Zad 1. Obliczyć całki potrójne

a)

RRR

B

z + 1dxdydz, gdzie B =

{(x, y, z) : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 2, 0 6 z 6 2 + x}

b)

RRR

B

zdxdydz, gdzie B obszar ograniczony przez

y = 0, x = 1, y = x, z = 0 , z = 2y

c)

RRR

B

(2 − xyz)dxdydz, gdzie B ograniczony

y = 0, y = 1, x = 0, x = 1, z = 0 , z = x

2

d)

RRR

B

ydxdydz, gdzie B ograniczony

z = 0, z = y, y = 1 − x

2

Zad 2. Współrzędne walcowe

a)

RRR

B

x

2

+ y

2

dxdydz, gdzie B obszar

ograniczony przez

√

x

2

+ y

2

¬ z ¬ 1

b)

RRR

B

x

2

dxdydz, gdzie B obszar

ograniczony przez 0 ¬ z ¬ 9 − x

2

− y

2

Zad 3. Współrzędne sferyczne

a)

RRR

B

√

x

2

+ y

2

+ z

2

dxdydz, gdzie B obszar

ograniczony przez x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 25, z ­ 0

b)

RRR

B

dxdydz

x

2

+y

2

+z

2

, gdzie B obszar

ograniczony przez z =

√

1 − x

2

+ y

2

, z =

1
2

Zad 4. Obliczyć masę bryły o gęstości f(x,y,z)

a)f (x, y, z) = x, B obszar ograniczony

y = 0,

x = 1,

y = x

2

,

z = 0,

x + y + z = 4

b)Gęstość f(x,y,z) równa jest dległości od (0,0,0)

B :

y ­ 0,

2 ­ 0 x

2

+ y

2

+ 2

2

¬ 4

c)f(x,y,z)=y, B obszar ograniczony

x = 2,

y = 0,

z = 2 − x + y + z = 0

d)Gęstość f(x,y,z) równa jest dległości od (0,0,0)

B :

z ­ 0, x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 1

Zad 5. Obliczyć momenty statyczne bryły względem

płaszczyzny

a)f(x,y,z)=a, B obszar ograniczony

x = 0, y = 0 z = 0, x + y + z = 3

względem płaszczyzny Oxy

Zad 6. Obliczyć środek ciężkości bryły

a)f(x,y,z)=a, B obszar ograniczony

x

2

¬ y ¬ 4, 0 ¬ z ¬ 4 − y

Zad 7. Obliczyć momenty bezwładności względem

płaszczyzny

a)f(x,y,z)=a, B obszar ograniczony

x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 9, z > 0 względem płaszczyzny Oxz

Zad 8. Obliczyć momenty bezwładności bryły

względem osi układu

a)f (x, y, z) = a, B obszar ograniczony

2(x

2

+ y

2

) ¬ z ¬ 8, względem osi Oz

Zad 9. Obliczyć momenty bezwładności bryły

względem środka układu

a)f (x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

, B obszar ograniczony

1 ¬ x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 4

Przygotował: Andrzej Musielak