Zestaw 7 Badanie przebiegu zmienności funkcji

Zadanie 7.1 Znaleźć asymptoty funkcji:

a) f(x)=

x

x

−

−

5

7

4

b) f(x)=

2

1

1

x

−

c) f(x)=

3

2

2

+

x

x

d) f(x) =

4

2

2

3

−

+

x

x

x

e) f(x)=

1

2

+

x

x

f) f(x)=

9

2

3

−

−

x

x

g) f(x)=

x

x

2

2

1

+

+

h) f(x)=

x

x 2

1+

i) f(x)=

x

x

sin

j) f(x)=

x

e

x

−

2

Zadanie 7.2 Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:

a) f(x)= 2x 3 + 10x- 18 b) f(x)=2x 3 - 9x 2 +12x +2 c) f(x)=

4

2

+

x

x

d) f(x)=

2

2

1

2

3

+

+

x

x

e) f(x)= xe

x

2

−

f) f(x)= x- ln(1+x) g) f(x)=(x 2 - 4 )e

x

−

Zadanie 7.3 Wyznaczyć ekstrema funkcji:

a) f(x)= 2x 3 - 15x 2 + 36x – 14 b) f(x)= x 4 + 4x – 2 c) f(x)= x 3 + 3x 2 -9x -2

d) f(x)= x 4 + 4x 2 - 2 e) f(x)=

4

2

+

x

x

f) f(x)=

4

1

x 4 -

2

1

x 2

g) f(x)=

(

)

x

x

2

2

1−

h) f(x)= x - x i) f(x)= e

x + e x

−

j) f(x)=

1

2

4

2

+

+

x

x

k) f(x)=

1

2

2

+

x

x

Zadanie 7.4 Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziałach:

a) f(x)= x 2 - 2x +3 , x∈[-2,5]

b) f(x)= 2x 3 - 3x 2 -36x- 8, x∈[-3, 6]

c) f(x)= -x 3 -3x 2 -9x + 21, x∈[-4, 2]

d) f(x)= -4x 3 +6x 2 +24x -3, x∈[0, 3]

e) f(x)= 2x 3 +21x 2 +36x -4, x∈[-2, 1]

f) f(x)= x- 2 x , x∈[0,5]

g) f(x)= x 2 lnx, x∈[1,e]

h) f(x)=

2

1

−

+

x

x

, x∈[3, 5]

i) f(x)=

4

2

1

2

+

+

x

x

, x∈[-1, 1]

j) f(x)=

2

2

3

2

2

+

−

x

x

, x∈[-1, 1]

Zadanie 7.5 Wyznaczyć punkty przegięcia, przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji:

a) f(x)= 4

x

-4x 3 +8x 2

b) f(x)= 3

4

x +7x +1

c) f(x)=

4

x -12x 3 +48x 2

d) f(x)= 5

4

x +2x 3 +x 2

e) f(x)= -2

4

x -4x +5

f) f(x)=

2

2

3

3

3

2

12

4

x

x

x

+

−

g) f(x)=

2

2

+

x

x

h) f(x)= xe

x

−

i) f(x)=

x

x

ln

Zadanie 7.6 Zbadać przebieg zmienności funkcji i sporządzić wykresy funkcji:

a) f(x)= x 3 -3x 2 +4 b) f(x)=

(

) (

)

2

2

1

+

−

x

x

c) f(x)=

2

1 x

x

−

d) f(x)=

1

3

−

x

x

e) f(x)= x

1

−

x

f) f(x)=

x

x −

g) f(x)=

x

x

ln

h) f(x)= e

2

x

−

i) f(x)=

1

+

x

x

e

j) f(x)=

1

2

+

x

x

k) f(x)=

2

5

+

−

x

x

l) f(x)= x

3

+

x

x

Zadanie 7.7 Uzupełnić komentarze, wypełnić tabelkę i narysować wykres funkcji:
x∈(- ∞ , 4) ∪ (4, + ∞ )

+∞

=

−∞

→

)

(

lim

x

f

x

0

)

(

4

lim

=

→

−

x

f

x

+∞

=

→

+

)

(

4

lim

x

f

x

+∞

=

+∞

→

)

(

lim

x

f

x

+∞

=

−∞

→

x

x

f

x

)

(

lim

1

)

(

lim

=

+∞

→

x

x

f

x

(

)

0

)

(

lim

=

−

+∞

→

x

x

f

x

3

0

)

(

−

=

⇔

=

x

x

f

)

,

7

(

)

4

,

2

(

0

)

(

'

+∞

∪

∈

⇔

>

x

x

f

)

7

,

4

(

)

2

,

(

0

)

(

'

∪

−∞

∈

⇔

<

x

x

f

7

2

0

)

(

'

=

∨

=

⇔

=

x

x

x

f

)

,

4

(

)

4

,

(

0

)

(

"

+∞

∪

−∞

∈

⇔

>

x

x

f

f(2)= -2, f(7)=9