SIATKA HYDRODYNAMICZNA

1. Wprowadzenie

Rozwiązanie konkretnego zagadnienia przepływu filtracyjnego powinno być traktowane jako

zadanie trójwymiarowe. Istnieje jednak wiele zagadnień w których przepływ można rozpatrywać jako
dwuwymiarowy zakładając, że w pobliżu tego przekroju właściwości ośrodka gruntowego, geometria
układu warstw, a więc i parametry przepływu są w przybliżeniu takie same. Wówczas przyjmuje się, że
składowa prędkości filtracji, normalna do przekroju jest równa zeru. Jeżeli natomiast w zasięgu
rozpatrywanego obszaru zmienia się układ warstw lub właściwości ośrodka gruntowego, wówczas
można rozwiązywać zagadnienia w kilku przekrojach, przyjmując do obliczeń schemat dwuwymiarowy.

W przypadku płaskiego przepływu wód podziemnych równanie przepływu cieczy nieściśliwej

przez ośrodek jednorodny i izotropowy ma postać:

lub

gdzie:

Φ

= - kH

k - współczynnik filtracji,
H - wysokość hydrauliczna.

Przy powyższych oznaczeniach składowe prędkości filtracji (mają postać):

Rozwiązaniem równania przepływu jest funkcja potencjału prędkości

Φ

(x, y). Przyrównując

funkcję

Φ

do stałej C takiej, że

.

kH

2

≤

C

≤

kH

1

gdzie H

1

i H

2

są ekstremalnymi wysokościami hydraulicznymi na brzegach obszaru filtracji

wywołującymi przepływ wody w rozpatrywanym obszarze, dostajemy równanie linii jednakowego
potencjału C

Φ

(x,y)=C

którą będziemy nazywać powierzchnią ekwipotencjalną.

Można udowodnić, że istnieje funkcja

Ψ

(x, y), dla której

x

v

x

∂

∂

= Φ

i

y

v

y

∂

∂

=

Φ

i

0

y

x

2

2

2

2

=

∂

∂

+

∂

∂

Φ

Φ

0

2

=

∇

Φ

y

v

x

∂

∂

−

=

Ψ

i

x

v

y

∂

∂

=

Ψ

tzn.

Powyższe związki są związkami Cauchy-Riemanna i oznaczają, że rodziny krzywych

Φ

(x, y) = const. i

Ψ

(x, y) = const.

są wzajemnie ortogonalne. Układ tych linii w przypadku zagadnień przepływu wód podziemnych
nazywamy siatką hydrodynamiczną przepływu. Rodzina krzywych

Ψ

(x, y) = const.

przedstawia linie prądu (wektor prędkości jest styczny do linii prądu), które dla przepływu ustalonego
pokrywają się z torami przepływających cząsteczek wody). Różniczkując powyższe związki
odpowiednio po

∂

x i

∂

y dostajemy:

Odejmując stronami powyższe równania otrzymujemy:

lub

Rozwiązanie konkretnego zagadnienia sprowadza się więc do rozwiązania równań różniczkowych:

i

W wyniku rozwiązania możemy określić siatkę hydrodynamiczną i obliczyć wszystkie wielkości
związane z przepływem wód podziemnych jak np. wysokość hydrauliczną, prędkość filtracji wielkość
przepływu wód, czas przepływu na zadanym odcinku drogi.

2. Graficzna metoda obliczeń natężenia objętościowego przepływu oraz czasu przepływu
zanieczyszczeń na podstawie siatki hydrodynamicznej

y

x

∂

∂

−

=

∂

∂

Ψ

Φ

i

x

y

∂

∂

=

∂

∂

Ψ

Φ

2

2

2

y

y

x

∂

∂

−

=

∂

∂

∂

Ψ

Φ

i

2

2

2

x

x

y

∂

∂

=

∂∂

∂

Ψ

Φ

0

y

x

2

2

2

2

=

∂

∂

+

∂

∂

Ψ

Ψ

0

2

=

∇

Ψ

0

2

=

∇

Φ

0

2

=

∇

Ψ

Rozwiązanie powyższych równań można dokonać również na drodze graficznej, korzystając z

właściwości siatki hydrodynamicznej. Polega ona na tym, że siatkę hydrodynamiczną wykreśla się od
ręki, traktując tak uzyskany obraz za pierwsze przybliżenie rozwiązania. Następnie siatkę poprawia się
tak długo, aż spełni ona następujące warunki:
1. Linie prądu i linie ekwipotencjalne są ortogonalne,
2. Każdy wycinek siatki (wycinek ograniczony sąsiadującymi powierzchniami ekwipotencjalnymi i

liniami prądu) będzie "kwadratowy" tzn. średni rozstaw linii prądu i powierzchni ekwipotencjalnych
będzie taki sam.

Dla tak skonstruowanej siatki hydrodynamicznej straty wysokości hydraulicznej w każdym

kwadracie siatki będą miały taką samą wartość.

