MO

Z2/12. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 12

1

Z2/12. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 12

Z2/12.1. Zadanie 12

Wyznaczyć analitycznie reakcje we wszystkich przegubach rzeczywistych A, B i C układu trójprzegu-

bowego przedstawionego na rysunku Z2/12.1. Siła czynna o wartości 18,0 kN w dół jest przyłożona w
przegubie rzeczywistym B.

A

B

C

2,0

2,0

3,0

2,0

1,

0

4,

0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

16,0 kN

6,0 kN

[m]

I

II

18,0 kN

Rys. Z2/12.1. Układ trójprzegubowy

Z2/12.2. Analiza kinematyczna układu trójprzegubowego

Układ trójprzegubowy składa się z dwóch tarcz sztywnych mających razem sześć stopni swobody.

Wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, B i C odbierają razem także sześć stopni swobody. Został więc
spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4).

Wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, B i C nie leżą na jednej prostej. Został tym samym spełniony

warunek dostateczny geometrycznej niezmienności.

Ponieważ układ trójprzegubowy przedstawiony na rysunku Z2/12.1 spełnia warunek konieczny i

dostateczny geometrycznej niezmienności jest więc on układem geometrycznie niezmiennym i statycznie
wyznaczalnym.

Z2/12.3. Analiza statyczna układu trójprzegubowego

W przegubie rzeczywistym jak wiadomo działa jedna reakcja. Wiemy o niej tylko to, że kierunek jej

musi przejść przez przegub rzeczywisty. W takim przypadku rozkładamy reakcję w przegubie rzeczywistym
na dwie składowe: poziomą i pionową. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i C
przedstawia rysunek Z2/12.2.

Pionową składową reakcji w przegubie rzeczywistym A najwygodniej możemy wyznaczyć z równania

sumy momentów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu C. Dodatni
moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pionowa składowa reakcji w
przegubie rzeczywistym A ma więc wartość

 M

C

=V

A

⋅9,0−12,0⋅7,0−8,0⋅3,0−16,0⋅2,0−6,0⋅4,0−18,0⋅5,0=0

V

A

=28,22 kN

(Z2/12.1)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/12. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 12

2

A

B

C

2,0

2,0

3,0

2,0

1,

0

4,

0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

16,0 kN

6,0 kN

V

A

H

A

H

C

V

C

[m]

X

Y

I

II

18,0 kN

Rys. Z2/12.2. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i C

Pionową składową reakcji w przegubie rzeczywistym C najwygodniej możemy wyznaczyć z równania

sumy momentów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu A. Dodatni
moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pionowa składowa reakcji w
przegubie rzeczywistym C ma więc wartość

 M

A

=−V

C

⋅9,012,0⋅2,0−8,0⋅3,016,0⋅7,0−6,0⋅4,018,0⋅4,0=0

V

C

=17,78 kN

(Z2/12.2)

Obie pionowe składowe reakcji w przegubach A i C mają więc zwroty zgodne z przyjętymi na

początku obliczeń. W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na cały układ trójprzegubowy na oś pionową Y. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze
zwrotem osi Y. Równanie to ma postać

 Y =V

A

V

C

−12,0−16,0−18,0=28,2217,78−46,0=0

.

(Z2/12.3)

Równanie równowagi (Z2/12.3) zostało spełnione możemy więc stwierdzić, że pionowe składowe reakcji w
przegubach A i C zostały wyznaczone poprawnie.

Rysunek Z2/12.3 przedstawia założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i B działające na

tarczę sztywną numer I. Poziomą składową reakcji w przegubie A wyznaczymy z równania sumy momentów
wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer I względem punktu B. Dodatni moment będzie jak
wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pozioma składowa reakcji w przegubie rzeczywistym
A ma więc wartość

 M

B



I



=−H

A

⋅5,0V

A

⋅4,08,0⋅2,0−12,0⋅2,0=0

−H

A

⋅5,028,22⋅4,08,0⋅2,0−12,0⋅2,0=0

H

A

=20,98 kN

.

(Z2/12.4)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/12. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 12

3

A

B

2,0

2,0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

V

A

H

A

[m]

X

Y

V

B

(I)

H

B

(I)

I

Rys. Z2/12.3. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i B działające na tarczę sztywną numer I

B

C

3,0

2,0

1,

0

4,

0

16,0 kN

6,0 kN

H

C

V

C

[m]

X

Y

II

V

B

(II)

H

B

(II)

Rys. Z2/12.4. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach B i C działające na tarczę sztywną numer II

B

V

B

(I)

H

B

(I)

V

B

(II)

H

B

(II)

18,0 kN

Rys. Z2/12.5. Siły działające w przegubie rzeczywistym B

Rysunek Z2/12.4 przedstawia założone zwroty składowych reakcji w przegubach B i C działające na

tarczę sztywną numer II. Zwroty tych reakcji wynikają bezpośrednio z założonych zwrotów reakcji
działających w przegubie rzeczywistym B i przedstawionych na rysunku Z2/12.5. Poziomą składową reakcji
w przegubie C wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na tarczę sztywną

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/12. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 12

4

numer II względem punktu B. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek
zegara. Pozioma składowa reakcji w przegubie rzeczywistym C ma więc wartość

 M

B



II



=H

C

⋅5,0−V

C

⋅5,016,0⋅3,06,0⋅1,0=0

H

C

⋅5,0−17,78⋅5,016,0⋅3,06,0⋅1,0=0

H

C

=6,98 kN

.

