Wykład 10

Wykład 10

Podstawowe algorytmy

Podstawowe algorytmy

sterowania

sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

Janusz KOWAL

Janusz KOWAL

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza

Hutnicza

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

2

Plan wykładu:

Plan wykładu:

9

Sterowanie proporcjonalne

9

Sterowanie całkowe

9

Sterowanie proporcjonalno - całkowe

9

Sterowanie proporcjonalno - różniczkowe

9

Sterowanie proporcjonalno - całkowo - różniczkowe

9

Regulacja prędkości silnika prądu stałego

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

3

W regulatorze z proporcjonalnym algorytmem sterowania
(typu P), związek pomiędzy sygnałem

wyjściowym

regulatora u(t), a sygnałem uchybu e(t) jest następujący:

)

(

)

(

t

e

K

t

u

p

=

S

S

terowani

terowani

e

e

proporcjonalne

proporcjonalne

gdzie: K

p

jest nazwane wzmocnieniem proporcjonalnym

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

4

Regulator proporcjonalny jest wzmacniaczem

z

nastawianym wzmocnieniem.

Po zastosowaniu transformaty Laplace’a:

p

K

s

E

s

U

=

)

(

)

(

Schemat blokowy regulatora typu P

K

p

K

p

–

E(s)

U(s)

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

5

S

S

terowani

terowani

e

e

c

c

a

a

ł

ł

kow

kow

e

e

W regulatorze z całkowym algorytmem sterowania, w
skrócie typu I, przyrost wartości sygnału wyjściowego u(t)
zmienia się proporcjonalnie do sygnału uchybu e(t), czyli:

)

(

1

)

(

)

(

t

e

T

t

e

K

dt

t

du

i

i

=

=

lub:

∫

=

t

o

i

dt

t

e

K

t

u

)

(

)

(

gdzie: K

i

– stała nastawna

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

6

Transmitancja regulatora całkowego ma postać:

U s

E s

K

s

Ts

i

i

( )

( )

=

=

1

Jeśli wartość e(t) jest stała przez okres czasu T

i

, to wartość

u(t) podwoi się po upływie tego czasu. Dla wartości uchybu
e(t) równego zero wartość u(t) pozostaje niezmienna.

Schemat blokowy regulatora typu I

E(s)

U(s)

–

s

K

i

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

7

Przykład 1.

Sterowanie proporcjonalne układu poziomowania cieczy, przy
skokowym sygnale wejściowym, da uchyb w stanie
ustalonym. Uchyb może być wyeliminowany, jeśli regulator
będzie zawierał algorytm sterowania całkowego.

Układ regulacji poziomu cieczy w zbiorniku

R

0

q

Q +

x

X

+

i

q

Q

+

C

h

H

+

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

8

9

Regulator jest regulatorem całkującym

9

Nie jest znany model układu - (może on być nieliniowy)
- dokonujemy jego linearyzacji wokół punktu pracy,
zakładając małe odchylenia x, q

i

, h i q

o

od ich wartości

w stanie ustalonym

9

Początek układu współrzędnych ustawiamy w punkcie
pracy, wtedy układ można traktować jako stabilny

Założenia:

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

9

Schemat blokowy układu

X(s)

E(s)

H(s)

–

s

K

1

+

RCs

R

Transmitancja układu zamkniętego ma postać:

KR

s

RCs

KR

s

G

s

G

s

G

s

G

s

X

s

H

O

R

O

R

+

+

=

⋅

+

⋅

=

2

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

Stąd:

KR

s

RCs

s

RCs

s

X

s

H

s

X

s

X

s

E

+

+

+

=

−

=

2

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

10

Uchyb statyczny

0

1

)

(

)

(

lim

2

2

0

=

+

+

+

=

=

→

s

KR

s

RCs

s

RCs

s

s

sE

e

s

u

9

Wynika stąd, że sterowanie całkowe układem
poziomowania cieczy, eliminuje uchyb statyczny w
odpowiedzi na skokowy sygnał wejściowy.

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

11

S

S

terowani

terowani

e

e

proporcjonalno

proporcjonalno

-

-

c

c

a

a

ł

ł

kowe

kowe

Algorytm pracy regulatora proporcjonalno-całkowego, w
skrócie typu PI, zdefiniowany jest wzorem:

∫

+

=

t

o

i

p

p

dt

t

e

T

K

t

e

K

t

u

)

(

)

(

)

(

a transmitancja regulatora ma postać:













+

=

s

T

K

s

E

s

U

i

p

1

1

)

(

)

(

gdzie:

K

p

- wzmocnienie proporcjonalne,

T

i

- czas całkujący (czas zdwojenia).

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

12

9

Stała czasowa całkowania

T

i

umożliwia

zmianę

parametrów algorytmu całkowego

9

Zmiana wartości K

p

wpływa zarówno na część

proporcjonalną, jak i na część całkową algorytmu
sterowania.

9

Odwrotność stałej czasowej T

i

jest nazywana szybkością

działania całkującego.

Schemat blokowy regulatora typu PI

E(s)

U(s)

–













+

s

T

K

i

p

1

1

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

13

Sterowanie PI

Odpowiedź skokowa regulatora typu PI

p

K

0

u(t)

t

i

T

p

K

2

e(t)

Sygnał wejściowy

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

14

S

S

terowani

terowani

e

e

proporcjonalno

proporcjonalno

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczkowe

niczkowe

Algorytm pracy regulatora proporcjonalno-różniczkowego, w
skrócie typu PD, zdefiniowany jest wzorem:

dt

t

de

T

K

t

e

K

t

u

d

p

p

)

(

)

(

)

(

+

=

a transmitancja regulatora ma postać:

)

1

(

)

(

)

(

s

T

K

s

E

s

U

d

p

+

=

gdzie:

K

p

- wzmocnienie proporcjonalne,

T

d

- stała nazywana czasem różniczkującym

lub czasem wyprzedzenia

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

15

9

Z algorytmem sterowania różniczkowego mamy do
czynienia, gdy wartość sygnału wyjściowego regulatora
jest proporcjonalna do szybkości zmiany sygnału uchybu.
Czas różniczkujący T

d

jest miarą, na ile sterowanie PD

wyprzedza sterowanie z regulatorem proporcjonalnym P.

Schemat blokowy regulatora typu PD

E(s)

U(s)

–

(

)

s

T

K

d

p

+

1

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

16

Sygnał wejściowy

Sterowanie PD

d

T

Odpowiedź liniowa regulatora typu PD

0

u(t)

t

e(t)

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

17

9

Różniczkowy algorytm sterowania

ma charakter

wyprzedzający. „Podbija” on sygnał wyjściowy

9

Wada: wzmacnia sygnały szumów i może powodować
efekt nasycenia w urządzeniu wykonawczym

9

Algorytm ten stabilizuje

układ, nie pogarszając

właściwości dynamicznych, uchyb ustalony jest znacznie
większy niż

przy algorytmie

całkowym,

przy

równoczesnym zwiększeniu zapasu stabilności

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

18

Równanie regulatora PID ma postać:

dt

t

de

T

K

dt

t

e

T

K

t

e

K

t

u

t

o

d

p

i

p

p

)

(

)

(

)

(

)

(

∫

+

+

=

a transmitancja regulatora ma postać:













+

+

=

s

T

s

T

K

s

E

s

U

d

i

r

1

1

)

(

)

(

gdzie:

K

p

- wzmocnienie proporcjonalne,

T

i

- czas całkującym,

T

d

- czas różniczkujący.

S

S

terowani

terowani

e

e

proporcjonalno

proporcjonalno

-

-

r

r

ó

ó

ż

ż

niczko

niczko

wo

wo

-

-

całkowe

całkowe

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

19

Schemat blokowy regulatora typu PID

E(s)

U(s)

–

(

)

s

T

s

T

T

s

T

K

i

d

i

i

p

2

1

+

+

Ten połączony algorytm ma zalety każdego z trzech
wcześniej wspomnianych algorytmów.

