Rozwiązywanie układów równań liniowych
Metody ścisłe:
metoda eliminacji częściowej (Gaussa)
metoda eliminacji zupełnej (Jordana)
metody macierzowe (wzory Cramera, macierz odwrotna)
komendy w Maple’u: solve i LinearSolve
Sformułowanie zagadnienia
b
x
A
=
=
=
=
n
n
nn
n
n
n
n
b
b
b
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
2
1
2
1
2
22
21
1
12
11
b
x
A
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
…
…
…
…
2
2
1
1
3
3
2
32
1
31
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
0
)
det(
:
≠
A
Z
Idea metody eliminacji Gaussa
b
x
A
=
c
x
T
=
→
=
nn
n
n
t
t
t
t
t
t
0
0
0
2
22
1
12
11
T
- macierz trójkątna górna
=
n
n
nn
n
n
c
c
c
x
x
x
t
t
t
t
t
t
2
1
2
1
2
22
1
12
11
0
0
0
→
=
n
x
x
x
2
1
x
n
n
nn
n
n
n
n
c
x
t
c
x
t
x
t
c
x
t
x
t
x
t
=
=
+
+
=
+
+
+
…
…
2
2
2
22
1
1
2
12
1
11
Metoda eliminacji Gaussa – eliminacja pierwsza
(0)
1
(0)
11
,
( ) (1),
2..
⋅
−
=
i
a
i
i
n
a
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
11
1
12
2
13
3
1
1
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
21
1
22
2
23
3
2
2
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
31
1
32
2
33
3
3
3
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
1
1
2
2
3
3
(1)
(2)
(3)
( )
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
…
…
…
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
a x
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
a x
b
n
a x
a x
a x
a x
b
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
11
1
12
2
13
3
1
1
(1)
(1)
(1)
(1)
22
2
23 3
2
2
(1)
(1)
(1)
(1)
32
2
33
3
3
3
(1)
(1)
(1)
(1)
2 2
3 3
(1)
(2)
(3)
( )
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
…
…
…
n
n
n n
n
n
n
n
nn
n
n
a x
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
n
a x
a x
a x
b
(0)
(1)
(0)
(0)
1
1
(0)
11
(0)
(1)
(0)
(0)
1
1
(0)
11
=
−
=
−
i
ij
ij
j
i
i
i
a
a
a
a
a
a
b
b
b
a
2,3..
1,2..
=
=
i
n
j
n
Metoda eliminacji Gaussa – eliminacja druga
(1)
2
(1)
22
,
( ) (2),
3..
⋅
−
=
i
a
i
i
n
a
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
11
1
12
2
13
3
1
1
(1)
(1)
(1)
(1)
22
2
23 3
2
2
(2)
(2)
(2)
33
3
3
3
(2)
(2)
(2)
3
3
(1)
(2)
(3)
( )
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
+
+
=
…
…
…
n
n
n n
n
n
n
nn
n
n
a x
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
b
n
a x
a x
b
(1)
(2)
(1)
(1)
2
2
(1)
22
(1)
(2)
(1)
(1)
2
2
(1)
22
=
−
=
−
i
ij
ij
j
i
i
i
a
a
a
a
a
a
b
b
b
a
3,4..
2,3..
=
=
i
n
j
n
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
11
1
12
2
13
3
1
1
(1)
(1)
(1)
(1)
22
2
23 3
2
2
(1)
(1)
(1)
(1)
32
2
33
3
3
3
(1)
(1)
(1)
(1)
2 2
3 3
(1)
(2)
(3)
( )
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
…
…
…
n
n
n n
n
n
n
n
nn
n
n
a x
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
n
a x
a x
a x
b
Metoda eliminacji Gaussa – finał
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
11
12
13
1, 1
1
(1)
(1)
(1)
(1)
22
23
2, 1
2
(2)
(2)
(2)
33
3, 1
3
(
2)
(
2)
1, 1
1,
(
1)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
T
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
(0)
1
(1)
2
(2)
3
(
2)
1
(
1)
−
−
−
=
c
n
n
n
n
b
b
b
b
b
c
x
T
=
k – numer eliminacji
i – numer wiersza
j – numer kolumny
(
1)
,
( )
(
1)
(
1)
,
(
1)
,
(
1)
,
( )
(
1)
(
1)
(
1)
,
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
−
k
i k
k
k
k
i j
i j
k j
k
k k
k
i k
k
k
k
i
i
k
k
k k
a
a
a
a
a
a
b
b
b
a
1,2,...,
1
1...
...
=
−
= +
=
k
n
i k
n
j k n
Wyznaczanie współrzędnych wektora niewiadomych x
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
1
11
12
13
1,
1
1
1
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
2
22
23
2,
1
2
2
(2)
(2)
(2)
(
3
33
3, 1
3
3
(
2)
(
2)
1
1, 1
1,
(
1)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
⋅
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
x
a
a
a
a
a
b
x
a
a
a
a
b
x
a
a
a
b
x
a
a
x
a
2)
(
2)
1
(
1)
−
−
−
n
n
n
n
b
b
( 1)
( 1)
( 1)
( 1)
( 1)
, 1
1
, 1
1
...
