STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA

POMIARÓW I

B. Kamys 2014/15

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

1 / 80

Podstawy teorii prawdopodobie«stwa

DEFINICJA:

Zbiór zdarze« elementarnych

- zbiór takich zdarze«, które

sie wzajemnie wykluczaja oraz wyczerpuja wszystkie

mo»liwo±ci (tzn. w ka»dym mo»liwym przypadku

przynajmniej jedno z nich musi zachodzi¢).

DEFINICJA:

Zdarzeniem

jest dowolny podzbiór zdarze« elementarnych E.

DEFINICJA:

Zdarzeniem pewnym

jest zdarzenie zawierajace wszystkie

elementy zbioru E (zachodzi zawsze).

DEFINICJA:

Zdarzeniem niemo»liwym

jest zdarzenie nie zawierajace

»adnego elementu zbioru E tj. zbiór pusty ∅.

DEFINICJA:

Zdarzenie A zawiera sie w zdarzeniu B

je»eli ka»de

zdarzenie elementarne nale»ace do zbioru A nale»y do B:

A ⊂ B

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

2 / 80

Podstawy teorii prawdopodobie«stwa

DEFINICJA:

Zdarzenia A i B sa równe

gdy A ⊂ B i B ⊂ A.

DEFINICJA:

Suma zdarze« A + B

to zdarzenie zawierajace te i tylko te zdarzenia elementarne,

które nale»a do któregokolwiek ze zdarze« A, B (suma

logiczna zbiorów zdarze« elementarnych A S B).

DEFINICJA:

Ró»nica zdarze« A − B

to zdarzenie zawierajace te i tylko te zdarzenia elementarne,

które nale»a do zdarzenia A a nie nale»a do zdarzenia B.

DEFINICJA:

Iloczyn zdarze« A · B

to zdarzenie zawierajace te i tylko te

zdarzenia elementarne, które nale»a do wszystkich zdarze« A,

B (tzn. w jezyku zbiorów A T B).

DEFINICJA:

Zdarzeniem przeciwnym do A:

A nazywamy ró»nice

E −

A .

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

3 / 80

Podstawy teorii prawdopodobie«stwa

INTUICYJNE OKRE‘LENIE:

Zdarzenie losowe

to takie, o którym zwykle

nie mo»emy powiedzie¢ czy zajdzie w danych warunkach czy

te» nie zajdzie.

DEFINICJA:

Zdarzeniem losowym

- nazywamy zdarzenie speªniajace

poni»sze warunki:

1

W zbiorze zdarze« losowych znajduje sie zdarzenie

pewne oraz zdarzenie niemo»liwe.

2

Je»eli zdarzenia A

1

,

A

2

, ...

w ilo±ci sko«czonej lub

przeliczalnej sa zdarzeniami losowymi to ich iloczyn i ich

suma sa równie» zdarzeniami losowymi.

3

Je»eli A

1

i A

2

sa zdarzeniami losowymi to ich ró»nica

jest równie» zdarzeniem losowym.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

4 / 80

Podstawy teorii prawdopodobie«stwa

DEFINICJA:

Zmienna losowa

nazywamy jednoznaczna funkcje

rzeczywista X (e) okre±lona na zbiorze E zdarze«

elementarnych taka, »e ka»demu przedziaªowi warto±ci funkcji

X typu (−∞, x) odpowiada zdarzenie losowe.

DEFINICJA:

Zmienna losowa

typu skokowego (dyskretnego)

to taka,

która przyjmuje tylko co najwy»ej przeliczalny zbiór warto±ci.

DEFINICJA:

Zmienna losowa

typu ciagªego

- mo»e przyjmowa¢ dowolne

warto±ci od minus do plus niesko«czono±ci.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

5 / 80

Podstawy teorii prawdopodobie«stwa

DEFINICJA:

Denicja prawdopodobie«stwa

Aksjomat 1:

Ka»demu zdarzeniu losowemu przyporzadkowana jest

jednoznacznie nieujemna liczba rzeczywista zwana

prawdopodobie«stwem.

Aksjomat 2:

Prawdopodobie«stwo zdarzenia pewnego jest równe jedno±ci.

Aksjomat 3:

Je»eli zdarzenie losowe Z jest suma sko«czonej lub

przeliczalnej liczby rozªacznych zdarze« losowych Z

1

,Z

2

,..

to prawdopodobie«stwo zrealizowania sie zdarzenia Z jest

równe sumie prawdopodobie«stw zdarze« Z

1

,Z

2

, ..

Aksjomat 4:

Prawdopodobie«stwo warunkowe

zdarzenia A pod

warunkiem, »e zachodzi zdarzenie B; P(A | B) wyra»a sie

wzorem:

P(A | B) =

P(A·B)

P(B)

Prawdopodobie«stwo to jest nieokre±lone, gdy

prawdopodobie«stwo zdarzenia B wynosi zero.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

6 / 80

Podstawy teorii prawdopodobie«stwa

Wªasno±ci prawdopodobie«stwa

Zdarzenie przeciwne do A

:

P(A) = 1 − P(A)

Dowód:

A + A = E a wiec P(A + A) = P(E) = 1,

z drugiej strony A i A wykluczaja sie wiec

P(A + A) = P(A) + P(A).
Stad P(A) = P(E) − P(A) czyli P(A) = 1 − P(A) c.b.d.o.

Zdarzenie niemo»liwe

:

P(∅) = 0

Dowód:
E

i ∅ wykluczaja sie wiec P(E + ∅) = P(E) + P(∅) oraz

E + ∅ = E

a wiec P(E + ∅) = P(E), czyli P(∅) = 0

c.b.d.o.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

7 / 80

Podstawy teorii prawdopodobie«stwa

Wªasno±ci prawdopodobie«stwa

Zdarzenie A zawiera sie w B

:

P(A) ≤ P(B)

Dowód: P(B) = P(A + (A · B)) = P(A) + P(A · B) ≥ P(A)
c.b.d.o.

Dowolne zdarzenie losowe

:

0 ≤ P(A) ≤ 1

Dowód: Dla ka»dego zdarzenia jest prawdziwe:
∅ ⊂

A + ∅ = A = A · E ⊂ E

a wiec prawdopodobie«stwa zdarze« ∅, A i E speªniaja:

0 ≤ P(A) ≤ 1
c.b.d.o.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

8 / 80

Podstawy teorii prawdopodobie«stwa

Wªasno±ci prawdopodobie«stwa

Suma dowolnych zdarze« A + B

:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A · B)

Dowód:

Zarówno A + B jak i B mo»emy zapisa¢ jako sumy rozªacznych

(wykluczajacych sie) zdarze«:

A + B = A + (B − A · B) oraz

B = A · B + (B − A · B),

stosujemy aksjomat nr 3 denicji prawdopodobie«stwa,

P(A + B) = P(A) + P(B − A · B),

P(B) = P(A · B) + P(B − A · B)

odejmujemy stronami: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A · B)
c.b.d.o.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

9 / 80

Podstawy teorii prawdopodobie«stwa

Wªasno±ci prawdopodobie«stwa

Iloczyn zdarze« A · B

:

P(A · B) = P(B) · P(A | B) = P(A) · P(B | A)

Dowód:
Wynika to automatycznie z 4 aksjomatu denicji
prawdopodobie«stwa.

DEFINICJA:

Zdarzenie

A jest niezale»ne od B

gdy P(A | B) = P(A).

TWIERDZENIE:

Je»eli A nie zale»y od B to B nie zale»y od A.

