Arkusz 9 .

1. Bez obliczania wartości całki ustalić jej znak:

a)

xdx

arc

x

ctg

0

1

2





b)



2

0

cos



xdx

x

c)

xdx

arc

x

sin

0

1

3





2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi :

a) y = x

2

, y = 2x

2

, y = 8 ( x



0 ) ;

b) y = cos2x , y = sinx , oś OY ( x



0) ;

c)

1

9

4

2

2





y

x

; d) yx

4

= 1 , y =1 , y =16; e) y

2

= - x , y = x – 6 , y = -1 , y = 4 ;

f) y = x (x

2

– 16), y = 0 ;

g) y = - x

2

+ 2x +3, y = x

2

- 2x + 3.

3. Obliczyć długość łuku krzywej o równaniu:

a) y =

2

1

x



x



< 0 ,

2

1

>

b) y = lnx x



<

3

, 2

2

>

c) y = e

x

x



<

2

1

ln2 ,

2

1

ln3 >

4. Oblicz średnią wartość funkcji f na przedziale < a , b >:

a) f(x) =

2

1

x

x



, < 0 , 2 >; b) f(x) = x sinx, < 0 ,



>.

5. Wśród podanych całek wyszukać całki niewłaściwe i zbadać ich zbieżność:

a)





1

0

3

1

x

dx

b)





2

1

0

3

1

x

dx

c)



e

x

dx

1

ln

d)





1

ln x

dx

e)



2

4

sin





x

dx

f)







2

sin x

dx

g)





2

1

2

4

x

dx

h)





2

1

2

9

x

dx

6. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi :

a) y =

2

4

1

x

x



, x = 0 , x = 4 , y = 0;

b)

y =

5

4

1

2





x

x

, y = 0 ;

c) y =

x

x

2

ln

1

dla x



e , x = e , y = 0 ;

7. Obliczyć objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dookoła osi Ox figury ograniczonej liniami:

a) y =

√ , x = 4, y = 0;

b) y =

√

,

c) y =

√

,

.