Bardzo ważną właściwością siatki hydrodynamicznej jest to, że przepływ przez dowolny wycinek

siatki w obrębie tej samej wstęgi (strumienia - obszar między dwoma sąsiednimi liniami prądu) ma taką
samą wielkość.

Dla płaskiego zagadnienia przepływu wód podziemnych możemy określić przepływ q

j

na jednostkę

szerokości s w i-tym wycinku siatki j-tego strumienia jako:

gdzie:
Q

j

- przepływ w j-tym strumieniu,

s - odległość prostopadła do przyjętego przekroju, na której geometria przekroju i właściwości gruntu są
niezmienne (szerokość strumienia),
F

j,i

- pole powierzchni przekroju i-tego wycinka w j-tym strumieniu,

v

j,i

- prędkość filtracji w i-tym wycinku j-tego strumienia

Zakładając przepływ jednostajny w poszczególnych wycinkach siatki, oraz przyjmując prawo Darcy
otrzymujemy:

gdzie:

∆

H

j,i

- strata wysokości hydraulicznej w i-tym wycinku j-tego strumienia,

l

j,i

- długość drogi filtracji w i-tym wycinku j-tego strumienia,

v

j,i

- średni rozstaw linii prądu w i-tym wycinku j-tego strumienia.

Stąd strata wysokości hydraulicznej na i-tym wycinku j-tego strumienia wynosi:

Całkowita strata wysokości hydraulicznej wzdłuż wszystkich wycinków danego strumienia wynosi:

i,

j

i,

j

j

v

F

s

Qj

q

⋅

=

=

i,

j

i,

j

i,

j

j

l

H

k

b

q

∆

⋅

⋅

=

i,

j

i,

j

j

i,

j

b

k

l

q

H

⋅

⋅

=

∆

∑

∑

=

=

=

=

N

1

i

i,

j

i,

j

j

N

1

i

i,

j

b

l

k

q

H

H

∆

∆

Stąd można określić wydatek jednostkowy pojedynczego j-tego strumienia

Całkowity przepływ wyniesie zatem

W przypadku siatki kwadratowej mamy

i w związku z tym

Na podstawie przedstawionego rozwiązania można też określić czas przepływu wody t

j

w

poszczególnych strumieniach. W tym celu wprowadzimy pojęcie średniej prędkości rzeczywistej
(prędkości porowej) u. Jest ona związana z prędkością filtracji zależnością:

gdzie n oznacza współczynnik porowatości.

Czas przepływu wody w danym strumieniu t

j

można określić

gdzie l

j

oznacza długość drogi filtracji wzdłuż j-tego strumienia.

3. Opis badań

Celem ćwiczenia jest wykonanie obliczeń przepływu wód podziemnych na podstawie siatki

hydrodynamicznej i porównanie uzyskanych w ten sposób wyników do wyników badań na modelu
fizycznym. Geometrię modelu przedstawiono na rys. 1.

Konstrukcja siatki hydrodynamicznej będzie oparta na obserwacji linii prądu w modelu. W tym

∑

=

⋅

=

N

1

i

i

,

j

i

,

j

j

b

l

H

k

q

∆

∑

=

⋅

=

M

1

j

i

q

s

Q

1

b

l

i

,

j

i

,

j

=

N

H

k

q

j

∆

⋅

=

N

H

k

M

s

Q

∆

⋅

⋅

⋅

=

n

v

u

=

∑

∫

∫

=

⋅

≅

⋅

=

=

N

1

i

i,

j

i,

j

l

j

l

b

l

q

n

v

dl

n

u

dl

tj

j

j

celu umieszcza się w nim piasek o znanym współczynniku filtracji oraz współczynniku porowatości.
Następnie wywołuje się ustalony przepływ wody i wprowadza barwnik w kilku punktach na
powierzchni wpływu wody do warstwy wodonośnej. Barwnik, rozpuszczając się w wodzie oraz płynąc
razem z nią umożliwia zaznaczenie na ściance modelu przebieg linii prądu. Jednocześnie mierzy się czas
przepływu barwnika przez grunt dla poszczególnych linii prądu. Ponadto mierzy się wydatek
przepływającej wody.

Następnie linie prądu przenosi się w skali na rysunek (rys. 2) i wykreśla siatkę hydrodynamiczną.

Mając siatkę hydrodynamiczną określa się wymiary poszczególnych wycinków l

j.i

, oraz b

j.i

(tab.1) i

oblicza się, wg wcześniej podanych wzorów, sumaryczny przepływ przez wszystkie strumienie
(całkowity przepływ pod ścianką) oraz czas przepływu barwnika wzdłuż wybranego strumienia
(obliczenia w tab.1 wykonano, przy założeniu, że współczynnik filtracji k=1,0*10

-2

cm/s i

współczynniku porowatości n = 0,25). Wielkości te porównuje się z otrzymywanymi na modelu.