Dowód:

Korzystamy z dwu wzorów na prawdopodobie«stwo A · B

podanych wy»ej, przy czym w pierwszym z nich uwzgledniamy, »e

A jest niezale»ne od B. Wówczas z porównania obu wzorów

dostajemy P(B | A) = P(B).
c.b.d.o.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

10 / 80

Podstawy teorii prawdopodobie«stwa

Wªasno±ci prawdopodobie«stwa

WKW niezale»no±ci:

P(A · B) = P(A) · P(B)

Dowód:

Wynika to automatycznie ze wzoru na prawdopodobie«stwo

iloczynu zdarze«.
c.b.d.o

Formuªa caªkowitego prawdopodobie«stwa:

Je»eli istnieje zbiór zdarze« A

1

,

A

2

, ...

wykluczajacych sie wzajemnie i wyczerpujacych

wszystkie mo»liwo±ci wówczas prawdopodobie«stwo

dowolnego zdarzenia B mo»e by¢ zapisane nastepujaco:

P(B) = P

i

P(A

i

) ·

P(B | A

i

)

Dowód:
B = P

i

B · A

i

(suma rozªacznych zdarze«) a wiec

P(B) = P

i

P(B · A

i

) a ka»dy skªadnik mo»na zapisa¢ jako

P(A

i

) ·

P(B | A

i

)

. c.b.d.o.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

11 / 80

Ilo±ciowy opis zmiennych losowych

Ilo±ciowy opis zmiennych losowych uzyskujemy stosujac

•

Dystrybuante (Zwana czesto przez statystyków funkcja rozkªadu)

•

Rozkªad prawdopodobie«stwa (Tylko dla zmiennych dyskretnych)

•

Funkcje gesto±ci prawdopodobie«stwa (Tylko dla zmiennych

ciagªych) oraz wielko±ci charakteryzujace te powy»ej wymienione twory.

DEFINICJA:

Dystrybuanta F(x)

nazywamy prawdopodobie«stwo tego, »e

zmienna losowa X przyjmie warto±¢ mniejsza od x.

(X - to symbol zmiennej losowej a x to jej konkretna

warto±¢). Oczywi±cie dystrybuanta jest funkcja x.

F (x) ≡ P(X < x)

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

12 / 80

Ilo±ciowy opis zmiennych losowych

Wªasno±ci dystrybuanty:

1

0 ≤ F (x) ≤ 1

2

F (−∞) = 0

3

F (+∞) = 1

4

F (x) jest niemalejaca funkcja

5

F (x) nie posiada wymiaru

Przykªad:

Dla rzutu kostka do gry, gdzie jako zmienna losowa przyjeto

liczbe wyrzuconych punktów:

F (x) = 0 dla x ≤ 1,

=

1/6 dla 1 < x ≤ 2,

=

2/6 dla 2 < x ≤ 3,

=

3/6 dla 3 < x ≤ 4,

=

4/6 dla 4 < x ≤ 5,

=

5/6 dla 5 < x ≤ 6,

=

1 dla x > 6

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

13 / 80

Ilo±ciowy opis zmiennych losowych

DEFINICJA:

Rozkªad prawdopodobie«stwa

: Je»eli x

i

(

i = 1, 2, ...) sa

warto±ciami dyskretnej zmiennej losowej to rozkªadem

prawdopodobie«stwa nazywamy zespóª prawdopodobie«stw:

P(X = x

i

) =

p

i

P

i

p

i

=

1

Przykªad:

Rozkªad prawdopodobie«stwa dla rzutu kostka do gry

omawianego powy»ej: p

i

=

1/6 dla i = 1, 2..6.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

14 / 80

Ilo±ciowy opis zmiennych losowych

DEFINICJA:

Funkcja gesto±ci prawdopodobie«stwa f(x):

f (x)dx ≡ P(x ≤ X ≤ x + dx)

Wªasno±ci funkcji gesto±ci prawdopodobie«stwa:

1

f (x) ≥ 0,

2

f (x) jest unormowana

tj.R

+∞

−∞

f (x)dx = 1

3

f (x) =

dF (x)

dx

4

wymiar f (x) = wymiar(1/x)

Przykªad:

Rozkªad jednostajny na odcinku [a, b]:

f (x) =







0

dla

x < a

1/(b − a) dla

a ≤ x ≤ b

0

dla

x > b

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

15 / 80

Funkcje zmiennej losowej

Funkcja Y zmiennej losowej X:

Y = Y (X )

jest równie» zmienna losowa. Dlatego te» mo»na dla niej

okre±li¢ dystrybuante, rozkªad prawdopodobie«stwa lub

funkcje gesto±ci prawdopodobie«stwa. Sa one prosto

zwiazane z odpowiednimi wielko±ciami dla zmiennej X .

Nale»y rozpatrzy¢ niezale»nie przypadek, gdy funkcja Y (X )

jest monotoniczna oraz gdy nie posiada tej wªasnosci

. W

pierwszym wypadku mo»na jednoznacznie okre±li¢ funkcje

odwrotna X = X (Y ) a w drugim caªy przedziaª warto±ci X

trzeba podzieli¢ na rozªaczne podprzedziaªy, w których

funkcja bedzie monotoniczna a wyniki doda¢

(prawdopodobie«stwa rozªacznych zdarze« sumuja sie).

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

16 / 80

Funkcje zmiennej losowej

Dla monotonicznej funkcji Y = Y(X):

Dystrybuanta G(y) rosnacej funkcji Y(X)

wynosi:

G(y) = F (x(y))

Dowód:

Wychodzac z denicji dla Y(X) rosnacej:

G(y) = P(Y < y)

=

P (X (Y ) < x)

=

F (x(y))

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

17 / 80

Funkcje zmiennej losowej

Dla monotonicznej funkcji Y = Y(X):

Dystrybuanta G(y) malejacej funkcji Y(X)

wynosi:

G(y) = 1 − F (x(y)) − P (x; y = y(x))

Dowód:

Wychodzac z denicji dystrybuanty

G(y) = P(Y < y)

=

P (X (Y ) > x)

=

1 − P (X (Y ) ≤ x)

=

1 − P (X (Y ) < x) − P (X (Y ) = x)

=

1 − F (x(y)) − P (x; Y = y(x)) c.b.d.o.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

18 / 80

Funkcje zmiennej losowej

Rozkªad prawdopodobie«stwa P(y):

P(y

i

) =

P(x

i

;

y

i

=

Y (x

i

))

bo dla

funkcji monotonicznej warto±ci x

i

sa jednoznacznie zwiazane

z wartosciami y

i

.

Funkcja gesto±ci prawdopodobie«stwa g(y):

g(y) = f (x(y)) |

dx(y)

dy

|

gdzie X (Y ) jest funkcja odwrotna do Y (X ). Z denicji:

f (x)dx = P(x ≤ X < x + dx) a to prawdopodobie«stwo

przy jednoznacznym zwiazku miedzy X i Y wynosi

P(y ≤ Y < y + dy) = g(y)dy.

Iloraz niesko«czenie maªych przyrostów dy/dx równy jest

pochodnej z dokªadno±cia do znaku. A wiec moduª przy

pochodnej pojawia sie stad, »e przy malejacej funkcji Y (X )

pochodna bedzie ujemna a iloraz niesko«czenie maªych

przyrostów jest zawsze dodatni.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

19 / 80

Funkcje zmiennej losowej

Przykªad dla funkcji monotonicznej:

Y (X ) = aX + b ; a i b to

rzeczywiste staªe.

Rozkªad prawdopodobie«stwa:

P(Y = y

i

) =

P(ax

i

+

b = y

i

) =

P(x

i

=

y

i

−

b

a

)

.

Dystrybuanta:

dla a > 0

G(y) = F

x =

y−b

a



dla a < 0

G(y) = 1 − F

x =

y−b

a



−

P

x =

y−b

a



Gesto±¢ prawdopodobie«stwa:

g(y) =

1

|

a|

f (x =

y−b

a

)

.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

20 / 80

Funkcje zmiennej losowej

Przykªad dla funkcji niemonotonicznej:

Y (X ) = X

2

1.) Rozkªad prawdopodobie«stwa

wynosi:

P(y

i

) =

P(X

2

=

y

i

) =

P(X = −

√y

i

) +

P(X = +

√y

i

)

2.) Dystrybuanta

wynosi:

G(y) = P(Y < y) = P(X

2

<

y)

=

P(−

√

y < X < +

√

y)

G(y) = 0 dla y ≤ 0
G(y) = F (

√

y) − F (−

√

y) dla y ≥ 0

3.) Rozkªad gesto±ci prawdopodobie«stwa

wynosi:

g(y) = 0 dla y < 0

g(y) = |

−

1

2

√y

|

f (

√

y) +

1

2

√y f

(−

√

y)

=

1

2

√y

(

f (

√

y) + f (−

√

y)) dla y ≥ 0

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

21 / 80

Charakterystyki opisowe

W praktycznych zastosowaniach czesto wystarcza poznanie warto±ci

pewnych wielko±ci, które charakteryzuja rozkªad prawdopodobie«stwa

zamiast peªnej informacji o rozkªadzie.

