosłupie; kąt nachylenia przekątnej do podstawy, kąt między przekątną a
krawędzią boczną w graniastosłupie .

5.3. Obliczać objętość i pole powierzchni graniastosłupa prostego i ostrosłupa.
5.4. Obliczać objętość i pole powierzchni bryły obrotowej (walca, stożka, kuli).
5.5. Wykorzystywać własności przekroju osiowego bryły obrotowej .

6. Statystyka

6.1. Zbierać i gromadzić dane, z wykorzystaniem technologii informacyjnej.
6.2. Prezentować dane w postaci tabel, wykresów, diagramów.
6.3. Odczytywać i interpretować dane przedstawione w postaci tabel, wykresów, diagramów.
6.4. Obliczać i interpretować średnią arytmetyczną.