Egzamin połówkowy z „Analizy matematycznej i algebry liniowej”

WETI, AiR gr.1-3, 2 sem., r. ak. 2008/2009

1. [4p.] Obliczyć

Z

L

(x

2

− y

2

)dx + 2xydy,

gdzie L jest łukiem opisanym równaniem x

2

+ y

2

= 1, dla x ­ 0 i y ­ 0, skierowanym od

punktu A(1, 0) do punktu B(0, 1).

2. [4p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

Z

K

tg x dx + y tg

2

x dy,

gdzie K jest brzegiem prostokąta o wierzchołkach w punktach A(0, 1), B(

π

4

, 1), C(

π

4

, 3) i

D(0, 3) skierowanym dodatnio.
[2p.] b) Przedstawić (wzór, opis, rysunek) zastosowanie geometryczne całek krzywolinio-
wych skierowanych.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] Uzasadnić, że całka

Z

L

xdx + ydy

x

2

+ y

2

nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(1, 0) do punktu B(6, 8), nie przechodzącym przez
początek układu współrzędnych.

4. [4p.] a) Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie z

3

+3z

2

+4z −8 = 0. Rozwiązania

równania zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej.

[2p.] b) Pokazać, że dla dowolnych dwóch liczb zespolonych z

1

i z

2

zachodzi



z

1

z

2



=

z

1

z

2

,

przy założeniu, że z

2

6= 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę

Z

C

ze

πz

dz

(z

2

+ 4)

2

,

gdzie C jest okręgiem |z + 2i| = 2 zorientowanym dodatnio.

6. [4p.] a) Obliczyć całkę

Z

S

Z

(xz +

q

1 + 4y)dS,

gdzie S jest częścią powierzchni o równaniu y = x

2

, zawartą między płaszczyznami z = 0,

z = 2 i y = 1.
[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płasz-
czyzny Y OZ.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Zbadać holomorficzność funkcji f (z) =

1

z

+ (z − 2i)

2

− i.