Oto najcze±ciej stosowane:

DEFINICJA:

fraktyl x

q

(zwany równie»

kwantylem

) jest to taka warto±¢

zmiennej losowej, »e prawdopodobie«stwo znalezienia

mniejszych od niej warto±ci wynosi q:

P(X < x

q

) ≡

F (x

q

) =

q

Najwa»niejsze fraktyle to

dolny kwartyl: x

0.25

,

górny kwartyl: x

0.75

oraz

mediana: x

0.5

.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

22 / 80

Charakterystyki opisowe

DEFINICJA:

Moda

(zwana równie»

warto±cia modalna

) jest to taka

warto±¢ zmiennej losowej, dla której rozkªad

prawdopodobie«stwa (lub funkcja gesto±ci

prawdopodobie«stwa) przyjmuje maksimum.

DEFINICJA:

Rozkªady prawdopodobie«stwa posiadajace jedna mode

zwane sa

jednomodalnymi

a te, które maja wiecej ni» jedna

-

wielomodalnymi

.

DEFINICJA:

Warto±¢ oczekiwana

,

warto±¢ ±rednia

lub

nadzieja

matematyczna

. Bedziemy go oznaczali przez E(X)

(stosuje sie równie» oznaczenie M(X) lub ^

X ).

E(X ) ≡ P

i

x

i

·

p

i

dla zmiennych dyskretnych,

E(X ) ≡ R x · f (x) dx

dla zmiennych ciagªych

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

23 / 80

Charakterystyki opisowe

INTERPRETACJA E(X):

E(X ) jest wspóªrzedna punktu, który

byªby ±rodkiem masy rozkªadu praw-

dopodobie«stwa (lub pola pod funkcja

gesto±ci prawdopodobie«stwa) gdyby

prawdopodobie«stwa poszczególnych

warto±ci x

i

traktowa¢ jako masy

(lub odpowiednio gesto±¢ prawdodo-

bie«stwa jako zwykªa gesto±¢).

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

24 / 80

Charakterystyki opisowe

WŠASNO‘CI E(X)

: E(X ) jest operatorem liniowym a wiec:

1

E(P

i

C

i

·

X

i

) =

P

i

C

i

·

E(X

i

)

co w szczególnych przypadkach daje:

•

E(C) = C

•

E(C · X ) = C · E(X )

•

E(X

1

+

X

2

) =

E(X

1

) +

E(X

2

)

2

Dla zmiennych niezale»nych X

1

, ...,

X

n

E



Q

i

X

i



=

Q

i

E {X

i

}

UWAGA:

Warunkiem koniecznym i wystarczajacym by

zmienne

byªy

niezale»ne

jest aby wspólny rozkªad prawdopodobie«stwa

faktoryzowaª sie:

f (X

1

,

X

2

, ..,

X

n

) =

f

1

(

X

1

) ·

f

2

(

X

2

)...

f

n

(

X

n

)

.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

25 / 80

Charakterystyki opisowe

Dla funkcji zmiennej X; Y = Y (X )

warto±¢ oczekiwana E(Y ) mo»e by¢

znaleziona przy pomocy rozkªadu zmiennej X bez

konieczno±ci szukania rozkªadu g(y):

E(Y ) = P

i

y(x

i

) ·

p

i

,

E(Y ) = R y(x) · f (x) · dx

odpowiednio dla zmiennej dyskretnej i dla zmiennej ciagªej.

DEFINICJA:

Momentem rozkªadu rzedu k wzgledem punktu x

0

,

nazywamy nastepujaca wielko±¢:

m

k

(

x

0

) ≡

E{(x − x

0

)

k

}

czyli

m

k

(

x

0

) ≡

R (

x − x

0

)

k

·

f (x) · dx

m

k

(

x

0

) ≡

P

i

(

x

i

−

x

0

)

k

p(x

i

)

odpowiednio dla zmiennych ciagªych i dyskretnych.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

26 / 80

Charakterystyki opisowe

Najwa»niejszymi momentami sa te, które

liczone sa wzgledem poczatku ukªadu wspóªrzednych tj. x

0

=

0

(oznacza sie je zwykle przez

m

k

)

oraz

momenty liczone wzgledem x

0

=

m

1

tj. wzgledem pierwszego momentu

liczonego od poczatku ukªadu wspóªrzednych. Te ostatnie momenty

nazywa sie

momentami centralnymi

(zwykle oznaczane sa przez

µ

k

).

UWAGA:

m

1

≡

E(x); µ

1

≡

0

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

27 / 80

Charakterystyki opisowe

DEFINICJA:

µ

2

, zwany

wariancja

lub

dyspersja

. Bedziemy go oznacza¢

przez σ

2

(

X ) lub var(X ) (stosuje sie równie» oznaczenie

D(X )).

DEFINICJA:

Pierwiastek z wariancji nazywany jest

odchyleniem

standardowym

i oznaczany σ(X ) ale czasami u»ywa sie

równie» nazwy

dyspersja

.

σ

2

(

X ) ≡ P

i

(

x

i

−

E(x))

2

·

p

i

zmienna dyskretna

σ

2

(

X ) ≡ R (x − E(x))

2

·

f (x) · dx

zmienna ciagªa

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

28 / 80

Charakterystyki opisowe

WŠASNO‘CI WARIANCJI:

Wariancja mo»e by¢ wyra»ona przez momenty

liczone wzgledem poczatku ukªadu wspóªrzednych:

σ

2

(

X ) = m

2

−

m

2

1

σ

2

(

X ) = E(X

2

) −

E

2

(

X )

DOWÓD:

Korzystamy z trzeciej wªasno±ci warto±ci oczekiwanej tj.

m

2

(

E(X )) ≡ E((X − E(X ))

2

)

=

E(X

2

−

2X · E(X ) + E

2

(

X ))

=

E(X

2

) −

2E(X ) · E(X ) + E

2

(

X )

=

E(X

2

) −

E

2

(

X )

c.b.d.o.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

29 / 80

Charakterystyki opisowe

•

var(C) = 0

bo E(C

2

) −

E

2

(

C) = C

2

−

C

2

=

0 c.b.d.o.

•

var(C · X ) = C

2

·

var(X )

jest to nastepstwo liniowo±ci E(X), przez która deniowali±my var(X).

•

var(C

1

·

X + C

2

) =

C

2

1

·

var(X )

Przesuni¦cie skali o C

2

nie zmienia wariancji a pomno»enie zmiennej

przez C

1

wprowadza czynnik C

2

1

j.w.

•

Dla zmiennych niezale»nych var(P

i

C

i

·

X

i

) =

P

i

C

2

i

·

var(X )

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

30 / 80

Charakterystyki opisowe

DOWÓD:

Wzór ten ªatwo wyprowadzi¢ przypominajac denicje

wariancji i korzystajac z trzeciej wªasno±ci warto±ci
oczekiwanej: var(y = P

i

C

i

·

X

i

) ≡

E



(

y − E(Y ))

2

.

Po wstawieniu do wzoru oraz podniesieniu do kwadratu

otrzymamy

sume kwadratów

wyra»e« C

i

· (

X

i

−

E(X

i

))

oraz

iloczyny mieszane

tych wyra»e«.

Iloczyny mieszane znikna w chwili gdy podziaªa na nie

zewnetrzny operator warto±ci oczekiwanej (bo

E (X − E(X )) = E(X ) − E(X ) = 0).