(Z2/12.5)

Obie poziome składowe reakcji w przegubach A i C mają więc zwroty zgodne z przyjętymi na

początku obliczeń.

W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na cały

układ trójprzegubowy na oś poziomą X. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X.
Równanie to, zgodnie z rysunkiem Z2/12.2, ma postać

 X =H

A

−H

C

−8,0−6,0=20,98−6,98−14,0=0

.

(Z2/12.6)

Równanie równowagi (Z2/12.3) zostało spełnione możemy więc stwierdzić, że pionowe składowe reakcji w
przegubach A i C zostały wyznaczone poprawnie.

Rysunek Z2/12.6 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach

rzeczywistych A i C. Składowe tych reakcji oraz siły czynne działające na cały układ trójprzegubowy
znajdują się w równowadze.

Aby wyznaczyć poziomą składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer I

zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś X. Jako dodatni
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z2/12.3 składowa ta ma wartość

 X



I



=−H

B



I



H

A

−8,0=0

−H

B



I



20,98−8,0=0

H

B



I



=12,98 kN

.

(Z2/12.7)

Aby wyznaczyć pionową składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer I

zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś Y. Jako dodatni
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem Z2/12.3 składowa ta ma wartość

 Y



I



=V

B



I



V

A

−12,0=0

V

B



I



28,22−12,0=0

V

B



I



=−16,22 kN

.

(Z2/12.8)

Pozioma składowa reakcji w przegubie B ma zwrot zgodny z założonym natomiast pionowa składowa

reakcji w przegubie B ma zwrot przeciwny do założonego. Rysunek Z2/12.7 przedstawia prawidłowe
wartości i zwroty obu składowych reakcji w przegubie rzeczywistym B działające na tarczę sztywną numer
I.

Aby wyznaczyć poziomą składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer II

zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś X. Jako dodatni
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z2/12.4 składowa ta ma wartość

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/12. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 12

5

A

B

C

2,0

2,0

3,0

2,0

1,

0

4,

0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

16,0 kN

6,0 kN

[m]

I

II

28,22 kN

17,78 kN

20,98 kN

6,98 kN

18,0 kN

Rys. Z2/12.6. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A i C

 X



II



=H

B



II



−H

C

−6,0=0

H

B



II



−6,98−6,0=0

H

B



II



=12,98 kN

.

(Z2/12.9)

Aby wyznaczyć pionową składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer II

zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś Y. Jako dodatni
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem Z2/12.4 składowa ta ma wartość

 Y



II



=V

B



II



V

C

−16,0=0

V

B



II



17,78−16,0=0

V

B



II



=−1,78kN

.

(Z2/12.10)

Pozioma składowa reakcji w przegubie B ma zwrot zgodny z założonym natomiast pionowa składowa

reakcji w przegubie B ma zwrot przeciwny do założonego. Rysunek Z2/12.7 przedstawia prawidłowe
wartości i zwroty obu składowych reakcji w przegubie rzeczywistym B działające na tarczę sztywną numer
II.

W celu sprawdzenia obliczeń składowych reakcji w przegubie B zastosujemy równania sumy rzutów

wszystkich sił działających na przegub rzeczywisty B na osie: poziomą X i pionową Y. Jako dodatnie
przyjmiemy kierunki zgodne ze zwrotami osi X i Y. Zgodnie z rysunkiem Z2/12.5 równanie sumy rzutów na
oś X ma postać

 X



B



=H

B



I



−H

B



II



=12,98−12,98=0

.

(Z2/12.11)

Zgodnie z rysunkiem Z2/12.5 równanie sumy rzutów na oś Y ma postać

 Y



II



=−V

B



I



−V

B



II



−18,0=−



−16,22



−



−1,78



−18,0=0

.

(Z2/12.12)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/12. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 12

6

Równania równowagi (Z2/12.11) i (Z2/12.12) zostały spełnione, możemy więc stwierdzić, że poziome i
pionowe składowe reakcji w przegubie B zostały wyznaczone poprawnie.

Rysunek Z2/12.7 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach

rzeczywistych A, B i C działające na tarcze sztywne numer I i II. Składowe tych reakcji oraz siły czynne
działające na każdą z tarcz sztywnych znajdują się w równowadze.

A

B

2,0

2,0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

I

28,22 kN

20,98 kN

12,98 kN

16,22 kN

B

C

3,0

2,0

1,

0

4,

0

16,0 kN

6,0 kN

[m]

II

17,78 kN

6,98 kN

1,78 kN

12,98 kN

Rys. Z2/12.7. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A, B i C działające na

tarcze sztywne numer I i II

Rysunek Z2/12.8 przedstawia rzeczywiste wartości i zwroty sił działających w przegubie

rzeczywistym B, które znajdują się w równowadze.

1,78 kN

12,98 kN

B

12,98 kN

16,22 kN

18,0 kN

Rys. Z2/12.8. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubie rzeczywistym B

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni