HYDROLOGIA,

METEOROLOGIA

I KLIMATOLOGIA

Cz. II – HYDROLOGIA

W 6 – Wody podziemne 3

M. Nawalany

Prawo zachowania masy

Objętość kontrolna, stan ustalony:

-

składowa x strumienia masy wody

x

q

~

2

~

m

S

M

q

s

kg

gdzie:

M [kg/s]

– wydatek (przepływ) masowy

S [m

2

]

– pole powierzchni przez którą

przepływa wydatek M

Prawo zachowania masy

– c.d.

Związek pomiędzy strumieniem masowym a strumieniem
objętościowym q :

q

~

ρ

q

q

~

gdzie: [kg/m

3

]

– gęstość cieczy.

Prawo ciągłości dla ośrodków porowatych ma postać:

q

~

div

t

n

Z postaci tej widać, że woda może być gromadzona w ośrodku albo
wskutek zmiany gęstości, albo wskutek zmiany geometrii ośrodka, czyli
zmiany wartości n.

Przypadki prawa ciągłości

1.

Przypadek ogólny:

2. Przypadek szczególny - płyn nieściśliwy ( = const.), brak

zmian geometrii ośrodka (n =const.),

stąd

oraz

czyli:

0

z

q

y

q

x

q

z

y

x

Człon reprezentuje nadmiar masy wpływającej nad masą

wypływająca z elementarnej objętości w jednostce czasu.

q

div ~

q

~

div

t

n

0

t

n

0

q

div

0

~

q

div

q

div

Prawo Darcy

Eksperyment Darcy:

W doświadczeniu
zaobserwowano, że:

Q ~ A,

Q ~ H = H

2

– H

1

,

Q ~ 1/L

Wynika stąd, że:

L

H

k

A

Q

q

Prawo Darcy

– c.d.

Prawo Darcy w najprostszej postaci :

x

k

q

x

y

k

q

y

z

k

q

z

Równanie przepływu wód podziemnych

Po wstawieniu prawa Darcy do prawa ciągłości otrzymuje się
trójwymiarowe równanie przepływu dla wód podziemnych:

z

k

z

y

k

y

x

k

x

t

S

S

Dwuwymiarowe przybliżenie płaskie przepływu wód podziemnych:

)

(

)

(

~

~

~

2

1

z

q

z

q

y

T

y

x

T

x

t

S

z

z

gdzie:
S [-]

– współczynnik wodopojemności sprężystej: S = S

S

l,

T

i

[m

2

/s]

– współczynnik przewodności hydraulicznej: T

i

= k

i

l

2

1

,

,

,

1

,

,

~

z

z

dz

t

z

y

x

l

t

y

x

–

wysokość hydrauliczna uśredniona po

miąższości warstwy wodonośnej

Przykład – dopływ do rowu

Dla przepływu ze swobodnym zwierciadłem T = k H. Ustalony przepływ
swobodny jednowymiarowy w jednorodnej warstwie wodonośnej przy braku
zasilania infiltracyjnego oraz podsiąku opisany jest prostym równaniem Laplace’a.

0

x

)

x

(

H

2

2

2

Przykład – dopływ do rowu – c.d.

Rozwi

ązanie ogólne ma postać:

C

Bx

x

H

)

(

2

Dla rozpatrywanego równania i warunków brzegowych H(0) = H

1

, H(L)

= H

2

-

parametry B oraz C wynoszą odpowiednio:

,

2

1

2

2

L

H

H

B

2

1

H

C

Stąd rozwiązanie szczególne:

2

1

2

1

2

2

2

)

(

H

x

L

H

H

x

H

Rozwi

ązanie to nazywa się PARABOLĄ DUPUITA.

Dopływ do rowu wyznaczony z paraboli Dupuita wynosi:

x

x

H

Dk

x

x

H

x

DkH

Q

x

)

(

2

1

)

(

)

(

~

2

L

H

H

kD

Q

x

2

2

2

1

2

~

Równanie transportu masy w strumieniu wód podziemnych

Mechanizmy transportu masy wyrażone jako strumienie masy (kg/m

2

/s):

1.

Transport adwekcyjny

2.

Transport dyfuzyjny

3.

Transport dyspersyjny

VC

J

adw

x

C

D

J

dyf

x

dyf

y

C

D

J

dyf

y

dyf

z

C

D

J

dyf

z

dyf

x

C

D

J

dysp

xx

x

dysp

,

y

C

D

J

dysp

yy

y

dysp

,

z

C

D

J

dsp

zz

z

dysp

zz

,

,

Po podstawieniu sumy trzech strumieni do prawa zachowania masy:
równanie transportu masy w wodach podziemnych.

r

C

V

z

C

V

y

C

V

x

z

C

D

z

y

C

D

y

x

C

D

x

t

C

z

y

x

zz

yy

xx

Przykład – dopływ zanieczyszczeń do studni

Dana jest studnia zupełna ujmująca wodę w obszarze rolniczym z warstwy
wodonośnej o zwierciadle napiętym. Warstwa wodonośna jest jednorodna i
izotropowa. Zasilanie pochodzi z wód opadowych. Wody te infiltrując wymywają
z powierzchni pestycydy używane do ochrony roślin. W warstwie wodonośnej
pestycydy ulegają biodegradacji zgodnie z prawem rozpadu:

t

exp

C

)

t

(

C

0

Czyli:

5

.

0

2

ln

T

gdzie: -

okres połowicznego rozpadu.

5

.

0

T

Dane są: H, n, k, T

0.5

, Q

0

, c

0

.

Poszukuje się stężenia wody
pobieranej przez studnię przy
założeniu, że jedynym
mechanizmem transportu masy
pestycydu jest adwekcja.

1

N

Hn

1

c

Q

M

c

0

0

w

Stężenie pestycydu w wodzie
pobieranej w studni wynosi:

[kg/m

3

]