Zaªo»enie niezale»no±ci jest potrzebne przy liczeniu warto±ci

oczekiwanej z iloczynów mieszanych (wówczas warto±¢

oczekiwana iloczynu równa jest iloczynowi warto±ci

oczekiwanych). Suma warto±ci oczekiwanych z kwadratów

wyra»e« C

i

· (

X

i

−

E(X

i

))

jest wªa±nie poszukiwanym przez

nas wyra»eniem.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

31 / 80

Charakterystyki opisowe

Interpretacja wariancji wynika z

nierówno±ci Czebyszewa

, która mo»na

zapisa¢ nastepujaco:

P (| X − E(X ) |≥ a · σ(X )) ≤ a

−

2

TWIERDZENIE:

Prawdopodobie«stwo odchylenia warto±ci zmiennej losowej od warto±ci

oczekiwanej E(X) o a -krotna warto±¢ odchylenia standardowego jest

mniejsze lub równe od

1

a

2

.

Twierdzenie to jest sªuszne dla wszystkich rozkªadów, które posiadaja

wariancje (a wiec, co za tym idzie i warto±¢ oczekiwana). Liczba a jest

dowolna dodatnia liczba.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

32 / 80

Charakterystyki opisowe

INTERPRETACJA WARIANCJI:

Korzystajac z nierówno±ci Czebyszewa

dochodzimy do wniosku, »e

wariancja (lub odchylenie standardowe) jest miara rozrzutu

zmiennej losowej dokoªa warto±ci oczekiwanej .

Jest to bardzo wa»ny wniosek bo w analizie danych

do±wiadczalnych

uto»samiamy warto±¢ oczekiwana pomiarów

wykonanych w obecno±ci przypadkowych niepewno±ci

pomiarowych

z warto±cia prawdziwa

mierzonej wielko±ci.

Wtedy

miara przypadkowej niepewno±ci pomiarowej jest

odchylenie standardowe

bo ono okre±la rozrzut wyników

dokoªa warto±ci prawdziwej.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

33 / 80

Podstawowe pojecia teorii estymacji

DEFINICJA:

W statystyce sko«czony zespóª do±wiadcze« nazywamy

próba

a wnioskowanie na podstawie próby o wªasno±ciach

niesko«czonego (zwykle) zespoªu wszystkich mo»liwych

do±wiadcze« zwanego

populacja generalna

, nazywamy

estymacja

.

DEFINICJA:

Przez

próbe prosta

rozumiemy ciag niezale»nych

do±wiadcze« odnoszacych sie do tej samej populacji

generalnej.

DEFINICJA:

Statystyka

nazywamy taka funkcje zmiennych losowych

obserwowanych w próbie, która sama jest zmienna losowa.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

34 / 80

Podstawowe pojecia teorii estymacji

DEFINICJA:

Estymatorem T

n

(

x

1

,

x

2

, ..

x

n

; θ)

parametru θ lub w skrócie

T

n

(θ)

nazywamy statystyke o rozkªadzie

prawdopodobie«stwa zale»nym od θ. Tu 'x

1

,

x

2

, ..

' oznaczaja

wyniki pomiarów próby.

DEFINICJA:

Estymacja punktowa

to taka estymacja, która polega na

oszacowaniu warto±ci danego parametru θ przez warto±¢ jego

estymatora T

n

(θ)

.

DEFINICJA:

Estymacja przedziaªowa

polega na szukaniu przedziaªu

liczbowego, wewnatrz którego z zaªo»onym

prawdopodobie«stwem le»y prawdziwa warto±¢ parametru.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

35 / 80

Podstawowe pojecia teorii estymacji

DEFINICJA:

Estymator T

n

(θ)

, jest

zgodny

je»eli dla ka»dego  > 0 jest

speªniony warunek:

lim

n→∞

P(| T

n

(θ) − θ |< ) =

1

W takim przypadku u»ywa sie czesto okre±lenia, »e

estymator speªnia prawo wielkich liczb

.

PRZYKŠAD:

TWIERDZENIE (Bernoulli):

Wzgledna czesto±¢

pojawiania sie zdarzenia A w ciagu n do±wiadcze« speªnia

prawo wielkich liczb czyli jest zgodnym estymatorem

prawdopodobie«stwa zdarzenia A: P(A).

lim

n→∞

P(| n

A

/

n − P(A) |< ) = 1

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

36 / 80

Podstawowe pojecia teorii estymacji

DEFINICJA:

Estymator

speªniajacy mocne prawo wielkich liczb

to

taki, który jest zbie»ny do estymowanego parametru z

prawdopodobie«stwem równym jedno±ci:

P(lim

n→∞

T

n

(θ) = θ) =

1

PRZYKŠAD:

TWIERDZENIE: F.P.Cantelli

udowodniª w 1917 roku, »e

wzgledna czesto±¢ pozytywnego zako«czenia do±wiadczenia;

n

A

/

n jest zbie»na do prawdopodobie«stwa zdarzenia A;

P(A) z prawdopodobie«stwem równym jedno±ci:

P(lim

n→∞

(

n

A

/

n) = P(A)) = 1

czyli wzgledna czesto±¢ speªnia mocne prawo wielkich liczb.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

37 / 80

Podstawowe pojecia teorii estymacji

DEFINICJA:

Estymatorem nieobcia»onym

T

n

(θ)

parametru θ

nazywamy taki estymator, którego warto±¢ oczekiwana równa

jest warto±ci estymowanego parametru niezale»nie od

rozmiarów próby:

E(T

n

(θ)) = θ

DEFINICJA:

Obcia»eniem estymatora 'B

n

'

nazywamy ró»nice jego

warto±ci oczekiwanej i warto±ci estymowanego parametru:

B

n

=

E(T

n

(θ)) − θ

DEFINICJA:

Estymatorem obcia»onym

nazywamy taki estymator,

którego obcia»enie jest ró»ne od zera.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

38 / 80

Podstawowe pojecia teorii estymacji

DEFINICJA:

Estymatorem asymptotycznie nieobcia»onym

nazywamy

taki estymator obcia»ony, którego obcia»enie zmierza do zera

gdy rozmiary próby niesko«czenie rosna:

lim

n→∞

B

n

=

0

TWIERDZENIE:

Je»eli wariancja estymatora nieobcia»onego lub

asymptotycznie nieobcia»onego da»y do zera gdy rozmiary

próby rosna nieograniczenie wówczas estymator ten jest

zgodny.

TWIERDZENIE:

Je»eli T

n

(θ)

jest zgodnym estymatorem θ i je»eli h(θ)

jest wielomianem lub ilorazem wielomianów to estymator

h(T

n

(θ))

jest estymatorem zgodnym dla h(θ).

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

39 / 80

Rozkªad normalny (Gaussa)

DEFINICJA:

Ciagªa zmienna losowa X, której funkcja gesto±ci

prawdopodobie«stwa ma nastepujaca posta¢:

f (X ) =

1

√

2π B

exp



−(

X −A)

2

2B

2



nazywa sie

zmienna o rozkªadzie normalnym

N(A, B).

Warto±¢ oczekiwana:

E(X ) = A

Odchylenie standardowe:

σ(

X ) = B

Stad ªatwo wida¢, »e N(A, B) ≡ N (E(X ), σ(X ))

Dystrybuanta:

rozkªadu normalnego nie wyra»a sie przez funkcje

elementarne.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

40 / 80

Rozkªad normalny (Gaussa)

Warto zapamieta¢ nastepujace warto±ci prawdopodobie«stwa znalezienia

zmiennej X w danym przedziale:

P(E(X ) − σ(X ) < X < E(X ) + σ(X )) = 0.6827

P(E(X ) − 2σ(X ) < X < E(X ) + 2σ(X )) = 0.9545
P(E(X ) − 3σ(X ) < X < E(X ) + 3σ(X )) = 0.9973

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

41 / 80

Rozkªad normalny (Gaussa)

UWAGA:

Dowolna zmienna Y o rozkªadzie normalnym mo»na

standaryzowa¢

tworzac wielko±¢ Z o rozkªadzie

standardowym normalnym N(0, 1)

:

Z = (Y − E(Y ))/σ(Y ).

Standaryzacja jest wa»na ze wzgledu na mo»liwo±¢

tablicowania zarówno funkcji gesto±ci prawdopodobie«stwa,

jak i dystrybuanty rozkªadu N(0, 1) a potem wykorzystania

faktu, »e majac zmienna X o rozkªadzie N(0, 1) mo»emy

stworzy¢ zmienna Y o rozkªadzie N(A, B) przez prosta

transformacje: Y = B ∗ X + A .