−
−
−
−
−
+
+
−
−
+
+ +
+
=
i
i
i
i
i
ii
i
i i
i
i n
n
in
n
i
a
x
a
x
a
x
a
x
b
( 1)
( 1)
( 1)
1
−
−
−
= +
+
=
∑
n
i
i
i
ii
i
ij
j
i
j i
a
x
a
x
b
( 1)
( 1)
( 1)
1
1
,
,
1, ...1
−
−
−
= +
=
−
=
−
∑
n
i
i
i
i
ij
j
i
j i
ii
x
b
a
x
i n n
a
Przykład liczbowy
→
=
⋅
−
−
70
83
19
20
3
4
2
40
3
3
4
20
3
2
1
x
x
x
=
⋅
−
812
49977
20
1717
3
2
1
812
16659
20
31
5
203
19
0
0
0
3
4
20
x
x
x
=
3
2
1
x
Idea metody eliminacji zupełnej (Jordana)
b
x
A
=
c
x
I
=
→
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
I
- macierz jednostkowa
=
n
n
c
c
c
x
x
x
2
1
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
→
c
x
=
→
=
n
n
c
c
c
x
x
x
2
1
2
1
Metoda eliminacji Jordana – eliminacja pierwsza
(0)
1
( ) (1),
2..
⋅
−
=
i
a
i
i
n
(0)
11
a
÷
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
11
1
12
2
13
3
1
1
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
21
1
22
2
23
3
2
2
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
31
1
32
2
33
3
3
3
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
1
1
2
2
3
3
(1)
(2)
(3)
( )
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
…
…
…
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
a x
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
a x
b
n
a x
a x
a x
a x
b
(1)
(1)
(1)
(1)
1
12
2
13
3
1
1
(1)
(1)
(1)
(1)
22
2
23 3
2
2
(1)
(1)
(1)
(1)
32
2
33
3
3
3
(1)
(1)
(1)
(1)
2 2
3 3
(1)
(2)
(3)
( )
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
…
…
…
n
n
n n
n
n
n
n
nn
n
n
x
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
n
a x
a x
a x
b
Metoda eliminacji Jordana – eliminacja druga
(1)
2
( ) (2),
1,3..
⋅
−
=
i
a
i
i
n
(1)
22
a
÷
(1)
(1)
(1)
(1)
1
12
2
13
3
1
1
(1)
(1)
(1)
(1)
22
2
23 3
2
2
(1)
(1)
(1)
(1)
32
2
33
3
3
3
(1)
(1)
(1)
(1)
2 2
3 3
(1)
(2)
(3)
( )
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
…
…
…
n
n
n n
n
n
n
n
nn
n
n
x
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
n
a x
a x
a x
b
(2)
(2)
(2)
1
13
3
1
1
(2)
(2)
(2)
2
23
3
2
2
(2)
(2)
(2)
33
3
3
3
(2)
(2)
(2)
3
3
(1)
(2)
(3)
( )
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
+
+
=
…
…
…
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
x
a x
a x
b
x
a x
a x
b
a x
a x
b
n
a x
a x
b
(2)
(2)
(2)
1
13
3
1
1
(2)
(2)
(2)
2
23
3
2
2
(2)
(2)
(2)
33
3
3
3
(2)
(2)
(2)
3
3
(1)
(2)
(3)
( )
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
+
+
=
…
…
…
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
x
a x
a x
b
x
a x
a x
b
a x
a x
b
n
a x
a x
b
(2)
3
( ) (3),
1,2,4..
⋅
−
=
i
a
i
i
n
(2)
33
a
÷
(3)
(3)
(3)
(3)
1
14
4
15
5
1
1
(3)
(3)
(3)
3)
2
24
4
25
5
2
2
(3)
(3)
(3)
(3)
3
34
4
35
5
3
3
(3)
(3)
(3)
(3)
44
4
45
5
4
4
(3)
(3)
(3)
(3)
4
4
5
5
(1)
(2)
(3)
(4)
( )
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
…
…
…
…
…
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
x
a x
a x
a x
b
x
a x
a x
a x
b
x
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
n
a x
a x
a x
b
Metoda eliminacji Jordana – eliminacja trzecia
Metoda eliminacji Jordana – finał
( )
1
1
( )
2
2
( )
3
3
( )
(1)
(2)
(3)
( )
=
=
=
=
n
n
n
n
n
n
x
b
x
b
x
b
n
x
b
→
=
⋅
−
−
70
83
19
20
3
4
2
40
3
3
4
20
3
2
1
x
x
x
=
⋅
3
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
2
1
x
x
x
=
3
2
1
x
Przykład liczbowy
Wzory Cramera (metoda wyznaczników)
b
x
A
=
n
j
W
W
x
j
j
..
1
,
=
=
n
j
a
a
b
a
a
a
a
b
a
a
W
W
n
j
n
j
n
n
j
j
j
..
1
,
,
1
1
,
1
1
,
1
1
1
1
,
1
1
1
,
1
11
=
=
=
+
−
+
−
…
…
…
…
A
− wzory Cramera
b
A
x
1
−
=
A
-1
− macierz odwrotna
Metoda macierz odwrotnej
Komendy w Maple’u: solve i LinearSolve
> solve({r||(1..n)},{seq(x[i],i=1..n)});
> with(LinearAlgebra):
> LinearSolve(A,b);
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2008 Metody obliczeniowe 12 D 2008 11 28 20 53 30
2008 Metody obliczeniowe 10 D 2008 11 28 20 51 40
Św Augustyn Wyznania (tłum i wstęp Z Kubiak) Księga X 1 23, XI 1 20, 28 31, XII 1 13, XIII 1 11, 2
2008 Metody obliczeniowe 06 D 2008 10 22 20 13 23
2008 Metody obliczeniowe 08 D 2008 11 11 21 31 58
2008 Metody obliczeniowe 09 D 2008 11 11 21 32 51
2008 Metody obliczeniowe 07 D 2008 10 29 19 28 1
2008 Metody obliczeniowe 02 D 2008 10 1 21 28 5
2008 Metody obliczeniowe 08 D 2008 11 11 21 31 58
2008 01 22 20 11 mapa fizyczna europy A4
fluoromethcathinone a new substance of abuse forensic sci intl 185 10 20 2009 j forsciint 2008 11 01
więcej podobnych podstron