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

20

Odpowiedź liniowa regulatora typu PID

0

u(t)

t

Sygnał wejściowy

e(t)

Sterowanie PID

Sterowanie PD

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

21

Regulacja pr

Regulacja pr

ę

ę

dko

dko

ś

ś

ci

ci

silnika pr

silnika pr

ą

ą

du sta

du sta

ł

ł

ego

ego

a

R

a

L

a

v

Θ

=

.

e

K

e

a

i

∼

a) obwód elektryczny silnika

prądu stałego

T

m

Θ

m

b

Θ

.

m

J

b) model mechaniczny wirnika

silnika prądu stałego

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

22

Moment bezwładności wirnika wynosi J

m

, opory ruchu

reprezentuje współczynnik b, a moment czynny M = K

t

i

a

Równanie dynamiczne ruchu układu ma postać:

z

a

t

m

m

m

M

i

K

b

J

+

=

+ θ

θ

&

&&

Równanie obwodu elektrycznego:

m

e

a

a

a

a

a

K

v

i

R

dt

di

L

θ&

−

=

+

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

23

Jeżeli zdefiniujemy wektor stanu układu jako:

[

]

T

m

m

i

,

,

x

a

θ

θ

&

=

to macierze układu i sterowania mają postać:





































−

−

−

=

a

a

a

e

m

t

m

L

R

L

K

J

K

J

b

0

0

0

1

0

A





































=

a

L

1

0

0

B

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

24

Równania układu zapiszemy w postaci:









=

+

+

+

=

+

a

a

a

a

a

e

z

a

t

m

v

i

R

dt

di

L

K

M

i

K

b

J

m

m

m

θ

θ

θ

&

&

&&

gdzie: M

z

jest momentem zakłócającym

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

25









=

+

+

+

=

+

a

a

a

a

a

e

a

t

m

v

i

R

dt

di

L

y

K

z

i

K

by

y

J &

Stosując

przekształcenie Laplace’a, przy zerowych

warunkach początkowych otrzymamy równania algebraiczne:







=

+

+

+

=

+

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

sJ

m

s

V

s

I

R

s

I

sL

s

Y

K

s

Z

s

I

K

s

bY

s

Y

a

a

a

a

a

e

a

t

Definiując sygnał wyjściowy

m

θ&

∆

=

y

i zakłócający

z

M

z

∆

=

otrzymamy:

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

26

Obliczamy Y(s):

gdzie:

e

t

a

t

K

K

bR

K

A

+

=

e

t

a

K

K

bR

B

+

=

1

)

(

)

1

)(

1

(

)

(

)

1

)(

1

(

)

(

2

1

2

1

s

Z

s

s

B

s

V

s

s

A

s

Y

a

+

+

+

+

+

=

τ

τ

τ

τ

a

m

e

t

a

a

m

a

a

m

a

a

m

L

J

K

K

bR

L

J

bL

R

J

bL

R

J

2

)

(

4

)

(

)

(

2

1

2

,

1

+

−

+

+

=

+

−

−

τ

9

Jeżeli b=0 i L

a

jest małe, wtedy stała nazywana

jest elektryczną stałą czasową zaś stała

nazywana jest elektromechaniczną stałą czasową.

a

a

R

L

=

2

τ

e

t

m

a

K

K

J

R

=

1

τ

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

27

W(s)

E(s)

Y(s)

Y(s)

Z(s)

–

A

B

Regulator

(

)(

)

1

1

2

1

+

+

s

s

A

τ

τ

Silnik

Czujnik

1

V

a

Schemat blokowy uk

Schemat blokowy uk

ł

ł

adu regulacji pr

adu regulacji pr

ę

ę

dko

dko

ś

ś

ci

ci

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

28

Zakładając, że w układzie zastosowany będzie regulator typu P,
dla którego:

G

R

(s) = K,

)

1

)(

1

(

)

(

2

1

+

+

=

s

s

A

s

G

O

τ

τ

Równanie charakterystyczne pętli zamkniętej:

)

(

)

(

1

1

s

G

s

G

O

R

+

ma postać:

0

1

)

(

2

1

2

2

1

=

+

+

+

+

AK

s

s

τ

τ

τ

τ

Bieguny układu w pętli zamkniętej są funkcją wzmocnienia K:

2

1

2

1

2

2

2

1

2

,

1

2

)

1

(

4

)

(

)

(

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

AK

s

+

−

+

+

−

=

+

−

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

29

Lokalizacja biegunów na płaszczyźnie zmiennej zespolonej dla

zmieniającej się wartości K

K=0

Im(s)

Re(s)

K=0

2

1

τ

−

2

1

τ

−

(

)

A

K

2

1

2

2

1

4

τ

τ

τ

τ −

=

2

1

2

1

2

τ

τ

τ

τ +

−

0

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

30

Pierwiastki lokują się w:

2

1

1

,

1

τ

τ

−

−

dla otwartej pętli (K = 0) i zaczynają się do siebie zbliżać
wraz ze wzrostem wartości K poza przedział:

,

4

)

(

0

2

1

2

2

1

A

K

τ

τ

τ

τ −

<

<

co oznacza zmniejszenie stałej czasowej układu.

A

K

2

1

2

2

1

4

)

(

τ

τ

τ

τ −

>

składowa rzeczywista pierwiastków nie zależy od K,
natomiast składowa urojona rośnie i w ten sposób czas
odpowiedzi układu maleje.

Dla wartości:

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

31

9

Lepsze sterowanie w stanach

ustalonych, bez

konieczności stosowania dużych wzmocnień można
uzyskać wprowadzając regulator całkujący.

9

Zakładając, że w układzie wprowadzimy dodatkowo
regulację całkującą, transmitancja regulatora przyjmie
postać:

s

T

K

s

G

i

R

=

)

(

gdzie:

i

T

1

jest miarą szybkości odpowiedzi

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

32

Najistotniejszym zadaniem regulatora całkującego jest
zmniejszenie lub wyeliminowanie błędu w stanie ustalonym,
lecz jest to okupione pogorszeniem odpowiedzi stanu
przejściowego.

Równanie charakterystyczne dla układu z regulatorem
całkującym:

0

)

(

2

2

1

3

2

1

=

+

+

+

+

i

T

K

A

s

s

s

τ

τ

τ

τ

Zwiększanie wzmocnienia

i

T

K

do nieznacznego przesunięcia pierwiastków dla danych
wartości K.

takiego układu doprowadzi

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

33

Lokalizacja pierwiastków równania charakterystycznego

K=0

K=0

K=0

2

1

τ

−

1

1

τ

−

0

Im(s)

Re(s)

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

34

9

Jeśli zwiększymy dynamikę odpowiedzi przy dużym
całkowitym wzmocnieniu, to odpowiedź będzie miała
charakter oscylacyjny.

9

Sposobem uniknięcia takiej niekorzystnej cechy dla
niektórych przypadków jest jednoczesne zastosowanie
sterowania proporcjonalnego i całkującego.

9

Pomimo tego, że regulacja całkowa polepsza śledzenie
odpowiedzi w stanach ustalonych, spowalnia jednak czas
odpowiedzi przy niezmiennym przeregulowaniu.

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

35

Przy równoczesnym zastosowaniu regulacji proporcjonalnej,
czyli regulatora typu PI, napięcie sterujące dla rozważanego
przypadku przyjmie postać:













−

+

−

=

∫

t

o

i

a

d

y

w

T

y

w

K

η

ϑ

)

(

1

gdzie:

K - wzmocnienie proporcjonalne

Równanie ruchu układu możemy zapisać jako:

[

]

z

B

y

w

T

K

y

w

K

A

y

y

y

i

&

&

&

&

&&

&&

&

+













−













+

−

=

+

+

+

)

(

)

(

2

1

2

1

τ

τ

τ

τ

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

36

Tak jak w przypadku regulacji całkowej, gdy zakłócenie
(moment) i prędkość zadana są stałe, więc:

0

=

z&

0

=

w&

i

Wtedy równanie charakterystyczne układu

)

(

)

(

)

(

s

W

s

Y

s

G

=

zapiszemy następująco:

0

)

1

(

)

(

2

2

1

3

2

1

=

+

+

+

+

+

i

T

K

A

s

AK

s

s

τ

τ

τ

τ

Dobierając odpowiednio K i T

i

, można niezależnie ustawić

wartości współczynników przy s i wartości stałe, i w ten
sposób niezależnie

regulować

dwa

spośród trzech

parametrów w równaniu charakterystycznym.

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

37

W przypadku zastosowania regulacji różniczkującej
transmitancja regulatora:

s

KT

s

G

d

R

=

)

(

W praktyce czysty element różniczkujący nie występuje.
Stosuje się go w połączeniu z proporcjonalnym i całkującym
by zwiększyć tłumienie i poprawić stabilność układu.

Regulator z elementem różniczkującym generuje odpowiedź
z wyprzedzeniem. Odpowiedź regulatora PD wyprzedza
odpowiedź regulatora P o T

D

– sekund.

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

38

Charakterystyka czasowa regulatora PD dla wzrastającego

błędu e(t)

u(t)

t

0

2

3

4

1

5

T

D

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

39

Celem zmniejszenia błędów stanów ustalonych i przej-
ściowych przy zachowaniu stabilności i odpowiedniego
tłumienia możemy połączyć wszystkie trzy rodzaje regulacji
i otrzymać regulację proporcjonalno - całkowo - różniczkową:

Regulatory PID są powszechnie stosowane w przemyśle.
Ogólnie transmitancja regulatora PID przyjmuje postać:













+

+

=

s

T

s

T

K

s

G

D

i

R

1

1

)

(

By zaprojektować konkretny układ regulacji należy dobrać
stałe K, T

i

i T

D

by osiągnąć zamierzony rezultat.

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

40

Dla rozważanego przykładu regulacji prędkości silnika z
regulatorem PID, napięcie sterujące przyjmuje postać:













−

+

−

+

−

=

∫

t

o

D

i

a

y

w

T

d

y

w

T

y

w

K

v

)

(

)

(

1

&

&

η

Różniczkując równanie układu w pętli zamkniętej otrzymujemy:

z

B

y

w

KT

y

w

T

K

y

w

K

A

y

y

y

D

i

&

&&

&&

&

&

&

&&

&&

&

+













−

+

−

+

−

=

+

+

+

)

(

)

(

]

[

)

(

2

1

2

1

τ

τ

τ

τ

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

41

Równanie charakterystyczne zapiszemy jako:

[

]

0

)

1

(

)

(

2

2

1

3

2

1

=

+

+

+

+

+

AK

s

AK

T

s

AKT

T

s

T

i

D

i

i

τ

τ

τ

τ

9

Jeśli równanie to podzielimy przez

τ

1

τ

2

T

i

, otrzymujemy

trzy współczynniki i trzy parametry (K, T

i

i T

D

).

9

Dołączenie działania różniczkującego do takiego układu
pozwala na pełniejsze kształtowanie jego dynamiki.

9

Rozważmy omawiany silnik prądu stałego i przyjmijmy:
K = 5, T

D

= 0,0004 i T

i

= 0,01.

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

42

Odpowiedzi układu na skokową zmianę zakłócenia

dla różnych regulatorów

0

1

2

3

4

5

6

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Czas

Ampl

ituda

P

PI

PID

Katedra Automatyzacji Procesów

Katedra Automatyzacji Procesów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo

-

-

Hutnicza w Krakowie

Hutnicza w Krakowie

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL

Temat wykładu: Podstawowe algorytmy sterowania

Temat wykładu:

Temat wykładu:

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawowe algorytmy sterowania

Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

43

0

1

2

3

4

5

6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Czas

Ampl

ituda

Odpowiedzi układu na skokową zmianę wartości zadanej

dla różnych regulatorów

P

PI

PID