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

42 / 80

Rozkªad normalny (Gaussa)

Centralne Twierdzenie Graniczne

(intuicyjne sformuªowanie)

Zmienna Z bedaca standaryzowana suma nieza-

le»nych zmiennych losowych bedzie miaªa standar-

dowy rozkªad normalny gdy liczba skªadników w

sumie da»y do niesko«czono±ci oraz w sumie nie

wystepuja zmienne o wariancjach dominujacych w

stosunku do reszty skªadników.

Wªa±nie to twierdzenie powoduje, »e rozkªad normalny jest

wyró»nionym rozkªadem - bardzo czesto stosowanym w

statystyce.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

43 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

Motto:

Wynik pomiaru bez podania dokªadno±ci do±wiad-

czenia (podania niepewno±ci pomiaru) jest bezwar-

to±ciowy.

DEFINICJA:

Pomiarem bezpo±rednim

nazywamy do±wiadczenie, w

którym przy pomocy odpowiednich przyrzadow mierzymy

(porównujemy z jednostka) interesujaca nas wielko±¢ zyczna.

Przykªad:

•

Pomiar dªugo±ci przedmiotu przy pomocy linijki

•

Pomiar dªugo±ci odcinka czasu przy pomocy zegara

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

44 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

DEFINICJA:

Pomiarem po±rednim

nazywamy do±wiadczenie, w którym

wyznaczamy warto±¢ interesujacej nas wielko±ci zycznej

przez pomiar innych wielko±ci zycznych zwiazanych z dana

wielko±cia znanym zwiazkiem funkcyjnym.

Przykªad:

•

Pomiar oporu elektrycznego przewodnika: mierzymy

spadek napiecia U na przewodniku i prad I przez niego

pªynacy a opór R wyznaczamy z prawa Ohma:

R = U/I .

•

Pomiar gesto±ci stopu, z którego zbudowany jest

prostopadªo±cian: mierzymy bezpo±rednio dªugo±¢

krawedzi a, b i c prostopadªo±cianu i jego mase m a

gesto±¢ wyznaczamy ze wzoru: ρ = m/(a · b · c).

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

45 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

DEFINICJA:

Bªedem pomiaru e

nazywano (tradycyjnie) ró»nice

pomiedzy warto±cia x uzyskana w do±wiadczeniu a prawdziwa

(nieznana) warto±cia x

0

danej wielko±ci:

e = x − x

0

UWAGA:

Zgodnie z Mi¦dzynarodow¡ Norm¡ ISO okre±lenie

bª¡d

zast¦puje si¦ okre±leniem

niepewno±¢ pomiarowa

.

Niepewno±¢ pomiaru wielko±ci x oznacza si¦ u(x) .

Podziaª niepewno±ci pomiarowych:

Niepewno±ci pomiarowe dzielimy na

•

grube

•

systematyczne

•

przypadkowe

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

46 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

DEFINICJA:

Niepewno±ci grube

to takie, które pojawiaja sie w wyniku

pomyªki eksperymentatora (np. odczyt na niewªa±ciwej skali

przyrzadu) lub w wyniku niesprawno±ci aparatury pomiarowej.

Zwykle sa one na tyle du»e, »e mo»na je ªatwo zauwa»y¢.

Dla unikniecia takich niepewno±ci pomiarowych nale»y

starannie zorganizowa¢ proces pomiaru i u»ywa¢ do

do±wiadcze« tylko wªa±ciwie wytestowanych przyrzadów.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

47 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

DEFINICJA:

Niepewno±ci systematyczne

to takie, które podczas

wykonywania pomiaru systematycznie przesuwaja wyniki

pomiarów w jedna strone w stosunku do prawdziwej warto±ci.

Moga mie¢ one ró»ne przyczyny. Najcze±ciej to:

•

Niewªa±ciwy sposób przeprowadzania pomiaru

(np.

Bªad paralaksy

)

•

Stosowanie zªych przyrzadów

(np. waga szalkowa o ró»nej dªugo±ci ramion)

•

Stosowanie nieprzemy±lanej metody (patrz poni»ej)

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

48 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

Przykªad:

Przy pomiarze oporu mo»emy zastosowa¢ dwa ró»ne

schematy podªaczenia woltomierza i amperomierza:

V

A

Rysunek:

Schemat pierwszy: Woltomierz podªaczony równolegle

do opornika a szeregowo do nich amperomierz.

Systematycznie

zawy»amy warto±¢ pradu I a wiec zani»amy opór.

V

A

Rysunek:

Schemat drugi: Woltomierz podªaczony równolegle do

ukªadu szeregowo poªaczonych opornika i amperomierza.

Systematycznie zawy»amy warto±¢ napiecia U a wiec zawy»amy

opór.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

49 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

Niepewno±ci systematyczne sa trudne do zauwa»enia i oszacowania.

Dla ich unikniecia stosuje sie:

•

staranne przemy±lenie metody pomiaru w poszukiwaniu mo»liwych

¹ródeª niepewno±ci systematycznych i wybór metody, która nie jest

nimi obarczona, np. opór w powy»szym przykªadzie mo»na mierzy¢

metoda mostka.

•

zmiane metody pomiaru , aby wyeliminowa¢ ukryte, niekontrolowane

¹ródªa niepewno±ci systematycznych. Na przykªad, wa»ne staªe

zyczne takie jak predko±¢ ±wiatªa c byªy wielokrotnie mierzone

ró»nymi metodami, gªównie po to aby upewni¢ sie, »e uniknieto

niepewno±ci systematycznych,

•

pomiary wzgledne polegajace na tym, »e mierzymy równocze±nie, ta

sama metoda dwie wielko±ci - jedna dobrze znana a druga - te, która

chcemy zmierzy¢.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

50 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

DEFINICJA:

Niepewno±ci przypadkowe

to takie, które zmieniaja sie od

pomiaru do pomiaru, powodujac odchylenia od warto±ci

prawdziwej zarówno w dóª jak i w gór¦.

Zakªada sie, »e spowodowane sa one przez wiele

niezale»nych przyczyn o porównywalnym znaczeniu.

Metody statystyki pozwalaja na oszacowanie tego typu

efektów zarowno jako±ciowo jak i ilo±ciowo. Nie mówia

jednak nic o niepewno±ciach systematycznych czy grubych.

Dlatego dalsze rozwa»ania beda dotyczyªy
tylko niepewno±ci przypadkowych .

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

51 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

Rozkªad niepewno±ci przypadkowych

Rozkªad niepewno±ci przypadkowej u

to N(0, σ(u)) czyli

f(u) =

1

√

2π σ(u)

exp



−

u

2

2σ

2

(

u)



bo gdy mamy do czynienia tylko z niepewno±ciami

przypadkowymi wówczas:

•

Sa speªnione zaªo»enia centralnego twierdzenia

granicznego a wiec rozkªad niepewno±ci pomiarowych

jest rozkªadem normalnym.

•

Warto±¢ oczekiwana niepewno±ci przypadkowej u znika

(z zaªo»enia równe prawdopodobie«stwo odchylenia w

góre i w dóª w stosunku do prawdziwej warto±ci

mierzonej wielko±ci).

•

Miara wielko±ci niepewno±ci przypadkowej jest

odchylenie standardowe rozkªadu niepewno±ci: σ(u).

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

52 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

Rozkªad pomiarów obarczonych niepewno±ciami

przypadkowymi

Rozkªad pomiarów:

Pomiary przeprowadzane w obecno±ci jedynie

niepewno±ci przypadkowych maja rozkªad N (x

0

, σ(

u)) bo

wynik pomiaru x jest przesuniety od prawdziwej warto±ci x

0

o

niepewno±¢ przypadkow¡ u:

x = x

0

+

u

a transformacja rozkªadu f (u) do g(x) daje wzór:

g(x) =

1

√

2π σ(u)

exp



−(

x−x

0

)

2

2σ

2

(

u)

.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

53 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

Rozkªad pomiarów obarczonych niepewno±ciami

przypadkowymi

WNIOSKI:

Z poni»szych faktów wynika, »e:

szukanie prawdziwej warto±ci mierzonej wielko±ci i

jej niepewno±ci to estymacja warto±ci oczekiwanej

i odchylenia standardowego pomiarów

•

Warto±¢ prawdziwa mierzonej wielko±ci jest równa

warto±ci oczekiwanej pomiarów (je»eli sa tylko

niepewno±ci przypadkowe).

•

Rozrzut pomiarów dokoªa warto±ci prawdziwej jest

okre±lony przez odchylenie standardowe σ(u) rozkªadu

niepewno±ci przypadkowych.

•

Miara niepewno±ci pojedynczego pomiaru jest

odchylenie standardowe pomiarów.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

54 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

Estymator warto±ci oczekiwanej

Estymator E(x)

to ±rednia arytmetyczna niezale»nych pomiarów wielko±ci

x. Bedziemy ja oznacza¢ przez x :

T

n

(

E(x)) ≡ x =

1

n

P

n

i=1

x

i

•

Koªmogorow pokazaª, »e x speªnia mocne prawo

wielkich liczb a wiec oczywi±cie jest zgodny,

•

Estymator x jest nieobcia»ony.

E(

1

n

P

i

x

i

) =

1

n

P

i

E(x

i

) =

1

n

(

n · E(x)) = E(x) c.b.d.o.

Tu wykorzystano fakt, »e wszystkie warto±ci oczekiwane sa
sobie równe E(x

i

) =

E(x).

•

Mo»na pokaza¢, »e x jest najbardziej efektywnym

estymatorem E(x).

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

55 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

Estymator warto±ci oczekiwanej

TWIERDZENIE:

Estymator x warto±ci oczekiwanej E(x) ma rozkªad

normalny N

E(x),

σ(

x)

√

n

 gdzie n jest liczba pomiarów w

próbie.

WNIOSKI:

•

Odchylenie standardowe ±redniej arytmetycznej x jest

√

n - krotnie mniejsze od odchylenia standardowego

pojedynczego pomiaru.

•

Odchylenie standardowe σ(x) czyli

niepewno±¢

pomiarowa ±redniej arytmetycznej u(¯x)

charakteryzuje dokªadno±¢ wyznaczenia prawdziwej

warto±ci x w danym konkretnym pomiarze

skªadajacym sie z n niezale»nych do±wiadcze«.

•

Aby opisa¢ dokªadno±¢ metody pomiarowej

podajemy

niepewno±¢ pomiarow¡ pojedynczego

pomiaru

tj. u(x) ≡ σ(x) .

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

56 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

Estymator odchylenia standardowego

Estymator S(x):

S(x) ≡

q

1

n−1

P

n

i=1

(

x

i

−

x)

2

Jest to

zgodny, asymptotycznie nieobcia»ony

estymator.

ZALECA SI† STOSOWANIE TEGO ESTYMATORA

Estymator s(x):

s(x) ≡

q

1

n

P

n

i=1

(

x

i

−

x)

2

Jest to

zgodny, asymptotycznie nieobcia»ony i najbardziej

efektywny

estymator

Estymator S(x):

S(x) ≡

q

n−1

2

Γ(

n−1

2

)

Γ(

n

2

)

·

S(x)

Jest to

zgodny i nieobcia»ony

estymator

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

57 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

Estymator odchylenia standardowego

UWAGA:

Wspóªczynnik k

n

o który ró»ni sie S(x) od S(x) jest

znaczaco ró»ny od 1.0

tylko dla maªych prób

i mo»e by¢ w

przybli»eniu zastapiony przez wstawienie do wzoru na S(X )

zamiast 1/(n − 1) czynnika 1/(n − 1.45).

n

k

n

q

n−1

n−1.45

3 1.1284

1.1359

4 1.0853

1.0847

5 1.0640

1.0615

6 1.0506

1.0482

7 1.0423

1.0397

10 1.0280

1.0260

15 1.0181

1.0165

20 1.0134

1.0121

25 1.0104

1.0095

50 1.0051

1.0046

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

58 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

Zapis wyników pomiarów

KONWENCJA:

Stosuje sie nastepujaca

konwencje zapisu wyników

,

gdzie jako miar¦ niepewno±ci pomiaru podaje si¦

niepewno±¢

standardow¡ u(x) ≡ S(¯x)

.

•

Pozostawia sie tylko

dwie cyfry znaczace

standardowej niepewno±ci pomiarowej, np. 0,023.

•

Wynik pomiaru obliczamy tak aby wyznaczy¢ jedno

miejsce dziesietne dalej ni» miejsce dziesietne, na

którym zaokraglono niepewno±¢ pomiarow¡, a

nastepnie zaokraglamy do tego samego miejsca

dziesietnego, do którego wyznaczono niepewno±¢

pomiarow¡, np. zamiast 1,9024 bierzemy 1,902.

•

Wynik wraz z niepewno±ci¡ pomiarow¡ podajemy w

ten sposób, »e

po wypisaniu wyniku dopisujemy

w nawiasie dwie cyfry znacz¡ce reprezentuj¡ce

niepewno±¢ pomiaru i podajemy jednostk¦

, np.

m = 1,902(23) kg

lub

m = 1,902(0,023) kg

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

59 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

Zapis wyników pomiarów

KONWENCJA (c.d.):

•

Stosuje si¦ równie» zapis:

x = (wynik(x) ± U(x)) jednostka(x)

, gdzie

U(x) ≡ k · u(x)

tzw.

niepewno±¢ rozszerzona

.

k przyjmuje warto±ci 2 ≤ k ≤ 3 przy czym

domy±lnie, tzn. je»eli nie podaje si¦ tego jawnie,

przyjmuje si¦ k = 2.

•

UWAGA: ten zapis jest identyczny jak zapis stosowany

dawniej (przed przyj¦ciem aktualnej konwencji zapisu)

ale wtedy podawaªo si¦

standardow¡ niepewno±¢ u(x)

zamiast

rozszerzonej niepewno±ci U(x) ≡ k · u(x)

.

•

Zapis przykªadowy przytaczanego powy»ej wyniku:

masa = (1,902 ± 0.046) kg

.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

60 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

Zapis wyników pomiarów

UWAGA:

Zastosowanie konwencji, w której zapisujemy wynik i jego

niepewno±¢ w formie: (wynik ± niepewno±¢ pomiaru)

mo»e prowadzi¢ do nieporozumienia, gdy nie napiszemy

wyra¹nie, »e stosujemy now¡ konwencj¦ i »e jako

wspóªczynnik rozszerzenia niepewno±ci

bierzemy

k = 2

.

Zaleca si¦ wi¦c stosowanie zapisu, w którym podaje si¦

w nawiasie 2 cyfry znacz¡ce standardowej niepewno±ci

pomiarowej. W przeciwnym wypadku nale»y wyra¹nie

zaznaczy¢, »e podajemy rozszerzon¡ niepewno±¢

standardow¡ oraz wypisa¢ warto±¢ k.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

61 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

Zapis wyników pomiarów

UWAGA:

Poniewa» omawiana metoda szacowania niepewno±ci opiera

si¦ o statystyczny rozrzut pomiarów rz¡dzony rozkªadem

Gaussa, to

•

Niepewno±¢ standardowa

pomiaru okre±la przedziaª

warto±ci mierzonej wielko±ci gdzie z

prawdopodobie«stwem ≈ 0.68 znajduje si¦ prawdziwa

warto±¢ mierzonej wielko±ci.

•

Rozszerzona niepewno±¢ z czynnikiem rozszerzenia

k=2

okre±la przedziaª, gdzie z

prawdopodobie«stwem ≈ 0.95 znajduje si¦ prawdziwa

warto±¢.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

62 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

Zapis wyników pomiarów

Metoda A

szacowania niepewno±ci pomiarowych to wg normy ISO

opisane powy»ej wnioskowanie o niepewno±ci pomiaru

z rozrzutu statystycznego wyników pomiaru

Metoda B

stosuje si¦, gdy nie mo»emy takiego rozrzutu zaobserwowa¢ ,

np. gdy

•

Dziaªka skali przyrz¡du pomiarowego jest wi¦ksza od

obserwowanego rozrzutu,

•

Pomiar mo»na wykona¢ tylko jednokrotnie bo, np.

towarzyszy mu zniszczenie badanego obiektu,

•

itp.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

63 / 80

Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych

Zapis wyników pomiarów

W metodzie B:

•

Szukamy takiego przedziaªu [a, b] warto±ci mierzonej

wielko±ci x, »e wszystkie warto±ci x ∈ [a, b] (np.

dªugo±¢ [a, b] to wielko±¢ dziaªki skali przyrz¡du).

•

Zakªadamy funkcj¦ g¦sto±ci prawdopodobie«stwa

zmiennej x; najcz¦±ciej zakªada si¦ jednostajny rozkªad:

f (x) = 1/(b − a).

•

Odchylenie standardowe tej wielko±ci bierzemy jako

warto±¢ niepewno±ci standardowej, np. dla rozkªadu

jednostajnego

u(x) ≡ σ(x) = (b − a)/(2

√

3).

UWAGA:

Poniewa» (b − a)/2 ≡ ∆x, gdzie ∆x to (tradycyjnie) tzw.

bª¡d maksymalny

wi¦c wtedy

standardowa niepewno±¢

u(x) = ∆x/

√

3.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

64 / 80

Rozkªad liczby pozytywnie zako«czonych do±wiadcze«

TWIERDZENIE:

Je»eli prawdopodobie«stwo zrealizowania sie danego

zdarzenia losowego w pojedynczym do±wiadczeniu jest

równe p to liczba k zrealizowanych zdarze« w N

niezale»nych do±wiadczeniach rzadzona jest

rozkªadem

Bernoulliego

(dwumianowym, binomialnym):

P(k) =

N!

k!(N−k)!

p

k

(

1 − p)

N−k

;

k = 0, 1, ..N

Šatwo mo»na pokaza¢, »e

E(k) = N · p
σ(

k) = pN · p · (1 − p)

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

65 / 80

Rozkªad liczby pozytywnie zako«czonych do±wiadcze«

Graniczny przypadek:

czesto realizowany w zyce atomowej, jader

atomowych i czastek elementarnych to sytuacja gdy N jest

bardzo du»e

, p

bardzo maªe

a warto±¢ oczekiwana

rejestrowanych zdarze« E(k) ≡ N · p jest

staªa

.

Przykªad:

•

N - liczba radioaktywnych jader w badanej próbce,

•

p - prawdopodobie«stwo rozpadu pojedynczego

radioaktywnego jadra w jednostce czasu,

•

k - liczba rejestrowanych rozpadów w jednostce czasu

Rozkªad Poissona

jest wtedy graniczna postacia rozkªadu Bernoulliego:

P(k) =

λ

k

k!

exp(−λ)

Warto±¢ oczekiwana i odchylenie standardowe wyra»aja sie

wzorem:

E(k) = λ
σ(

k) =

√

λ

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

66 / 80

Rozkªad liczby pozytywnie zako«czonych do±wiadcze«

Niepewno±¢ statystyczna

Liczba rejestrowanych w danym okresie czasu zdarze« k rzadzonych

powy»szymi prawami jest zmienna losowa a wiec prawdziwa liczba

zdarze« to E(k) a jej niepewno±¢ to σ(k). Nazywana jest ona

niepewno±ci¡ statystyczn¡

(tradycyjnie bª¦dem statystycznym).

ESTYMATOR prawdziwej liczby zdarze«

to liczba k zarejestrowanych

zdarze« podczas pojedynczego pomiaru:

T

n

(

E(k)) = k

ESTYMATOR niepewno±ci statystycznej:

to

u(k) ≡ T

n

(σ(

k)) =

√

k

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

67 / 80

Rozkªad liczby pozytywnie zako«czonych do±wiadcze«

Niepewno±¢ statystyczna

POZORNY PARADOKS:

Im dªu»ej mierzymy tym niepewno±¢ liczby

zarejestrowanych zdarze« jest wieksza.

WYTŠUMACZENIE:

Istotna jest statystyczna niepewno±¢

wzgledna

u

r

(

k) a nie bezwzgledna u(k):

u

r

(

k) ≡ u(k)/k =

1

√

k

NOMENKLATURA:

Pomiar z maª¡ wzgledn¡ niepewno±ci¡ statystyczn¡

to pomiar z

dobra statystyka

a z du»¡ wzgledn¡

niepewno±ci¡ statystyczn¡ to pomiar ze

zªa statystyka

.

UWAGA:

Nale»y zwraca¢ uwage, »e

niepewno±¢ statystyczna ma

identyczny wymiar jak liczba zdarze«, tj. wymiar

odwrotny do czasu

mimo, »e ilo±ciowo jest pierwiastkiem z

liczby zdarze«.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

68 / 80

Rozkªad liczby pozytywnie zako«czonych do±wiadcze«

Niepewno±¢ statystyczna

W praktyce interesuje nas obok odpowiedzi na pytanie:

Ile zdarze« zachodzi w okre±lonym czasie ?

równie» odpowied¹ na pytanie:

Ile zachodzi zdarze« DANEGO TYPU ?

PRZYKŠAD:

Rejestrujemy produkty reakcji jadrowej. Chcemy wiedzie¢

nie tylko ile reakcji zachodzi ale tak»e ile jest produktów

posiadajacych okre±lona energie.

PYTANIA:

1

Jakim rozkªadem rzadzona jest liczba zdarze« w ka»dym

przedziale ('kanale') energii?

2

Co by sie staªo gdyby±my dodali liczby zdarze« z kilku

sasiednich kanaªów (dla poprawienia 'statystyki' liczby

zdarze«) ?

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

69 / 80

Rozkªad liczby pozytywnie zako«czonych do±wiadcze«

Niepewno±¢ statystyczna

Korzystamy z twierdzenia:

TWIERDZENIE:

Rozkªad prawdopodobie«stwa sumy sko«czonej liczby

niezale»nych skªadników, z których ka»dy rzadzony jest

rozkªadem Poissona o parametrze λ

i

jest równie» rozkªadem

Poissona ale o nowym parametrze λ = P

i

λ

i

.

ODPOWIED™ na 1 pytanie:

Liczba zdarze« w ka»dym kanale jest rzadzona

rozkªadem Poissona ale ka»dy z tych rozkªadów ma zwykle

ró»ny parametr λ

i

.

ODPOWIED™ na 2 pytanie:

Liczba zdarze« w kilku wysumowanych

kanaªach k = P

i

k

i

bedzie rzadzona rozkªadem Poissona z

parametrem λ, którego estymator jest równy

T

n

(λ ≡

E(k)) = P

i

k

i

.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

70 / 80

Pomiary po±rednie

DEFINICJA:

Je»eli w do±wiadczeniu mierzymy wielko±ci X

1

,

X

2

, ..,

X

N

a

nastepnie wyliczamy warto±¢ funkcji Y = Y(X

1

,

X

2

, ..,

X

N

)

to taka procedure nazywamy

pomiarem po±rednim

.

ESTYMATOR:

Estymatorem E(Y) pomiaru po±redniego

jest warto±¢

funkcji Y wyliczona dla argumentów, które sa estymatorami

prawdziwych warto±ci X

1

,

X

2

, ..

X

N

tzn. dla ±rednich

arytmetycznych X

1

,

X

2

, ...,

X

N

:

T

n

(

E(Y (X

1

,

X

2

, ..

X

N

))) =

Y (X

1

,

X

2

, ...,

X

N

)

lub inaczej

E(Y (X

1

,

X

2

, ..

X

N

)) ≈

Y (X

1

,

X

2

, ...,

X

N

)

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

71 / 80

Pomiary po±rednie

Niepewno±¢ pomiaru po±redniego

ESTYMATOR:

niepewno±ci pomiaru po±redniego, tzw.

zªo»ona

niepewno±¢ standardowa

(tradycyjnie:

bªad ±redni

kwadratowy

) liczy sie nastepujaco (UWAGA: wzory s¡

sªuszne przy zaªo»eniu, »e pomiary X

1

,

X

2

, ..,

X

N

byªy

wykonywane niezale»nie odpowiednio n

1

,

n

2

, ..,

n

N

razy):

σ(

Y ) ≈

s

N

P

i=1



∂

Y

∂

X

i



2

X

i

=

X

i

· σ

2

(

X

i

)

UWAGA:

•

X

1

,

X

2

, ..

X

N

to ró»ne wielko±ci a nie kolejne pomiary

wielko±ci "X ",

•

Pochodne liczone wzgledem 'X

i

' to pochodne

czastkowe tzn. liczone przy zaªo»eniu, »e pozostaªe

zmienne 'X

j6=i

' sa ustalone,

•

Zamiast wariancji zmiennej σ

2

(

X

i

)

u»ywa sie jej

estymatora tzn. S

2

(

X

i

)

(n

i

- krotnie mniejszego od

estymatora S

2

(

X

i

)).

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

72 / 80

Pomiary po±rednie

Bª¡d maksymalny

Bªad maksymalny pomiaru po±redniego

to tradycyjne poj¦cie, które

stosowano, gdy nie mo»na byªo oszacowa¢ niepewno±ci

pomiaru bezpo±redniego z rozrzutu wyników. Liczono go wg

poni»szego wzoru, tzn.

metoda ró»niczki zupeªnej

.

∆(

Y ) ≈

N

P

i=1

|

∂

Y

∂

X

i

| · ∆(

X

i

)

Tu moduªy pochodnych sa wyliczane dla jednokrotnie

zmierzonych wielko±ci X

i

a symbol ∆(X

i

)

oznacza

maksymalny bªad tej wielko±ci mierzonej bezpo±rednio.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

73 / 80

Pomiary po±rednie

Bª¡d maksymalny

Zgodnie z now¡ NORM:

Nie nale»y u»ywa¢ poj¦cia bª¦du maksymalnego lecz liczy¢

niepewno±¢ pomiaru po±redniego jako

zªo»on¡ niepewno±¢

pomiarow¡

wstawiaj¡c zamiast niepewno±ci pomiarów

bezpo±rednich otrzymanych "metod¡ A"(tzn. z rozrzutu

pomiarów) niepewno±ci oszacowane "metod¡ B".

Nale»y tak post¦powa¢ bo:

•

W odró»nieniu od zªo»onej niepewno±ci standardowej

bªad maksymalny nie ma interpretacji statystycznej

.

•

Šatwo mo»na pokaza¢ , »e bª¡d maksymalny obliczony

metoda ró»niczki zupeªnej

jest zawsze wiekszy od

zªo»onej niepewno±ci standardowej.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

74 / 80

Pomiary po±rednie

Regresja liniowa

DEFINICJA:

Regresja liniowa zmiennej Y wzgledem zmiennej X

to

linia prosta Y = a · X + b z parametrami a i b dobranymi

tak aby minimalizowa¢ sume kwadratów odchyle«

wspóªrzednych (y

i

,

i = 1, 2, ..n) zespoªu n punktów o

wspóªrzednych (x

1

,

y

1

),(x

2

,

y

2

),... (x

n

,

y

n

) od tej linii:

Q

2

=

n

P

i=1

(

y

i

−

a · x

i

−

b)

2

Zmienna Y nazywana jest

zmienna obja±niana

a

zmienna X

zmienna obja±niajaca

.

UWAGA:

Regresja liniowa X wzgledem Y tj. prosta X = c · Y + d

pokrywa sie z regresja liniowa Y wzgledem X tj. prosta

Y = a · X + b znaleziona dla tego samego zespoªu punktów

do±wiadczalnych tylko wtedy gdy zwiazek pomiedzy X i Y

jest funkcyjnym zwiazkiem liniowym (a nie zale»no±cia

statystyczna).

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

75 / 80

Pomiary po±rednie

Regresja liniowa

Specyczna sytuacja:

polegajaca na tym, »e:

•

zmienna obja±niajaca X ma

zaniedbywalnie maªe

niepewno±ci

i jest traktowana jako nielosowa zmienna.

•

zmienna obja±niana Y jest zmienna losowa o

znanej

niepewno±ci standardowej

σ(

y

i

)

dla punktu o

wspóªrz¦dnych (x

i

,

y

i

)

.

Wtedy dostajemy takie estymatory parametrów regresji:

T

n

(

a) =

n

P

i=1

w

i

y

i

(

x

i

− ¯

x

w

)

n

P

i=1

w

i

(

x

i

− ¯

x

w

)

2

T

n

(

b) = ¯y

w

−

T

n

(

a) · ¯x

w

gdzie w

i

≡

1/σ

2

(

y

i

),

¯

x

w

≡

n

X

i=1

w

i

x

i

/

n

X

i=1

w

i

,

¯

y

w

≡

n

X

i=1

w

i

y

i

/

n

X

i=1

w

i

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

76 / 80

Pomiary po±rednie

Regresja liniowa

Niepewno±ci standardowe estymatorów parametrów a i b

równie» wyra»aja

sie analitycznymi wzorami:

σ (

T

n

(

a)) = 1/

v
u
u
t

n

X

i=1

w

i

(

x

i

− ¯

x

w

)

2

σ (

T

n

(

b)) =

v
u
u
u
t

1

n

P

i=1

w

i

+

¯

x

2

w

n

P

i=1

w

i

(

x

i

− ¯

x

w

)

2

Niepewno±¢ standardowa warto±ci Y przewidzianej przez linie regresji

(zale»na od x):

σ (

y (x)) =

v
u
u
u
u
t

1

n

P

i=1

w

i

+

(

x − ¯x

w

)

2

n

P

i=1

w

i

(

x

i

− ¯

x

w

)

2

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

77 / 80

Pomiary po±rednie

Regresja liniowa

Jeszcze prostsza sytuacja:

polegajaca na tym, »e:

•

zmienna obja±niana Y jest zmienna losowa o

identycznej

niepewno±ci standardowej σ(Y ) dla wszystkich

punktów.

Wtedy dostajemy proste, analityczne wzory na estymatory

parametrów regresji:

T

n

(

b) =

(

P

i

x

i

2

) · (

P

i

y

i

) − (

P

i

x

i

) · (

P

i

x

i

·

y

i

)

W

T

n

(

a) =

n · (P

i

x

i

·

y

i

) − (

P

i

x

i

) · (

P

i

y

i

)

W

W ≡ n ·

X

i

x

2

i

− (

X

i

x

i

)

2

Wska¹nik sumowania i przebiega warto±ci od 1 do n.

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

78 / 80

Pomiary po±rednie

Regresja liniowa

Niepewno±ci standardowe estymatorów parametrów a i b

równie» wyra»aja

sie analitycznymi wzorami:

T

n

(σ(

b)) = σ(Y ) ·

s

P

i

x

2

i

W

T

n

(σ(

a)) = σ(Y ) ·

r

n

W

Niepewno±¢ standardowa warto±ci Y przewidzianej przez linie regresji

(zale»na od x):

T

n

(σ(

Y (x))) = σ(Y ) ·

s 1

n

+

(

x − x)

2

P

i

(

x

i

−

x)

2

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

79 / 80

Pomiary po±rednie

Regresja liniowa

UWAGA:

W praktyce opuszcza sie symbol estymatora, zarówno dla

parametrów regresji a, b jak i dla warto±ci Y przewidzianej

przez regresje, tzn. zamiast T

n

(

a) pisze sie po prostu a, itd.

ale nale»y pamieta¢, »e sa to estymatory. W powy»szych

wzorach zastosowano nastepujace oznaczenia:

•

T

n

(σ(

Y (x)))

to estymator niepewno±ci warto±ci Y (x)

przewidzianej przez regresje,

•

σ(

Y )

to niepewno±¢ pomiarowa wspóªrzednej Y

i

z

zaªo»enia taka sama dla wszystkich punktów,

•

x

to ±rednia arytmetyczna warto±ci zmiennej

kontrolowanej wyliczona ze wspóªrzednych punktów

x

1

,

x

2

, ...

x

n

,

•

x

- to warto±¢ zmiennej kontrolowanej X , dla której

wyliczamy warto±¢ regresji liniowej Y (x) i estymator

niepewno±ci regresji liniowej T

n

(σ(

Y (x))).

B. Kamys (Instytut Fizyki UJ)

SMOP I

2014/15

80 / 80